Fatoração Algébrica
Casos Simples de Fatoração Algébrica
Como já aprendemos na Aritmética, todo número, não primo, pode ser decomposto em
um produto de fatores primos. Assim,
tem-se:
3
30 = 2 X 3 X 5 ; 72 = 8 x 9 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 = 2 x 3
2
Da mesma forma, podemos decompor algumas expressões algébricas em fatores.
2
2
2
2
2
2 3
2
Assim, por exemplo : a - b = (a+b) (a - b) ; a + 2ab + b = (a + b) ; 12a b - 18ab =
2
6ab (2ab - 3)
O processo pelo qual transformamos uma adição algébrica em um produto algébrico
denominamos fatoração algébrica, ou
simplesmente, fatoração.
No estudo da fatoração são conhecidos vários casos. Vamos estudá-los, classificandoos, para uma melhor compreensão.
Primeiro Caso de Fatoração : Evidenciação
2
3
Consideremos o polinômio 6ax - 4ax + 2ax, que pode ser escrito como :
(2ax).(3x) - (2ax).(2x) + (2ax).(1). Percebemos que o fator 2ax esta presente em todos os
termos do polinômio. 2ax é o fator
comum e deverá ser colocado em evidência. Assim :
2
3
2
6ax - 4ax + 2ax = (2ax) (3x - 2x + 1)
2 4
3 2
4 3
Exemplo 01) Fatorar o polinômio 7m p - 14m p + 21m p
2 2
Colocando o fator comum 7m p em evidência, teremos :
2 4
3 2
4 3
2 2
2
2
7m p - 14m p + 21m p = 7m p ( p - 2m + 3m p)
3
2
Exemplo 02) Fatorar o polinômio 2m (a - b) + 8m ( a - b)
2
Colocando o fator comum 2m (a - b) em evidência, teremos :
3
2
2
2
2m (a - b) + 8m ( a - b ) = [2m (a - b)] ( m + 4) = 2m (a - b)( m + 4)
Segundo Caso de Fatoração : Trinômio Quadrado Perfeito
Já aprendemos em produtos notáveis que :
2
2
2
2
2
(a + b) = a + 2ab + b e (a - b) = a - 2ab + b
2
2
2
O que faremos agora é transformarmos a soma algébrica a ± 2ab + b em sua forma
2
fatorada (a ± b) .
E para tal precisamos compreender que um trinômio será quadrado perfeito quando
possuir dois de seus três termos quadrados
e o terceiro sendo igual ao dobro do produto entre as raízes quadradas dos termos
quadrados.
2
2
Exemplo 03) Se possível, fatore o polinômio 4m + 12mn + 9n
2
4
4
O polinômio possui dois termos quadrados 4m e 9n , e cujas raízes quadradas são,
2
respectivamente, 2m e 3n . O dobro do
2
produto entre essas raízes é exatamente igual ao terceiro termo 12mn .
2
2
4
E dessa forma o polinômio 4m + 12mn + 9n é um trinômio quadrado perfeito e pode,
portanto ser fatorado.
A raiz quadrada do primeiro termo quadrado é 2m, a raiz do segundo termo quadrado é
2
3n e o sinal que os une será o sinal do
2
terceiro termo + 12mn . Dessa forma, teremos :
2
2
4
2 2
4m + 12mn + 9n = ( 2m + 3n )
4
2 3
6
Exemplo 04) Se possível, fatore o polinômio 16x + 36x y + 25y
4
6
O polinômio possui dois termos quadrados 16x e 25y , e cujas raízes quadradas são,
2
3
respectivamente, 4x e 5y . O dobro do
2 3
2 3
produto entre essas raízes é igual a 40x y que é diferente do terceiro termo 36x y .
4
2 3
6
E dessa forma o polinômio 16x + 36x y + 25y não é um trinômio quadrado perfeito e
não pode, portanto, ser fatorado, pelo
menos como um trinômio quadrado perfeito.
