Muitas das propriedades e aplicações das funções reais contínuas são obtidas em conjuntos compactos. Isto justi…ca a necessidade de se estudar os conjuntos compactos. Nosso objetivo aqui é caracterizar
os conjuntos compactos da reta real.
1
NOÇÕES PRELIMINARES
Vamos iniciar com algumas noções preliminares que também vão permitir …xar algumas notações
R. Dizemos que a 2 R é supremo do conjunto X, e escrevemos a = sup X, se
De…nição 1.1 Seja X
i) x
a, para todo x 2 X;
ii) Dados " > 0, existe b 2 X tal que b > a
De…nição 1.2 Seja X
i) x
".
R. Dizemos que a 2 R é ín…mo do conjunto X, e escrevemos a = inf X, se
a, para todo x 2 X;
ii) Dados " > 0, existe b 2 X tal que b < a + ".
De…nição 1.3 Seja X
R. Dizemos que X é enumerável se X é …nito ou se existe uma bijeção
f : N ! X.
Exemplo 1.4 O exemplo mais trabalhado de conjunto de enumerável é o conjunto Q dos números racionais.
Uma bijeção de N em Q é construida pelo seguinte diagrama:
1
1
%
%
%
%
1
2
1
3
1
4
..
.
%
%
%
%
%
2
1
2
2
2
3
2
4
..
.
%
3
1
%
3
2
%
3
3
%
3
4
%
..
.
1
%
%
%
%
%
4
1
4
2
4
3
4
4
..
.
%
%
%
%
%
..
.
Nossa intuição aponto para um fato verdadeiro: Todo intervalo não-degenerado da reta é não-enumerável.
Eis o último conceito preliminar que vamos considerar:
De…nição 1.5 Seja (xn ) uma sequência de números reais. Dizemos que a 2 R é o limite da sequência
(xn ), e escrevemos a = lim xn se, dado " > 0 existe n0 2 N tal que jxn
aj < ", para todo n > n0 . Neste
caso também dizemos que (xn ) converge para a e escrevemos xn ! a.
2
CONJUNTOS ABERTOS
De…nição 2.1 Seja X
(a
R. Dizemos que x é um ponto interior de X se existe
> 0 tal que
X. O Conjunto dos pontos interiores de X é chamado de interior de X e é denotado
; a + ")
por int(X). Dizemos que o conjunto X é aberto se int(X) = X.
Podemos observar que int(X)
X, qualquer que seja X
R. Mais ainda, se int(X) 6= ;, então X
contém um intervalo da reta e portanto X é não-enumerável.
Exemplo 2.2 a) Os exemplos triviais de conjuntos aberto da são R e ;. De fato, ; é aberto pois se não
o fosse deveríamos apresentar um elemento no conjunto vazio que não está no seu interior, o que é um
absurdo.
b) Os exemplos canônicos de conjuntos abertos são os intervalos abertos. Consideramos (a; b). Dado
x 2 (a; b), escolhemos
= min fx
xg. Logo (x
a; b
; x + ")
(a; b) e (a; b)
int((a; b)). Portanto
(a; b) é um conjunto aberto. De modo análogo podemos mostrar que int([a; b]) = int((a; b]) = int([a; b)) =
(a; b).
c)Temos que int(Q) = ;, pois Q é enumerável. Por outro lado int(R
Q) = ;, mesmo sendo R
Q
não-enumerável.
n
Teorema 2.3 a) Se A1 ; A2 ; : : : ; An são conjuntos abertos, então A = \ Aj é um conjunto aberto.
j=1
b) Se (A )
2L
é uma família arbitrária de conjuntos abertos, então A = U A é um conjunto aberto.
2L
n
Demonstração. a) Dado x 2 A = \ Aj , x 2 Aj , para todo j = 1; : : : ; n, por hipótese, existem "j > 0
j=1
tais que (x
j ; x + "j )
Aj . Seja = min f j ; j = 1; : : : ; ng. Logo (x
para todo j = 1; : : : ; n. Portanto (x
; x + ")
(x
; x + ")
A . Portanto (x
; x + ")
A
(x
j ; x + "j )
Aj ,
A e A é aberto.
b) Dado x 2 A = U A , então x 2 A para algum
2L
; x + ")
2 L. Logo, como A é aberto, existe
A e A é aberto.
