Capítulo 8
Teoria Informal dos Conjuntos
Neste capítulo, são apresentadas algumas idéias da Teoria Informal dos
Conjuntos devida a George Cantor, seguidas da proposição e
demonstração de algumas propriedades fundamentais. No próximo
capítulo, o Capítulo 9, são apresentados e comentados, de forma
suficientemente clara, os axiomas que dão sustentação à Teoria
Axiomática dos Conjuntos de Zermelo-Fraenkel, sendo que a Teoria
Axiomática dos Conjuntos de von Neumann-Bernays-Gödel será
rapidamente apresentada.
8.1.- Introdução
Entre 1871 e 1884, George Cantor desenvolveu a Teoria dos Conjuntos. Ela não foi
desenvolvida de forma axiomática, por isto iremos denominá-la Teoria Informal dos Conjuntos.
Apesar do brilhantismo com que Cantor expôs suas idéias, alguns matemáticos passaram a
encontrar e a apontar contradições que poderiam, de alguma forma, invalidar muitas daquelas idéias. A
mais famosa destas contradições é conhecida como Paradoxo ou (Antinomia) de Russel; devida a
Bertrand Russel, aponta que: apesar do que afirmava Cantor, era impossível haver um conjunto de
todos os conjuntos, pois este conjunto deveria possuir a si mesmo como elemento, o que geraria um
círculo vicioso. Foram contradições como esta, e várias outras, menos conhecidas e menos famosas,
que levaram outros matemáticos a propor a axiomatização da Teoria dos Conjuntos1.
A primeira apresentação axiomática da Teoria dos Conjuntos se deve a Ernest Friedrich
Ferdinand Zermelo com base em sete axiomas que incluía o axioma da escolha. Adolf Abraham
Halevi Fraenkel introduziu um outro axioma na teoria de Zermelo passando a partir daí ser, esta
teoria, conhecida como Teoria de Zermelo-Fraenkel – muito citada em inglês como ZF-Theory. Esta
teoria recebeu ainda outras modificações sugeridas por Thoralf Skolem [Stoll 1961], sendo que
eventualmente pode aparecer citada como Teoria dos Conjuntos de Zermelo-Fraenkel-Skolem.
A abordagem axiomática da Teoria dos Conjuntos de Zermelo-Fraenkel, apesar de muito
popular, não é a única. Outra teoria axiomática dos conjuntos bastante citada é a de John von
Neumann, uma teoria que, simplificada por Paul Bernays, ao receber contribuições de Gödel, passou a
ser conhecida como Teoria Axiomática dos Conjuntos de von-Neumann-Bernays-Gödel (Teoria dos
Conjuntos NBG). Há outras teorias axiomáticas dos conjuntos menos conhecidas e citadas, como a de
Morse-Kelley2 (MK), a de Tarski-Grothendieck (TG) e as duas teorias axiomáticas dos conjuntos
desenvolvidas por Willard Quine, sendo que na última delas, uma contradição apontada por J.B.
Rosser foi eliminada por Hao Wang [Mora 1994].
Paul R. Halmos expôs a Teoria dos Conjuntos num pequeno livro denominado “Teoria
Ingênua dos Conjuntos” [Halmos 1960]. Neste livro Halmos apresenta, com base nas idéias de Cantor
e de Zermelo, os axiomas e, a partir deles, prova alguns poucos, mas importantes teoremas.
Um outro trabalho notável sobre a teoria de Zermelo-Fraenkel, publicado sob o título: “Teoria
Axiomática dos Conjuntos: uma introdução”, de autoria de dois professores do Câmpus da UNESP
de Presidente Prudente, Sebastião Antonio Izar e Wilson Maurício Tadini [Izar & Tadini 1998], foi
utilizado como base para um curso ministrado no Curso de Licenciatura em Matemática daquela
Instituição.
8.2.- Noções Fundamentais
Serão expostas e comentadas a seguir algumas das noções fundamentais da Teoria dos
Conjuntos formulada por George Cantor.
8.2.1.- Conjuntos e Elementos
Cantor “definiu” conjunto da seguintes maneira [Mora 1994]:
“Um conjunto é uma coleção num todo, de objetos determinados, que sejam percebidos ou
compreendidos por nós como distintos, denominados elementos do conjunto”.
Em seu livro “Discrete Mathematics and Its Applications”, após uma imensa digressão sobre o
que possa ser um conjunto sem, contudo, defini-lo, Kenneth H. Rosen [Rosen 1991] apresenta,
finalmente, a sua “Definição 1”:
“Os objetos em um conjunto são também chamados elementos ou membros do conjunto”.
“É dito que um conjunto contém seus elementos”..
No entanto, para aquilo que pretendemos no nosso curso, será conveniente tomarmos a noção de
conjunto como sendo intuitiva, ou mais, iremos tomá-la como conceito não definido, ou seja, uma
noção primitiva da teoria. Também, as noções de elementos de um conjunto e a de pertinência (ou
não) de um dado elemento a um conjunto, serão tomadas como intuitivas ou primitivas.
1
Informações bastante detalhadas (em inglês) sobre: George Cantor, Set Theory, Paradoxes, Zermelo Set Theory, Zermelo-Fraenkel
Axioms, von Neumann-Bernays-Gödel Set Theory, Skolem, e sobre os axiomas da Teoria dos Conjuntos de Zermelo-Fraenkel - podem
ser encontradas no site: http://mathworld.wolfram.com/.
2
O leitor encontrará em alguns outros autores: Kelley-Morse (KM)
!
8.2.2.- Determinação de um Conjunto
Na figura a seguir, são apresentadas algumas das diversas formas de representação de um mesmo
conjunto:
Seja Considerar:
A é o conjunto das vogais da Língua Portuguesa.
[3] Diagrama de Venn-Eüler:
A
[1] A = { a, e, i, o, u } = { i , o, u, a, e } = {a, a, e, i, i, i, o, u, u }
a
i
[2] A = { x | x é uma vogal do alfabeto, da Língua Portuguesa}
e
o
u
Figura 1.- Formas de representação de um conjunto
• A forma de representação [1] é denominada forma de listagem, onde os elementos do conjunto
são apresentados um a um, separados por vírgulas, sob a forma de uma lista linear não
necessariamente ordenada.
• Na forma de representação [2] o conjunto A passa a ser referido pela propriedade de seus
elementos, e a leitura é a seguinte: “A é igual ao conjunto dos x, tal que x é uma vogal da
Língua Portuguesa”. Aqui o x é uma variável que representa cada um dos elementos cuja
propriedade é a de ser uma vogal do alfabeto da Língua Portuguesa, o que não nos permitirá
incluir, no conjunto A, o y como vogal.
• A forma de representação [3] apresenta o conjunto através de um diagrama de Venn-Eüler,
muito usado na prática para concretizar as propriedades e as operações entre conjuntos, como
se verá mais à frente.
