376
Capítulo12:IntegraisMúltiplas
y
.'
FIGURA12.23 No Exemplo 6, encontramos
o centróide da região mostrada aqui.
x
Solução Esboçamos a região e incluímos detalhes suficientes para determinar os limites de integração (Figura 12.23). Fazemos então (, igual a 1 e
resolvemos as fórmulas apropriadas da Tabela 12.1:
,I
l
M =
fOrf
l
.I
~
1
II'""
Mx
x
1 dy dx =
f
I
I
o [y]~:~ dx =
I
x
2
f
o (x - X2)dx =
3
l
- ~
=[ ~2306
J
1
Y=X
y2
=
fo fr y dy dx = fo [ "2J y=r dx
=
f
'~
,'"
I~:~~
I
~I!'
I,
,
I
I'
~I
J
~t
,1
u
I
l
[~ - ~a
(~2 - ~4) dx =
x
/5
~
I
3
I
My = fo fr x dy dx = fo [xy]~:~ dx = fo (X2- X3)dx = [~
4
-
l
1
~ J o = 12'
A partir desses valores de M, Mx e My, encontramos
.
.1
My
x=-=-=M
1/12
1/6
1
2
y
e
Mx
1/15_l.
= M = 176 -
5'
~I
O centróide é o ponto (1/2, 2/5).
.i
1I
~':..._--
'1'-- -
- ---- '-- .:
1
EXERCICIOS12.2
Área por Integração Dupla
Nos exercícios1-8, esbocea regiãolimitadapelas retas e curvas
dadas.Depoisexpressea área da regiãocomouma integraldupla
iteradae calculea integral.
1. Os eixos coordenados e a reta x + y
-l
4. A parábola x = y
e a reta y = x + 2.
-l e a retay = -x.
S. A curva y = li' e as retas y = O,x = Oe x = ln 2.
6. As curvas y = ln x e y = 2ln x e a reta x = e, no primeiro quadrante.
7. As parábolas x =
l
8. As parábolas x = l-I
ex
6
9.
= 2.
2. As retasx = O,Y = 2x e y = 4.
3. A parábolax =
curva-limite com sua equação e dê as coordenadas dos pontos onde
há intersecção das curvas. Depois encontre a área da região.
= 2y - l.
e x = 2y2 - 2.
ff
o l/3 dx dy
10.
cos x
'TT'4
11.
3
~'
fo f
sen x
ff
As integrais e somas de integrais nos exercícios 9-14 fornecem as
áreasde regiõesno planoxy. Esboce cadaregião,identifiquecada
dy dx
Y+2
f-I fl
dx dy
2
ff
o
14. f f
dy dx + f f
o x2-4
o o
l-x
-I -2x
dy dx +
2
l-x
o -xl2
4
dy dx
yi;:
dy dx
Valores Médios
15. Encontre o valor médio de f(x, y) = sen(x + y) sobre:
(a) O retângulo 0:5 X :5 1T,
Identificando a Região de Integração
o -x
2
12.
dy dx
o
13.
ff
~~
0:5 Y :5 1T
(b) O retângulo O :5x :5 1T, 0:5 Y :5 1T12
16. O que você acha que será maior, o valor médio def(x, y) = xy
sobre o quadrado O :5 X :5 1, O :5 Y :5 1 ou o valor médio def
12.2 Áreas,Momentos e Centrosde Massa
sobre o quarto de círculo X2 + y2 ::; 1 no primeiro quadrante?
Calcule-os para descobrir.
17. Encontre a altura média do parabolóide z = X2 + y2 sobre o
quadrado O::; x ::; 2, O::; y ::; 2.
18. Encontre o valor médio def(x, y) = 1I(.xy)sobre o quadrado ln 2
::;x ::; 2 ln 2, ln 2 ::; y ::; 2 ln 2.
Densidade Constante
19. Encontrandoo centrode massa Encontre o centro de massa de
uma placa fina de densidade 8 = 3 limitada pelas retas x = O,Y
= x e pelaparábolay = 2 - X2no primeiro quadrante.
20. Encontrandomomentos de inérciae raiosde rotação Encontre os
momentos de inércia e os raios de rotação em relação aos
eixos coordenados de uma placa retangular fina de densidade
constante 8 limitada pelas retas x = 3 e y = 3 no primeiro
quadrante.
21. Encontrandoum centróide Encontre o centróide da região no
primeiro quadrante limitada pelo eixo x , pela parábola l = 2x
e pela reta x + y = 4.