2
> 0 tal que
Exemplo 2.4 i) A interseção in…nita, mesmo que enumerável, de conjunto abertos pode não ser um
conjunto aberto. De fato, se pomos An =
1 1
;
n n
1
, então cada An é um conjunto aberto, mas \ Aj = f0g,
j=1
que não é conjunto aberto.
ii) Como o int(X) é a reunião de intervalos abertos Jx , com x 2 X, então int(X) é um conjunto
aberto e int(int(X)) = int(X).
Queremos agora caracterizar os subconjuntos abertos da reta real.
Lema 2.5 Seja (I )
2L
é uma família arbitrária de intervalos abertos, tal que p 2 I , para todo
2 L.
Então A = U I é um intervalo aberto.
2L
Demonstração. Para cada
para algum
e b = sup fb ;
que A
2 L, escrevemos I = (a ; b ). Pode ocorrer a =
2 L. Como a < p < b , temos que a < b , para todo ;
2 Lg. pode ocorrer a =
1 ou b = +1,
2 L. Sejam a = inf fa ;
2 Lg
1 ou b = +1. Queremos provar que (a; b) = A = U I . Claro
2L
(a; b). Dado x 2 (a; b), pelas de…nições de supremo e ín…mo, ou pelas propriedades de conjuntos
ilimitados, temos que existem ;
2 L tais que a < x e b > x. Se x < b , então x 2 I
A. Se x
b ,
então temos a < b
xex2I
A. Isto conclui a demonstração.
Teorema 2.6 Se A
R é um conjunto aberto, então existe uma única família enumerável de intervalos
abertos, dois a dois disjuntos, (Ij )j2M
N
tal que A = U Ij .
j2M
Demonstração. Para cada x 2 A, seja Ix a reunião de todos os intervalos abertos contendo x e
contidos em A. Pelo lema anterior, Ix é um intervalo aberto. Dados x; y 2 A, queremos mostrar que
Ix \ Iy = ; ou Ix = Iy . Se z 2 Ix \ Iy , então I = Ix [ Iy é um intervalo aberto contendo x e contido em
A. Logo I
Ix e Iy
Ix . De modo análogo, Ix
Iy . Portanto Ix = Iy . Podemos a…rmar que A é a
reunião de intervalos abertos, dois a dois disjuntos. Vamos mostrar que esta reunião é enumerável. Para
cada Ix , com x 2 A, escolhemos um número racional r(Ix ) em Ix . A função Ix 7 ! r(Ix ) é injetiva, pois se
Ix 6= Iy , então Ix \ Iy = ; e r(Ix ) 6= r(Iy ). Como o conjunto Q dos números racionais é enumerável, então
a família (Ix )x2A é enumerável. Falta provar a unicidade. Vamos supor que A = U Jm , onde os intervalos
m
Jm são abertos e dois a dois disjuntos. Escrevemos Jm = (am ; bm ). Se am 2 A, então am 2 Jp = (ap ; bp ),
para algum Jp 6= Jm . Seja b = min fbm ; bp g. Logo (am ; b)
Jm \ Jp = ;, o que é uma contradição. Do
mesmo modo mostra-se que bm 2
= A. Isto mostra que para todo m e x 2 Jm , Jm é o maior, no sentido de
inclusão, intervalo contendo x e contido em A. Logo Jm = Ix , provando a unicidade.
3
Corolário 2.7 Seja I um intervalo aberto tal que I = A [ B, onde A e B são abertos e disjuntos, então
(A = ; e B = I) ou (A = I e B = ;).