• Considerando x um elemento qualquer de um conjunto qualquer X, estabelecendo que a
¬(x∈
∈X)” possa ser escrita resumidamente como: “x∉
∉X”, e recorrendo à Figura 1
proposição “¬
∈A, 3∉
∉A e b∉
∉A, que poderão ser lidos (indiferentemente) como:
acima, podemos escrever: a∈
“o elemento a pertence ao conjunto A”, “3 não pertence a A” e “b não é elemento do
conjunto A”.
• Pode-se ainda observar na Figura 1, as duas propriedades mais notáveis dos conjuntos, quando
apresentados sob a forma de listagem, isto é, os elementos separados por vírgulas entre
chaves:
(1a) os elementos de um conjunto, quando ele for apresentado sob a forma de listagem,
não precisam estar necessariamente ordenados;
"
a
(2 ) a repetição de um elemento na “lista” não cria novos elementos;
é assim que tanto {a, e, i, o, u }, como { i, o, u, a, e} e { a, a, e, i, i, i, o, u, u} continuam
sendo o conjunto das vogais.
Nota Importante:
Sendo P(x) uma propriedade de uma variável x, podemos escrever um dado conjunto M
cujos elementos tenham em comum uma propriedade P, como sendo M = {x | P(x)} que é lido ou
entendido como: “M é o conjunto de elementos do tipo x, tal que x tem a propriedade P”.
Esta forma de representação de um conjunto é a melhor forma de determinação do mesmo,
ou seja: a determinação de um conjunto pela propriedade característica de seus elementos evita que
tenhamos que “listar” os seus elementos, o que às vezes poderá ser impraticável.
8.2.3.- Conjunto Vazios
A concepção de que conjuntos “devam possuir elementos” não nos impede de definir ou,
simplesmente, de adotar:
• conjuntos com apenas um elemento (os conjuntos unitários), como por exemplo
{x | x é a primeira letra minúscula do alfabeto grego} = {α
α}.
• conjuntos sem elementos (os conjuntos vazios), que serão representados por ∅ ou por { }.
Assim sendo, podemos escrever simbolicamente ∅ = {x | P( x ) ∧ ¬P( x )} que poderemos adotar
como uma definição de conjunto vazio, lembrando da Lógica de Primeira Ordem (Lógica de
Predicados), a seguinte sentença: P(x) ∧ ¬P(x), que é uma contradição, como no exemplo a
seguir: “x é um número maior que 10” e ao mesmo tempo “x é um número menor ou igual
que 10”. Note que, se P(x) = “x é maior que10”, então ¬P(x) = “x não é maior 10” equivale a
“x é menor ou igual a 10”. É comum encontrar-se a seguinte definição de conjunto vazio:
∅ = {x | x ≠ x} em que não são utilizados símbolos da Lógica, mas símbolos algébricos.
8.3.- Conjuntos finitos e Conjuntos Infinitos – Cardinalidade
Um conjunto é finito, se possui exatamente n elementos distintos (n = 0, 1, 2, 3, 4, ...). Dos
exemplos dados até aqui, o conjunto das vogais, o conjunto vazio e os conjuntos unitário, são
finitos, mas existem aqueles cuja quantidade de elementos infinita.
8.3.1.-Definição de Cardinalidade de Um Conjunto
A cardinalidade de A é a quantidade de elementos distintos deste conjunto.
#
Para denotar a cardinalidade de um conjunto poderemos utilizar indiferentemente uma das
seguintes notações: n(A) ou #(A). Assim n(∅) = 0 ou #(∅) = 0; n(A) = 1 ou #(A) = 1 se A é um
conjunto unitário, se A é um conjunto com n elementos escreveremos #(A) = n ou n(A) = n.
Observar que: [1] #({a, e, i, o, u }) = #({ i, o, u, a, e}) = #( { a, a, e, i, i, i, o, u, u} ) = 5
[2] #( {x | x é a primeira letra minúscula do alfabeto grego} ) = #( {α} ) = 1.
[3] #(A) = 0 ⇔ A = ∅
8.3.2.- Exemplos de Conjunto Numéricos (Infinitos) Notáveis
A seguir serão apresentados os conjuntos numéricos: Naturais, Inteiros, Racionais, Reais e
Complexos. No Capítulo 11 este assunto será retomado, quando serão abordadas as formas de
construção destes conjuntos bem como uma de suas propriedades mais notáveis, a cardinalidade.
[1] Conjunto dos Números Naturais:
= {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} com
*
= { 1, 2, 3, 4, 5, ...} = N – { 0 }.
[2] Conjunto dos Números Inteiros: Ζ = {0, ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ...}
ou então:
Z = {..., - 4,-3,-2, - 1, 0 , 1, 2 ,3, 4, ...}
*
com:
Ζ = { ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ...} = Z - { 0 }
2.1.- Conjunto dos Números Inteiros não negativos: Ζ + = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} = Ν
2.2.- Conjunto dos Números Inteiros não positivos: Ζ − = {0, - 1, - 2, - 3, - 4, - 5, ...}
2.3.- Conjunto dos Números Inteiros positivos: Ζ *+ = {1, 2, 3, 4, 5, ...} = Ν *
2.4.- Conjunto dos Números Inteiros negativos: Ζ *− = { - 1, - 2, - 3, - 4, - 5, ...}
Fórmula para obtenção dos números inteiros pares:
k é um número par ⇔ k = 2n, n ∈ Z
Fórmula para obtenção dos números inteiros ímpares:
k é um número ímpar ⇔ k = 2n + 1 ∨ k = 2n - 1, n ∈ Ζ
a
a
[3] Conjunto dos Números Racionais: Q = {x | x = , a ∈ Ζ, b ∈ Ζ, b ≠ 0} = {x | x = , a ∈ Ζ, b ∈ Ζ * }
b
b
Um número x é um número racional se, e somente se, ele pode ser escrito sob a
forma de razão (ou de um quociente) entre dois números inteiros, onde o divisor não
5 − 10 25
=
= ... , assim, 5∈Q.
seja zero, como por exemplo: 5 = =
1 −2
5
Iremos provar mais à frente, no capítulo 10, que 2 ∉ Q , isto é, 2 não é um
número racional, ele é um número irracional. O conjunto dos números irracionais tem
infinitos elementos, podendo-se citar como exemplos de números irracionais, os
$
seguintes: 2 , 3 , 5 , 6 , 7 , ..., 3 2 , 3 3 , 3 4 , 3 5 , 3 6 , 3 7 , 3 9 , ..., π≅
3,1415926535... (número pi), e ≅ 2,7182818284... (número de Eüler).
Os números irracionais são sempre decimais infinitos e não periódicos. Já os
números racionais, números que podem ser escritos sob a forma de razão: a b com b≠0,
podem gerar, quando se efetua a divisão de a por b, decimais exatos, ou então, decimais
infinitos porém periódicos, denominadas dízimas periódicas. Vejamos alguns exemplos:
432
•
= 0,432 é um número racional que pode ser expresso como um
1000
número decimal finito, isto é, com uma quantidade finita de casas decimais.
