CMJF - Colégio Militar de Juiz de Fora - Laboratório de Física
Medidas e Grandezas em Física
MEDIDAS EM FÍSICA
Uma das maneiras de se estudar um fenômeno é estabelecer relações matemáticas entre as grandezas físicas
nele envolvidas. Para isso medir é associar valores numéricos às grandezas físicas, através de instrumentos. As
medidas desempenham um papel muito importante. Para se obter a medida de qualquer grandeza o procedimento
inicial deve ser a escolha de uma unidade apropriada e conseqüentemente do instrumento de medida que proporcione
efetuar tal medida com segurança e eficiência portanto, o conhecimento das unidades é imprescindível no estudo da
física.
Ao ser definida uma grandeza física estabelece-se uma série de procedimentos para medir essa grandeza e
atribuir-lhe uma unidade. Urna vez estabelecido um padrão básico, deve-se estabelecer também métodos que
possibilitem medir a extensão de qualquer objeto por simples comparação com o padrão estabelecido sendo este
acessível- Isso significa que o padrão deve ser invariável.
A 14a Conferência Geral sobre Pesos e Medidas (1971), estruturada no trabalho de conferências e comitês
internacionais precedentes, selecionou como unidades básicas sete grandezas que são: comprimento, massa,
tempo, corrente elétrica, temperatura termodinâmica, quantidade de substância e intensidade luminosa.
ORIGEM DO SISTEMA MÉTRICO
Até o final do século XVllI, as unidades de medida eram definidas arbitrariamente, variando de um país para
outro, dificultando as transações entre eles. Este fato acarretava grandes dificuldades nas operações matemáticas com
as medidas (1 jarda = 3 pés = 36 polegadas). Assim, surgiu na França, em 1795, como uma contribuição importante
das conquistas da Revolução Francesa, o sistema métrico decimal e devido ao decreto assinado pelo imperador
Napoleão Bonaparte todas as escolas francesas foram obrigadas a ensinar este sistema. Finalmente em 1875, realizouse em Paris a célebre Convenção do Metro, na qual 18 das mais importantes nações do mundo se comprometeram a
adotar o sistema métrico, exceto a Inglaterra que usa unidades antigas até hoje. A partir da Convenção do Metro, o
uso do sistema métrico foi se expandindo por todo o mundo. Ao mesmo tempo novas unidades foram sendo
incorporadas ao sistema. Para atender às necessidades do desenvolvimento das ciências, os cientistas julgaram
conveniente uma reestruturação do sistema métrico, organizando então um conjunto mais amplo, abrangendo unidades
definidas de maneira mais rigorosa denominada Sistema Internacional de Unidades (SI). Em 1960, durante uma
reunião internacional realizada em Paris, esse sistema foi oficializado e aceito universalmente, mesmo pelos países de
língua inglesa, nos quais vem sendo feito um grande esforço para sua adoção pela população em geral, pois na área
1
científica seu uso já é generalizado. Qualquer que seja o instrumento utilizado ou a grandeza a ser medida, a medição
se baseia fundamentalmente numa comparação.
A importância das unidades
(Unicamp-SP) "Erro da NASA pode ter destruído sonda" (Folha de S.Paulo, 1/10/1999).
Para muita gente, as unidades em problemas de Física representam um mero detalhe sem importância. No
entanto, o descuido ou a confusão com unidades pode ter conseqüências catastróficas, como aconteceu recentemente
com a NASA. A agência espacial americana admitiu que a provável causa da perda de uma sonda enviada a Marte
estaria relacionada com um problema de conversão de unidades. Foi fornecido ao sistema de navegação da sonda o
raio de sua órbita em metros, quando, na verdade, este valor deveria estar em pés. O raio de uma Órbita circular
segura seria r = 2,1 x 105 m, mas o sistema de navegação interpretou esse dado como sendo em pés. Como o raio da
órbita ficou menor, a sonda desintegrou-se devido ao calor gerado pelo atrito com a atmosfera marciana. Calcule,
para essa órbita fatídica, o raio em metros. Considere 1 pé = 0,30 m.
SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (SI)
O Sistema Internacional de Unidades (SI) é um conjunto de unidades de medidas que uniformiza os padrões a
serem adotados, para facilitar as trocas de informações entre os diversos países. O Brasil também adota oficialmente
esse sistema. De acordo com o SI há sete unidades fundamentais, cada qual correspondendo a uma grandeza,
conforme mostra a tabela:
Existem mais duas unidades suplementares para a medida de ângulos:
2
A partir dessas unidades fundamentais, derivam se as unidades de outras grandezas físicas, que recebem a
denominação de unidades derivadas.
Nos estudos da Mecânica, particularmente, em que se relacionam as grandezas fundamentais de
comprimento, massa e tempo, adota-se um subconjunto do SI: o Sistema MKS. É um sistema de unidades proposto
por Giovanni Giorgi e também chamado de MKS Giorgi.
Ainda na Mecânica, há dois outros sistemas menos usados, conforme as tabelas a seguir:
*K: quilograma-força.
OS NÚMEROS (GRANDEZAS) NA FÍSICA
Sendo a Física uma ciência, é constante a solicitação de se exprimir os resultados de medição, de avaliação ou
até mesmo de comparações através de números. Assim sendo se faz necessário conhecer e aplicar algumas regras
elementares para o uso correto da teoria dos números para que haja confiabilidade na expressão correta da grandeza
física mensurável.
Temos a seguir 4 aspectos essenciais para o estudo das grandezas medidas em laboratórios e que são
utilizadas em estudos científicos e em diversas aplicações de uma forma geral:
I – Notação Científica
II – Ordem de Grandeza
III – Algarismos Significativos
IV – Operações com Algarismos Significativos
3
I - Notação Científica
A notação científica é uma representação numérica muito útil em casos de valores muito pequenos ou muito
grandes. Por exemplo, como não é prático o cálculo de uma operação envolvendo um número como
0,000000000000321 ou 150 000 000 000, a notação científica compacta essa representação.
Portanto, na notação científica o fator a que multiplica a potência de 10 deve ser igual ou maior que o número
1, mas sempre menor que 10.
Exemplo l:
a) Dimensão do átomo: 0,0000000001m
b) Dimensão do núcleo: 0,0000000000001m
c) Velocidade da luz no vácuo: 300000000 m/s
As grandezas acima ficam, em notação científica:
a) 10-10 m
b) 10-13 m
c) 3 x 108 m/s
Outros exemplos:
carga elétrica elementar: 1,6 x 10-19 coulomb;
ano-luz: 9,46 x 1015 metros;
número de Avogadro: 6,02 x 1023;
massa da Terra: 5,983 x 1024 quilogramas.
Então, usamos a notação científica para facilitar a compreensão e a comparação das grandezas físicas.
Conceito: "Qualquer número pode ser escrito como o produto de um número que varie de l a 9 vezes uma potência de
10".
Exemplo 2:
842 = 8,42 x 100 = 8,42 x 102
–2
0,031 = 3,1 x 1 = 3,1 x 10
100
349000 = 3,49 x 100000 = 3,49 x 105
0,000002 = 2 x
–6
1
= 2 x 10
1000000
4
Operações elementares:
Lembre - se:
100 = 1
101 = 10
102 = 100
–1
10 = 1 = 0,1
10
–2
10 = 1 = 0,01
100
Exemplo 3:
a) (2 x 105) x (3 x 104) = 6 x 10(5+4) = 6 x 109
b) 6 x 103 + 4 x 104 = 0,6 x 104 + 4 x 104 = (0,6+ 4) x 104 = 4,6 x 104
Observe que fixamos o número cuja potência de 10 é maior e transformamos o número cuja potência de 10 é
menor
c) 2,52 x 103 + 32000 x 10-2 = 2,52 x 103 + 0,32 x 103 = (2,52 + 0,32) x 103 = 2,84 x 103
d) 2,6 x 10-4 -130000 x 10-9 = 2,6 x 10-4 - 1,3 x 10-4 = (2,6 - 1,3) x 10-4 = 1,3 x 10-4
3
10
e) 72 . 10 / 9 . 10
(3 – 10)
–7
= 72 . 10
= 8 . 10
9
II - Ordem de Grandeza
Em diversas situações, podem não ser necessários os valores exatos de medidas utilizando muitos algarismos; basta
apenas que se façam aproximações desses valores. Para isso, existe um tipo de estimativa, como o visto a seguir.
Como se determina a ordem de grandeza a partir da notação científica?
Observe que:
10 = 3,162
5
Exemplo 4: A seguir, alguns exemplos de notações científicas e suas respectivas ordens de grandeza:
a) Notação científica: 2,5 x 107.
Sendo 1 < 2,5 < 3,162 e o expoente da base 10 igual a 7, tem-se a ordem de grandeza igual a uma potência de base
10, cujo expoente é igual ao da notação científica: 107.
b) Notação científica: 6,5 x 108.
Sendo 10 > 6,5 > 3,162 e o expoente da base 10 igual a 8, tem-se a ordem de grandeza igual a uma potência de base
10, cujo expoente é uma unidade maior que o da notação científica: 109.
c) Notação científica: 8,12 x 10-10.
Sendo 10 > 8,12 > 3,162 e o expoente da base 10 igual a -10, tem-se a ordem de grandeza igual a uma potência de
base 10, cujo expoente é uma unidade maior que o da notação científica: 10-9.
d) Notação científica: -7 x 1021.
Sendo 10 > 7 > 3,162 e o expoente da base 10 igual a 21, tem-se a ordem de grandeza igual a uma potência de base
10, cujo expoente é uma unidade maior que o da notação científica: - 1022.
e) Notação científica: -2,9 x 103.
Sendo 1 < 2,9 < 3,162 e o expoente da base 10 igual a 3, tem-se a ordem de grandeza igual a uma potência de base
10, cujo expoente é igual ao da notação científica: -103.
Observe que: o sinal da ordem de grandeza depende do sinal de a (coeficiente da potência de base 10; basta manter o
sinal).
Outros exemplos:
Carga elétrica elementar da ordem de 10-19 C;
Ano-luz da ordem de 1016 m;
Número de Avogadro da ordem de l024;
Massa da Terra da ordem de 1025 kg.
6
III- Algarismos Significativos
Muitos números que aparecem na ciência são resultados de medições e, por isso, são conhecidos dentro dos
limites de certa incerteza experimental. O valor da incerteza depende da habilidade do experimentador e do aparelho
usado na medida e, muitas vezes, só pode ser estimada.
O princípio lógico é muito simples: à Física só interessam algarismos com significado científico. Não é o
número com “muitas casas decimais” o mais correto e sim aquele com a “dose certa” de algarismos
verdadeiramente confiáveis. A precisão é exatamente "até onde" o instrumento pode medir. Conclusão:
significativos são os algarismos de um número que exprimam corretamente uma medida em função da precisão do
instrumento usado.
Por outro, lado, os algarismos também apresentam dúvidas. Esta incerteza os caracteriza como “algarismos
duvidosos". Contudo, o algarismo é duvidoso quanto ao seu valor e significativo pela informação que acrescenta. Na
prática, raramente se diz qual a "precisão" do instrumento, então se conclui que a grandeza medida seja escrita
corretamente até o primeiro algarismo duvidoso.
Considere, por exemplo, a medida feita por uma régua (Fig.l):
com esta escala (divisões em cm), temos a seguinte medida: 6,8 cm.
Aqui 6 => é um algarismo confiável
8 => é um algarismo duvidoso, pois, para esta escala, estimamos este valor.
Conceito: Chamamos algarismo significativo, em uma medida experimental, aquele algarismo relacionado
efetivamente com a medição e que possui significado físico.
No exemplo acima a medida obtida, 6,8 cm, tem dois algarismos significativos. Temos como regra geral que
um algarismo (diferentes dos zeros que localizam a vírgula decimal) conhecido com confiança é um algarismo
significativo. Além disso, em uma medição, o primeiro algarismo estimado (duvidoso) também é significativo.
Exemplo 5: Considere as medidas a seguir:
a) 6,75 cm => têm-se 3 algarismos significativos.
b) 27,40 m => têm-se 4 algarismos significativos.
c) 0,0028 m => têm-se 2 algarismos significativos pois, 0,0028 m = 2,8 x 10-3 m
d) 33 mm => têm-se 2 algarismos significativos.
e) 33,000 mm => têm-se 5 algarismos significativos.
f) 40,1008 m => têm-se 6 algarismos significativos.
g) 0,00008001 m => têm-se 4 algarismos significativos pois, 0,00008001 m = 8,001 x 10-5 m.
7
Teoria do arredondamento
Motivação: Reduzir a quantidade de algarismos de um número.
Regra para arredondamento:
(i) Descobrir o número de casas decimais a serem conservadas.
(ii) Torne o 1° número desprezado da esquerda para a direita:
ii.a) se este número for menor que 5 => o número conservado à sua esquerda deve ser mantido sem alteração.
ii.b) se este número for maior ou igual a 5 => o número conservado à sua esquerda deve aparecer
acrescentado de uma unidade.
Exemplo 6:
a) 0,47238 m => querendo representá-lo com 3 casas decimais, resulta, 0,472, pois, 3<5 logo 2 é mantido sem
alteração.
b) 0,47238 m => querendo representá-lo com 4 casas decimais, resulta, 0,4724, pois, 8>5 logo 3 foi adicionado de
uma unidade.
IV - Operações com algarismos significativos
Devemos observar algumas regras gerais quando se fazem operações com algarismos significativos.
A) Adição e Subtração
A precisão da soma, ou da diferença, de duas medidas é tão boa quanto a precisão da menos precisa entre as
duas medidas. Como regra geral a observar se tem:
"O resultado da adição, ou da subtração, de dois números não tem algarismos significativos além da última casa
decimal nas quais os dois números originais têm algarismos significativos"
Do ponto de vista operacional temos que:
(i) encontrar qual (ou quais) das parcelas possui o menor número de casas decimais;
(ii) modificar, usando a teoria do arredondamento, as casas decimais das outras parcelas ficando todas com o
mesmo número de casas decimais da parcela do item (i).
Exemplo 7: Somar os números A, B, C abaixo.
Considere os números:
A= 2807,5 => [1 casa decimal, 5 algarismos significativos]
B = 0,0648 => [4 casas decimais, 3 algarismos significativos]
C= 83,64 => [2 casas decimais, 4 algarismos significativos]
As parcelas ficarão:
A => não altera;
B => será alterado para 0,1 (arredondamento)
C => será alterado para 83,6 (arredondamento) a soma será:
2807,5 + 0,1 + 83,6 = 2891,2
8
B) Multiplicação e Divisão
"O número de algarismos significativos no resultado da multiplicação, ou divisão, de vários números não pode ser
maior que o menor número de algarismos significativos de qualquer dos fatores, ou divisores"
Do ponto de vista operacional temos que:
(i) encontrar qual (ou quais) fatores possui o menor número de algarismos significativos;
(ii) no resultado final, manter o número de algarismos significativos igual ao fator dado no item (i);
Obs. 1: Quando o primeiro algarismo significativo do n° arredondado for 1, deve-se considerar mais um significativo.
Exemplo 8:
a) 3,67 x 2,5 = 9,175 (?) => observe que 3,67 (3 algarismos significativos), 2,5 (2 algarismos significativos), então,
a multiplicação deverá ter como resultado um número com 2 algarismos significativos. Logo:
3,67 x 2,5 = 9,2
b) 1732,83 x 0,25 = 433,2075 (?) => observe que 1732,83 (6 algarismos significativos), 0,25 (2 algarismos
significativos), então, a multiplicação deverá ter como resultado um número com 2 algarismos significativos. Mas
tenha cuidado! Não se esqueça de colocar o resultado em notação científica e proceder aos arredondamentos.
Temos:
1732,83 x 0,25 = 433,2075 = 4,332075 x 102 = 4,3 x 102 (arredondando!)
c) (48 . 10
–15
4
) ÷ (0,03 . 10 ) = 1600 .10
–19
Observe que 48 x 10-15 (2 algarismos significativos), 0,03 x 104 (1 algarismo significativo), então, a divisão deverá
ter como resultado um número com 1 algarismo significativo. No entanto, devido à obs. 1 acima, devemos considerar
mais um algarismo significativo. Então, a forma correta de escrever o resultado da divisão é: 1,6 x 10-16.
Exemplo 9:
O volume de uma esfera pode ser calculado pela expressão
3
V = 4π R
3
Dado que R = 3m, π = 3,1416, calcule o volume considerando os algarismos significativos e dê a resposta em notação
científica com a sua ordem de grandeza.
Solução:
Utilizando uma calculadora temos V = 113,0976 m3. Como R = 3 m tem apenas 1 algarismo significativo,
devemos escrever (atenção à obs. 1): V = 1,1 x 102 m3 cuja ordem de grandeza é OG = 102 m3.
9
Exercícios
1) Nas questões a seguir, faça os cálculos pedidos considerando os algarismos significativos e dê a resposta em
notação científica. Em cada caso, indique a ordem de grandeza.
a) 8 x 102 – 2,6 x 103
b) 3,84 x 104 + 4 x 10-2
c) (64,3 x 102)(0,3 x 10-3)
d) (2,4 x 10-3)/(7,2 x 103)
e)103/10-2
f) 176/(4,2 x 10-3)
g) (4 x 103)2
h) 5,7 x 102 + 4 x 103
i) 6,4 x 107 – 8,1 x 105
j) 1,28 x 105 + 4 x 103
k) 7,54 x 108 – 3,7 x 107
l) 3,67 x 2,3
m) 2,36 x 10-2 + 318 x 10-5 – 7,865
n) 504 – 1230
o) 24,76 x 2
p) 153,466 / 0,5
q) 6,47 x 104 m + 178 m
r) 20,2 x 103 m x 15 s
s) 2,02 x 102 kg + 0,5 kg
2) O volume de um cilindro pode ser calculado pela expressão V= π r2 h. Dado que r =2,5 m, h=5,72 m e π = 3,1416,
calcule o volume considerando os algarismos significativos e dê a resposta em notação científica com a respectiva
ordem de grandeza.
1