Capítulo 9
Potência em circuitos
trifásicos
9.1. Potências aparente e ativa
em carga trifásica
Duas cargas trifásicas: Y e ∆ .
a
b
c
Za
a
Zab
Zb
n
Zc
b
Zca
Zbc
c
(b)
REGRA BÁSICA (GENÉRICA):
A potência total fornecida a uma
carga trifásica é igual à soma
das potências em cada impedância
da carga.
CARGA Y:
S 3Yφ = S a + S b + S c = Û an ⋅ Î A∗ + Û bn ⋅ Î B∗ + Û cn ⋅ Î C∗
Carga ∆:
∗
∗
∗
S 3∆φ = S ab + S bc + S ca = Û ab ⋅ Î ab
+ Û bc ⋅ Î bc
+ Û ca ⋅ Î ca
LEMBRETE:
TENSÕES de FASE e de LINHA:
Û an = U f ∠0 o
Û ab = U l ∠30o
V
Û bn = U f ∠ − 120 o
o
Û
=
U
∠
−
90
V
bc
l
Û cn = U f ∠120 o V
Û ca = U l ∠150o
U l = 3 ⋅U f
NOTAÇÃO: O subscrito
V
V
V
.
f represen-
ta valor de fase e o subscrito l
representa valor de linha.
A letra maiúscula sem acento
corresponde ao valor eficaz, e,
a letra maiúscula com acento
circunflexo corresponde ao fasor
da grandeza elétrica.
Para cargas equilibradas:
Z = Z ∠φ Ω
CARGA Y:
Û an
Î A =
= Il∠ − φ
Z
A
Û bn
= I l ∠( −φ − 120 o )
Î B =
Z
A
Û cn
Î C =
= I l ∠( −φ + 120 o )
Z
A
S 3Yφ = U f ∠0 o ⋅ I l ∠φ + U f ∠ − 120 o ⋅ I l ∠( φ + 120 o ) + U f ∠120 o ⋅ I l ∠( φ − 120 o )
S 3Yφ
Ul 
= 3.U f .I l ∠φ = 3.
.I l ∠φ = 3 .U l .I l ∠φ
 3
S 3φ = 3 .U l .I l ∠φ VA
VA
Carga ∆:
Û ab
Î ab =
= I f ∠( 30 o − φ ) A
Z
Û bc
Î bc =
= I f ∠( −90 o − φ )
A
Z
Î ca
S 3∆φ
Û ca
=
= I f ∠( 150 o − φ )
Z
A
 Il 
= 3.U l .I f ∠φ = 3.U l .
∠φ = 3 .U l .I l ∠φ
 3
VA
S 3φ = 3 .U l .I l ∠φ VA
Para cargas trifásicas
equilibradas em Y ou ∆
S 3φ = 3 .U l .I l ∠φ VA
φ é o ângulo da impedância da carga
Potências ativa e reativa trifásicas:
P3φ = 3 .U l .I l .cosφ W
Q3φ = 3 .U l .I l . sen φ VA
Exemplo 9.2
Fonte trifásica •13,8 kV• alimenta uma
carga equilibrada em Y com impedância
• ZC = 200 + j50 Ω por fase através de uma
linha de transmissão com impedância
Z LT = j10 Ω por fase.
linha de
transmissão
carga
A
ZLT
a
Zc
B
ZLT
b
Zc
ZLT
c
Zc
fonte
C
N
13,8kV
n
Obter:
a) a corrente de linha;
b) a tensão na carga e a queda de tensão
na linha;
c) a potência aparente entregue à carga;
d) a potência aparente fornecida pela
fonte;
e) as potências ativa e reativa consumidas
pela linha;
f) o fator de potência da carga e o fator
de potência visto pela fonte.
Solução:
a)Como a carga é equilibrada, pode-se
calcular somente as tensões e correntes
para
uma
das fases. As tensões e
correntes das outras fases podem ser
obtidas levando em conta as defasagens
apropriadas, já que seus valores eficazes
são os mesmos.