•
2
312
= 0,936936936... = 0, 936 são números
•
= 0,666... = 0, 6 = 0, 6 e
3
333
racionais que correspondem a números decimais infinitos periódicos simples,
onde os períodos são, respectivamente, o 6 e a seqüência de dígitos 936. Estas
são exemplos de dízimas periódica simples.
43
= 1,4333... = 1,43 é uma dizima periódica composta onde 1,4 é o não•
30
período (anteperíodo) e 3 é o período.
2 312 43
Notar que: nos exemplos acima, as frações
,
e
são geratrizes de dízimas
3 333 30
periódicas. Quer-se saber, como, dado um número decimal periódico, simples ou
composto, calcular a sua geratriz. Vejamos apenas o caso das dízimas periódicas
simples: Seja o número decimal periódico D = 0, d 1d 2 ...d n então se multiplicarmos D
por 10n, onde n é a quantidade de dígitos formadores do período, vamos obter:
10 n × D = d 1d 2 ...d n , d 1d 2 ...d n
10 n × D = d 1d 2 ...d n + 0, d 1d 2 ...d n = d 1d 2 ...d n + D
10 n × D − D = d 1d 2 ...d n
( 10 n − 1) × D = d 1d 2 ...d n
D=
d 1d 2 ...d n
10 n − 1
REGRA: A geratriz de uma dízima periódica simples, com a parte inteira igual a
zero, é uma fração cujo numerador é o período e o denominador é um numeral
formado por tantos dígitos nove quantos são os algarismos do período e de tantos
zeros quantos são as casas decimais nulas logo após a vírgula.
Tente justificar esta regra e, em seguida, elaborar uma regra ou uma estratégia para
calcular as geratrizes de dízimas periódicas compostas. Sugestão: tente separar a parte
anteperiódica da parte periódica.
Ainda, de acordo com esta regra teremos que: 0,999... = 1, e ainda, 4,0999...= 4,01
justifique isto.
[4] Conjunto dos Números Reais: R = {x | x = a 0 , a 1a 2 a 3 ...a n ...; a 0 ∈ Ζ, a i ∈ {0, 1, 2, 3, ...}, i ∈ N * }
Observar que: são números não reais, por exemplo, os da forma
k = 2n, n ∈ Z e a ∈ Ζ *− .
k
a onde
[5] Conjunto dos Números Complexos: C = { z | z = a + b i, a∈R ∧ b∈R, i = − i }
onde a = Re(z) e b = Im(z), que devem ser lidos respectivamente como: “a é
igual à parte real de z” e “b é igual à parte imaginária de z”.
%
Observação sobre os conjuntos numéricos: Os elementos dos conjuntos numéricos N, Z, Q e R
podem ser representados como pontos sobre uma reta, eles são conjuntos lineares. Já, os elementos do
conjunto C, necessitam de um plano para a representação de seus elementos, o plano onde estarão
localizados os números complexos é denominado Plano de Argand-Gauss.
8.3.3.- A Cardinalidade de Conjuntos Infinitos
Os conjuntos que não são finitos são denominados infinitos. Os conjuntos de cardinalidade igual
à cardinalidade do conjunto N são denominados enumeráveis.
Veremos mais adiante que o conjunto dos números reais é não enumerável
No caso de um dado conjunto X não ser finito, ele será denominado infinito. Neste momento, a
partir de um exame detido do item anteriormente apresentado (Exemplos de Conjunto Numéricos),
pode-se observar pelo menos dois tipos de cardinalidade infinita: [1o] aquela que corresponde à dos
números naturais e [2o] aquela que corresponde à dos números reais.
Com um pouco de imaginação será possível estabelecer-se que há tantos números pares, ou
tantos números ímpares, por exemplo, quantos são os números naturais – bastando para isto examinar
o seguinte esquema:
Números Ímpares :
1
3
5
7
9
11 ...
Números naturais :
0
1
2
3
4
5
Números Pares :
0
2
4
6
8
10 ...
...
O esquema acima pode ser justificado algebricamente, ou seja, poderemos encontrar uma
função que nos permita fazer corresponder cada um dos números pares a um número natural e uma
função que nos permita fazer corresponder cada um dos números ímpares a um número natural.
Vejamos:
[1] f:{x | x =2k, k∈N}→ N, dada por f(x) =
x
2k
= k , onde x poderá assumir os valores 0,
=
2
2
2, 4, 6, 8, 10, ... enquanto k será, respectivamente, igual a 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...
[2] g: {x | x =2k+1, k∈N}→ N, dada por g(x) = x = 2k+1, onde x podendo ser igual a 1, 3, 5,
7, 9, 11, ..., k assunirá os valores, respectivamente, igual a 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...
Pode-se mostrar, da mesma maneira, que o conjunto dos números inteiros (Z) tem a mesma
cardinalidade de N, o que parece até bem intuitivo, se considerarmos o que foi visto acima, para os
números pares e para os números ímpares.
Consideremos o seguinte esquema que indica uma correspondência biunívoca entre os números
inteiros e os números naturais:
Números Pares :
0
2
4
6
8 10 ...
Números Inteiros:
... −5 −4 −3 −2 −1 0 1
2
3
4
Números Ímpares :
... 9
7
5
3
5 ...
1
cujos valores podem ser obtidos de forma bastante simples através da função: h:Z→N, que é definida
da seguinte forma: h(z) =
n = 2z, para
z≥0
n = -(2z + 1), para z < 0
Comentário Importante:
Não parece ser tão intuitivo, ou tão fácil de mostrar, que o conjunto dos números racionais
(Q) tenha a mesma cardinalidade de N. Mais à frente, no Capítulo 10, iremos examinar a forma com
que Cantor provou que a cardinalidade do conjunto dos números racionais é a mesma do conjunto dos
números naturais. Também é devida a Cantor a prova de que a cardinalidade do conjunto dos números
reais (R) é superior à cardinalidade do conjunto dos números Naturais, ou seja, R é um conjunto não
enumerável. Isto também será mostrado.
8.3.4.- Conjuntos Enumeráveis e Conjuntos Contáveis
8.3.4.1.- Definição - Enumerabilidade
Se um conjunto qualquer X é eqüipotente3 a N (a cardinalidade de X é igual à cardinalidade do
Conjunto dos Números Naturais) diz se que X é enumerável.
8.3.4.2.-- Definição – Conjuntos Contáveis
Diz-se que um conjunto é contável se ele é finito ou enumerável.
Observações:
[1] Um conjunto é dito não enumerável se ele é infinito e sua
cardinalidade não é igual à cardinalidade de N.
[2] Um exemplo de conjunto não enumerável é o conjunto dos
números reais. Isto será provado a seguir.
3
Dois conjuntos são ditos eqüipotentes quando têm a mesma cardinalidade.
