Hidráulica Básica e Máquinas de Fluxo
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1. PRINCÍPIOS BÁSICOS
1.1. Breve Histórico
Obras hidráulicas de certa importância remontam à antiguidade: na Mesopotâmia
existiam canais de irrigação construídos na planície situada entre os rios Tigre e
Eufrates e em Nipur (Babilônia) existiam, coletores de esgotos desde 3750 A.C.
Os egípcios, no período da XII dinastia (2000-1785 A.C.) realizaram importantes obras
hidráulicas, inclusive o lago artificial Meris, destinado a regularizar as águas do baixo
Nilo.
Alguns princípios da Hidrostática foram enunciados por Arquimedes1 no seu tratado
sobre corpos flutuantes (250 A.C.).
A bomba de pistão foi concebida pelo físico grego Ctesibius e inventada pelo seu
discípulo Hero, 200 anos antes da era Cristã.
Grandes aquedutos romanos foram construídos em varias partes do mundo, a partir de
150 A.C.
No século XVI a atenção dos filósofos voltou-se para os problemas encontrados nos
projetos de chafarizes e fontes monumentais, tão em moda na Itália. Assim foi que
Leonardo da Vinci2 apercebeu-se da importância de observações nesse setor. Um novo
tratado publicado em 1586 por Stevin3 e as contribuições de Galileu4, Torricelli5 e
Daniel Bernoulli6 constituíram a base para o novo ramo científico.
Devem-se a Euler7 as primeiras equações gerais para o movimento dos fluidos. No seu
tempo os conhecimentos que hoje constituem a Mecânica dos Fluidos apresentavam-se
separados em dois campos distintos: A “Hidrodinâmica teórica” que estudava os fluidos
perfeitos e a “Hidráulica empírica”, em que cada problema era investigado
isoladamente. Infelizmente os seus estudos foram feitos separadamente nesses dois
sentidos.
A associação desses dois ramos iniciais, constituindo a “Mecânica dos Fluidos”, deve-se
principalmente à Aerodinâmica.
“Se tratti di acqua anteponi l’esperienza alta teoria.”
[Leonardo da Vinci]
1
2
3
4
5
6
Arquimedes (287-212 A.C.) Geômetra, Analista e Engenheiro Grego.
Leonardo da Vinci (1452-1519) Pintor, Arquiteto, Escultor e Filósofo Italiano.
Simão Stevin (1548-1620) Grande engenheiro civil e militar, Contador e Estatístico Holandês.
Galileu (1564-1642) Grande Astrônomo e pesquisador Italiano.
Evangelista Torricelli (1608-1647) Físico Italiano, discípulo de Galileu.
Daniel Bernoulli (1700-1782) Cientista Suíço, Fundador da Física Matemática.
7
Leonardo Euler (1707-1783) Matemático, Físico e Astrônomo Suíço.
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Convém ainda mencionar que a Hidráulica sempre constituiu fértil campo para as
investigações e análises matemáticas tendo dado lugar a estudos teóricos que
frequentemente se afastaram dos resultados experimentais. Várias expressões assim
deduzidas tiveram de ser corrigidas por coeficientes práticos, o que contribuiu para que
a Hidráulica fosse cognominada a “ciência dos coeficientes”. As investigações
experimentais tornaram famosos vários físicos da Escola Italiana, entre estes Venturi8,
Bidone e outros.
Apenas no século XIX, com o desenvolvimento da produção de tubos de ferro fundido,
capazes de resistir a pressões internas relativamente elevadas, com o crescimento das
cidades e importância cada vez maior dos serviços de abastecimento de água e ainda em
conseqüência do emprego de novas máquinas hidráulicas é que a Hidráulica teve um
progresso rápido e acentuado.
As investigações de Reynolds, os trabalhos de Rayleigh e as experiências de Froude
constituíram a base científica para esse progresso.
As usinas hidroelétricas começaram a ser construídas no fim do século passado.
Aos laboratórios de hidráulica devem ser atribuídos os desenvolvimentos mais recentes.
1.2. Hidráulica e Mecânica dos Fluidos
Embora hoje em Hidráulica se inclua o estudo de outros líquidos, até há bem pouco
tempo todo o trabalho experimental se limitava à água. O significado etimológico da
palavra Hidráulica é “condução de água” (do grego hydor, água e aulos, tubo,
condução).
Muito mais geral é a Mecânica dos Fluidos que abrange problemas relativos a líquidos e
gases. Desta forma, o termo Hidráulica representa o estudo do comportamento da água e
de outros líquidos, quer em repouso, quer em movimento.
A hidráulica pode ser assim dividida:
• Hidráulica Geral ou Teórica
- Hidrostática
- Hidrocinemática
- Hidrodinâmica
• Hidráulica Aplicada ou Hidrotécnica
A Hidráulica Geral ou Teórica aproxima-se muito da Mecânica dos Fluidos.
