Instituto Superior Técnico
Departamento de Matemática
1o semestre 14/15
2o TESTE DE ÁLGEBRA LINEAR
LEE, LEGI, LEIC-T, LERC
17 de novembro de 2014
Teste 201
Nome:
Número:
Curso:
O Teste que vai realizar tem a duração total de 60 minutos e consiste de sete problemas. Os
cinco primeiros são perguntas de escolha múltipla, pelo que deve assinalar a sua opção no primeiro
quadro abaixo. As resposta erradas descontam 1/10 da cotação indicada. Os restantes problemas
têm as cotações indicadas na segunda tabela abaixo.
Perg
Perg
Perg
Perg
Perg
1
2
3
4
5
2
2
3
3
3
Val
Val
Val
Val
Val
D
A
A
C
D
O quadro abaixo destina-se à correção da prova. Por favor não escreva nada.
Prob 6 3 Val
Prob 7 4 Val
NOTA FINAL:
1
Problema 1
Considere as matrizes




1 0 7
1 0 0
A = 0 1 0 , B = 0 0 1 .
0 0 1
0 1 0
Então a matriz inversa do produto das matrizes, ou seja (AB)−1 é igual a:


1 0 0
(A)  0 0 1
−7 0 0


1 −7 0
(B) 0 0 1
0 1 0


1 0 0
(C) 0 0 1
0 7 0


1 0 −7
(D) 0 0 1 
0 1 0
Assinale a sua opção no quadro da página 1 !
Problema 2
Sejam A, B e C matrizes invertı́veis, então a solução X para a equação matricial
(X − A)B = BC
é dada por:
(A) X = BCB −1 + A
(B) X = B −1 CB + A
(C) X = C + A
(D) X = BCB −1 − A
Assinale a sua opção no quadro da página 1 !
2
Problema 3
Identifique a matriz que permite executar a seguinte composição de transformações geométricas
2D, usando coordenadas homogéneas. Fazer uma translação em (−2, 2) e depois rodar em π/4
relativamente à origem.
√
√ 
√
2/2
−
2/2
−2
2
√
√
 2/2
(A)
2/2
0 
0
0
1
√
√

2/2
2/2
0
√
√
√
− 2/2
(B)
2/2 2 2
0
0
1
√

√
2/2
−
2/2
0
√
√
 2/2
(C)
2/2 0
0
0
1
√
√

2/2
−
2/2
−2
√
√
 2/2
(D)
2/2
2
0
0
1
Assinale a sua opção no quadro da página 1 !
3
Problema 4
Sejam A e B matrizes 4 × 4 tais que
detA = −1, detB = 2.
Indique a única afirmação que é sempre verdadeira.
(A) det(AT B) = 2
(B) det(2AB) = −4
(C) det(−AB) = −2
(D) det(AB)−1 = 1/2
Assinale a sua opção no quadro da página 1 !
Problema 5
Identifique o único conjunto que não define um subespaço de Pn , polinómios de grau menor
ou igual a n, para um determinado valor de n.
(A) Todos os polinómios em Pn tais que p(0) = 0.
(B) Todos os polinómios da forma p(t) = a + bt3 , com a, b ∈ R.
(C) Todos os polinómios de grau menor ou igual a 4.
(D) Todos os polinómios da forma p(t) = a + t3 , com a ∈ R.
Assinale a sua opção no quadro da página 1 !
4
Problema 6
Com base no Teorema das Matrizes Invertı́veis, enuncie em cada uma das alı́neas uma afirmação
(uma frase completa) que seja equivalente à afirmação:
A é uma matriz n × n invertı́vel,
(a) usando o conceito ”gerar”:
(b) completando a expressão ”a equação Ax = b”:
(c) usando o conceito ”injetiva”:
5
Problema 7
Seja u ∈ Rn tal que uT u = 1. Considere a transformação x 7→ P x, em que P = uuT , e a
transformação x 7→ Qx, em que Q = I − 2P.
(a) Mostre que P 2 = P .
(b) Mostre que P T = P .
(c) Mostre que Q2 = I.
(d) Para u = e1 ∈ R3 , deduza explicitamente as matrizes P e Q.
6