22. Encontrandoum centróide Encontre o centróide da região triangular cortada d.oprimeiro quadrante pela reta x + y = 3.
23. Encontrandoum centróideEncontre o centróide da região semicircular limitada pelo eixo x e pela curva y = ~.
24. Encontrandoum centróide A área da região no primeiro quadrante limitada pela parábola y = 6x e pela reta y = x é
r
125/6 unidades quadradas. Encontre o centróide.
25. Encontrando um centróide Encontre o centróide da região cortada do primeiro quadrante pela circunferência X2 + y2 = a2.
26. Encontrando um centróide Encontre o centróide da região entre
o eixo x e o arco y = sen x, O.::; x ::; 'TT.
27. Encontrandomomentos de inércia Encontre o momento de inércia em relação ao eixo x de uma placa fina de densidade 8 = 1
limitada pela circunferência + y2 = 4. Depois use seu resul-
r
tado para encontrar
377
parábola x = 4l se 8(x, y) = 5x.
33. Encontrandoum centro de massa Encontre o centro de massa de
uma placa triangular fina limitada pelo eixo y e pelas retas
y = x e y = 2 - x se 8(x, y) = 6x + 3y + 3.
34. Encontrandoum centrode massae momento deinércia Encontre o
centro de massa e o momento de inércia em relação ao eixo x
de uma placa fina limitada pelas curvas x = y2 e x = 2y - l
se a densidade no ponto (x, y) for 8(x, y) = y + 1.
'I>
35. Centro de massa, momento de inércia e raiode rotação Encontre o centro de massa, o momento de inércia e o raio de rotação
em relação ao eixo y de uma placa fina retangular cortada
do primeiro quadrante pelas retas x = 6 e y = 1 se 8(x, y)
=x+y+1.
36. Centrode massa,momento de inérciae raiode rotação Encontre o
centro de massa, o momento de inércia e o raio de rotação em
relação ao eixo y de uma placa fina limitada pela reta y = 1 e
pela parábola y = X2se a densidade for 8(x, y) = y + 1.
37. Centrode massa,momentode inérciae raiode rotaçãoEncontre o
centro de massa, o momento de inércia e o raio de rotação em
relação ao eixo y de uma placa fina limitada pelo eixo x, pelas
retas x = :!:1 e pela parábola y = X2se 8(x, y) = 7y + 1.
38. Centrode massa,momento de inérciae raiode rotaçãoEncontre o
centro de massa, o momentq de inércia e o raio de Iotação
em relação ao eixo x de uma placa fina retangular limitada
pelas retas x = O,x = 20, y = -1 e y = 1 se 8(x, y) = 1 +
(xI20).
39. Centrode massa,momentosde inércipe raiosde rotação Encontre
o centro de massa, o momento de inércia e os raios de rotação
em relação aos eixos coordenados e o momento de inércia
polar e o raio de rotação de uma placa fina triangular limitada
pelasretasy = x,y = -xey = 1se 8(x,y) = y + 1.
40. Centro de massa, momentos de inércia e raio de rotação Repita o
Exercício39 para 8(x,y) = 3r + 1:
Iy e 10 para a placa.
28. Encontrandoum momento de inércia Encontre o momento de
inércia em relação ao eixo y de uma folha fina de densidade
constante 8 = 1 limitada pela curva y = (sen2 x)/x2 e pelo
intervalo 'TT::; X ::; 2'TTdo eixo x.
29. Ocentróide de uma regiãGinfinita Encontre o centróide da região
infinita no segundo quadrante limitada pelos eixos coordenados e pela curva y = eX. (Use integrais impróprias nas fórmulas de massa e momento.)
30. Oprimeiromomento de uma placa infinita Encontre o primeiro
momento em relação ao eixo y de uma placa fina de densidade
ô(x,y) = 1 que cobre a região infinita sob a curva y = e-~/2 no
primeiro quadrante.
DensidadeVariável
31. Encontrando um momento de inércia e o raio de rotação Encontre
o momento de inércia e o raio de rotação em relação ao eixo x
de uma placa fina limitada pela parábola x = y - l e pela reta
x + y = Ose 8(x, y) = x + y.
32. Encontrandoa massa Encontre a massa de uma placa fina que
ocupa a região menor cortada da elipse X2 + 4l = 12 pela
Teoriae Exemplos
41. Populaçãode bactériasSe f(x, y) = (lO.OOOeY)/(l + 1x 1/2)
representar a 'densidade populacional' de um certo tipo de
bactéria no plano .xy, onde x e y são medidos em centímetros,
encontre a população total de bactérias dentro do retângulo
-5::; x::; 5 e -2::; y::; O.