A Hidrostática trata dos fluidos em repouso ou em equilíbrio, a Hidrocinemática estuda
velocidades e trajetórias, sem considerar forças ou energia, e a Hidrodinâmica refere-se
às velocidades, às acelerações e às forças que atuam em fluidos em movimento.
A Hidrodinâmica, face às características dos fluidos reais, que apresentam grande
número de variáveis físicas, o que tornava seu equacionamento altamente complexo, até
8 Giovanni Battista Venturi (1746-1822) Padre, professor e Hidráulico Italiano.
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mesmo insolúvel, derivou para a adoção de certas simplificações, resulatando em uma
ciência matemática com aplicações práticas bastante limitadas.
Os engenheiros, que necessitavam resolver os problemas práticos que lhes eram
apresentados, voltaram-se para a experimentação, desenvolvendo fórmulas empíricas
que atendiam suas necessidades.
A Hidrodinâmica Aplicada ou Hidrotécnica é a aplicação concreta ou prática dos
conhecimentos científicos da Mecânica dos Fluidos e da observação criteriosa dos
fenômenos relacionados à água, quer parada, quer em movimento.
As áreas de atuação da Hidráulica Aplicada ou Hidrotécnica são:
• Urbana:
-
Sistemas de abastecimento de água;
Sistemas de esgotamento sanitário
Sistemas de drenagem pluvial
Canais
• Rural
- Sistemas de drenagem
- Sistemas de irrigação
- Sistemas de água potável e esgotos
• Instalações prediais:
•
•
•
•
•
- Industriais
- Comerciais
- Residenciais
- Públicas
Lazer e paisagismo
Estradas (drenagem)
Defesa contra inundações
Geração de Energia
Navegação e Obras Marítimas e Fluviais
Definição Fluido: um fluido é uma substância que se deforma continuamente sob a aplicação de
uma tensão de cisalhamento (tangencial), não importa quão pequena ela possa ser. Ou
seja, são denominados fluidos as substâncias que oferecem pequena resistência à
deformação e que tomam a forma dos corpos com os quais estão em contato. Sob a ação
de esforços tangenciais os fluidos deformam-se continuamente.
Assim, os fluidos compreendem as fases líquida e gasosa (ou de vapor) das formas
físicas nas quais a matéria existe. A distinção entre um fluido e o estado sólido da
matéria é clara quando você compara os seus comportamentos. Um sólido deforma-se
quando uma tensão de cisalhamento lhe é aplicada, mas não continuamente.
Na Figura (1.1), os comportamentos de um sólido (Fig. 1.1a) e de um fluido (Fig 1.1b),
sob a ação de uma força de cisalhamento constante, são comparados. Na Figura (1.1a), a
força de cisalhamento é aplicada sobre o sólido através da placa superior à qual ele está
ligado. Quando a força cisalhante é aplicada na placa superior, o bloco deforma-se
conforme mostrado. Do estudo da mecânica, sabemos que, desde que o limite elástico
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do material sólido não seja ultrapassado, a deformação é proporcional à tensão de
cisalhamento aplicada, τ = F A , onde A é a área da superfície em contato com a placa.
Para repetir a experiência com um fluido entre as placas, delimitaremos um elemento
fluido, conforme mostrado pelas linhas cheias na Fig. (1.1b). Enquanto a força F estiver
aplicada na placa superior, a deformação do elemento fluido aumenta continuamente. O
fluido em contato direto com a fronteira sólida tem a velocidade da própria fronteira;
não há deslizamento. Este é um fato experimental baseado em numerosas observações
do comportamento dos fluidos. A forma do elemento fluido em instantes sucessivos
t0 < t1 < t2 , é mostrada (Fig. 1.1b) pelas linhas tracejadas. Como o movimento do fluido
continua sob a aplicação de uma tensão cisalhante, podemos, alternativamente, definir
um fluido como uma substância incapaz de suportar tensão de cisalhamento quando em
repouso.
Figura 1.1 – Comportamento de um sólido e de um fluido sob
a ação de uma tensão de cisalhamento constante.
Os fluidos compreendem os líquidos e gases. Os primeiros caracterizam-se pela
constância de seu volume em determinada temperatura, podendo por isso encher
parcialmente um vaso. Os gases, tomando a forma do recipiente que os envolve
ocupam-no totalmente.
A pequena densidade e alta compressibilidade dos gases são características importantes.
1.3. Massa Específica, Peso Específico e Densidade
Conceito A massa específica ( ρ ) ou densidade absoluta de uma substância é expressa pela massa
da unidade de volume dessa substância.
Para um corpo de massa M,
ρ=
 kg 
S.I.:  3 
m 
M
V
 massa 
 volume 


 g 
Absoluto:  3 
 cm 
M
 L3 
 
(1.1)
 slug 
Inglês:  3 
 pe 
Conceito Chama-se densidade relativa ou simplesmente densidade ( d ) de um material a relação
entre a massa específica desse material e a massa específica de uma substância tomada
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por base: no caso de líquidos esta substância é a água; tratando-se de gases geralmente
se adota o ar.
d=
ρ
[adimensional]
ρH O
(1.2)
2
d=
ρ
fluido ou sólido
ρ padrão
Conceito Denomina-se peso específico (γ) de um material homogêneo ao peso da unidade do
volume desse material.