Û AN =
13,8
3
∠0 o kV
Corrente na fase A:
Î A =
Û AN
= 38,16∠ − 16,7o A
ZC + Z LT
b) Tensão de fase na carga:
Û an = Z C ⋅ Î A = 7 ,87∠ − 2,66o kV
Queda de tensão na linha de transmissão:
Û LT = Û AN − Û an = 381,6∠73,3o V
ÛAN
2,66o
16,7o
ÛLT
Ûan
ÎA
Diagrama fasorial da fase A
c) Potência aparente na carga:
S C = 3.U an .I A = 900 ,5 kVA
d) Potência aparente na fonte:
S F = 3.U AN .I A = 912 kVA
e) Potência complexa na linha de
transmissão:
S LT = 3.Û LT .Î ∗A = 43,7∠90o kVA
PLT = 0
QLT = 43,7 kVA
A perda de potência na linha corresponde a
pouco mais de 4% da potência fornecida
pela fonte.
O fator de potência da carga é igual ao
cosseno do ângulo de defasagem entre a
tensão da fase A e a corrente na fase A :
[
]
[
]
fp c arg a = cos ∠Û an − ∠Î A = cos ( −2,66 o ) − ( −16,7 o ) = 0 ,970
e também corresponde ao cosseno do ângulo
da impedância da carga, ou seja:
fp c arg a
 −1  X C
= cos tg 

 RC


50 
 = cos tg −1 
 = 0 ,970
 200 


Fator de potência na fonte:
(
)
(
)
fp fonte = cos ∠Û AN − ∠Î A = cos ( 0 o ) − ( −16,7 o ) = 0,958
Como a impedância da linha é
puramente indutiva, o fator de
potência visto pela fonte é
menor do que o fator de potência
da carga.
9.2. Medição de potência ativa
em circuitos trifásicos
Circuito trifásico a 4 fios (Y-4fios)
carga
A
a
Za
B
b
Zb
C
c
Zc
N
n
fonte
A potência ativa total na carga
é igual à soma das potências
ativas em cada impedância:
P3φ = PA + PB + PC = U AN ⋅ I A cos φ A + U BN ⋅ I B cos φ B + U CN ⋅ I C cos φC
φA, φB e φC são os ângulos das impedâncias
A potência ativa consumida pela
impedância da fase
A
é obtida
através
da
colocação
de
um
wattímetro:
carga
A
ÎA
a
Za
A
V
fonte
ÛAN
N
n
Se outros dois wattímetros forem
ligados
às
outras
fases
da
carga, a potência ativa total
será dada pela soma das leituras
dos três wattímetros.
Em particular, se a carga for
Y-equilibrada, basta um único
wattímetro, o qual medirá um
terço da potência total, e
assim multiplica-se a leitura
por três para obter a potência
ativa trifásica consumida.
carga
A
ÎA
a
A
V
fonte
ÛAN
N
n
Za
Circuito trifásico a 3 fios (∆
∆ ou Y-3fios)
A ligação dos wattímetros é feita como mostra a
figura abaixo.
Não havendo conexão entre o neutro da
carga e o neutro da fonte, o ponto
comum das bobinas de potencial dos
wattímetros ( ponto O) terá um potencial arbitrário.
As indicações dos três wattímetros
correspondem a:
P3 = Re Û CO ⋅ Î C∗
P1 = Re{Û AO ⋅ Î A∗ }
P2 = Re{Û BO ⋅ Î B∗ }
{
}
No material didático está demonstrado que
a soma das leituras dos três wattímetros
fornece
a
potência
ativa
trifásica
entregue à carga, independentemente do
potencial do ponto O.
Como o potencial do ponto O não tem
influência no resultado final, pode-se
atribuir a ele um potencial em particular.
Pode-se conectar o ponto O
a uma das
fases, como por exemplo, na fase B .
Neste caso, o wattímetro 2, passará a
indicar potência nula, pois não haverá
diferença de potencial aplicada em sua
bobina de potencial.
O wattímetro 2 pode
circuito. Compare:
ser
retirado
do
No
material
didático
está
demonstrado que a soma das leituras
dos dois wattímetros também fornece
a potência ativa trifásica entregue
à carga.
Em geral, a potência ativa total
entregue a uma carga com n fios
pode
ser
obtida
através
da
utilização de (n-1) wattímetros.
O teorema de Blondel formaliza
o chamado método dos ( n-1 )
wattímetros:
“Se a energia é fornecida a uma
n
carga polifásica através de
fios, a potência total na carga é
dada
pela
soma
algébrica
das
leituras de n wattímetros, ligados
de tal maneira que cada um dos n
fios
contenha
uma
bobina
de
corrente de um wattímetro, estando
a
correspondente
bobina
de
potencial ligada entre este fio e
um ponto comum a todas as bobinas
de potencial, o ponto O. Se este
ponto estiver sobre um dos n fios,
bastam (n-1) wattímetros.”
ANALISE:
PORQUE O TERMO
ESTÁ
DESTACADO
TEOREMA?
soma algébrica
NO
TEXTO
DO
Dependendo da característica da carga
e, portanto, dos ângulos de defasagem
entre as tensões e correntes, nos
wattímetros analógicos, os ponteiros
podem defletir à esquerda do ZERO.
Bornes da
Bobina de
Potencial
(BP)
Bornes da
Bobina de
Corrente
(BC)
Chave seletora do
Fundo de escala
Wattímetro Eletrodinâmico
Procedimento prático:
Com o circuito energizado:
• inverter a ligação da bobina de
potencial do(s) wattímetro(s) em
que há essa tendência;
• atribuir
sinal
negativo
à(s)
respectiva(s) leitura(s) e
• realizar
a
soma
algébrica
das
leituras dos wattímetros, sendo que
a potência ativa trifásica da carga
corresponderá ao valor absoluto do
resultado dessa soma.
9.3. Medição da potência reativa em
circuitos trifásicos
A potência reativa total de uma
carga trifásica é igual à soma
das potências reativas de cada
fase, e pode ser medida através
de wattímetros convenientemente
conectados.
COMPARE:
No material didático está
demonstrado que
Q3φ =
1
3
[L1 + L2 + L3 ]
em que L1 , L2 e L3 são as leituras
dos três wattímetros.
Note que a soma das três leituras é
3 vezes maior que a potência
reativa total Q3φ .
PRIMEIRA PARTICULARIDADE:
Se a carga for equilibrada, os
três termos da expressão de
Q3φ serão iguais e somente um
wattímetro é necessário.
Por
exemplo,
utilizando-se
apenas
o
wattímetro
W1,
a
potência
reativa
total
corresponderá a:
Q3φ =
1
3
[L1 + L2 + L3 ] =
1
3
[3 ⋅ L1 ] =
3 ⋅ L1
ou seja, a potência reativa
total em uma carga equilibrada é
3
vezes
wattímetro.
a
leitura
de
um
SEGUNDA PARTICULARIDADE:
Trata-se de um cálculo prático da
Potência Reativa em Carga Equilibrada.
Se o método dos dois wattímetros
estiver sendo utilizado para a medição
de
potência
ativa
em
cargas
equilibradas,
é
possível
obter
a
potência reativa total utilizando a
mesma conexão.
No material didático está demonstrado:
P3 − P1 = U l ⋅ I l ⋅ sen φ =
Q3φ
3
É possível então obter o ângulo da
impedância da carga:
 Q3φ
φ = tg 
 P3φ
−1 

 3 (P3 − P1 ) 
−
1
 = tg 


 P1 + P3 

9.4 Demanda e curva de carga
A potência ativa consumida por
uma
instalação
elétrica
é
extremamente variável e é função
do número de cargas ligadas e da
potência consumida por cada uma
delas, a cada instante.