&
8.3.5.- Exemplos de Conjuntos Vazio, Unitário e Conjuntos Universo
Como se viu anteriormente, a caracterização ou a “definição” do conjunto vazio se dá através
do uso de contradições, como nos exemplos já citados, em que se faz o uso da Lógica:
∅ = {x | P( x ) ∧ ¬P( x )} , ou quando se faz o uso da Álgebra: ∅ = {x | x ≠ x} . Podem ser citados
outros exemplos, só que menos conhecidos, dentro desta mesma linha: A = ∅ ⇔ ∀x , x ∉ A ;
∅ = {x | x = x + 1} ou ∅ = {x | x > x} . Com um pouco mais de conhecimento de Teoria dos
Conjuntos, podemos criar nossos próprios conjuntos vazios através da escolha de delimitações ou
restrições, tais como ocorre em ∅ = {x | x ∈ Ν ∧ x + 2 = −4} , onde a restrição fica por conta do
conjunto no qual deve ser buscada a solução para a equação x + 2 = −4. Veja que a raiz da equação
dada: x + 2 = −4 é x = −6, como −6∉N, só nos resta afirmar que a equação não tem solução (em N) e
com conseqüência temos ali um conjunto vazio.
Note que {x | x ∈ Ζ ∧ x + 2 = −4} = {−6} já não é mais um conjunto vazio, mas sim um conjunto
unitário, devido à escolha do campo de trabalho Z. Os conjuntos N e Z dos exemplos acima são os
conjuntos universo ou conjuntos de trabalho onde a solução de x + 2 = −4 deveria ser buscada.
8.4.- Igualdade de Conjuntos
8.4.1.- Definição
Dois conjuntos são iguais se, e somente se, têm os mesmos elementos.
A e B conjuntos, A = B ⇔ (∀x(x ∈ A ⇔ x ∈ B))
Em símbolos:
Observação
Dados A e B conjuntos, A ≠ B ⇔ ((∃x(x ∈ A ∧ x ∉ B)) ∨ (∃x(x ∈ B ∧ x ∉ A)))
8.4.2.- Teorema:
O conjunto vazio é único.
Prova
Sejam X e Y dois conjuntos vazios, isto é, X = ∅ e Y = ∅. Se assumirmos que X ≠ Y teremos,
então, que assumir, o seguinte: existe pelo menos um elemento que, estando em um destes conjuntos,
não poderá estar no outro. No entanto isto seria um absurdo, pois tanto X como Y são conjuntos sem
elementos. Assim, aquilo que assumimos inicialmente, que X ≠ Y, estava errado, levando-nos a
concluir que X = Y.
'
8.5.- Relação de Inclusão
8.5.1.- Definição
Um conjunto A está contido em (é subconjunto de) um outro conjunto B (superconjunto) se,
e somente se, todos os elementos de A são também elementos de B.
Em símbolos:
A e B conjuntos, A ⊂ B ⇔ (∀x(x ∈ A
x ∈ B))
Observação: O símbolo ⊂ é lido “está contido em” ou “é subconjunto de”.
8.5.2.- Teorema
O conjunto Vazio está contido (é subconjunto) em todos os conjuntos: ∀A, ∅ ⊂ A
Prova
Seja A um conjunto qualquer. Vamos assumir, por hipótese que ¬(∅ ⊂ A), isto é, ∅ ⊄ A. Se
esta hipótese é verdadeira, teremos que admitir que existe um elemento pertencente ao conjunto ∅ que
não pertence ao conjunto A. Mas φ não possui elementos, logo a hipótese é falsa, sendo verdade que
∀A, ∅ ⊂ A .
8.5.3.- Provar
∅ é o único subconjunto de ∅. ( Em outras palavras: ∀X, se X ⊂ ∅ então X = ∅ )
Comentários e Prova:
[1] A expressão “∀X, se X ⊂ ∅ então X = ∅” simbolicamente será dada por: ∀X(X ⊂ ∅
onde X ⊂ φ é a Hipótese e X = ∅ é a Tese, ou seja, aquilo que queremos provar.
[2] Vê-se que estamos diante de uma expressão da Lógica
Proposicional do tipo4 “P
Q”, uma implicação, cujos valores
verdade são apresentados na tabela ao lado:
P
V
V
F
F
Q
V
F
V
F
X = ∅),
P
V
F
V
V
Q
[3] Veja que se partirmos da negação de P, isto é tomarmos ¬P,
poderemos chegar indiferentemente tanto a V como a F, pois, se numa
implicação a premissa é falsa, a conclusão poderá ser falsa ou verdadeira, ou seja, nada se poderá
concluir.
[4] A forma de resolver isto é negar a conclusão (Modus Ponens5) e verificar que isto transforma a
premissa num absurdo:
[4.1] ¬(X = ∅) ↔ X ≠ ∅. Se X é não é vazio, existe x ∈ X tal que X ⊄ ∅ o que nega a
premissa (Hipótese).
4
Na verdade esta é uma expressão da Lógica Predicativa ou de Primeira Ordem: ∀x[P(x) Q(x)], que por uma questão
simplificação foi escrita como sendo uma expressão da Lógica Proposicional: P
Q.
5
Modus Ponens: ( (P→Q) /\ Q) P, ou em outra notação: P → Q, Q , que deve ser entendido da seguinte forma:
P
“Se P → Q é verdade e P é verdade (premissas), então Q será verdade (conseqüência)”.
[4.2] Então a única forma de tornar a premissa verdadeira (X ⊂ ∅) é aceitar que X = ∅ (aceitar
a Tese).
Comentário Importantíssimo:
Vamos partir do que afirmamos em [3] acima: seja negar P, isto é, seja adotar: X ⊄ ∅. Isto
somente se dará se ∃x∈X, porém isto não é suficiente para se chegar a X = ∅, poderíamos também
chegar em algo como X = {x | x = a} onde a é um elemento qualquer. Veja pela tabela de P
Q que,
se P é Falso, pode-se chegar a um Q Verdadeiro ou Falso, indiferentemente (!).
8.5.4.- Representação da Inclusão Através do Diagrama de Venn-Eüler
Sejam A e B, dois conjuntos contidos em um mesmo conjunto
universo U, tal que B seja um subconjunto de A, isto é B ⊂ A. A
Sejam, por exemplo:
representação destes fatos através do diagrama de Venn-Eüler é
U = {0,1, 2, ... , 10}= {x | x∈N, x ≤ 10}
A = {0, 2, 4, 6, 8, 10}
dada ao lado.
B={2, 6, 10}
Observar na figura ao lado:
1. Todos os elementos de A e B pertencem a U: A ⊂ U e B ⊂ U.
2. Todos os elementos de B são elementos de A: B ⊂ A.
3. Há elementos em A que não estão em B:
∃x∈A ∧ x∉B, ou seja: A ⊄ B.
4. Há Elementos de U que não pertencem nem a A, nem a B:
U
A
4
B
0
7
8
9
2
6
3
10
1
∃x∈U(x∉A ∧ x∉B)
5
8.5.5.- Teorema
A e B são conjuntos, (A ⊂ B ∧ B ⊂ A) ⇔ (A = B) .
