INSTITUTO TECNOLÓGICO DE AERONÁUTICA
DIVISÃO DE ENGENHARIA MECÂNICA-AERONÁUTICA
MOQ-13: Probabilidade e Estatística
Lista 03:
Valor Esperado
Prof. Denise Beatriz Ferrari
[email protected]
2o Sem/2011
1. A v.a. discreta X tem f.d.p. dada por
x 3−x
3
1
3
fX (x) =
,
x
4
4
x = 0, 1, 2, 3.
(a) Calcule a média de X.
(b) Qual o valor esperado da v.a. g(X) = X 2 ?
2. Seja X a v.a. com f.d.p. dada por
x
fX (x)
-3
6
9
1/6
1/2
1/3
2
Seja g(X) = (2X + 1)2 . Determine: (i) µg(X) ; e (ii) σg(X)
.
3. Sejam X e Y v.a.’s com f.d.p. conjunta dada por
4xy, 0 < x, y < 1,
fX,Y (x,y) =
0,
c.c.
Determine o valor esperado de Z =
√
X 2 + Y 2.
4. Seja X uma v.a. com desvio-padrão σX e Y = a + bX, outra v.a. Mostre que se b < 0, o coeficiente
de correlação ρXY = −1 e, se b > 0, ρXY = 1.
2
5. Se X e Y são v.a.’s independentes com variâncias σX
= 5 e σY2 = 3, qual a variância da v.a.
Z = −2X + 4Y − 3?
6. Repita o exercício anterior para o caso em que as v.a.’s não são independentes e σXY = 1.
7. (Teorema de Chebyshev) A probabilidade de qualquer v.a. X assuma um valor dentro do
intervalo de k desvios-padrão da média vale pelo menos 1 − 1/k 2 , isto é,
P [µ − kσ < X < µ + kσ] ≥ 1 −
Demonstre este resultado para X discreta.
1
1
.
k2
2o Sem/2011
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Prof. Denise Ferrari
8. Calcule P [µ − 2σ < X < µ + 2σ] para a v.a. X cuja f.d.p. é dada por
6x(x − 1), 0 < x < 1,
fX (x) =
0,
c.c.
Compare com o resultado dado pelo Teorema de Chebyshev, no exercício anterior, e interprete a
diferença nos resultados obtidos.
9. Um caminhão de entregas percorre todos os dias um trajeto do ponto A ao ponto B e retorna
usando a mesma rota. Há quatro semáforos no caminho. Sejam X1 a v.a. que representa o número
de sinais vermelhos encontrados pelo caminhão ao percorrer o trecho A → B e X2 a v.a. que conta
o número de sinais vermelhos encontrados no percurso de volta. Dados coletados durante um longo
período de tempo sugerem que a f.d.p. conjunta para (X1 , X2 ) é dada por
x2
x1
0
1
2
3
4
0
1
2
3
4
0,01
0,03
0,03
0,02
0,01
0,01
0,05
0,11
0,07
0,06
0,03
0,08
0,15
0,10
0,03
0,07
0,03
0,01
0,03
0,01
0,01
0,02
0,01
0,01
0,01
Calcule:
(a) A f.d.p. marginal de X1 ;
(b) A f.d.p. marginal de X2 ;
(c) A f.d.p. condicional de X1 dado que X2 = 3;
(d) E[X1 ];
(e) E[X2 ];
(f) E[X1 |X2 = 3];
(g) O desvio-padrão de X1 .
10. Seja
fX (x) =


cx
, 0≤x<2
c(4 − x) , 2 ≤ x ≤ 4 ,

0
, c.c.
c > 0.
(a) Represente fX graficamente.
(b) Calcule o valor da constante c que torna fX uma f.d.p.
(c) Calcule o valor da mediana, definida como sendo o ponto xm tal que
P [X ≤ xm ] ≤
1
2
e P [X ≤ xm ] ≥
1
.
2
(d) Calcule o valor do 99o. percentil, definido como sendo o ponto x0,99 tal que
P [X ≤ x0,99 ] ≤ 0,99.
2
2o Sem/2011
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Prof. Denise Ferrari
11. Seja X a v.a. definida pela f.d.p. P [X = ±k] = p, P [X = 0] = 1 − 2p, em que k é uma constante
positiva e 0 < p < 1/2.
(a) Calcule a média e a variância de X.
(b) Determine o valor de P [|X − µ| ≥ kσ].
(c) É possível encontrar um valor para p tal que P [|X − µ| ≥ kσ] =
1
k2 ?
12. Um prisioneiro encontra-se em uma cela com três portas. A primeira porta dá acesso a um túnel
que o levará de volta à cela após dois dias de viagem. A segunda porta dá acesso a um outro
túnel que o levará de volta para a sua cela após uma viagem de quatro dias. Finalmente, a terceira
porta o conduz à liberdade, após apenas um dia de viagem. O prisioneiro escolhe as portas 1, 2 e
3 com probabilidades 0,3, 0,5 e 0,2, respectivamente. Em quantos dias espera-se que o prisioneiro
atingirá a liberdade? Resolva o problema analiticamente e compare com resultados obtidos através
de simulação.
13. Considere um edifício com k andares acima do térreo, onde recebe N passageiros. Os passageiros
deixam o elevador independentemente uns dos outros, em algum dos k andares, com igual probabilidade. Seja X o primeiro andar (acima do térreo) em que o elevador pára para deixar um
passageiro.
(a) Mostre que P [X > n] = (1 − n/k)N , para n ≤ k − 1.
Nota: O evento X > n significa que nenhum passageiro desceu nos andares 1, 2, . . . , n.
(b) Calcule o valor esperado de X.
(c) Simule o problema para um edifício de 100 andares e 20 passageiros. Repita a simulação um
número suficientemente grande de vezes e registre o primeiro andar (acima do térreo) em que o
elevador parou para deixar um passageiro. Compare os resultados obtidos através de simulação
com o valor esperado calculado no item anterior.
3