42. População
regionalSef(x, y) = 1O0(y+ 1)representara densidade populacional de uma região plana na Terra, onde x e. y
são medidos em milhas, encontre o número de pessoas na
região limitada pelas curvas x = y2 e x = 2y - y2.
43. Projeto de um eletrodoméstico Quando fazemos o projeto de um
eletrodoméstico, uma das preocupações é que seja difícil de
tombar. Quando inclinado para o lado, ele voltará à posição
normal desde que seu centro de massa esteja do lado certo do
apoio, o ponto no qual o aparelho se equilibra. Suponha que o
perfil de um aparelho de densidade aproximadamente constante seja parabólico, como um rádio antigo. Ele preenche a região
O ::; y ::; a(l - r), -1 ::; x ::; 1, no plano .xy (veja a figura a
seguir). Quais valores de a garantirão que o aparelho terá que
ser inclinado mais que 45 graus para tombar?
\
378
Capítulo 12: Integrais Múltiplas
IL = Ic.m. + mh2.
y
Essa equação fornece uma maneira rápida de calcular um
momento quando o outro momento e a massa são conhecidos.
49. Provado Teoremado EixoParalelo
(a) Mostre que o primeiro momento de uma placa fina e plana
em relação a qualquer reta no plano da placa que passe
pelo centro de massa desta é zero. (Dica: Coloque o centro de massa na origem com a reta ao longo do eixo y. O
que a fórmula x = MyIM então lhe diz?)
x
44. Minimizandoum momento de inérciaUma placa retangular de
densidade constante 8(x, y) = 1 ocupa a região limitada pelas
retas x
=4ey
= 2 no primeiro quadrante. O momento de inér-
cia Iado retângulo em relação à reta y = a é dado pela integral
(b) Use o resultado do item (a) para deduzir o Teorema do
Eixo Paralelo. Considere que o plano tenha coordenadas
tais que a reta Lc.m.seja o eixo y e L seja a reta x = h. Depois expanda o integrando da integral para ILpara reescrever a integral como a soma de integrais cujos valores você
reconheça.
50. Encontrandomomentos deinércia
Ia
= f04f02
(a) Use o Teorema dos Eixos Paralelos e os resultados do
Exemplo 4 para encontrar os momentos de inércia da
placa no Exemplo 4 em relação às retas vertical e horizontal que passam pelo centro de massa da placa.
(y - a)2'dy dx.
11:
Itli!
I
'~'
!II
II
I
.1
li.
III
I~f
.
Encontre o valor de a que minimiza Ia.
45. Centróidede regiãonão limitadaEncontre o centróide da região
infinita no plano xy limitada pelas curvas y = 1r~
,
y = -1/~
e pelas retas x = O,x = 1.
46. Raiode rotaçãode uma varafina Encontre o raio de rotação de
uma vara fina de densidade linear constante 8 g/cm e comprimento L cm em relação a um eixo:
(a) Que passa pelo centro de massa da vara e é perpendicular
ao eixo desta.
(b) Perpendicular
extremidades.
ao eixo
~
da
vara
em uma
de suas
.'
47. (Continuação do Exercício 34) Uma placa fina de densidade
agora constante 8 ocupa a região R no plano xy limitada pelas
curvas x = y2 e x = 2y - y2.
(b) Use os resultados do item (a) para encontrar os momentos
de inércia em relação às retas x = 1 e y = 2.
Fórmulade Pappus
Pappus sabia que o centróide da união de duas regiões planas não
sobrepostas está no segmento de reta que une os centróides individuais dessas regiões. Mais especificamente, suponha que mI e lnJ.
sejam as massas das placas finas PIe P2 que cobrem regiões não
sobrepostas no plano xy. Sejam CI e C2os vetores que vão da origem aos respectivos centros de massa de PI e P2.Então o centro de
massa da união PI U P2das duas placas é determinado pelo vetor
c=
mIcI + m2c2
m I + m2
(a) Densidade
'constanteEncontre 8 tal que a placa tenha a
mesma massa que a placa do Exercício 34.
(b) Valormédio Compare o valor de 8 encontrado no item (a)
com o valor médio de 8(x, y) = y + 1 sobre R.
48. Temperaturamédiano TexasDe acordo com o Texas Almanac, o
Texas tem 254 condados e uma estação do Serviço Nacional
de Meteorologia em cada condado. Considere que no instante
to cada uma das 254 estações meteorológicas registrou a temperatura local. Encontre uma fórmula que daria uma aproximação razoável para a temp~ratura média no Texas no instante to.
Sua resposta deve envolver informações que se espera que
estejam disponíveis no Texas Almanac.
Teoremado Eixo Paralelo
Seja Lc.m.uma reta no plano xy que passa pelo centro de massa de
uma placa fina de massa m que cobre uma região no plano. Seja
L uma reta no plano paralela a Lc.m.e a uma distância de h unidades desta. O Teorema do Eixo Paralelo diz que, sob essas condi-
ções,os momentosde inércia h e Ic.m. da placa em relação a L e
Lc.m.satisfazem a equação
.
(9)
A equação (9) é conhecida como Fórmula de Pappus. Para mais
do que duas placas não sobrepostas, desde que seu número seja
finito, a fórmula é generalizada para
c=
mIcI + m2c2+
mI + m2 +
... + mnCn
...+ mn
(10)
Essa fórmula é especialmente útil para encontrar o centróide de
uma placa de formato irregular feita de pedaços de densidade constante cujos centróides conhecemos da geometria. Encontramos o
centróide de cada pedaço e aplicamos a equação (10) para encontrar o centróide da placa.
51. Deduza a fórmula de Pappus (equação (9». (Dica: Esboce as
placas como regiões no primeiro quadrante e identifique o
centro de massa de cada uma delas como (XI,YI) e (X2,Y2)'
Quais são os momentos de P I U P2 em relação aos eixos
coordenados ?)
52. Use a equação (9) e indução matemática para mostrar que a
equação (10) é verdadeira para qualquer inteiro positivo n > 2.
53. Sejam A, B e C os formatos indicados na Figura 12.24a. Use a
fórmula de Pappus para encontrar o centróide de
.
12.3
(a) A U B
(b) A U C
(c) B U C
(d) A U B U C.
54. Localizandoo centro de massa Localize o centro de massa do
esquadro na Figura 12.24b.
'.Y
5
4
3
~11+-l,5
12
1}J: "'b1reltau1tt:
2
4
(a)
7
x
"1"!
56. Um triângulo isósceles T de altura h tem sua base em um lado
de um quadrado Q cujas arestas têm comprimento s. (O quadrado e o triângulo não se sobrepõem.) Que relação devem ter
h e s para que o centróide de TU Q fique na base do triângulo?
Compare esta resposta com a resposta do Exercício 55.
pol
(7,2)
O
379
55. Um triânguloisóscelesT tembase2a e alturah.A baseencontra-se ao longo do diâmetro de um disco semicircular D de raio
a de tal maneira que os dois juntos têm um formato parecido
com um sorvete de casquinha. Que relação devem ter a e h
para que o centróide de T U D fique na fronteira comum de Te
.Y'Cp-ol)
t
Integrais Duplasna Forma Polar
2
O
24 . x (pol)
(b)
FIGURA
12.24 As figuras para os exercícios 53 e 54.
l1li
Integrais Duplas na Forma Polar
Integrais em CoordenadasPolares.
EncontrandoLimitesde Integração
Mudando Integrais Cartesianaspara Integrais Polares
.
As integrais algumas vezes são mais fáceis de calcular se mudarmos para coordenadas polares. Esta seção mostra como fazer a mudança e como calcular integrais sobre regiões cujas fronteiras são dadas por equações polares.
Integrais
em Coordenadas
Polares
Quando definimos a integral dupla de uma função sobre uma região R no plano
xy, começamos cortando R em retângulos cujos lados eram paralelos aos eixos
coordenados. Estes eram os formatos naturais para usar porque seus lados têm
valores constantes de x ou y. Em coordenadas polares, o formato natural é um
'retângulo polar' cujos lados têm valores constantes de r e o.
Suponha que uma função f(r, O)seja definida sobre uma região R que é
limitada pelos raios O = a e O = {3 e pelas curvas contínuas r = gl(O) e
r = g2(O).Suponha também que O :::;gI(O) :::;g2(O):::;a para todo valor de O
entre a e {3.Então R está em uma região com formato de leque Q definida pelas
desigualdades O:::;r:::;a e a :::;O:::;{3.Veja a Figura 12.25.
I
I
I
,
8
=
7T'
o
8=0
FIGURA
12.25 A região R: gl(O) :::;r:::;g2(0), a:::; O:::;{3,está contida na região
em formato de leque Q: O :::;r:::;a, a :::;O:::;{3.A divisão de Q por arcos circulares e raios induz uma divisão de R.
I
I