Demonstração. Basta aplicar a unicidade do teorema aos conjuntos A e B, se ambos são não-vazios:
2.1
CONJUNTOS FECHADOS
De…nição 2.8 Dizemos que um ponto a é aderente ao conjunto X se a é o limite de uma sequência (xn )
de ponto de X. O conjunto dos pontos aderentes ao conjunto X é chamado fecho de X e é denotado X.
Dizemos que X é fechado se X = X.
Podemos observar que X
X, pois para todo x 2 X, podemos tomar a sequência constante con-
vergindo para x.
Teorema 2.9 São equivalentes:
i) a 2 X;
ii) para todo " > 0, (a
"; a + ") \ X 6= ;;
iii) Se I é um intervalo aberto contendo a, então I \ X 6= ;.
Demonstração. i))ii). Vamos supor que a = lim xn , onde xn 2 X, para todo n 2 N. Dado " > 0,
existe n0 2 N tal que xn 2 (a
para todo n
"; a + ") (, jx
aj < "), para todo n
n0 . Logo, xn 2 (a
"; a + ")\X,
n0 .
ii))iii). Dado um intervalo aberto I contendo a, como I é um conjunto aberto, existe " > 0 tal que
(a
"; a + ")
I. Por hipótese (a
"; a + ") \ X 6= ;. Logo I \ X 6= ;.
iii))ii). É claro.
ii))i). Dado "n =
1
,
n
por hipótese, obtemos xn 2 a
1
;a
n
+
1
n
\ X. Logo, (xn ) é uma sequência de
pontos de X e lim xn = a. De fato, dado " > 0, existe n0 2 N tal que
1
n
1
n0
< " e (a
"; a + ")
a
1
;a
n0
+
1
n0
1
;a
n
a
+
1
n
1
n0
< ". Portanto, se n
n0 ,
3 xn , como queríamos.
Exemplo 2.10 a) Se X é limitado superiormente (resp. inferiormente), então sup X 2 X (resp. inf X 2
X).
b) (a; b) = [a; b]. De fato, a = inf(a; b); b = sup(a; b) 2 (a; b). Por outro lado, se c < b, então (c
c b
)
2
\ (a; b) = ;. Isto mostra a a…rmação feita.
c) De modo análogo ao item anterior podemos mostrar que [a; b] = (a; b)] = [a; b) = [a; b]
d) Q = R.
4
c b
;c
2
+
Podemos observar que existem conjuntos que não são abertos e nem fechados. Por exemplo, Q, R
Q,
[a; b). Por outro lado, os únicos conjuntos que são abertos e fechados são R e ;. Esta é uma conclusão que
vamos tirar do próximo teorema.
Teorema 2.11 X
R é fechado se, e somente se, seu complentar R X é aberto.
Demonstração. Vamos supor que X é fechado. Dado x 2 R X, então x 2
= X = X. Logo, existe " > 0
tal que (x
"; x + ") \ X = ;. Logo (x
R X e R X é aberto. Para a recíproca supomos
"; x + ")
que R X é aberto. Se X não é fechado, existe x 2 X, tal que x 2
= X. Logo x 2 R X = int(R X). Isto
signi…ca que existe " > 0 tal que (x
"; x + ")
R X . Portanto (x
"; x + ") \ X = ; e x 2
= X, o que
é uma contradição.
Corolário 2.12 a) ; e R são conjuntos fechados;
n
b) Se F1 ; F2 ; : : : ; Fn são conjuntos fechados, então F = [ Fj é um conjunto fechado;
j=1
c) Se (F )
2L
é uma família de arbitrária de conjuntos fechados, então F = \ F
2L
é um conjunto fechado.
Demonstração. a) ; e R são conjuntos fechados pois seus respectivos complementares R e ; são
conjuntos fechados.
b) Sejam Aj = R
Fj ; 1
j
n. Pelo teorema anterior Aj é uma conjunto aberto, para todo 1
j
n.
n
Logo A = \ Aj é um conjunto aberto. Portanto
j=1
R A=R
n
\ Aj
j=1
n
n
j=1
j=1
= [ (R Aj ) = [ Fj = F
é fechado.
c) Sejam A = R
F ,
2 L. Logo A é aberto e A = [ A é aberto. Portanto
2L
R A=R
[A
2L
= \ (R A ) = \ F = F
2L
2L
é fechado.
