PUC - Goiás
Curso: Arquitetura
Disciplina: Esforço nas Estruturas
Corpo Docente: Geisa Pires
Plano de Aula
Turma:-----------
Data: ------/--------/----------
Leitura obrigatória
Mecânica Vetorial para Engenheiros, 5ª edição revisada, Ferdinand P. Beer, E. Russell Johnston, Jr.
Editora Pearson
CAPÍTULO 5 – Forças Distribuídas:
Centróides
P  P1  P2  ...  Pn (Força em z)
1. Introdução
Até aqui sempre supusemos que a atração exercida
pela Terra sobre um corpo rígido poderia ser
representada por uma única força P. Essa força,
chamada peso do corpo, é aplicada no centróide
(ou centro de massa) do corpo. A Terra realmente
exerce uma força sobre cada um dos pontos
materiais que formam o corpo. A ação da Terra
sobre um corpo rígido deve ser representada por
um grande número de pequenas forças distribuídas
por todo o corpo. Contudo, veremos neste capítulo
que todas essas pequenas forças podem ser
substituídas por uma única força equivalente P.
Aqui aprenderemos também a determinar o centro
de massa, ou seja, o ponto de aplicação da
resultante P, para corpos de diferentes formas.
Para obter as coordenadas x e y do ponto G, onde
a resultante P deve ser aplicada, escrevemos que os
momentos P em relação aos eixos y e x são iguais
à soma dos momentos correspondentes dos pesos
elementares:
2. Centro de Gravidade de um Corpo
Bidimensional
M
M
Consideremos, inicialmente, uma placa
horizontal (figura abaixo). Podemos dividir
essa placa em n pequenos elementos. As
coordenadas do primeiro elemento são
denominadas x1 e y1 , as do segundo elemento,
x 2 e y 2 etc. As forças exercidas pela Terra
sobre os elementos da placa são denominadas
P1 , P2 ,..., Pn , respectivamente. Essas forças
ou pesos estão orientados em direção ao centro
da Terra. Porém, para todas as finalidades
práticas, elas podem ser consideradas paralelas.
Sua resultante é, por conseguinte, uma única
força na mesma direção. O módulo P dessa
força é obtido obviamente pela adição dos
módulos dos pesos elementares:
y
:
xP  x1P1  x2 P21  ...  xn Pn
x
:
yP  y1P1  y2 P21  ...  yn Pn
No caso de uma placa homogênea de espessura
uniforme, o módulo.
P  tA
  peso específico (peso por unidade de volume)
do material
t  espessura da placa
A  área do elemento
1
Analogamente, podemos exprimir o módulo P do
peso da placa inteira na forma
3. Cargas Distribuídas Sobre Vigas
O conceito de centróide de uma superfície pode ser
utilizado para resolver outros problemas, além dos
referentes ao peso de placas planas. As situações
com vigas suportando uma carga distribuída são
exemplos disso.
P  tA
Onde A é a área total da placa.
Assim, substituindo P e P na equação de
momentos e dividindo por t , escrevemos:
Primeiramente, consideraremos que a carga total a
que uma viga está submetida é exatamente igual à
área abaixo da curva de distribuição de carga.
M y :
xA  x1A1  x2 A2  ...  xn An
Considere o exemplo abaixo:
M
y A  y1A1  y 2 A2  ...  y n An
x
:
Exemplo: Determine a carga total, a posição da
resultante e as reações no apoio da viga para a
condição de carregamento dada
Em resumo, se temos uma placa na qual podemos
identificar formas de áreas diferentes, podemos
calcular o centróide da placa como um todo
identificando o centróide de cada elemento de área.
A tabela 1 abaixo mostra centróides de formas
comuns de superfícies.
.
4. Forças Sobre Superfícies Submersas
Outro exemplo do uso de momentos estáticos e
centróides de áreas é obtido pela consideração das
forças exercidas sobre uma superfície retangular
submersa em um líquido.
Utilizando o fato de que uma parede submersa está
submetida à pressão da água, esta dependendo da
2
altura como já visto em “Fluidos”, nos dá uma
carga distribuída em N/ m2. O procedimento dos
cálculos das reações é similar ao caso de uma viga
submetida a carga distribuída.
Exemplo: A figura mostra a seção transversal de
um dique de concreto. Considerar a seção do dique
com 1,00 m de espessura e determinar:
a) A resultante das forças reativas exercidas
pelo solo sobre a base AB do dique.
b) A resultante das forças de pressão exercidas
pela água sobre a face BC do dique.
Dados: Peso específico do concreto
 C  23,5  103 N / m 3
Peso específico da água
 A  9,81 103 N / m 3
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Exercícios
4 – R:
X  127mm
Y  127mm
Determine a posição do centróide da superfície
plana da figura:
1 – R:
X  82mm
Y  70mm
Determine as reações nos apoios das vigas para as
condições abaixo:
5 – R: A = 3,15 kN(para cima) e MA = 585 N.m
(anti – horário)
2 – R:
X  70mm
Y  60mm
6 – R: A = 2,04 kN(para cima), B = 8,16 kN(para
cima)
3 – R:
X  16mm
Y  32mm
7 – R: A = 6,86 kN(para cima), B = 1,76 kN(para
cima)
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8 – A figura abaixo mostra a seção de uma represa
de concreto. Considere uma seção de 1 m de
espessura e determine:
a) A resultante das forças de reação do solo
sobre a base AB da represa
b) A resultante das forças devidas à pressão da
água na face BC da represa.
R: H=99,3 KN
V = 324 KN
R=105 KN (18,4 °)
9 - A figura abaixo mostra a seção de uma represa
de concreto. Considere uma seção de 1 m de
espessura e determine:
a) A resultante das forças de reação do solo
sobre a base AB da represa
b) A resultante das forças devidas à pressão da
água na face BC da represa.
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