INSTITUTO TECNOLÓGICO DE AERONÁUTICA
DIVISÃO DE ENGENHARIA MECÂNICA-AERONÁUTICA
MB-210: Probabilidade e Estatística
Lista 05:
Distribuições Notáveis Contínuas
Prof. Denise Beatriz Ferrari
[email protected]
2o Sem/2013
1. Seja X ∼ U (a, b).
(a) Determine a FDA de X.
(b) Seja [c, d] ⊂ [a, b]. Mostre que P [c < X ≤ d] = (d − c)/(b − a).
2. Seja X o tempo de execução (em minutos) de um programa submetido a um computador central. Se
um programa contiver pelo menos um “erro fatal”, não será executado (i.e., o tempo de execução vale
zero). Há ainda, um limite de um minuto para o tempo de execução máximo (ou seja, a execução
será interrompida ao final de um minuto, mesmo que não tenha sido finalizada). Considere a
seguinte FDA para a v.a. X:

0 , x<0



0.2 , x = 0
FX (x) =
(3x + c)/5 , 0 < x < 1



1 , x≥1
Calcule:
(a) A constante c.
(b) P [{X = 0} ∪ {X = 1}].
(c) fX (x|0 < X < 1).
3. De acordo com o teorema de Chebyshev (ref. Lista 02), a probabilidade de que uma v.a. qualquer
assuma um valor num raio de 3 desvios-padrão a partir da média vale 8/9. Se a distribuição de
uma v.a. X for N (µ, σ 2 ), qual o valor exato de P [µ − 3σ < X < µ + 3σ]?
4. Um engenheiro dirige todos os dias de sua casa até o escritório em que trabalha. O tempo médio
da viagem de ida é de 24 minutos, com desvio-padrão de 3,8 minutos. Considere que o tempo de
viagem seja normalmente distribuído.
(a) Qual a probabilidade de que o engenheiro leve pelo menos 1/2 hora para chegar ao trabalho?
(b) Se o escritório abre às 9:00h e ele sai de casa às 8:45h diariamente, qual o percentual dos dias
em que chega atrasado para o trabalho?
(c) Se ele sai de casa às 8:35h e o café da manhã é servido no escritório das 8:50h às 9:00h, qual
a probabilidade de que perca o café?
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2o Sem/2013
MB-210
Prof. Denise Ferrari
(d) Qual o menor tempo de viagem dentre os 15% das viagens mais lentas?
(e) Qual a probabilidade de que 2 das próximas 3 viagens levarão pelo menos 1/2 hora?
Resp.: (a) 0,0571; (b) 99,11%; (c) 0,3974; (d) 27,952 minutos; (e) 0,0092
5. A vida útil, em anos, de um determinado componente eletrônico tem distribuição exponencial com
vida média de 2 anos. Se 100 destes componentes são instalados em diferentes sistemas, qual é a
probabilidade de que no máximo 30 falharão no primeiro ano?
Resp.: 0,0352
6. Em uma pesquisa biomédica foi determinado que o tempo de sobrevivência, em semanas, de uma
cobaia exposta a radiação gama tem distribuição Gama, com parâmetros α = 5 e β = 10. Qual a
probabilidade de que o animal sobreviva mais do que 10 semanas?
Resp.: 0,815
7. A vida de um determinado dispositivo tem taxa de falhas de 0,01 por hora. A taxa de falhas é
constante e é possível aplicar a distribuição exponencial.
(a) Qual o tempo médio até que o dispositivo falhe?
(b) Qual a probabilidade de que 200 horas se passem até que se observe uma falha?
(c) Qual a probabilidade de que menos que 200 horas se passem antes que 2 falhas ocorram?
(d) Qual a média e variância para o tempo esperado até que duas falhas ocorram?
Resp.: (a) 100h; (b) 0,1353; (c) 0,594; (d) 200h e 20.000h
8. Um fabricante de televisores garante a restituição da quantia paga se qualquer t.v. apresentar
algum defeito grave no prazo de 6 meses a partir da compra. Os televisores produzidos são do
tipo A (comum) ou tipo B (luxo), que geram lucro, respectivamente, igual a 100 u.m. e 200 u.m.
caso não haja restituição. Caso haja restituição o prejuízo associado é de, respectivamente, 300
u.m. e 800 u.m. Suponha que o tempo para a ocorrência de algum defeito grave seja, em ambos
os casos, uma v.a. com distribuição normal com média igual a, respectivamente, 9 e 12 meses e
