XXX Olimpı́ada de Matemática da Unicamp
Instituto de Matemática, Estatı́stica e Computação Cientı́fica
Universidade Estadual de Campinas
Gabarito da Prova da Primeira Fase – Nı́vel Beta
1
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Questão 1
20 pontos
Um carpinteiro possui uma prancha de madeira com 80 cm de comprimento e 30 cm de
largura. Determine como deverá cortar essa peça em duas peças iguais de modo que juntas
formem uma peça com 120 cm de comprimento e 20 cm largura.
20 cm
Resolução
A peça de 80 × 30 centı́metros quadrados deve ser cortada como ilustra a figura abaixo.
40 cm
20 cm
40 cm
As duas peças estão ilustradas na figura abaixo.
40 cm
120 cm
2
20 cm
As duas peças devem ser encaixadas como ilustra a figura abaixo, formando uma peça de
120 × 20 centı́metros quadrados.
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Questão 2
20 pontos
De um retângulo cujos lados medem a e b centı́metros, com 0 < b ≤ a, são retirados dois
triângulos equiláteros cujos lados medem b centı́metros, como ilustra a figura abaixo. Entre
todas as figuras construı́das desse maneira, com perı́metro fixo medindo 20 centı́metros,
determine aquela de área máxima.
.........
.........
.........
.........
.........
.........
.........
.........
.........
.......
....
.........
.
.
.
.
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.
.
.
.
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......
.........
.........
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.
......
........
........
b
...
.........
.........
.
.
.
.
.
.
.
......
.........
.........
.
.
.
.
.
.
.
.
........
.........
...............
.........
.........
.........
.........
.........
.........
.........
.........
.......
a
Resolução
Vamos denotar por AT a área do triângulo equilátero, como indicado na figura acima, por
AR a área do retângulo e por AF a área da figura, isto é,
√
√
3 2
3 2
b , AR = ab
e
AF = ab −
b .
AT =
4
2
O perı́metro da região é dado por:
⇐⇒
P = 2a + 4b = 20
a = 10 − 2b .
Substituindo a = 10 − 2b na expressão de AF , obtemos
√
3 2
b
⇐⇒
AF = 10b − b2
AF = (10 − 2b)b −
2
√ !
4+ 3
.
2
Note que AF é uma função quadrática em b, cujo gráfico é uma parábola de concavidade
voltada para baixo, como ilustra a figura abaixo.
3
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Assim, a função AF possui um ponto de máximo. Observe também que a função AF possui
duas raı́zes dadas por:
20
√ .
b1 = 0
e
b2 =
4+ 3
Desse modo, o ponto de valor máximo da função AF é atingido no ponto bv dado por:
bv =
10
b1 + b 2
√ .
=
2
4+ 3
Portanto, o retângulo do qual obtemos a figura de área máxima possui as seguinte dimensões
√
10
20 + 10 3
√
√
b =
e
a =
.
4+ 3
4+ 3
4
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Questão 3
20 pontos
Determine um polinômio p de grau menor do que ou igual a dois de modo que
p(1) =
3
2
,
p(2) = 1
e
p(3) =
3
.
2
(1)
Esse polinômio é único?
Resolução
Considere um polinômio p(x) = a + bx + cx2 , e impondo as condições acima, obtemos o
sistema linear com três equações nas incógnitas a, b, c dado por:
c =
3
2
p(2) = a + 2b + 4c =
1
p(3) = a + 3b + 9c =
3
2
p(1) = a +
b +
Utilizando o processo de Escalonamento, operações elementares de linhas, obtemos o seguinte
sistema linear na forma escalonada, linha equivalente ao sistema linear acima,
a + b +
3
2
c =
b + 3c = −
2c =
1
2
1
cuja única solução é dada por:
a = 3
,
b = −2
e
c =
1
.
2
Assim, obtemos um único polinômio satisfazendo as condições dadas em (1)
p(x) = 3 − 2x +
5
1 2
x .
2
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Questão 4
20 pontos
Sejam a , b e c números reais. Construı́mos a matriz A de ordem 3×3 da seguinte forma:


1 a a2


A = 1 b b2  .
1 c c2
A transposta da matriz A é denominada matriz
associada aos números reais a , b e c , isto é,