Prova
Se A ⊂ B ⇔ (∀x(x ∈ A x ∈ B)) e se B ⊂ A ⇔ (∀x(x ∈ B x ∈ A)) logo
(∀x(x ∈ A x ∈ B)) ∧ (∀x(x ∈ B x ∈ A)) ⇔ (∀x(x ∈ A ⇔ x ∈ B)) ⇔ A = B
8.5.6.- Propriedades da Relação de Inclusão
Será fácil provar as seguintes propriedades da Relação de Inclusão, tomando por base as provas
dos teoremas anteriores:
(1) Reflexiva: A ⊂ A
(2) Transitiva: (A ⊂ B ∧ B ⊂ C) A ⊂ C
(3) Anti-simétrica: (A ⊂ B ∧ B ⊂ A) ⇔ (A = B)
Observar: A propriedade (2) da Relação de Inclusão poderá ser mostrada (ou visualizada) através de
um Diagrama de Venn-Eüler, sem que isto signifique uma demonstração.
8.6.- Conjunto das Partes de um Conjunto (Conjunto Potência de A)
8.6.1.- Definição
Dados A e B conjuntos, se A está contido em B ( A ⊂ B ) diz-se que A é uma parte de B.
Se A ⊂ B com A ≠ φ e A ≠ B diz-se que A é um subconjunto próprio de B.
Observação Importante:
O símbolo ⊆ é utilizado por alguns autores no sentido de “está contido ou é igual a” enquanto
⊂” só é utilizado o primeiro conjunto é um subconjunto próprio do outro, isto pode ser
o símbolo “⊂
colocado em símbolos:
Sendo A e B, dois conjuntos,
[1] (A ⊆B) ⇔ (A ⊂ B ou A = B);
[2] A ⊂ B ⇔ (∀x∃y((x∈A
x∈B) ∧( y∈B
y∉A)), ou seja: A ⊂ B, mas A ≠B.
8.6.2.- Definição
Dado A, um conjunto finito, chama-se conjunto das partes de A (ou conjunto potência de A), ao
conjunto de todos os subconjuntos X de A.
P (A) = { X | X ⊂ A }, A um conjunto finito,
Em símbolos:
onde P (A) é lido conjunto das partes de A ou Conjunto Potência de A.
Observação
∀A, ∅ ∈ P (A) e A ∈ P (A)
8.6.2.1.- Exemplos de Conjunto da Partes de um Conjunto:
(1)
(2)
(3)
(4)
Se A = {1, 2}, então P (A) = {φ, {1}, (2}, {1,2} }
Se B = {a, b, c}, então P (B) = {φ, {a}, {b}, {c} , {a, b}, {a, c}, {b, c}, B }
P (∅) = {∅} . Notar que ∅ ≠ {∅} pois {∅} é um conjunto unitário.
P ({∅}). = {∅, {∅}} note que os subconjuntos de {∅} são o conjunto vazio: ∅, e ele próprio:
{∅}.
8.6.3.- Teorema
Se A é subconjunto de B, então o conjunto das parte de A é um subconjunto das partes de B, e se o
conjunto das parte de A é um subconjunto das partes de B, então A estará contido em B.
Em símbolos:
A e B conjuntos, A ⊂ B ⇔ P (A) ⊂ P (B)
!
Prova
] Tem-se que: ∀ X∈P (A)
X ⊂ A,
como A ⊂ B por hipótese, temos que: ∀X(X ⊂ A
X ⊂ B).
Logo ∀X(X∈ P (A)
X∈ P (B)) (P (A) ⊂ P (B)).
[2: ⇐] Tem-se que: A∈ P(A)
como P (A) ⊂ P (B) por hipótese, temos que A ∈ P (B) de onde
podemos tirar que: A ⊂ B.
De [1] e [2] pode-se concluir o seguinte: A ⊂ B ⇔ P (A) ⊂ P (B).
[1:
8.6.4.- Teorema
A quantidade de conjunto componentes das parte de um conjunto A, com cardinalidade #(A) = n, será
dada por 2n.
Em símbolos:
#(P (A)) = 2n
#(A) = n
Neste texto adotaremos a notação #(A), sendo que é bastante comum encontrar-se, na literatura, a notação n(A).
Prova
A prova deste teorema é baseada no conceito de Combinações Simples aprendido no 2o ano do
Curso Médio (colegial) em Análise Combinatória. Sabemos que as combinações simples de n
elementos distintos tomados p a p é dada pela fórmula: Cn,p =
n!
o que pode também ter sido
(n − p)!p!
estudado no Ensino Médio com o nome de Números Binomiais:
n
=
p
n!
, que será lido
(n − p)!p!
número binomial n sobre p.
Observando-se atentamente o processo de formação de subconjuntos de um dado conjunto A, com
n
n
#(A) = n (vide os exemplos anteriores), vemos que podemos formar
conjuntos unitários,
1
2
conjuntos com dois elementos,
n
n
n
0
+
n
1
+
n
2
+
n
3
+ ... +
n
n −1
+
e, finalmente,
n
que
3
n −1
n
resulta 1, e que corresponde ao próprio conjunto A com seus n elementos. Além disso, fazendo-se com
n
que o número binomial
corresponda ao conjunto com “zero” elementos, o conjunto vazio,
0
poderemos escrever de acordo com a Teoria dos Números Binomiais:
#(P (A)) =
conjuntos com 3 elementos, até
n
n
= 2n .
"
8.7.- Complementação de um Subconjunto
8.7.1.- Definição
Seja A um conjunto e B um subconjunto qualquer de A. Definimos complementar de A com relação a
B, notado C A B, todos os elementos que pertencem a A, mas que não pertencem a B.
Se B⊂ A, C A B = {x | x∈A ∧ x∉B}
Em Símbolos:
8.7.1.1.- Exemplos
(1) Sendo A = { a, e, i, o, u} e B= {i, u} tem-se que: C A B = {a, e, o}
(2) Para qualquer A, C A A = ∅ e C ∅ A= A. É evidente que C ∅ ∅ = ∅.
(3) Sendo U o conjunto universo, C U A=
CA = A ' = A
= {x | x ∉A }.
8.7.1.2- Representação da Complementação de um Conjunto - Diagrama de Venn-Eüler
Sejam A e B dois conjuntos contidos em um mesmo
Sejam, por exemplo:
conjunto universo U, tal que B seja um subconjunto de
U = {0,1, 2, ... , 10}= {x | x∈N, x ≤ 10}
A = {0, 2, 4, 6, 8, 10} e B={2, 6, 10}
A, isto é B ⊂ A.
Observar na figura ao lado:
1. C A B = {0, 4, 8}
2.
3.
C
C
U
U
U
A
4
0
7
A = CA = A ' = A = {1, 3, 5, 7, 9}
B = CB = B' = B = {0, 1, 3, 4, 5, 7, 8, 9}
B
8
9
2
6
10
1
3
5
8.7.1.3.- Representação Genérica da Complementação de Conjuntos - Diagrama de Venn-Eüler
U
A
U
A
B
C
A
B
U
A
B
C
U
A
B
C
UB
A figura anterior apresenta os diagramas de Venn-Eüler para a complementação de conjuntos
de um forma abstrata. Os elementos dos conjuntos são desconsiderados, considerando-se apenas a
relação de inclusão entre eles. Assim, em cada uma delas, a região representativa do conjunto
complementar de um dado conjunto (subconjunto) com relação a um outro conjunto que o contenha
(seu superconjunto), aparece hachurada (sombreada).
