Polinômios
•
•
•
Polinômio nulo: quando
= 0, ∀ ∈ ℂ; assim, um polinômio é nulo se, e somente se, todos os coeficientes de
forem nulos.
Polinômios idênticos: quando dois polinômios são iguais (ou idênticos), assumindo valores iguais para todo
complexo.
=
, ∀ ∈ ℂ.
Grau é o índice do “último” termo não nulo de um polinômio
Exemplo:
sendo ℎ
•
=
ℎ = 2,
ℎ = 3,
−4 ³−3 ²+5 +1→
Grau da soma
Se , , + são polinômios não nulos, então o
+
=4
≠4
é menor ou igual ao maior dos números
!" # + ! ≤ %á'. (!" # , !" ! )
•
•
Grau do produto
Se , são dois polinômios não nulos, então, o
Divisão
.
e
.
é igual a soma dos graus de .
!" #. ! = !" # + !" !
Dado dois polinômios (dividendo) e ≠ 0(divisor), dividir por é determinar dois outros polinômios
*(quociente) e (resto) de modo que se verifiquem as duas condições seguintes:
= *. +
<
(ou = 0, caso em que a divisão é chamada exata)
Divisões imediatas
= 0 → * = 0 = 0
<
→ * = 0 =
Para obter * , no caso de
>
, explicaremos dois métodos:
Método de Descartes
Baseia-se nos seguintes fatos:
* =
−
e
<
(ou = 0) e é aplicado da
seguinte forma:
I)
Calculam-se * II)
Constroem-se os polinômios * , deixando incógnitos os seus coeficientes.
III)
Determinam-se os coeficientes, impondo a igualdade = *. +
=3
Exemplo: dividir
* =
= *.
<
−
+
→
→3
-
− 2 ³ + 7 + 2 por
→
-
=3 ³−2 ²+4 −1
* = 4 − 3 = 1 → / = 0' + 1
<3→
−2 ³+7 +2=
≤ 2 → " = 2'² + 3' + 4
+5 3
6
−2
7
+4 −1 +8 ²+9 +
desenvolvendo, temos:
3
-
+ 35 − 2
³ + 4 − 25 + 8 ² + 45 −
+9
+
−5 =3
-
−2 ³+7 +2
então, resulta:
3 =3→
= 1; 35 − 2 = −2 → 5 = 0; 4 − 25 + 8 = 0 → 8 = −4; − 5 = 2 →
=2
Resposta:
* = = −4 ² + 8 + 2
www.soexatas.com
Página 1
Método da chave
Exemplo: dividir =
•
-
− ³ − 7 ² + 9 − 1 por
= ²+3 −2
Divisão por binômios do 1º grau
Teorema do resto: o resto da divisão de um polinômio por − é igual ao valor numérico de < .
Exemplo:
O resto da divisão de = 5 - + 3 ² + 11=> = − 3 é: 3 = → 5. 3- + 3.3² + 11 = ∴ = 443
Teorema de D’Alembert: um polinômio é divisível por − se, e somente se, é raiz de .
Exemplo:
Ao verificar, pode-se afirmar que = @ − 4 - − 3 7 + 7 − 1 é divisível por = − 1, pois
1 =0
Dispositivo prático de Briot-Ruffini: determina o quociente e o resto de uma divisão
Teorema: se um polinômio é divisível separadamente por
produto −
−5 .
Obs.:
Dividir = 3 - − 2 ³ + ² − 7 + 1=> = 3 − 5
pode-se afirmar que
− − 5, com
≠ 5, então
é divisível pelo
@
= 3A − B
6
=6
* = ³+ ²+2 +1
Equações polinomiais
•
•
Equações equivalentes: quando duas equações polinomiais apresentam o mesmo conjunto solução.
Teorema fundamental da álgebra: todo polinômio D de grau E ≥ 1 admite ao menos uma raiz complexa no conjunto
dos complexos.
•
Teorema da decomposição
Todo polinômio D de grau E E ≥ 1 , sendo D =
E fatores do primeiro grau, isto é: D = G − I
•
G
G
−
+
7
GHI
GHI
+ ⋯+
+ ⋯+
− G .
I
+
K
G
≠ 0 , pode ser composto em
Multiplicidade
A equação - + 5 L = 0 admite as raízes 0 − 5 com multiplicidade 4 e 7, respectivamente, e, embora equação seja
do 11º grau, seu conjunto solução tem só dois elementos, portanto M(0, −5).