Exemplo 05) Se possível, fatore o polinômio 36 - 132p
6n
+ 121p
12n
12n
O polinômio possui dois termos quadrados 36 e 121p , e cujas raízes quadradas são,
6n
respectivamente, 6 e 11 . O dobro do
6n
produto entre essas raízes é exatamente igual ao terceiro termo 132p .
E dessa forma o polinômio 36 - 132p
portanto, ser fatorado.
6n
+ 121p
12n
é um trinômio quadrado perfeito e pode,
A raiz quadrada do primeiro termo quadrado é 6, a raiz do segundo termo quadrado é
6n
11p e o sinal que os une será o sinal do
6n
terceiro termo - 132p , Dessa forma, teremos :
36 - 132p
6n
+ 121p
12n
6n 2
= ( 6 - 11p )
Terceiro Caso de Fatoração : Diferença de Dois Quadrados
Já aprendemos em produtos notáveis que :
2
2
(a + b) (a - b) = a - b
2
2
O que faremos agora é transformarmos a diferença algébrica a - b em sua forma
fatorada (a + b) (a - b). E para tal precisamos
extrair as raízes quadradas de ambos os termos e montarmos com essas raízes a sua
soma multiplicada por sua diferença.
2
8
Exemplo 06) Fatore o binômio 64x - 25y
2
8
O binômio é uma diferença de dois quadrados 64x e 25y , e cujas raízes quadradas são,
4
respectivamente, 8x e 5y .
4
4
Montando a soma (8x + 5y ) e a diferença (8x - 5y ) e as multiplicando, teremos nossa
fatoração concluída. Assim :
2
8
4
4
64x - 25y = (8x + 5y ) (8x - 5y )
6
Exemplo 07) Fatore 81 - 0,49k
6
O binômio é uma diferença de dois quadrados 81 e 0,49k , e cujas raízes quadradas são,
3
respectivamente, 9 e 0,7k .
3
3
Montando a soma (9 + 0,7k ) e a diferença (9 - 0,7k ) e as multiplicando, teremos nossa
fatoração concluída. Assim :
6
3
3
81 - 0,49k = (9 + 0,7k ) (9 - 0,7k )
Veja que interessante: Já sabemos que 49 - 25 = 24.
Vamos fazer essa diferença entre dois quadrados utilizando a fatoração, que acabamos
de aprender:
49 - 25 = (7 + 5) ( 7 - 5 ) = 12 x 2 = 24 ( deu, é claro, o mesmo resultado )
Quarto Caso de Fatoração : Trinômio de Stevin
Já aprendemos em produtos notáveis que :
2
2
(a + b) (a + c) = a + (b + c)a + bc, que podemos escrever como : a + Sa + P, onde S é a
soma dos termos não comuns e P o
seu produto.
2
O que faremos agora é transformarmos a soma algébrica a + Sa + P em sua forma
fatorada (a + b) (a + c).
E para tal precisamos extrair a raiz quadrada do termo quadrado e descobrirmos dois
número cuja soma seja S e cujo produto
seja P. e verificarmos se a soma aparece multiplica pela raiz quadrada do termo comum.
Só com alguns exemplos poderemos entender melhor esse tipo de fatoração. Vamos a
eles.
2
Exemplo 08) Fatore o trinômio k + 8k + 15
2
Extraindo a raiz quadrada do termo quadrado k , teremos k. Vamos descobrir agora dois
números que somados sejam iguais a
8 e multiplicados sejam iguais a 15. Esses números serão 3 e 5, já que: 3 + 5 = 8 e 3 x 5 =
15. Percebemos, também, que a soma
2
8 aparece multiplicada pela raiz quadrada k de k .
2
Assim : k + 8k + 15 = (k + 3) (k + 5)
4
2
Exemplo 09) Fatore o trinômio m - 6m + 8
4
Extraindo a raiz quadrada do termo quadrado m , teremos m2. Vamos descobrir agora
dois números que somados sejam iguais
a - 6 e multiplicados sejam iguais a 8. Esses números serão - 2 e - 4 , já que: - 2 + - 4 =
- 6 e (- 2) x (- 4) = + 8. Percebemos,
2
4
também, que a soma - 6 aparece multiplicada pela raiz quadrada m de m .
