Instituto Superior Técnico
Departamento de Matemática
1o semestre 14/15
2o TESTE DE ÁLGEBRA LINEAR
LEE, LEGI, LEIC-T, LERC
17 de novembro de 2014
Teste 204
Nome:
Número:
Curso:
O Teste que vai realizar tem a duração total de 60 minutos e consiste de sete problemas. Os
cinco primeiros são perguntas de escolha múltipla, pelo que deve assinalar a sua opção no primeiro
quadro abaixo. As resposta erradas descontam 1/10 da cotação indicada. Os restantes problemas
têm as cotações indicadas na segunda tabela abaixo.
Perg
Perg
Perg
Perg
Perg
1
2
3
4
5
2
2
3
3
3
Val
Val
Val
Val
Val
D
C
D
B
D
O quadro abaixo destina-se à correção da prova. Por favor não escreva nada.
Prob 6 3 Val
Prob 7 4 Val
NOTA FINAL:
1
Problema 1
Considere as matrizes




1 0 0
0 1 0
A = 4 1 0 , B = 1 0 0 .
0 0 1
0 0 1
Então a matriz inversa do produto das matrizes, ou seja (AB)−1 é igual a:


0 1 0
(A) 1 −4 0
0 0 1


0 1 0
(B) 1 4 0
0 0 1


−4 1 0
(C)  0 1 0
0 0 1


−4 1 0
(D)  1 0 0
0 0 1
Assinale a sua opção no quadro da página 1 !
Problema 2
Sejam A, B e C matrizes invertı́veis, então a solução X para a equação matricial
C(B + X) = AC
é dada por:
(A) X = A − B
(B) X = ACA−1 − B
(C) X = C −1 AC − B
(D) X = A−1 C − B
Assinale a sua opção no quadro da página 1 !
2
Problema 3
Identifique a matriz que permite executar a seguinte composição de transformações 2D, usando
coordenadas homogéneas. Fazer uma translação em (−2, 2) e depois rodar em π/3 relativamente
à origem.
√


3/2
0
1/2
−
√
 3/2
(A)
1/2
0
0
0
1
√
√


1/2
3/2
−
3
−
1
√
√
− 3/2 1/2
(B)
3+1 
0
0
1
√


3/2
−2
1/2
−
√
 3/2
(C)
1/2
2
0
0
1
√
√


1/2
−
3/2
−
3
−
1
√
√
 3/2
(D)
1/2
− 3 + 1
0
0
1
Assinale a sua opção no quadro da página 1 !
3
Problema 4
Sejam A e C matrizes 4 × 4 tais que
detA = 1, detC = −1.
Indique a única afirmação que é sempre verdadeira.
(A) det(AC −1 )T = −2
(B) det(2AT C) = −16
(C) det(AC)−1 = 1
(D) det(A + C)−1 = 0
Assinale a sua opção no quadro da página 1 !
Problema 5
Identifique o único conjunto que não define um subespaço de Pn , polinómios de grau menor
ou igual a n, para um determinado valor de n.
(A) Todos os polinómios em Pn tais que p(t) = p(−t).
(B) Todos os polinómios da forma p(t) = at + bt3 , com a, b ∈ R.
(C) Todos os polinómios da forma p(t) = at2 , com a ∈ R.
(D) Todos os polinómios de grau exatamente igual a 4.
Assinale a sua opção no quadro da página 1 !
4
Problema 6
Com base no Teorema das Matrizes Invertı́veis, enuncie em cada uma das alı́neas uma afirmação
(uma frase completa) que seja equivalente à afirmação:
A é uma matriz n × n invertı́vel,
(a) usando o conceito ”linearmente independentes”:
(b) completando a expressão ”a equação Ax = 0”:
(c) usando o conceito ”sobrejetiva”:
5
Problema 7
Seja u ∈ Rn tal que uT u = 1. Considere a transformação x 7→ P x, em que P = uuT , e a
transformação x 7→ Qx, em que Q = I − 2P.
(a) Mostre que P 2 = P .
(b) Mostre que P T = P .
(c) Mostre que Q2 = I.
(d) Para u = e3 ∈ R3 , deduza explicitamente as matrizes P e Q.
6