γ = m⋅ g
V
N
S.I.:  3 
m 
γ= ρ⋅g
 peso 
 volume 


 dyna 
Absoluto: 
3 
 cm 
F
 3
L 
(1.3)
 lbf 
Inglês:  3 
 pe 
Estas propriedades variam com a temperatura e pressão, porém a variação é
relativamente pequena.
1.4. Sistemas de Unidades
Há mais de uma maneira de selecionar a unidade de medida para cada dimensão
primária. Apresentaremos apenas os sistemas de unidades mais comuns na engenharia
para cada um dos sistemas básicos de dimensões.
a) MLtT
O SI, que é a abreviatura oficial em todas as línguas do Système International d’Unités,9
é uma extensão e refinamento do sistema métrico tradicional. Mais de 30 países
declararam o SI como único sistema legalmente aceito.
No sistema de unidades SI, a unidade de massa é o quilograma (kg), a unidade de
comprimento, o metro (m), a unidade de tempo, o segundo (s), e a unidade de
temperatura, o kelvin (K). A força é uma dimensão secundária, e a sua unidade, o
newton N), é definida da segunda lei de Newton como
→
→
F = m⋅ a
( F ) = [m] ⋅
[ L]
 t 2 
(1.4)
9
American Society for Testing and Materials, ASTM Standard for Metric Practice, E380-97.
Conshohocken, PA: ASTM, 1997.
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6
1 kg
Newton
1 m s2
[ N] :
1 N ≅ 1 kg ⋅
1m
m
≅ 1 kg ⋅ 2
2
s
s
No sistema de unidades Métrico Absoluto, a unidade de massa é o grama, a unidade de
comprimento, o centímetro, a unidade de tempo, o segundo, e a unidade de temperatura,
o kelvin. Uma vez que a força é uma dimensão secundária, a sua unidade, o dina, é
definida em termos da segunda lei de Newton como
1g
1 cm s2
dina:
1 dyn ≅ 1 g ⋅
1 dyn ≅ 1 g ⋅
cm
s2
(
= 1 10 kg
-3
)
(10
⋅
−2
s
m
1 cm
cm
≅ 1 g⋅ 2
2
s
s
)
2
m
1 dyn = 10-5 kg ⋅ 2 ⋅ N
s
1 dyn = 10-5 N
b) FLtT
No sistema de unidades Gravitacional britânico, a unidade de força é a libra força (lbf),
a unidade de comprimento é o pé (pé), a de tempo, o segundo (s), e a de temperatura, o
Rankine (°R). Como a massa é uma dimensão secundária, a sua unidade, o slug, é
definida em termos da segunda lei de Newton como
1 utm
1 m s2
kgf:
1m
s2
1 utm = 9,8 kg .
1m
1 kgf = ( 9,8 kg ) ⋅ 2
s
m
1 kgf = 1 kg ⋅ 9,8 2
s
1 kgf = 1 utm ⋅
1 kgf = 9,8 kg ⋅
m
⋅N
s2
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⇒
1 kgf = 9,8 N
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7
slug:
lbf ⋅ s 2
pe
1 slug ≅ 32,2 lbm
1 pé = 0,305 m
m
pé
a = 9,8 2 = 32,2 2
s
s
1 slug ≅ 1
lbf
= psi = pound per square inch
pol 2
1 pé = 12 pol
1 lbf = 4,45 N
1 pol = 2,54 cm = 0,0254 m
lbf
= psf = pound per square feet
pé 2
c) FMLtT
No sistema de unidades inglês Técnico ou de Engenharia, a unidade de força é a libra
força (lbf), a unidade de massa, a libra massa (lbm), a unidade de comprimento, o pé, a
unidade de tempo, o segundo, e a de temperatura, o Rankine. Uma vez que tanto a força
quanto a massa são escolhidas como unidades primárias, a segunda lei de Newton é
escrita como
→
m⋅a
F=
gc
→
(1.5)
Uma libra força (1 lbf) é a força que imprime à massa de uma libra massa (1 lbm) uma
aceleração igual à aceleração padrão da gravidade na Terra, 32,2 pé/s2. Da segunda lei
de Newton, concluímos que
1 lbm ≅
ou
1 lbm × 32,2 pés s 2
gc
(
g c ≅ 32,2 pé ⋅ lbm lbf ⋅ s 2
)
A constante de proporcionalidade, g c , tem dimensões e unidades. As dimensões
surgiram porque escolhemos a força e a massa como dimensões primárias; as unidades
(e o valor numérico) são uma conseqüência de nossas escolhas para os padrões de
medição.