4
2
2
2
Assim : m - 6m + 8 = (m - 2) (m - 4)
6
3
Exemplo 10) Fatore o trinômio 25y + 20y - 21
6
3
Extraindo a raiz quadrada do termo quadrado 25y , teremos 5y . Vamos descobrir agora
dois números que somados sejam iguais
3
3
a + 4, lembremos que a raiz de 9y6, está presente nesse termo, assim, 20y : 5y = 4 e
multiplicados sejam iguais a - 21.
Esses números serão - 3 e + 7 , já que: - 3 + 7 = 4 e
como já vimos, que a soma + 4 aparece
6
multiplicada pela raiz quadrada 5y3 de 25y .
6
3
3
(- 3) x (+ 7) = - 21. Percebemos,
3
Assim : 25y + 20y - 21 = (5y + 7) (5y - 3)
8
4
2
Exemplo 11) Fatore o trinômio 4p - 8p a - 5a
8
4
Extraindo a raiz quadrada do termo quadrado 4p , teremos 2p . Vamos descobrir agora
dois números que somados sejam iguais
4
a - 4a, lembremos que a raiz de 4p8, está presente nesse termo, assim, - 8p4a : 2p = 4a
2
e multiplicados sejam iguais a - 5a .
2
Esses números serão - 5a e + 1a , já que: - 5a + 1a = 4a e (- 5a) x (+ a) = - 5a .
Percebemos, como já vimos, que a soma + 4a
4
8
aparece multiplicada pela raiz quadrada 2p de 4p .
8
4
2
4
4
Assim : 4p - 8p a - 5a = (2p + a) (2p - 5a)
Quinto Caso de Fatoração : Soma de Dois Cubos
3
3
Um binômio soma da forma x + y pode ser fatorado em um produto da forma:
3
3
2
2
x + y = (x + y) ( x - xy + y )
A melhor forma para fatorarmos uma soma de dois cubos é compreendermos que um
dos fatores será a soma das raízes cúbicas
dos termos cúbicos originais, e a partir dele, montarmos o outro fator que será o
quadrado do primeiro menos o produto entre
o primeiro e o segundo mais ( sempre mais ) o quadrado do segundo. Só praticando
entenderemos esse caso fatoração.
6
Exemplo 12) Fatore a soma de dois cubos 8p + 125
Como ambos são termos cúbicos, essa soma poderá ser fatorada.
6
2
A raiz cúbica de 8p é 2p e a raiz cúbica de 125 é 5. Assim já temos o nosso primeiro
2
fator (2p + 5)
2
4
A partir dele montaremos o nosso segundo fator. O quadrado de 2p é 4p ; o produto
2
2
entre 2p e 5 é 10p e o quadrado do
2
segundo é 5 = 25. E dessa forma, teremos:
6
2
4
2
8p + 125 = (2p + 5) ( 4p - 10p + 25)
3 9
Exemplo 13) Fatore 27x y + 64z
6
Como ambos são termos cúbicos, essa soma poderá ser fatorada.
3 9
3
6
3
A raiz cúbica de 27x y é 3xy e a raiz cúbica de 64z é 4z .
3
2
Assim já temos o nosso primeiro fator (3xy + 4z )
3
2 6
A partir dele montaremos o nosso segundo fator. O quadrado de 3xy é 9x y ; o produto
3
2
3 2
entre 3xy e 4z é 12xy z e o quadrado
2 2
4
do segundo é (4z ) = 16z .
3 9
6
3
2
2 6
3 2
4
E dessa forma, teremos: 27x y + 64z = (3xy + 4z ) (9x y - 12xy z + 16z )
Sexto Caso de Fatoração : Diferença de Dois Cubos
3
3
Um binômio diferença da forma x - y pode ser fatorado em um produto da forma:
3
3
2
2
x - y = (x - y)( x + xy + y )
A melhor forma para fatorarmos uma diferença de dois cubos é compreendermos que
um dos fatores será a diferença das
raízes cúbicas dos termos cúbicos originais, e a partir dele, montarmos o outro fator que
será o quadrado do primeiro
mais o produto entre o primeiro e o segundo mais ( sempre mais ) o quadrado do
segundo. Só praticando, entenderemos
esse caso fatoração.
