UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO
Departamento de Matemática e Estatı́stica
Disciplina: Geometria Euclidiana
Curso: Licenciatura em Matemática.
Oitva Lista de Exercı́cios - 2014/1
Questão 1: Considere um paralelepı́pedo retângulo ABCD−EF GH com lados AB = a, AD = b e AE = c.
a) Calcule o comprimento das diagonais do paralelepı́pedo.
b) Mostre que as diagonais se intersectam todas num mesmo ponto.
c) Existe uma esfera que circunscreve o paralelepı́pedo? Se sim calcule o seu raio.
d) Sob que condições existe uma esfera inscrita no paralelepı́pedo? Neste caso, calcule o raio desta esfera.
e) Calcule a distância de E à reta BD.
f) Calcule a distância entre as retas AE e BD.
g) Calcule o ângulo entre a diagonal AG e a face ADHE.
Questão 2: Qual é o lugar geométrico dos pontos equidistantes de três pontos não colineares?
Questão 3: Dada uma esfera de centro O e raio R e um plano α que diste R/4 do ponto O. Seja Q o pé
da perpendicular baixada de O sobre o plano α. Calcule a distância de Q aos pontos de interseção da esfera
com o plano α. Conclua que a interseção de uma esfera com um plano é uma circunferência.
Questão 4: Prove que se a base de um prisma reto é um polı́gono inscritı́vel, então existe uma esfera que
circunscreve o prisma. E se o prisma não for reto? E se o polı́gono não for inscritı́vel? (Dica: É mais fácil
do que parece)
Questão 5: Considere um octaedro regular de aresta a. Determine:
a) A distância entre duas faces opostas.
b) O ângulo diedro entre duas faces adjacentes.
Questão 6: As moléculas de metano CH4 têm o formato de um tetraedro regular, com um átomo de
hidrogênio em cada vértice, cada um deles ligado ao átomo de carbono no centro do tetraedro. Calcule o
ângulo formado por duas ligações no átomo de carbono.
Questão 7: Em um tetraedro regular de aresta a, calcule os raios das esferas circunscrita, inscrita e tangente
às arestas.
Questão 8: Termine a Lista 7.