Uma vez que uma força de 1 lbf acelera 1 lbm a 32,2 pé/s2, aceleraria 32,2 lbm a
1 pé/s2. Um slug é também acelerado a 1 pé/s2 por uma força de 1 lbf. Portanto,
1 slug ≅ 32,2 lbm
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Dimensão: Grandeza física mensurável.
Dimensões básicas: Tempo ( t )
Comprimento
Massa
(M )
( L)
Temperatura (T )
Força
(F )
Sistemas de unidades.
•
•
•
•
Sistema Internacional
Sistema absoluto
Sistema técnico
Sistema inglês
(SI)
Tabela 1.1 – Dimensões básicas em relação aos sistemas de unidades.
Comprimento
SI
metro
Absoluto
centímetro
Técnico
metro
Inglês Eng.
pé
Inglês Téc.
pé
Massa
quilograma
grama
unidade técnica
slug
libra-massa
( L)
(M )
[m ]
[kg ]
[cm ]
[g ]
[m ]
de massa
[utm ]
[ft ]
[ft ]
[lbm ]
Tempo
segundo
segundo
segundo
segundo
segundo
Temperatura
kelvin
kelvin
kelvin
Rankine
Rankine
 R 
 o R 
libra-força
libra-força
(t )
(T )
Força
(F )
[s ]
[K ]
Newton
[N]
[s ]
[K ]
Dina
[dyn ]
[s ]
[K ]
quilograma
força
[kgf ]
[s ]
o
[lbf ]
[s ]
[lbf ]
A Tabela (1.1) apresenta as dimensões básicas referentes aos principais sistemas de
unidades.
Unidades S.I., Prefixos e Fatores de Conversão
Os dados necessários para resolver problemas nem sempre estão disponíveis em
unidades coerentes. Assim, é necessário freqüentemente converter de um sistema de
unidades para outro.
Em princípio, todas as unidades derivadas podem ser expressas em termos das unidades
básicas. Então, apenas os fatores de conversão para as unidades básicas seriam
requeridos.
Na prática, muitas grandezas de engenharia são expressas em termos de unidades
definidas, como, por exemplo, o horsepower, a British thermal unit (Btu), o quarto, a
milha náutica. As definições de tais grandezas são necessárias, e fatores de conversão
adicionais são úteis nos cálculos.
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A Tabela (1.3) apresenta as unidades básicas SI e os fatores de conversão necessários,
mais algumas definições e fatores de conversão convenientes.
Tabela 1.2 – Unidades S.I. e prefixosa
Tabela 1.3 – Fatores de conversão de definições
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1.5. Tipos e Regimes dos Escoamentos
De modo geral, os escoamentos de fluidos estão sujeitos a determinadas condições
gerais, princípios e leis da Dinâmica e à teoria da turbulência.
No caso dos líquidos, em particular da água, a metodologia de abordagem consiste em
agrupar os escoamentos em determinados tipos, cada um dos quais com suas
características comuns, e estuda-los por métodos próprios.
Na classificação hidráulica, os escoamentos recebem diversas conceituações em função
de suas características, tais como: laminar, turbulento, unidimensional, bidimensional,
rotacional, irrotacional, permanente, variável, uniforme, variado, livre, forçado, fluvial,
torrencial, etc.
O escoamento é classificado como laminar quando as partículas movem-se ao longo de
trajetórias bem definidas, em lâminas ou camadas, cada uma delas preservando sua
identidade no meio. Neste tipo de escoamento, é preponderante a ação da viscosidade do
fluido no sentido de amortecer a tendência de surgimento da turbulência. Em geral, este
escoamento ocorre em baixas velocidades e ou em fluidos muito viscosos.
Como na Hidráulica o líquido predominante é a água, cuja viscosidade é relativamente
baixa, os escoamentos mais frequentes são classificados como turbulentos. Neste caso,
as partículas do líquido movem-se em trajetórias irregulares, com movimento aleatório,
produzindo uma transferência de quantidade de movimento entre regiões da massa
líquida. Esta é a situação mais comum nos problemas práticos da Engenharia.
O escoamento unidimensional é aquele em que as suas propriedades, como pressão,
velocidade, massa específica, etc., são funções exclusivas de somente uma coordenada
espacial e do tempo, isto é, são representadas em termos de valores médios da seção.
Quando se admite que as partículas escoem em planos paralelos segundo trajetórias
idênticas, não havendo variação do escoamento na direção normal aos planos, o
escoamento é dito bidimensional.
Se as partículas do líquido, numa certa região, possuírem rotação em relação a um eixo
qualquer, o escoamento será rotacional ou vorticoso; caso contrário, será irrotacional.
No caso em que as propriedades e características hidráulicas, em cada ponto do espaço,
forem invariantes no tempo, o escoamento é classificado de permanente; caso contrário,
é dito ser não permanente ou variável.