Chama-se a atenção para os seguintes fatos:
[1] Se B⊂ A, C A B = {x | x∈A ∧ x∉B} e
#
[2] C U A = CA = A ' = A ={x | x ∉A },
[3] C U B = CB = B' = B ={x | x ∉B },
o que acab por ficar bem claro através das figuras genéricas apresentadas, no entanto, estes fatos foram
apenas mostrados, mas não demonstrados e nem provados!
Parte 1.B.- Operações com Conjuntos
8.8.- Interseções de Conjuntos
8.8.1.- Definição
A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}
8.8.1.1.- Exemplos
Se A = {a, e, i, o, u} e B = {a, b, c, d, e, f, g, h}
A ∩ B = {a, e}
Se A = {a, e, i, o, u} e B = {x | x é um consoante do alfabeto da Língua Portuguesa}
A ∩ B = { } = ∅, sendo que neste caso A e B são denominados conjuntos disjuntos.
Se A = { 2, 8, 12, 38} e B = { x | x = 2m, m ∈N} A ∩ B = { 2, 8, 12, 38} = A, o que evidencia que
ocorre: A⊂ B, ou seja, A é subconjunto de B.
8.8.2.- Diagramas de Venn-Eüler e de Carroll para a Intersecção de Dois Conjuntos
Há duas formas de representação diagramática da interseção entre dois conjuntos. O Diagrama
de Venn-Eüler e o Diagrama de Carroll (Devido a Lewis Carroll – o criador de Alice no País das
Maravilhas, que era um brilhante lógico) que é uma tabela de dupla entrada. O diagrama de Carroll só
pode ser utilizado para representar operações com apenas dois conjuntos, já o diagrama de Venn-Eüler
tem a vantagem de poder representar operações entre uma quantidade finita de conjuntos quaisquer.
Note que, as quatro regiões distinguíveis no diagrama de Venn-Eüler, encontra, de forma
correspondente, as mesmas quatro regiões no diagrama de Carroll. Confira na figura a seguir:
$
U
B
Não B
A
AeB
A e Não B
Não A
Não A e B
Não A e Não B
A∩B
A
B
A∩B
8.8.2.1.- Observação Importante:
Não existe o diagrama de Carroll para representar os universos com três ou mais
conjuntos.
8.9.- União ou Reunião de Conjuntos
8.9.1.- Definição
A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈B}
8.9.1.1.-Exemplos
Se A = {a, e, i, o, u} e B = {a, b, c, d, e, f, g, h}
Se A = {a, e, i, o, u} e B = φ
A ∪ B = { a, b, c, d, e, f, g, h i, o, u}.
A ∪ B = {a, e, i, o, u} = A.
Se A = {2, 8, 12, 38} e B = { x | x = 2m, m ∈N}
A ∪ B ={0,2,4,6,8,10, ...}={x | x = 2m, m ∈N} = B.
8.9.2.- Diagramas de Venn-Eüler e de Carroll para a União de Dois Conjuntos
U
B
Não B
A
AeB
A e Não B
Não A
Não A e B
Não A e Não B
A∪B
A
B
A∪B
8.9.3.- Cardinalidade da Interseção e da União de Dois Conjuntos
[1] #(A ∩ B) = #(A) + #(B) − #(A ∪ B)
[2] #(A ∪ B) = #(A) + #(B) − #(A ∩ B)
%
8.10.- Aplicação do Diagrama de Venn-Eüler na Resolução de Situações-Problema
Uma aplicação bastante interessante dos diagramas de Venn-Eüler é aquela que se costuma
fazer para agilizar a resolução de situações-problema específicos que envolvam a contagem de
elementos pertencentes a dois ou mais conjuntos, sobre os quais se conhece apenas alguns dados
operacionais, por exemplo, a interseção, a união, os elementos de um deles ou algum outro tipo de
particularidade notável. A seguir iremos mostrar como exemplo, a resolução de duas SituaçõesProblema de Contagem com o Auxílio dos Diagramas de Venn-Eüler.
8.10.1.- Situação-Problema 1 – Envolvendo Dois Conjuntos:
Numa sala de aulas, dos estudantes, 8 obtiveram boas notas em Português e Matemática.
Sabe-se que: 18 obtiveram boas notas em Português e 12 obtiveram boas notas em Matemática.
Sabendo-se que são 15 os estudantes que não obtiveram média nem em Matemática, nem em
Português, pergunta-se quantos são os estudantes desta sala de aulas.
Resolução da Situação Problema 1:
• Seja nomear os conjuntos como Port e Mat.
• São dados no problema que: #(Port ∩ Mat ) = 8; #(Port) = 18 e que #(Mat) = 12.
• Para preenchermos o diagrama de Venn-Eüler ou o de Carroll a seguir, devemos considerar o
seguinte:
#(Port) − #(Port ∩ Mat ) = 18 – 8 = 10 nos fornecerá a quantidade de elementos que
pertencem a Port mas não pertencem a Mat.
#(Mat) − #(Port ∩ Mat ) = 12 – 8 = 4 nos fornecerá a quantidade de elementos que
pertencem a Mat mas não pertencem a Port.
U
15
4
8
10
Matemática
Português
Port
Não Port
Mat
8
4
Não Mat
10
15
Sabe-se ainda que: #(U) − #(Port ∪ Mat) = 15 corresponde à quantidade dos estudantes que
não obtiveram média nem em Matemática, nem em Português. A partir disto, pode-se calcular
facilmente o valor de #(U), que é a quantidade de alunos na sala de aulas, da seguinte forma:
#(U) = 15 + #(Port ∪ Mat) = 15 + 22 = 37.
8.10.2.- Situação-Problema 2 – Envolvendo Três Conjuntos:
Num clube de uma cidade estão sempre disponíveis para a leitura de seus associados, três
jornais: A, B e C. Sabe-se que 40 sócios vão lá todos os dias e para lerem os jornais A, B e C,
sistematicamente; que 60 lêem os jornais A e B; 50 lêem os jornais B e C e que os jornais A e C
são lidos por 65 pessoas, também sócias daquele clube. O clube tem 400 membros cadastrados,
contando-se os seus sócios efetivos e os seus dependentes. Quer-se saber: Quantos são os membros
do clube que não vão lá para ler os jornais.
Resolução da Situação-Problema 2:
O universo (U) que iremos analisar é o dos
membros do clube (os sócios e seus dependentes),
cuja cardinalidade é dada por: #(U) = 400.
Façamos o diagrama de Venn-Eüler para esta
situação, onde devem figurar o conjunto Universo
e os três conjunto A, B e C, com todas as suas
possíveis interseções.