1

t
V = A = a
a2
de Vandermonde, que denotamos por V ,

1 1

b
c 
b2 c 2 .
Mostre que o determinante da matriz de Vandermonde é dado por:
det(V ) = ( b − a )( c − a )( c − b ) .
Resolução
Sabemos que det(V ) = det(A). Assim, temos
1 a a 2 det(V ) = det(A) = 1 b b2 1 c c2 = bc2 + ab2 + ca2 − ba2 − ac2 − cb2
Somando e subtraindo abc na expressão acima, e agrupando adequadamente os termos,
obtemos
det(V ) = bc2 + ab2 + ca2 − ba2 − ac2 − cb2
= bc2 + ab2 + ca2 − ba2 − ac2 − cb2 − abc + abc
= c( bc + a2 − ac − ab ) − b( bc + a2 − ac − ab )
= ( c − b )( bc + a2 − ac − ab )
= ( c − b )[ c( b − a) − a( b − a ) ]
= ( c − b )( c − a )( b − a )
É importante observar que a opção de somar e subtrair abc é necessário pois esses termos
estão presente no desenvolvimento da expressão que desejamos obter para o det(V ) e que
não tinha na expressão inicial.
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Questão 5
20 pontos
Seja o paralelepı́pedo retângulo ABCDEF GH, como na figura abaixo, com M e N pontos
médios das arestas BF e DH, respectivamente. Considere AB = 8 cm, BC = 4 cm e
CG = 6 cm.
(a) Determine a tangente do ângulo formado pelos segmentos M N e M H.
(b) Determine o raio e a posição do centro do cı́rculo que passa pelos vértices A, E, C, G.
(c) Descreva a seção do paralelepı́pedo ABCDEF GH pelo plano determinado pelos pontos
O, P, B, onde O e P são os pontos médios das arestas EH e HG, respectivamente.
Desenhe a seção no paralelepı́pedo.
(d) Determine a razão entre o volume do sólido ABCDV , onde V é um ponto qualquer
no interior do retângulo EF GH, e o volume do paralelepı́pedo ABCDEF GH.
(e) Quantos e quais são os planos de simetria do paralelepı́pedo?
(f ) Desenhe os planos de simetria destacando as seções que cada um determina no paralelepı́pedo e descreva essas seções.
Resolução
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cH. O triângulo HN M é retângulo com ângulo reto no vértice
(a) Seja α o ângulo N M
N . Logo,
HN
tan α =
,
MN
onde
HN =
6
CG
=
= 3 ,
2
2
M N = BD
e (BD)2 = (AB)2 + (AD)2 .
√
Logo, (BD)2 = 82 + 42 = 80, ou seja, BD = 4 5.
Portanto,
tan α =
3
HN
= √ .
MN
4 5
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(b) Como AECG é retângulo, o centro do cı́rculo que passa por A, E, C, G é o ponto X
encontro de suas diagonais, como ilustra a figura abaixo.
O raio r do cı́rculo passando por A, E, C, G é metade da diagonal AG do paralelepı́pedo.
Assim,
r =
Como AC
√ =
AG = 2 29.
AG
2
e
(AG)2 = (AC)2 + (CG)2 .
BD , (AC)2 = 80 pelo item (a) e (AG)2 = 80 + 62 = 116. Logo,
Portanto,
√
AG
= 29 .
2
(c) Seja π o plano determinado pelos pontos O, P, B. O plano π contém a reta OP , assim
o segmento OP da face EF GH do paralelepı́pedo está neste plano. A reta paralela a OP
passando por B está contida no plano π e intersecta as retas AD e DC nos pontos I e J,
respectivamente. Assim, as retas OI e P L estão em π e, consequentemente os segmentos
OK e P L, respectivamente das faces ADHE e DCGH do paralelepı́pedo estão no plano
π. Como os pontos K e B pertencem ao plano π e a face ABF E do paralelepı́pedo, o
segmento BK está contido na seção. Da mesma forma, os pontos B e L pertencem ao
plano π e a face BCGF do paralelepı́pedo e, assim, o segmento BL está contido na seção.
r =
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Portanto a seção do paralelepı́pedo determinada pelo plano π é o pentágono (região pentagonal) OP LBK, como ilustra a figura abaixo.
(d) O sólido ABCDV é a pirâmide ABCDV de base o retângulo ABCD e altura V V 0 ,
onde V 0 é o pé da perpendicular baixada de V na base ABCD. Como V V 0 = CG, o
volume da pirâmide Vpi é dado por:
Vpi =
1
1
Ab V V 0 = Ab CG ,
3
3
onde Ab é a área da base ABCD do paralelepı́pedo.
O volume Vp do paralelepı́pedo ABCDEF GH é Vp = Ab CG, pois CG é a altura do
paralelepı́pedo.
Assim, a razão entre o volume da pirâmide e o volume do paralelepı́pedo é dada por:
Vpi
1
=
.
Vp
3
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(e) São três os planos de simetria do paralelepı́pedo.
π1 : plano paralelo às faces ADHE e BCGF passando por P .
π2 : plano paralelo às faces ABF E e DCGH passando por O.
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π3 : plano paralelo às faces ABCD e EF GH passando por M e N .
(f ) A seção determinada pelo plano π1 é o retângulo P IJK, onde P, I, J, K são os pontos
médios das arestas HG, EF, AB, DC, respectivamente.
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A seção determinada pelo plano π2 é o retângulo OLQR, onde O, L, Q, R são os pontos
médios das arestas EH, AD, BC, F G, respectivamente.
A seção determinada pelo plano π3 é o retângulo N SM T , onde N, S, M, T são os pontos
médios das arestas DH, AE, BF, CG, respectivamente.
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