Escoamento uniforme é aquele no qual o vetor velocidade, em módulo, direção e
sentido, é idêntico em todos os pontos, em um instante qualquer, ou, matematicamente,
∂V/∂s=0, em que o tempo é mantido constante e ∂s é um deslocamento em qualquer
direção. No escoamento de um fluido real, é comum fazer uma extensão deste conceito,
mesmo que, pelo princípio de aderência, o vetor velocidade seja nulo nos contornos
sólidos em contato com o fluido. De forma mais prática, o escoamento é considerado
uniforme quando todas as seções transversais do conduto forem iguais e a velocidade
média em todas as seções, em um determinado instante, for a mesma. Se o vetor
velocidade variar de ponto a ponto, num instante qualquer, o escoamento é dito não
uniforme ou variado.
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O escoamento é classificado em superfície livre, ou simplesmente livre, se, qualquer que
seja a seção transversal, o líquido estiver sempre em contato com a atmosfera. Esta é a
situação do escoamento em rios, córregos ou canais. Como característica deste tipo de
escoamento, pode-se dizer que ele se dá necessariamente pela ação da gravidade e que
qualquer perturbação em trechos localizados pode dar lugar a modificações na seção
transversal da corrente em outros trechos.
O escoamento em pressão ou forçado ocorre no interior das tubulações, ocupando
integralmente sua área geométrica, sem contato com o meio externo. A pressão exercida
pelo líquido sobre a parede da tubulação é diferente da atmosférica e qualquer
perturbação do regime, em uma seção, poderá dar lugar a alterações de velocidade e
pressão nos diversos pontos do escoamento, mas sem modificações na seção transversal.
Tal escoamento pode ocorrer pela ação da gravidade ou através de bombeamento.
O escoamento turbulento livre costuma ser subdividido em regime fluvial, quando a
velocidade média, em uma seção, é menor que um certo valor crítico, e regime
torrencial, quando a velocidade média, em uma seção, é maior que um certo valor
crítico.
1.6. Equação de Continuidade. Descarga
Consideremos a veia líquida representada na Fig. (1.2). O peso de líquido que, num
dado tempo dt, atravessa a seção S1 é o mesmo que, durante esse tempo, atravessa a
seção S2, porque, sendo o líquido incompressível, não pode haver concentração ou
diluição do conjunto das moléculas e nem há acréscimo ou subtração de matéria à
corrente (o sistema é conservativo).
Figura 1.2.
Chamemos de
γ - o peso específico do líquido (constante)
V1 – a velocidade média na seção A;
V2 – a velocidade média na seção B.
Temos
dP ' = γ ⋅ S1 ⋅ V1 ⋅ dt = γ ⋅ S 2 ⋅ V2 ⋅ dt
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sendo dP ' o peso líquido escoado através de cada seção. Como dt é o mesmo nos dois
termos e as seções podem ser quaisquer, desde que normais à direção da velocidade,
podemos escrever
P = ρ ⋅ S ⋅ V = constante
(1.6)
que é chamada equação de continuidade.
P é o peso escoado na unidade de tempo que, por sua vez, é igual à massa escoada na
unidade de tempo, mɺ , multiplicada pela aceleração g da gravidade, o que permite
escrever:
mɺ =
γ
g
⋅ S ⋅ V = costante
(1.7)
e
Q = S ⋅ V = constante
(1.8)
sendo Q o volume escoado na unidade de tempo através de qualquer seção normal do
canal.
Dá-se a
P
o nome de descarga em peso ou fluxo em peso (grandeza empregada no
escoamento de gases e vapores);
mɺ
o nome de descarga em massa (grandeza empregada no estudo das
turbomáquinas), também representada como µ ;
Q
o nome de descarga em volume, ou simplesmente descarga, fluxo, vazão ou
débito (grandeza empregada no escoamento de líquidos).
ea
Unidades de descarga:
m3 ⋅ s −1 ; l s ; m3/h; galão/min; pé cúbico por segundo ( cfs ) ⋅1 cfs = 28,321⋅ s −1 .
1.7. Forças Exercidas por
Escoamento Permanente
um
Líquido
em
Consideremos a veia líquida limitada por paredes de material qualquer ou pelo próprio
líquido em movimento, uma vez que, não se podendo interpenetrar, as trajetórias que
envolvem a veia se constituem em uma parede.
Nesta veia (Figura 1.3), imaginemos que as seções inicial a0b0 e final a1b1 sejam
planas e inclinadas em relação à linha média. A resultante do sistema de forças que o
líquido, escoando da seção inicial à final, exerce sobre as paredes da veia é dada pela
Eq. (1.9), conforme se demonstra em Hidrodinâmica.
F = P + p0 ⋅ S0 + p1 ⋅ S1 + mɺ ⋅V0 − mɺ ⋅V1
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(1.9)
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Figura 1.3.
Assim, o sistema de forças que um líquido em escoamento permanente exerce sobre as
paredes de uma veia ou de um dispositivo, no interior do qual escoa, é equivalente ao
sistema constituído pelas seguintes cinco forças finitas:
1ª. Peso P do líquido contido na veia considerada, força vertical, atuando de cima
para baixo e aplicada no centro de gravidade da massa líquida.