U
A
B
2
0
2
5
2
0
4
0
1
0
1
1
0
C
&
Vamos preencher o diagrama com: o nome de cada conjunto (A, B e C), e com as respectivas
quantidades de elementos que cada uma das oito regiões possui − a quantidade de elementos distintos
de um conjunto é denominada cardinalidade −, de acordo com a seguinte ordem:
(1o) #(A ∩ B ∩ C) = 40;
(2o) #(A ∩ B) = 20;
(3o) #(A ∩ C) = 25;
(4o) #(B ∩ C) = 50;
(5o) #(exclusivamente em A) = #(A, não B, e não C) = 20;
(5o) #( exclusivamente em B) = #(B, não A, e não C) = 15;
(6o) #( exclusivamente em C) = #(C, não A, e não B) = 10.
Logo teremos como solução:
#(U, não A, não B e não C) = #(U) − #(A∪B∪C) = 400 – 140 = 260
Observe que: deve-se sempre tomar o cuidado de verificar se na distribuição das respectivas
quantidades não são ultrapassados os valores totais dos elementos que devem figurar em cada
um dos conjuntos A, B e C.
8.11.- Partição de um conjunto
8.11.1.- Definição de Classes de Conjuntos e Famílias de Conjuntos
Um conjunto formado por conjuntos, como por exemplo: ((A ) − o conjunto das partes de um
conjunto ou conjunto potência de A, são denominados Classes ou Famílias de Conjuntos,
sendo que alguns autores, mas isto ocorre com menor freqüência, utilizam o nome Coleções.
Normalmente a palavra Classe é utilizada para fazer referência a Conjuntos de Conjuntos,
enquanto o nome Família é utilizado para referenciar Conjuntos de Classes.
Assim como existem os subconjuntos quando trabalhamos com os conjuntos, passaremos a
ter as subclasses, e as subfamílias de conjuntos, quando passamos a trabalhar com as classes, e
famílias de conjuntos.
8.11.2.-Definição
Uma partição de um conjunto A é uma subdivisão de A em conjuntos disjuntos tais que a
união dos mesmos resulte o conjunto A.
Cada um dos subconjuntos de uma Partição de um dado conjunto A, são denominados
regiões disjuntas de A ou, mais simplesmente, família disjunta de subconjuntos de A.
'
Em símbolos:
Dado um conjunto A ≠ ∅, a coleção ou classe de conjuntos:
{Ai | Ai ⊂ A, 1 ≤ i ≤ n, n∈N, n < 2#(A) } ⊂ ((A )
será uma partição de A se, e somente se:
∀ A i ⊂ A, A i ≠ ∅
n
∃ n ∈ N, 1 ≤ i, j, k ≤ n, n < 2 #(A) tal que
i =1
A i = A1 ∪ A 2 ∪ ... ∪ A n = A
A j ∩ A k = ∅, j ≠ k
8.11.1.1.-Exemplos:
(1) Sendo A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, serão partições de A, as seguintes coleções (conjuntos de conjuntos):
(a) {{2, 4, 6}, {1, 3, 5}}; (b) {{1}, {2, 5}, {3, 6}, {4}}; (c) {{1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}}.
(2) O conjunto dos números ímpares e o conjunto dos números pares constituem uma partição de N
(números naturais).
(3) O conjunto dos números negativos, o conjunto dos números positivos e o conjunto unitário cujo
elemento é o número zero (o zero não é nem negativo, nem positivo), constituem-se numa partição do
conjunto Z (números inteiros).
(4) Os conjuntos dos números racionais (Q) e o dos números irracionais (Q’) constituem-se numa
partição do conjunto dos números reais (R), isto é: R = Q ∪ Q’ e Q ∩ Q’ = ∅.
8.12.- Diferença de Conjuntos
8.12.1.- Definição
Chama-se diferença entre dois conjuntos A e B quaisquer (B ⊂ A ou A ⊂ B, o que inclui a
possibilidade A=B), notada por A – B, ou A/B,
ao conjunto que contenha elementos de A que não pertença a B.
Em símbolos:
Cuidado:
A, B quaisquer, A – B = {x | x ∈ A ∧ x ∉B}
Somente quando B ⊂ A é que A – B = {x | x∈A ∧ x∉B} = C A B
8.12.1.1.- Exemplos:
(1) A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {0, 2, 3, 5, 7, 9, 10} então A – B = {1, 4} e B – A = {0, 7, 9, 10}
(2) A = {1, 2, 3, 4, 5} e P = {2, 4} então A – P = {1, 3, 5}=
C
A
P, pois P⊂ A; pode-se calcular P – A,
obtendo-se P – A = ∅, no entanto, é impossível calcular-se o
operação só estaria definida se A⊂ P .
C
P
A, pois A⊄ P, e esta última
8.13.- Relações de De Morgan
As definições das operações união de conjuntos, interseção de conjuntos e a complementação
de conjuntos (adotando-se C U A =
CA), associada às seguinte lei da Lógica Proposicional:
Distributiva: P ∧ (Q ∨ R) = (P ∧Q) ∨ (P ∧R) e P ∨ (Q ∧ R) = (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R)
nos permitirá provar as seguintes relações conhecidas como Leis de De Morgan.
[1] C(A ∪ B) = CA ∩ CB
[2] C(A ∩ B) = CA ∪ CB
8.13.1.- Provar:
C(A ∪ B) = CA ∩ CB
Prova:
C(A ∪ B)
def
= {x | x∈U ∧ x ∉(A∪B)} = {x | x∈U ∧ x ∉(A ∪B)}=
= {x | x∈U ∧ (x ∉A ∧ x∉B)} = {x | (x∈U ∧ x ∉A) ∧ ( x∈U ∧ x∉B)}=
= {x | (x∈U ∧ x ∉A) } ∩ {x| x∈U ∧ x∉B)} = C U A ∩ C U B = CA ∩CB .
8.3.2.- Provar:
C(A ∩ B) = CA ∪ CB
Prova:
C(A ∩ B)
def
= {x | x∈U ∧ x ∉(A∩B)} = {x | x∈U ∧ x ∉(A ∩B)}=
= {x | x∈U ∧ (x ∉A ∨ x∉B)} = {x | (x∈U ∧ x ∉A) ∨ ( x∈U ∧ x∉B)}=
= {x | (x∈U ∧ x ∉A) } ∪ {x| x∈U ∧ x∉B)} = C U A ∪ C U B =
CA ∪CB .
8.14.- Pares Ordenados – Um estudo bastante Interessante
Seja definir par ordenado da seguinte forma: dados dois elementos x e y, de conjuntos
quaisquer, chama-se par ordenado a um terceiro elemento, notado (x, y), onde x é chamado primeiro
elemento do par ordenado e, y, o segundo elemento. Um par ordenado é tal que: (x,y) ≠ (y,x). Assim,
podemos afirmar que:
Propriedade 1:
(x, y) = (z, w) ⇔ x = z e y = w
8.14.1- Um Par Ordenado Definido a Partir de um Conjunto de Conjuntos
Vamos agora criticar as idéias anteriormente expostas sobre o que deveriam ser os pares
ordenados. Nas Teorias Axiomáticas dos Conjuntos, particularmente naquelas denominadas Teorias de
Classes de Conjuntos, x e y, eventualmente poderiam ser conjuntos. Outro conceito muito interessante
que diz respeito ao pares ordenados é que eles mesmos são, na verdade, conjuntos. Vejamos a seguir,
como isto pode ser verificado.