Exemplo 14) Fatore a diferença de dois cubos 216p3 - 125m6
Como ambos são termos cúbicos, essa diferença poderá ser fatorada.
6
2
A raiz cúbica de 216p3 é 6p e a raiz cúbica de 125 m é 5m . Assim já temos o nosso
2
primeiro fator (6p - 5m )
A partir dele montaremos o nosso segundo fator. O quadrado de 6p é 36p2 ; o produto
entre 6p e 5m2 é 30pm2 e o quadrado
2 2
4
do segundo é (5m ) = 25m .
3
6
2
2
2
4
E dessa forma, teremos: 216p - 125m = (6p - 5m ) ( 36p + 30pm + 25m )
Sétimo Caso de Fatoração : Agrupamento
Quando em um polinômio dois ou mais termos possuem um termo comum que
evidenciado faz aparecer um termo comum à
fatoração dos demais termos. Só com alguns exemplos podemos compreender melhor
esse caso de fatoração.
Por essa razão o deixamos como o último caso de fatoração.
Exemplo 15) Fatore o polinômio ac + ad + bc + bd (1ª resolução )
Se colocarmos, nos dois primeiros termos, o fator comum a em evidência e colocarmos,
nos dois últimos termos, o fator comum
b em evidência, teremos :
ac + ad + bc + bd = a(c + d) + b( c + d). E colocando o novo fator comum (c + d) em
evidência, teremos :
ac + ad + bc + bd = a(c + d) + b(c + d) = (c + d) (a + b)
Exemplo 16) Fatore o polinômio ac + ad + bc + bd (2ª resolução )
Vamos agrupar agora o primeiro e o terceiro termo e, também, o segundo e o quarto
termo.
ac + ad + bc + bd = ac + bc + ad + bd
Se colocarmos, nos dois primeiros termos, o fator comum c em evidência e colocarmos,
nos dois últimos termos, o fator comum
d em evidência, teremos :
ac + bc + ad + bd = c(a + b) + d(a + b)
E colocando o novo fator comum (a + b) em evidência, teremos :
ac + bc + ad + bd = c(a + b) + d(a + b) = (a + b) (c + d)
Exemplo 17) Fatore o polinômio 2am + an - 6bm - 3bn
Se colocarmos, nos dois primeiros termos, o fator comum a em evidência e colocarmos,
nos dois últimos termos, o fator comum
- 3b em evidência, teremos :
2am + an - 6bm - 3bn = a(2m + n) - 3b(2m + n).
E colocando o novo fator comum (2m + n) em evidência, teremos :
2am + an - 6bm - 3bn = a(2m + n) - 3b(2m + n) = (2m + n) (a - 3b)
2
2
2
2
Exemplo 18) Fatore 3a x - 2b + 2a - 3b x
2
2
2
2
Reagrupando o polinômio, teremos : 3a x - 3b x + 2a - 2b
Se colocarmos, nos dois primeiros termos, o fator comum 3x em evidência e
colocarmos, nos dois últimos termos, o fator
comum 2 em evidência, teremos :
2
2
2
2
2
2
2
2
3a x - 3b x + 2a - 2b = 3x(a - b ) - 2(a - b )
2
2
E colocando o novo fator comum (a - b ) em evidência, teremos :
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3a x - 3b x + 2a - 2b = 3x(a - b ) - 2(a - b ) = (a - b ) (3x - 2)
2
2
E como o fator (a - b ) é fatorável e igual a (a + b) (a - b), teremos, finalmente :
3a x - 3b x + 2a - 2b = 3x(a - b ) - 2(a - b ) = (a - b ) (3x - 2) = (a + b) (a - b) (3x - 2)
Com isso, apresentamos os mais importantes casos de fatoração. Alguns exercícios
resolvidos e um pouco mais complexos,
nos ajudarão no entendimento desse assunto da Álgebra, que é um dos que mais
dificuldades apresenta aos alunos.