2ª. Força de pressão p0 ⋅ S0 , normal à seção de entrada, aplicada no seu centro de
gravidade e dirigida de fora para dentro, sendo p0 a pressão unitária e S0 a área
da seção.
3ª. Força de pressão p1 ⋅ S1 , análoga à precedente, mas aplicada na seção de saída e
também dirigida de fora para dentro.
4ª. Força mɺ ⋅ V0 , resultante da velocidade, produto desta pela massa escoada na
unidade de tempo, aplicada no centro de gravidade da seção de entrada,
tangenciando a linha média, e dirigida de fora para dentro, isto é, com a direção
e o sentido da velocidade.
5ª. Força mɺ ⋅ V1 , análoga à anterior, aplicada na seção de saída e de sentido
contrário ao da velocidade. E a chamada força de reação.
A força de reação é a responsável pelo funcionamento das chamadas máquinas de
reação, tanto hidrodinâmicas quanto a gás, e pela propulsão dos foguetes; e suas
aplicações no campo da Hidrodinâmica e da Aerodinâmica são muito importantes.
Para se obter a resultante, soma-se geometricamente o peso P com as forças de pressão
p0 ⋅ S0 e p1 ⋅ S1 , e as devidas às velocidades em 0 a 1, isto é, mɺ ⋅ V0 e mɺ ⋅ V1 .
1.8. Energia Cedida por um Líquido em Regime de
Escoamento Permanente
Consideremos uma veia líquida em escoamento permanente vencendo certas
resistências que podem ser passivas (atritos, turbilhonamentos, etc.), ou outras, como as
oferecidas pelo rotor de uma máquina motriz (turbina).
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14
Tomemos desta veia (Figura 1.4) um elemento limitado pelas faces planas ab e a’b’ que
formam com o plano normal à linha média um ângulo α.
Sejam:
γ – o peso específico do líquido;
p0 – a pressão reinante na face a0b0;
p1 – a pressão reinante na face a1b1;
h0 – a cota do centro de gravidade da seção de entrada a0b0, contada a partir de
um plano tomado como referência;
h1 – a da seção de saída a1b1;
g – a aceleração da gravidade.
Figura 1.4 – Desnível energético entre as seções S0 e S1.
Procedendo-se ao estudo da ação das forças sobre um elemento de massa líquida e
fazendo-se a integração para a seção inicial S0 e a seção final, chega-se à conclusão de
que o trabalho T efetuado nem tempo finito t pelo peso P = γ ⋅ Q ⋅ t escoando entre as
referidas seções da veia líquida é dado pela expressão.

P V2 
P V 2 
T = γ ⋅ Q ⋅ t  h0 + 0 + 0  −  h1 + 1 + 1   = P ⋅ H
γ 2g  
γ 2g 

(1.10)
onde
P ⋅t = γ ⋅Q ⋅t
é o peso do líquido escoado no temo t, e H representa a grandeza entre colchetes,
diferença entre dois trinômios cujas parcelas têm um significado próprio e de grande
importância.
H = h0 +
P0
γ
+
V0 2 
P V2 
−  h1 + 1 + 1 
2g 
γ 2g 
(1.11)
Consideremos os termos da Eq. (1.10) sem os índices.
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H = h+
P V2
+
= cte
γ 2g
(1.12)
A equação acima exprime o teorema de Bernoulli, para líquidos perfeitos e regime
permanente, na qual a carga total H, por unidade de peso do líquido, é constante ao
longo de cada trajetória.
a) Ph Energia de posição
O termo Ph representa o trabalho que o peso P do líquido, situado a uma cota h, acima
do plano de referência, pode realizar, se abandonado à ação da gravidade. A essa
capacidade de realizar trabalho que o peso possui denomina-se energia de posição,
energia potencial de altitude, ou energia topográfica total.
Se P estiver a uma cota – h e, portanto, abaixo do plano de referência, é necessário
despender uma energia Ph para elevá-lo ao plano.
Quando P for igual à unidade, a energia de posição, em kgm, será expressa pelo mesmo
número que mede, em metros, a cota acima do plano de referência, e, por isso, h é
chamado de altura representativa da posição ou energia potencial específica.
b) P ⋅
p
γ
Energia de pressão
O termo P ⋅ p γ representa o trabalho que o peso P, de líquido de peso específico γ ,
pode realizar quando submetido à pressão p. A essa capacidade denomina-se energia
potencial de pressão. Então, um elemento líquido, de peso específico γ quando
submetido à pressão p, pode elevar-se, no vácuo, a uma cota p γ sob a ação dessa
pressão. O termo p γ que é homogêneo a um comprimento, é denominado altura
representativa de pressão, altura de pressão estática, energia específica de pressão,
cota piezométrica ou piezocarga.
Ele representa a altura de urna coluna líquida, de peso específico γ , supostamente em
repouso, e que exerce sobre sua base uma pressão unitária p, não estando sua
extremidade superior submetida a pressão alguma.