Ao invés de adotarmos a idéia anterior, que pode parecer até muito satisfatória, mas é ingênua,
poderíamos definir par ordenado como sendo o conjunto: {{x}, {x, y}} − veja que aqui por maior que
seja a nossa intuição, dificilmente concordaríamos com isto, ou seja, que {{x}, {x, y}} = (x,y) tal que
(x,y) ≠ (y,x)..
Para mostrar que isto é totalmente aceitável e cabível, vamos reescrever o nossa propriedade 1
anterior, de maneira a fazê-la corresponder à esta nova definição de par ordenado:
Propriedade 2:
{{x}, {x, y}} = {{z}, {z, w}} ⇔ x = z e y = w
a partir da qual gostaríamos de obter como conseqüência: {{x}, {x, y}} = (x, y), o que nos permitirá
afirma que um par ordenado é um conjunto. Mas esta conseqüência, precisa ser provada.
Vejamos como Provar que: {{x}, {x, y}} = (x, y),
A partir da Propriedade 2, podemos afirmar o seguinte sobre o conjunto {{x}, {x, y} :
[1] Para x ≠ y teremos: {{x}, {x, y}} = {{x, y}, {x}} que é um par não ordenado.
[2] Para x = y teremos: {{x}, {x, y}} = {{x}, {x}} ⇔ {{x}} que é um conjunto unitário ou
uma classe unitária.
8.14.2- Teorema
{{x}, {x, y}} = (x, y) ⇔ x ≠ y
onde (x, y) é um par ordenado, isto é: (x, y) = (z, w) ⇔ x = z e y = w.
Prova:
Vamos mostrar que: {{x}, {x, y}} é um par ordenado (x,y), no sentido ingênuo do termo,
ou seja, que as duas definições dadas anteriormente e propriedades 1 e 2 são equivalentes. Para
isto basta mostrar a validade da Propriedade 2, ou seja, vamos mostrar que:
{{x}, {x, y}} = {{z}, {z, w}} ⇔ x = z e y = w .
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------[1 ⇐(Volta)] Hipótese: x = z e y = w
Tese: {{x}, {x, y}} = {{z}, {z, w}}
!
Se x = z e y = w é imediato que {{x}, {x, y}} = {{z}, {z, w}}. (Está provada a Volta: ⇐).
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------(Ida) ]
Hipótese: {{x}, {x, y}} = {{z}, {z, w}}
Tese: x = z e y = w
[2
Aqui temos casos possíveis a considerar: [2.1] x = y ou então [2.2] x ≠ y.
[2.1. ] Se for considerado na Hipótese que x = y, temos: {{x}} = {{z}, {z, w}}.
•
Para que a igualdade entre os conjuntos se verifique, obrigatoriamente temos que impor:
x = z = w, assim, como pela primeira possibilidade x = y, teremos x = z = w =y, e é assim que
chegamos à nossa Tese: x = z e y = w.
[2.2. ] Se for considerado na Hipótese que x ≠ y, teremos: {x} = {z, w} ou então {x} = {z}
•
Se {x} = {z, w} teríamos que ter x = z = w e a igualdade {{x}, {x, y}} = {{z}, {z, w}}
se reduziria a {{x}, {x, y}} = {{x}, {x, x}}={{x}}, o que seria um absurdo, pois considerouse que x ≠ y. Assim, pode-se afirmar que adotar-se: {x} = {z, w} conduziria a um absurdo.
Portanto, pode-se assumir que {x} = {z, w} é falsa.
•
Se: {x} = {z}, ou seja, x = z, teríamos {{x}, {x, y}} = {{x}, {x, w}}. Como x ≠ y,
obrigatoriamente: {x, y} = {x, w} pois {x, y} ≠ {x}, e evidentemente: y = w. Fica assim
x = z e y = w. (Está
demonstrado que x = z e y = w, de onde: {{x}, {x, y}} = {{z}, {z, w}}
provada a ida: ).
De acordo com [1 ⇐] e [2 ] o Teorema está provado.
8.15.- Produto Cartesiano
8.15.1.- Definição
Chama-se produto cartesiano de A por B, ao conjunto A × B = {(x, y) | x∈A ∧ y∈B}.
8.15.1.1.- Exemplos:
[1] A = {1, 2, 3} e B = {a, b}
[2] C = {2, 5}
A × B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)}
B × A = {(a,1), (b,1), (a,2), (b,2), (a,3), (b,3)}
C × C = {(2,2), (2,5), (5,2), (5,5)} = C2
[3] Notar que o Plano Cartesiano (Eixos Coordenados Cartesianos) é notado como sendo um produto
cartesiano: R2 = R × R.
[4] A × B × C = {(x, y, z) | x∈A ∧ y∈B ∧ z∈C}, onde (x, y, z) é denominada terna ordenada ou terno
ordenado.
8.15.2.- Propriedades dos Produtos Cartesianos:
[1] A × B = B × A ⇔ A = B (não comutatividade)
[2] ∀A, A × ∅ = ∅ × A = ∅
"
[3] #(A × B) = #(A) × #(B)
[4] #(A × B × C) = #(A) × #(B) × #(C)
#
8.16.- Resumo das Principais Propriedades das Operações com Conjuntos
8.16.1.- Provar
Sendo A, B e C conjuntos, pode-se provar a validade das seguintes igualdades:
A A=A
Idempotência
Idempotência
A∪A=A
Anulamento
A−A=∅
A B=B A
Comutatividade
Comutatividade
A∪B=B∪A
(A B) C = A (B C)
Associatividade
Associatividade
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
Distributividade da intersecção com relação à união
A (B ∪ C) = (A B) ∪ (A C)
Distributividade da união com relação à intersecção
A ∪ (B C) = (A ∪ B) (A ∪ C).
Distributividade da diferença com relação à intersecção
C − (A B) = (C −A) ∪ (C −B)
Distributividade da diferença com relação à união
C −(A ∪ B) = (C −A) (C −B)
8.16.2.- Mais Propriedades
C − (B − A) = (A C) ∪ (C− B)
(B − A) C = (B C) −A = B (C − A)
(B −A) ∪ C = (B ∪ C) − (A − C)
A⊂B⇔A B=A
A⊂B⇔A∪B=B
A⊂B⇔A−B=∅
A B=∅⇔B−A=B
A B⊂A⊂A∪B
A ∅=∅
A∪∅=A
∅−A=∅
A−∅=A
8.16.3.- Propriedades da Complementação de Conjuntos
Para U, o Conjunto Universo, e os subconjuntos A, B e C de U, sendo
C (C
U
U
A) =
C(CA)
B − A = (C u A) ∩ B
(B - A)' = A ∪ B'
A ⊂ B ⇔ B' ⊂ A'
A∩U=A
A∪U=U
U − A = A’
A−U=∅
= A(A’)’
C
U
A=
CA = A’: