CAp/UERJ – Álgebra – 1ª Série do Ensino Médio – Prof. Ilydio Sá
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UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO
INSTITUTO DE APLICAÇÃO FERNANDO RODRIGUES DA SILVEIRA
REVISÃO: INTERVALOS REAIS – PROF. ILYDIO SÁ
I) DEFINIÇÃO
Denominamos de intervalo real a qualquer subconjunto dos números reais, definido
através de uma DESIGUALDADE.
II) TIPOS DE INTERVALOS
1) Intervalo aberto de extremos a e b.
2) Intervalo fechado de extremos a e b.
3) Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita, de extremos a e b.
4) Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita, de extremos a e b.
5) INTERVALOS INFINITOS
5.1. Intervalo de menos infinito até n, fechado em n.
5.2. Intervalo de menos infinito até n, aberto em n.
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5.3. Intervalo de n até mais infinito, fechado em n.
5.4. Intervalo de n até mais infinito, aberto em n.
OBSERVAÇÃO:
Na representação geométrica de um intervalo (reta real), a bolinha vazia indica que
o intervalo é aberto e que aquele elemento não pertence ao conjunto. Já a bolinha
cheia indica que o elemento pertence ao conjunto e que o intervalo é fechado.
Exercícios:
1. Represente através da notação de intervalo e através de desigualdades o
intervalo abaixo:
2. Quantos elementos possui o intervalo do exercício 1?
3. Quantos elementos inteiros possui o intervalo do exercício 1?
4. Qual o valor máximo do intervalo do exercício 1?
5. Qual o valor mínimo do intervalo do exercício 1?
6. Sabemos que os resultados de inequações, normalmente, são intervalos reais.
Resolva a inequação: 2 + 3x < 5 x + 8 , dando a resposta em forma de notação
de intervalo e também através da representação geométrica.
7. Perguntas que as pessoas sempre fazem.... Para que servem inequações?
Para que servem intervalos? O exemplo a seguir mostrará que a solução de
muitos problemas cotidianos recaem em inequações. Vejamos um desses
problemas: “Para produzir um CD, uma gravadora gasta $ 1,20 por unidade.
Além disso, há uma despesa fixa de R$ 4 000,00, independente da quantidade
produzida. O preço de venda é de R$ 2,00. Qual é o número mínimo de
unidades, a partir do qual a gravadora começa a ter lucro?”
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8. Em uma fábrica de roupas, o custo para a produção de um determinado tipo de
camisa é calculado a partir de um valor fixo de R$ 480,00 e mais R$ 30,00 por
unidade produzida. Nessa fábrica são produzidos lotes de, no máximo, 1000
camisas, sendo que cada lote é vendido com um lucro de 30% sobre valor do
custo.
a) Qual o custo para a produção de um lote com 600 camisas? Por quanto será
vendido esse lote?
b) Considere x (x ≤ 1000) a quantidade de camisas produzidas. A partir da venda
de quantas unidades que a empresa começa a ter lucro?
9. Uma pessoa vai escolher um plano de saúde entre duas opções: plano “Morte
Lenta” e plano “Seu dia chegará”. O plano “Morte Lenta” cobra um valor fixo
mensal de R$ 150,00 e mais R$ 22,00 por consulta num certo período. O plano
“Seu dia chegará” cobra um valor fixo mensal de R$ 128,00 e m ais R$ 27,00
por consulta no mesmo período. Observamos que o gasto total de cada plano é
calculado em função do número de consultas dentro do período combinado. A
partir de quantas consultas o plano B ser tornará mais econômico para o
cliente?
10. Um produto é vendido por R$ 20,00 a unidade. Para a produção desse artigo
há um curto fixo de R$ 6000,00, mais R$ 15,00 por unidade. A partir da venda
de quantas unidades a empresa produtora começará a ter lucro?
III) OPERAÇÕES COM INTERVALOS
As operações de União, Interseção e Diferença de intervalos obedecem às mesmas
definições dadas para operações com conjuntos, sendo que, preferencialmente, devem
ser feitas através da representação geométrica desses intervalos.
A. UNIÃO DE INTERVALOS – É o intervalo formado por todos os elementos
que pertençam a um dos intervalos ou ao outro intervalo.
Vejamos um exemplo: Sejam os intervalos A = [1, 3]; B = [2, 5). A união desses intervalos
será representada graficamente:
Logo, A ∪ B = [1, 5)
B. INTERSEÇÃO DE INTERVALOS – É o intervalo formado pelos elementos
comuns aos dois intervalos.
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Vejamos um exemplo: Sejam os intervalos A = [2, 5) e B = [3,. 6). A interseção desses
intervalos será representada graficamente:
Logo, A ∩ B = [3, 5)
C. INTERSEÇÃO DE INTERVALOS (A – B) – É o intervalo formado pelos
elementos que pertencem ao intervalo A mas que não pertencem ao
intervalo B.
Vejamos um exemplo: Sejam os intervalos A = [0, 3] e B = [1,5]. A diferença A – B
será o intervalo [0, 1). Observe que a extremidade 1 ficou aberta na resposta por
pertencer ao intervalo B e, pela definição, a diferença A – B deve ser formada
apenas pelos elementos que estão no intervalo A mas NÃO ESTÃO no intervalo B.
Para você resolver:
Dados os intervalos: A = [-1, 6]; B = [0, 8) e C = (- ∞, 10]. Obtenha:
a) A ∪ B =
b) A ∩ B =
c) A ∩ C =
d) A – B =
e) B – A =
f) A – C =
g) C – A =
h) (A ∪ C) ∩ (B ∩ C) =