www.soexatas.com
Página 2
•
Relações de Girard, equação de grau E qualquer
G
+ GHI GHI + ⋯ + I + K = 0, sendo E o grau do polinômio,
G
raízes em um agrupamento, tem-se:
"N + "O + "P + ⋯ + "Q = −
"N . "O . "P … "Q = −N
UV = −N
K
o termo independente e ℎ o número de
0QRN
0Q
Q 0T
0Q
V 0QRV
0Q
Exemplo: se (rI , r7 , r6 ) é o conjunto solução da equação 2 ³ + 5 ² + 8 + 11 = 0, calcular
I
+
7
+
6
=−
I. 7. 6
=−
X[
I. 7
7. 6
+
+
XZ
XY
XZ
=−
=−
II
I. 6
=
7
@
7
portanto,
X\
XZ
=4
7
I
+
7
7
+
7
6
=
I
∴
+
7
I
7
+
+
6
7
7
−2
+
7
6
I. 7
=−
L
7
I
+
+
7
7
+
7
6
7. 6
+
I. 6
-
Obs.: as n relações de Girard para uma equação polinomial de grau E não são suficientes para obter I . 7 . 6 … G . Mas
quando é dada um condição para as raízes (por exemplo, soma de duas raízes é 1), então é possível obter o conjunto
solução.
•
Raízes conjugadas
Se uma equação polinomial de coeficientes reais admite como raiz o número complexo ] = ^ + _`, então essa
equação, também, admite como raiz o número ]̅ = ^ − _`, conjugado de ].
•
Multiplicidade da raiz conjugada
Se uma equação polinomial de coeficientes reais admite a raiz ] = ^ + _` _ ≠ 0 com multiplicidade P, então essa
equação admite a raiz ]̅ = ^ − _` com multiplicidade P.
Obs.:
I)
Os dois teoremas anteriores só se aplicam a equações polinomiais de coeficientes reais. Por exemplo, a equação
² − ` = 0 tem como raízes 0 `, entretanto não admite a raiz – `, conjugada de `.
II) Como a toda raiz complexa ] = ^ + _` _ ≠ 0 corresponde a uma raiz conjugada ]̅ = ^ − _`, com igual
multiplicidade, decorre que o número de raízes complexas não reais de D
= 0 é necessariamente par.
III) Se uma equação polinomial de coeficientes reais tem grau ímpar, então ele admite um número ímpar de raízes
reais. Assim, por exemplo, toda equação ³ + 5 ² + 8 + 9 = 0 (com , 5, 8, 9 reais) tem uma ou três raízes
reais, pois o número de raízes complexas e não reias é par.
•
Para determinar o número de raízes reais que a equação admite num certo intervalo dado c ; 5d , usa-se o Teorema de
Bolzano: seja D
= 0 uma equação polinomial com coeficientes reais e c ; 5d um intervalo real aberto.
I)
Se D D 5 têm mesmo sinal, então existe um número par de raízes reais ou não existe raízes da equação em
c ; 5d .
II) Se D D 5 têm sinais contrários, então existe um número ímpar de raízes reais da equação em c ; 5d .
Exemplo: quantas raízes reais a equação ³ + 5 ² − 3 + 4 = 0 pode apresentar no intervalo c0; 1d?
Temos D
= ³ + 5 ² − 3 + 4, então:
D 0 = 06 + 5.07 − 3.0 + 4 → D 0 > 0
D 1 = 1³ + 5.1² − 3.1 + 4 = 7 → D 1 > 0
Como D 0 D 1 são positivos, a equação pode ter duas ou nenhuma raiz real no intervalo dado.
www.soexatas.com
Página 3
•
Raízes racionais
Se uma equação polinomial D
admite uma raiz racional
e
/
=
G
G
+
em que D ∈ ℤ, * ∈
GHI
ℤ∗g GHI
+ ⋯+
I
+
K
= 08><
G
≠ 0 de coeficientes inteiros,
= * são primos entre si, então = é divisor de
K
e * divisor de
G.
Exemplo: quais são as raízes racionais da equação 2 i − 5 @ + 4 - − 5 ³ − 10 ² + 30 − 12 = 0?
Temos = ∈ (−1, 1, −2, 2, −3, 3, −4, 4, −6, 6, −12, 12) e * ∈ (1, 2)
e
I I
6 6
Então ∈ j−1, 1, −2, 2, −3, 3, −4, 4, −6, 6, −12, 12, − , , − , k, fazendo a verificação, concluí-se que as raízes reais
/
7 7
I
são 2 .
7 7
7
Obs.:
I)
Só se aplica o teorema em equações polinomiais de coeficientes inteiros.
II)
Se a equação D
= 0, com coeficientes inteiros e
K
≠ 0, admite uma raiz inteira
(termo independente).
III) Se D
= 0, com coeficientes inteiros e coeficiente dominante unitário
essa raiz é necessariamente inteira, pois * = 1.
G
l
= , então
I
é divisor de
K
m
= 1, admite uma raiz racional , então
n
Bibliografia
Iezzi, Gelson. Fundamentos de Matemática Elementar 6. 7ª edição. São Paulo. Atual editora, 2005.
Barroso, Antonio. Polinômios. www.ensinodematemtica.blogspot.com.br. <http://ensinodematemtica.blogspot.com.br/2010/01/polinomios-27012010.html>. Publicado
em 21 de set. de 2013. Acesso em 28 dez. 2013.
www.soexatas.com
Página 4