E comum, porém, nos casos correntes, vir a ter-se uma coluna líquida de altura h em
contato com a atmosfera, como acontece na maioria das tubulações de recalque nas
instalações de bombas, e desejar-se saber a pressão na base da coluna. Chamando de p a
pressão na base e pb a pressão atmosférica ou barométrica, podemos escrever:
p = γ ⋅ h + pb
A altura representativa da pressão será, neste caso,
p
γ
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=h+
pb
γ
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 M ⋅ LT −2   M ⋅ LT −2 
=
÷
= [ L]
γ
 L2 
 L3 
p
O segundo termo do 2° membro pb γ é a altura representativa da pressão atmosférica,
que passaremos a designar por H b . É também chamada de altura barométrica.
Donde
p
γ
= h + Hb
(1.13)
c) Energia cinética
O termo P ⋅ V 2 2 g representa o trabalho que o peso P de líquido, dotado de velocidade
inicial V, é capaz de realizar, elevando-se no vácuo a uma altura igual a V 2 2 g acima
do plano de referência.
A essa capacidade denomina-se energia cinética ou energia de velocidade.
O termo V 2 2 g homogêneo de um comprimento é denominado altura representativa
da velocidade, altura de pressão dinâmica, energia atual ou taquicarga. Ele representa
também a altura a que se elevaria, no vácuo, um corpo pesado que fosse lançado
verticalmente com velocidade inicial V.
2
−1
V 2  LT 
=
= [ L]
2 g  LT −2 
Figura 1.5 – Representação da pressão em altura de coluna de líquido.
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1.9. Queda Hidráulica. Altura de Elevação
Da expressão (1.10), tiramos

P0 V0 2  
T
P1 V12 
= H =  h0 + +
 −  h1 + +

P
γ 2g  
γ 2g 

(1.14)
em que o 1° membro representa o trabalho realizado ou a energia cedida pela unidade
de peso do líquido escoado ao longo do canal ou do dispositivo considerado.
A grandeza convencionalmente designada por H é denominada queda hidráulica ou
energia específica sempre que o líquido realiza trabalho ou cede energia, e altura de
elevação quando o líquido ganha energia ou sobre ele se executa um trabalho, como
ocorre nas máquinas hidráulicas geratrizes (bombas).
A grandeza H representa, em kgm, a energia cedida ou recebida por 1 kgf do líquido ao
atravessar o canal ou dispositivo; no primeiro caso, no sentido da seção ab para a seção
a’b’ e, no segundo caso, em sentido contrário.
Quando o líquido cede energia, o valor do trinômio é maior na entrada do que na saída
e, ao contrário, quando recebe energia, o que é evidente.
1.10. Perdas de Carga
A grandeza H, quando representa energia cedida pelo líquido em escoamento devido ao
atrito interno, atrito contra as paredes e perturbações no escoamento, chama-se perda de
carga ou energia perdida, e se representa por J. Essa energia por unidade de peso de
líquido, em última análise, se dissipa sob a forma de calor. Na Figura (1.6) vemos
representadas a veia líquida, as linhas piezométrica e energética, as parcelas da energia
nas seções 0 e 1, e a perda de carga H entre as referidas seções, que também
representaremos por J 01 .
Figura 1.6 – Representação das linhas energética e piezométrica entre dois pontos de uma veia líquida.
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A determinação da perda de carga J pode ser realizada medindo-se o desnível
piezométrico entre os pontos nos quais se deseja conhecer a perda, supondo, no caso,
que V0 = V1 .
p − p1
J 01 = 0
γ
Figura 1.7 – Perda de carga entre os pontos 0 e 1 de um tubo horizontal.
1.11. Unidades de Pressão
As unidades de pressão usuais são as seguintes:
1 kgf ⋅ cm -2 = 104 kgf ⋅ m -2
= 1 atmosfera técnica (at) = 735,6 torr = 100 kPa
= 10 m.c.a. (metros de coluna de água)
= 32,85 pés de coluna de água
= 14,22 psi (lb/in2)
= 0,9678 atm = 9,81 N ⋅ cm −2
1 atmosfera normal (atm)
= 10,332 m.c.a. = H b
= 760 mm de Hg (mercúrio) = 14,969 psi = 29,22 in Hg
= 1,013 milibar
= 1,033 kgf ⋅ cm −2 = 101,325 kN ⋅ m −2
Atmosfera local ou pressão barométrica local é a atmosfera normal referida ao local.
1 Pascal = 1 N ⋅ m −2 = 10−6 bar
1 kPa (quilopascal) = 0,1 m.c.a., 1 m.c.a. = 10kPa
1 lb/pol.2 = 1 psi = 0,7 m.c.a. = 7 ×10−2 kgf ⋅ cm -2 = 2,31 pés c.a.
= 144 lb/pol.2 = 6.895 N ⋅ m −2 = 6.895 Pa
= 51,71 mm de Hg
= 0,068 atm
1 torr (Torricelli) = 1 mm de Hg = 0,001359 kgf ⋅ cm -2 = 0,01934 psi
1 bar = kgf ⋅ cm -2 × 0,98 = psi × 0, 689 = 105 N ⋅ m −2 = 14,504
1 m.c.a. = 1.000 mm.c.a. = 1.000 kgf ⋅ m −2 = 0,10 kgf ⋅ cm −2 = 1,422 psi
psia = Pressão absoluta em libras por polegada quadrada
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psig = Pressão manométrica ou relativa em libras por polegada quadrada
h( m.c. líquida ) =
(
)
γ ( kgf×m )
p kgf×m -2
-3
1 lb/pé2 = lb/ft2 = 1 psfoot = 47,88 N ⋅ m −2 = 47,88 Pa
1 in Hg = 25,4 mm Hg = 3.386 N ⋅ m −2
1 in H2O = 249,1 N ⋅ m −2
Pés de coluna de líq. = psi ⋅
144
w
sendo
w = peso específico em lb/pé cúbico.
1.12. Pressão Absoluta e Pressão Relativa
A superfície de um líquido a uma temperatura de 15°C, sujeita à pressão atmosférica, se
diz submetida a uma atmosfera. Se considerarmos a pressão atmosférica ao nível médio
do mar, essa pressão é de 10,33 m.c.a. ou 1,033 kgf ⋅ cm -2 , sendo, normalmente
chamada de pressão barométrica e representada, como vimos, por H b .
Se considerarmos a chamada atmosfera técnica, a pressão será de 10 m.c.a,
correspondente a 1 kgf ⋅ cm -2 , sendo, pois, muito pequena a diferença entre as duas.
Figura 1.8 – Pressão relativa e pressão absoluta.
A ausência total de pressão representa o vácuo absoluto. Pressões inferiores à
atmosférica são vácuos parciais, rarefações ou depressões.
Pressão relativa positiva é a diferença entre a pressão no ponto considerado e a pressão
atmosférica (ver Figura 1.8).
 p
 p
  =   − Hb
 γ  pos.  γ abs.
É medida com os manômetros, e por isso é denominada pressão manométrica.
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Pressão relativa negativa é a diferença entre a pressão atmosférica e a pressão no ponto
considerado. E chamada vácuo relativo.
 p
 p
  = Hb −  
 γ  neg .
 γ  abs.
É medida com os vacuômetros.
Pressão absoluta positiva é a soma da pressão relativa positiva lida no manômetro com
a pressão atmosférica.
 p
 p
  =   + Hb
 γ  abs.  γ  pos.
Pressão absoluta negativa é a diferença entre a pressão atmosférica e a pressão no
ponto considerado.
 p
 p
  = Hb −  
 γ  abs.
 γ neg .
Para obter seu valor, tem-se de subtrair do valor da pressão atmosférica o valor da
leitura obtida com o vacuômetro.
1.13. Influência do Peso Específico
Na Figura (1.9) acham-se representadas quatro colunas de líquidos diversos, produzindo
todas uma pressão de 10 kgf ⋅ cm -2 , acusada nos manômetros. As alturas de coluna
líquida correspondentes aos vários líquidos variam com o peso específico.
A instalação de bomba que acusasse no início do recalque p = 10 kgf ⋅ cm -2 no
manômetro indicaria que o líquido chegaria a alturas diferentes, conforme seu peso
específico (Figura 1.9).
Figura 1.9 – Altura de coluna líquida em função do peso específico do líquido.
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Specific weight e specific gravity
Specific weight (W), ou peso especifico ( γ ) de um líquido, é o peso da unidade de
volume desse líquido. Para a água a 20°C (68°F), é de 1 kgf/dm3, ou 62,3 lb de peso por
pé cúbico. Specific gravity (S), ou densidade (ρ) de um líquido, é a relação entre pesos
ou massas de volumes iguais de dois líquidos. Adota-se a água a 20°C como líquido de
referência. A densidade não tem unidade.
No sistema americano, W = 62,3 ⋅ S , de modo que, para se passar da pressão H em
lb/pol.2 (psi) para pés de coluna líquida de peso específico (W) ou densidade (S), tem-se:
H ( pés ) = psi
2, 31× 62,3 144
=
W
W
e
H ( pés ) = psi
2, 31
S
1.14. Exercício
Uma tubulação de recalque de bombeamento tem 50,8 cm de diâmetro (20”) e uma
curva de 90°. O líquido bombeado é óleo de densidade 0,850, e a descarga é de
0, 203 m 3 ⋅ s −1 . A perda de carga na curva é de 0,6 metro de coluna de óleo. A pressão na
entrada 1 é de 30 lb/pol.2. ( 30 × 0, 07 = 2,1 kgf ⋅ cm −2 ). Desprezando o peso de óleo,
determinar a força resultante exercida pelo óleo sobre a curva (Figura 1.10).
Figura 1.10 – Composição de forças exercidas pelo líquido numa curva.
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