Shannon
Prof V Vargas, IST
19/02/10, Pg 1/2
Shannon
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1.  Uma linha de transmissão com largura de banda 100 kHz tem perdas de 20 dB. A potência do sinal que
alimenta a linha é 0,5 watt. A potência do ruído, medido na saída da linha, é de 2,5 µwatt. Nestas condições,
determine o máximo ritmo binário que pode esperar obter nesta linha.
Resolução:
Conforme ao teorema de Shannon, o ritmo máximo
que pode obter-se de uma linha é:
CMax=B log2 (1 + S / N) bps
em que B é a largura de banda da linha e S e N são as
potências respectivamente do sinal e do ruído à saída
da linha. São conhecidos B=100 kHz e N=2,5 µwatt;
falta então calcular S. Para o efeito, usa-se a informação: as perdas da linha são 20 dB. O decibel, db, remete
para uma variação relativa de potência em unidades logarítmicas:
10 log 10 (POutput/PInput) = -20,
que conduz sucessivamente a:
10 log 10 (POutput/0,5) = -20
log 10 (POutput/0,5) = -2
POutput/0,5=10-2
POutput=0,5*10-2=5*10-3
A resposta à questão proposta encontra-se por uma substituição trivial na expressão de CMax:
-3
-6
CMax= 105 log2 (1 + 5*10 / (2,5*10 )) bps = 105 * log2 2001 bps = 1,0966505452 Mbps
2.  Pretende-se transmitir sobre uma linha de transmissão com largura de banda 100 kHz. A potência do sinal
que alimenta a linha é 0,5 watt. A potência do ruído, medido na saída da linha, é de 2,5 µwatt. Qual a maior
atenuação aceitável, em dB, para se poder transmitir ao rtmo de, ao menos, 1 Mbps?
R: 10 log10 POutput /0,5, em que POutput satisfaz 100.000 log2 [1+ POutput /(2,5*10-6)] = 1 * 106
3. Considere um canal de 3kHz em que a relação sinal-ruído é de 20 dB; será possível transmitir um sinal binário
ao ritmo de 5 Kbps?
Nota: recorde os teoremas de Nyquist e de Shanon, que relacionam o ritmo máximo de transmissão de dados de
um canal, CMax, com a largura de banda (B), o número de símbolos usados (L) e a relação sinal ruído (S/N):
C = 2 B log2 L bps e CMax= B log2 (1 + S / N) bps.
4. [08E1.17] Uma Biblioteca electrónica contém 10 milhões de livros digitalizados. A área de texto ocupa 6*6
polegadas em cada página; a densidade de digitalização é de 300 bit/polegada (vertical e longitudinal).
Considere que a Biblioteca está sendo acedida por 1000 utilizadores; cada um requere uma nova página ao
ritmo de uma por minuto. A largura de banda do canal de ligação à Internet é de 100 MHz.
4. 1. Qual o ritmo binário mínimo que deve ter a ligação ?
4. 2. Qual a relação Sinal/Ruído mínima que pode ser tolerada?
4. 3. Admita que a probabilidade de erro num bit é de BER=10-9. Qual deve ser o tamanho máximo que os
pacotes podem ter de modo que a probabilidade de um erro num pacote, PER, não exceda 9*10-5 ? Admita
que os erros são independentes entre si e estão uniformemente distribuídos.
2
R1: 1000*(6*300) /60=54 Mbps;
0,54
R2: 10log10(S/N)=10 log10(2 -1) dB, pois
CMax < B log2 (1+S/N) → 54 * 106 < 100 * 106 log2 (1 + S/N) → 0,54 < log2 (1 + S/N) → S/Nmín=20,54-1
R3: 90 kbit, pois PER=1-(1-BER)L ≈ L*BER → 9*10-5 < L*10-9
5. [08E3.15] Pretende-se estabelecer a ligação entre dois computadores, através de um cabo. Suponha que, através
de medição, o ruído à saída do mesmo é de 1 µW.
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5. 1. Sabendo que a largura de banda suportada pelo cabo é de 1.5 MHz, qual a potência necessária à saída do
cabo que permite uma capacidade de transmissão máxima de 15 Mbps? [0.5]
5. 2. Suponha agora que a atenuação do cabo é de 0.6 dB/Km e que a potência máxima que se pode injectar à
entrada é de 4 W. Qual a distância máxima entre os dois computadores que permite cumprir com o ritmo
pretendido? [0.5]
Ra: CMax=B log2 (1 + S / N) bps → 15 * 106 < 1,5 * 106 log2 (1+S/10-6) → (210-1)*10-6 < S → S > 1,023 mW
-3
Rb: [10*log10(1,023*10 /4)]/[-0,6] k
6. [08E2.15] Pretende-se estabelecer a ligação entre dois computadores, através de um cabo. Suponha que, através
de medição, o ruído à saída do mesmo é de 2 µW.
6. 1. Supondo que a potência disponível à saída do cabo é de 1 mW, qual deverá ser a largura de banda mínima
suportada pelo cabo, para uma capacidade de transmissão máxima de 10 Mbps ?
6. 2. Suponha agora que se pretendia transmitir a um ritmo máximo de 20 Mbps no cabo referido na alínea a)
(em particular, sujeito às mesmas condições de ruído e largura de banda). Suponha também que a atenuação
do cabo é de 0.5 dB/Km e que a potência máxima que se pode injectar à entrada é de 3 W. Qual a distância
máxima entre os dois computadores que permite cumprir com o ritmo pretendido?
6. 3. Suponha que, devido a limitações físicas na instalação, o cabo vai ter um comprimento que corresponde ao
triplo do valor determinado em b) (para garantir o ritmo máximo de 20 Mbps). Que problemas surgirão neste
novo cenário e qual a solução que proporia para os ultrapassar?
6. 4. Suponha que os computadores trocam tramas com comprimento 200 bytes. Se a probabilidade de erro de
bit for Pe=10-6, qual é a probabilidade de duas tramas consecutivas chegarem com erros ao receptor?
6
-3
-6
R1: B>10/log2(501) Mhz, pois CMax<Blog2(1+S/N) → 10*10 <Blog2(1+10 /(2*10 )
R2: 10log10(3/[(5012-1)*2*10-6]), pois 20*106=107/log2(501)log2(1+S/N) → 2*log2(501)=log2(1+S/N) →
2
501 =1+S/N
R3: A atenuação triplica → a potência disponível à saída do cabo diminui → não será possível atingir o ritmo
máximo de 20 Mbps.
Solução: intercalar amplificador(es) com ganho total não inferior ao dobro da atenuação na alínea b)
-6 1600 2
R4: [1-(1-10 ) ] , pois:
-6
Probabilidade de um bit não estar errado: 1-10 ;
Probabilidade de uma trama não estar errada: probabilidade de os 200*8=1600 bits da trama não estarem
errados: (1-10-6)1600;
-6 1600
Probabilidade de uma trama estar errada: 1-(1-10 )
Probabilidade de as duas tramas estarem erradas: [1-(1-10-6)1600]2
7. [02T1] Considere um canal cuja relação sinal/ruído no receptor monta a 30 dB. Qual o número máximo de
níveis de sinalização que o canal poderá comportar?
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R: 2 B log2 NMax ≤ B log2 (1+S/Noise), com 10 log10 S/Noise=30 ⇒ NMax = (1+10 )