desvios-padrão de 2 e 3 meses. Se tivesse que planejar uma estratégia de marketing para a empresa,
você incentivaria as vendas dos aparelhos tipo A ou tipo B? Utilize argumentos probabilísticos.
9. Sabe-se que os hotéis e companhias aéreas sempre garantem reservas além de sua capacidade, para
assegurar lotação. Suponha que as estatísticas calculadas por um hotel mostrem que, em média,
10% dos clientes não respondem às reservas feitas. Se esse hotel aceitar 250 reservas e tiver somente
230 leitos, qual será a probabilidade de que todos os hóspedes que tiverem feito reservas consigam
quarto quando chegarem ao hotel?
Resp.: 0,8531.
10. Calcule o valor da mediana para a distribuição Exp(λ).
11. Seja Z ∼ N (0,1).
(a) Demonstre por que a simetria da f.d.p. φ de Z implica que, para qualquer que seja a, temos
Φ(−a) = 1 − Φ(a).
(b) Utilize o resultado do item (a) para calcular P [Z ≤ 2].
12. Suponha que um ponto é escolhido aleatoriamente no interior de um quadrado com vértices cujas
coordenadas valem (2, 1), (3, 1), (2, 2), (3, 2). A v.a. A representa a área do triângulo com vértices
em (2, 1), (3, 1) e o ponto escolhido.
(a) Qual a maior área A que pode ser obtida e qual o conjunto de pontos para os quais A ≤ 1/4?
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Prof. Denise Ferrari
(b) Determine a F.D.A. de A.
(c) Determine a f.d.p. de A.
13. Seja X ∼ U (−1, 1). Calcule P (|X| < 1/3||X| < 1/2).
14. Pneus de um determinado fabricante têm vida útil distribuída exponencialmente com média 10.000km.
Quantos pneus de reserva devem ser levados em uma viagem de 15.000km a fim de garantir com
60% de certeza de que não será necessário comprar mais pneus durante a viagem?
15. Seja X ∼ Exp(λ) e sejam s e t números positivos. Mostre que a v.a. X goza da propriedade de
“ausência de memória”:
P [X > s + t|X > s] = P [X > t]
Nota: Esta propriedade pode ser entendida a partir do seguinte exemplo: suponha que X seja o
tempo de espera de um elevador e suponha que você já tenha esperado por um tempo s = 3min. A
probabilidade de ter de esperar mais 2 minutos independe do tempo que já passou até este momento.
16. Um experimento psicológico foi conduzido com o objetivo de investigar como a percepção a respeito
da incerteza de determinados eventos muda para indivíduos, quando eles têm acesso a informações
adicionais. O experimento consistiu em os indivíduos indicarem as probabilidades dos eventos através do posicionamento de um ponteiro em uma escala contínua de 0 a 1. Considere a situação em
que um dos participantes do experimento não consiga formar uma opinião a respeito da probabilidade de um certo evento e que decida escolher a posição do ponteiro de forma aleatória, i.e., cada
ponto no intervalo (0,1) tem igual probabilidade de ser escolhido. Neste caso, qual a probabilidade
de que a razão entre os comprimentos do menor e do maior segmento seja menor que 1/4?
17. O chão da sala de uma costureira é revestido por longas tábuas de madeira de largura a. Uma
agulha de comprimento l < a cai das mãos da costureira de forma completamente aleatória. Mostre
que a probabilidade de que a agulha caia de forma a cruzar uma das emendas das tábuas vale
2l/(πa).
18. Na brincadeira de pau-de-sebo, um menino percebe que consegue subir a uma altura de pelo menos
1,85m, uma vez em cada 5 tentativas, e a uma altura de pelo menos 1,70m, em nove de dez tentativas.
Considerando que as alturas que ele alcança formam uma distribuição normal, calcule a média e
o desvio-padrão da distribuição. Que a altura pode-se esperar que o menino atinja em 1 de cada
1000 tentativas?
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