Para a análise de uma instalação
é mais conveniente trabalhar com
o valor médio da potência.
Utiliza-se a demanda (D), que é
o valor médio da potência ativa
(P) em um intervalo de tempo ∆t
especificado
(no
Brasil
é
oficializado
o
intervalo
de
tempo de 15 minutos), isto é:
1 t + ∆t
D=
P .dt
∫t
∆t
Figura 9.16 – Definição de demanda
A área entre a curva P(t) e o eixo
dos tempos é, evidentemente, a
energia consumida pela instalação
no intervalo considerado.
A área hachurada é a energia
consumida durante ∆t,isto é,
E = D.∆t
E
Chamamos de curva de carga a curva
que dá a demanda em função do
tempo,
D=D(t),
para
um
dado
intervalo de tempo T.
Curva de carga
Na realidade, a curva é a união dos
pontos médios das bases superiores
dos retângulos de largura ∆t.
Para o intervalo T, a ordenada
máxima da curva define a demanda
A
energia
total
máxima
DM.
consumida no período (ET) será
medida pela área entre a curva e
o eixo dos tempos, isto é:
T
ET = ∫0 D .dt
A demanda média Dm é definida como
a altura de um retângulo cuja base
é o intervalo T e cuja área é a
energia total ET, ou seja:
ET
Dm =
T
Curva de carga e potência instalada
ESTUDAR EXEMPLO 9.7 NO MATERIAL DIDÁTICO
9.5
Medição da energia elétrica
O instrumento que possibilita esta
medição
é
o
medidor
de
energia
elétrica, popularmente conhecido como
relógio de luz.
No material didático tem uma descrição
dos
principais
componentes
deste
instrumento.
DESTAQUE:
Mostrador do medidor de energia elétrica
•
O ponteiro de cada relógio gira
no sentido crescente dos números;
• A leitura deve ser iniciada pelo
relógio
localizado
à
direita
(relógio 1) que corresponde à casa
das unidades, sendo que no relógio
2 tem-se a dezena; no 3 a centena
e no 4 o milhar;
•
Anote
o
número
que
está
exatamente sendo indicado ou o
último número ultrapassado pelo
ponteiro de cada um dos relógios;
Repare
que
o
sentido
dos
ponteiros
é
anti-horário
e
horário alternadamente, partindo
do relógio à direita (relógio 1).
Para cálculo do gasto mensal de
energia deve-se subtrair a leitura
do mês anterior da leitura do mês
atual.
ESTUDAR EXEMPLO 9.8 NO MATERIAL DIDÁTICO
Para obter o gasto mensal em R$
deve-se considerar que a tarifa da
energia elétrica varia de região
para região.
Na área de concessão da CPFL, onde
se situa o município de Campinas, a
tarifa
base
homologada
em
08/04/2008
e
com
vigência
até
07/04/2009 foi de R$0,27640/kWh.
Para um consumo de 356 kWh, p.ex.,
ao multiplicarmos pelo valor da
tarifa, obtém-se o valor de consumo
(CC) de R$98,39.
Para incluir a taxa relativa ao
ICMS, cuja alíquota no estado de
São Paulo é de 25%, aplica-se a
fórmula:
CC
CP =
( 1,0 − A )
onde
CC = Consumo (kWh) x Tarifa (R$/kWh)
A → alíquota do ICMS (0,25)
CP → valor parcial
Assim, no exemplo,
estaria pagando (CT):
o
consumidor
CT = R$131,18 + os Encargos Sociais
(PIS/PASEP e COFINS)
Na prática, olhando a sua fatura
(conta de luz) você notará que a
tarifa praticada é um pouco maior
do que R$0,27640/kWh, pois neste
valor já são agregados os Encargos
Sociais.
No
material
didático
há
mais
informações sobre a composição da
fatura de energia elétrica
Para maiores detalhes
http://www.aneel.gov.br/
consulte