Ministério da Educação
UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
Departamento Acadêmico de Matemática - DAMAT
1a. LISTA DE EXERCÍCIOS - Dicas para resolução.
MA72A — Cálculo Diferencial e Integral II
Turmas S23 e S02 - 1o. semestre de 2015
Professor Responsável: Rodolfo Gotardi Begiato
[email protected]
http://paginapessoal.utfpr.edu.br/begiato
1. Considerando os conjuntos abaixo, dizer quais são abertos, quais são fechados e quais não são nem abertos
e nem fechados, prove a sua afirmação. Encontre a fronteira de cada conjunto (demonstre!).
(b) {(x, y) |
|x| < 1 e |y| < 1}.
O conjunto é aberto, para provar isso, devemos provar que todo ponto do conjunto pertence ao interior
do conjunto: de fato, dado um ponto qualquer (x, y) ∈ {(x, y) |
r = min{|x − 1|, |y − 1|}/2 tem-se que B((x, y), r) ⊂ {(x, y) |
|x| < 1 e |y| < 1}, tomando
|x| < 1 e |y| < 1} e, pela definição
de ponto interior, temos que (x, y) é um ponto interior.
(i) S = {(x, y, z) |
|x| < 1, |y| < 1 e z = 0}
Vamos provar que S é fechado, para isso, devemos provar que seu complementar é aberto. Temos que
S C = {(x, y, z) |
|x| ≥ 1 ou |y| ≥ 1 ou z 6= 0}. Dessa maneira, dado (x, y, z) ∈ S C , tomando
r = min{| |x| − 1 |, | |y| − 1 |, |z|}/2 se z 6= 0 ou r = min{| |x| − 1 |, | |y| − 1 |}/2 se z = 0, tem-se
que B(x, r) ⊂ S C e, pela definição de ponto interior, temos que (x, y, z) é um ponto interior.
2. Demonstrar as seguintes afirmações:
(a) Se A ⊂ Rn é aberto e x ∈ A então A − {x} é aberto.
Hipótese:
Tese:
A ⊂ Rn é aberto e x ∈ A.
A − {x} é aberto.
Supondo que a hipótese é verdadeira, devemos provar que vale também a tese. Ou seja, vamos provar
que A − {x} é aberto, para isso devemos provar que todo ponto y ∈ A − {x} é ponto interior de
A − {x}. Como A − {x} ⊂ A, temos que y ∈ A e, pela hipótese, y ∈ int(A), logo existe r > 0 tal que
B(y, r) ⊂ A. Se x ∈
/ B(y, r), então B(y, r) ⊂ A − {x} e temos o que queríamos. Caso contrário,
tomando r1 = kx − yk, temos que B(y, r1 ) ⊂ A − {x} e o resultado está provado também para este
caso.
(b) Se A ⊂ Rn é fechado e x ∈
/ A então A ∪ {x} é fechado.
Hipótese:
Tese:
A ⊂ Rn é fechado e x ∈
/A
A ∪ {x} é fechado.
Para provar que um conjunto é fechado, devemos provar que seu complementar é aberto, notemos
inicialmente que o complementar de A ∪ {x} é o conjunto AC − {x}. Por hipótese, AC é aberto e,
pelo item (a) acima, tem-se que AC − {x} é aberto, provando, assim, o resultado.
(h) Se A e B são abertos então A ∪ B e A ∩ B são abertos.
Para provar a união, observe que A ⊂ A ∪ B e B ⊂ A ∪ B, daí qualquer bola contida em um dos
dois conjuntos está contida na união.
Para provar a intersecção, observe que dado x ∈ A ∩ B, temos que x ∈ A e x ∈ B. Daí, da hipótese
de que A e B são abertos, temos B(x, r1 ) ⊂ A e B(x, r2 ) ⊂ B, tome r = min{r1 , r2 } e o resultado
pode ser provado.
(i) Se A e B são fechados então A ∪ B e A ∩ B são fechados.
Observe que (A ∪ B)C = AC ∩ B C e (A ∩ B)C = AC ∪ B C , daí basta utilizar o exercício anterior.
3. Encontre um exemplo que mostra que a intersecção de uma coleção infinita de conjuntos abertos não é,
necessariamente, aberta.
Tome a coleção de intervalos abertos da reta: Sn = (0 − 1/n, 0 + 1/n), n = 1, 2, . . ., temos que
∞
\
Sn =
n=1
{0} que não é aberto (provar essa parte).
4. Encontre um exemplo que mostra que a união de uma coleção infinita de conjuntos fechados não é, necessariamente, fechada.
Tome a coleção de intervalos abertos da reta: Sn = [0+1/n, 1−1/n], n = 2, . . ., temos que
∞
[
Si = (0, 1)
i=1
que não é fechado (já provamos esse resultado na aula).
5. Dado um conjunto S ⊂ Rn , mostre que todo ponto x ∈ Rn com a propriedade: “toda bola com centro em
x tem pontos interiores e exteriores a S” é um ponto de fronteira.
Mostre que qualquer bola com centro em ponto de fronteira intersecta o conjunto e seu complementar.
A recíproca é verdadeira? Ou seja, todo ponto de fronteira tem a propriedade acima?
A recíproca é falsa, tome o conjunto Rn − {x} para algum ponto x. A fronteira do conjunto é {x}, mas uma
bola de centro x não tem pontos do seu exterior, pois seu exterior é vazio.