Profª Débora Bastos
Recapitulação
 P (c,f(c)) é crítico se f’(c) = 0 ou se f’(c) não existe.
 Para funções contínuas e deriváveis temos pontos
extremos nos pontos críticos.
 Para funções contínuas e deriváveis temos:
f crescente para valores de x em que f ’(x) > 0
f decrescente para valores de x em que f ’(x) < 0
f côncava para cima para valores de x em f ”(x) > 0
f côncava para baixo para valores de x em f ”(x) < 0
 Ponto de inflexão é o ponto em que há mudança de
concavidade. Ocorre entre os valores c tais que f ”(c)
não existe ou f ”(c) = 0.
Traçando um esboço do gráfico de uma
função
Temo até agora como determinar:
 Pontos extremos
 Intervalos onde a função é crescente ou decrescente
 Intervalos onde a função é côncava para cima ou para
baixo
 Pontos de Inflexão.
Falta  Estudo das assíntotas.
Exemplos
Assíntota
oblíqua
Assíntota
horizontal
Assíntota
vertical
Assíntota
vertical
 Definição 11: A reta x = a será uma assíntota vertical do
gráfico da função f, se pelo menos uma das afirmativas
abaixo for verdadeira:
(i) lim f(x) = + 
x  a+
(ii) lim f(x) = + 
x  a(iii) lim f(x) =  
x  a+
(iv) lim f(x) =  
x  a
 Definição 12: A reta y = b é denominada uma assíntota
1
horizontal do gráfico da função f se pelo menos uma das
seguintes afirmações for válida:
(i) lim f(x) = b e para um nº N, se x > N, então f(x)  b.
x  +
(ii) lim f(x) = b e para um nº N, se x < N, então f(x)  b.
x  
 Definição 13: Se lim [f(x) – (mx + b)] = 0
x 
então a reta y = mx + b é chamada assíntota oblíqua, pois a
distância vertical entre a curva y = mx + b e y = f(x) tende a
zero.
Nota: Se f(x) for uma função racional as assíntotas obliquas
ocorrem quando a diferença entre o grau do numerador e
do denominador é 1.
Exemplo
 Ache as assíntotas do gráfico da função h definida por:
x2  3
h(x) 
x 1
e faça um esboço do gráfico.
Solução:
D(h) = lR – {1}
Investigar o que ocorre à esquerda e à direita de x = 1.
lim h(x) =  
x1lim h(x) = + 
x1+
A reta x = 1 é uma assíntota vertical de h.
Exemplo
lim h(x) = 
lim h(x) = +
x 
x+
h não possui assíntotas horizontais.
Assíntota obliqua.
x2  3
4
h(x) 
 x  1 
x  1
x  1
y=x+1
Pontos extremos:
h'(x)  1 
h’ existe em D(h)
h’(x) = 0  x =  1 ou x = 3
4
x  12
Procedimentos para obter o gráfico de uma
função bem detalhado.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Determine o domínio de f;
Ache a intersecção com o eixo oy se houver e se a
equação de f for fácil ache as raízes da função;
Teste a simetria em relação ao eixo oy (f(x)=f(x)) e a
simetria em relação a origem (f(x)=  f(x));
Calcule f ’(x) e f ”(x);
Determine os números críticos de f (f ’(x) não existe ou
f ’(x) = 0);
Verifique se os valores críticos são extremos (teste da
segunda derivada);
Determine os intervalos em que f é crescente ou
decrescente (estudo do sinal de f ’);
8. Obtenha os valores de x em que f ”(x) não existe ou
f ”(x)= 0;
9. Determine os intervalos em que o gráfico de f é côncavo
para cima ou para baixo (estudo do sinal de f ”).
Verifique se os valores críticos obtidos no passo anterior
são de inflexão;
10. Verifique a existência de possíveis assíntotas verticais,
horizontais e oblíquas.
Exemplo
 Faça o esboço do gráfico
da função f abaixo:
f(x) 
1.
2.
x
3.
x2  4
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Domínio:
Intersecções:
Simetrias:
f’ e f”:
Pontos críticos:
Pontos extremos:
Estudo do sinal de f’:
Valores críticos de f”:
Estudo do sinal de f”:
Assíntotas:
Exemplo
 Faça o esboço do gráfico
da função f abaixo:
6
6
f(x) 

2
x
x
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Domínio:
Intersecções:
Simetrias:
f’ e f”:
Pontos críticos:
Pontos extremos:
Estudo do sinal de f’:
Valores críticos de f”:
Estudo do sinal de f”:
Assíntotas:
Exercícios
 Faça o mesmo para:
3 2
f(x)  (x  1) x
x
f(x)  e x