Podemos observar que a reunião in…nita, mesmo que enumerável, de conjuntos fechados pode não ser
um conjunto fechado. Por exemplo, Q = [ fxg, fxg é um conjunto fechado, para cada x 2 R, mas
x2Q
Q = R.
Corolário 2.13 Se A
R é aberto e fechado, então A = ; ou A = R.
Demonstração. Temos que A e R A são abertos. Como R =A [ (R A), pelo corolário 2.7, A = ;
ou A = R.
5
R. Então X = X, ou seja, X é um conjunto fechado.
Teorema 2.14 Seja X
Demonstração. Vamos mostrar que R X é um conjunto aberto. Dado x 2 R X, então x 2
= X
e existe " > 0 tal que (x
(x
"; x + ") \ X = ;. Logo, se y 2 (x
"; x + ") \ X = ; e (x
"; x + ")
"; x + "), então y 2
= X. Portanto
R X, mostrando que R X é aberto e que X é fechado, como
queríamos.
3
PONTO DE ACUMULAÇÃO
De…nição 3.1 Seja X
R. Dizemos que a é um ponto de acumulação de X se, para todo " > 0
existe x 2 X tal que 0 < jx
aj < ". Isto signi…ca que todo intervalo aberto contendo a contém algum
ponto de X, diferente de a. O conjunto dos pontos de acumulação de X é chamado de derivado de X e
é denotado por X 0 . Um ponto a 2 X que não é ponto de acumulação de X é chamado de ponto isolado.
Teorema 3.2 São equivalentes:
i) a 2 X 0 ;
ii) a = lim xn , onde (xn ) é uma sequência de pontos de X, dois a dois distintos.
iii) Todo intervalo aberto contendo a contém uma in…nidade de pontos de X.
Demonstração. i))ii). Dado "1 = 1, por hipótese, existe x1 2 X tal que 0 < jx1 aj < "1 . Dado
n
o
"2 = min jx12 aj ; 12 , existe x2 2 X tal que 0 < jx2 aj < "2 . Procedendo desta forma obtemos uma
sequência (xn ) de ponto de X, dois a dois distintos, tal que a = lim xn .
ii))iii). Dado um intervalo aberto I contendo a, por hipótese, existe n0 2 N tal que se n
n0 , então xn 2
I. Como a sequência (xn ) é formada por pontos de X, dois a dois distintos, então Y = fxn0 , xn0 +1 , : : :g
é um conjunto in…nito contido em I e Y
X.
iii))i). Dado " > 0, da hipótese, (a "; a + ") contém uma in…nidade de pontos de X. Logo, existe x 2 X,
com x 6= a tal que x 2 (a
"; a + "). Portanto 0 < jx
aj < ", como queríamos.
Exemplo 3.3 Temos que Q0 = R, Z0 = N0 = ; e (a; b)0 = [a; b]. Também, se X =
1
;
n
n 2 N , então
X 0 = f0g.
Teorema 3.4 Seja X
R. Então X = X [ X 0 .
Demonstração. Claro que, pelas de…nições dadas, X [ X 0
" > 0 temos que (a
seja, 0 < jx
X. Seja a 2 X, tal que a 2
= X. Dado
"; a + ") \ X 6= ;. Como a 2
= X, então existe x 2 (a
aj < ". Portanto a 2 X 0 e X
X [ X 0.
6
"; a + ") \ X, com x 6= a, ou
4
CONJUNTOS COMPACTOS
De…nição 4.1 Uma cobertura de um conjunto X
R é uma família (C )
[ C . Uma subcobertura é uma subfamília (C )
X
2L
2L1 ,
2L
de subconjuntos de R tal que
L, para a qual ainda vale X
L1
[ C .
2L1
Podemos agora enunciar o teorema que vai nos permitir de…nir conjuntos compactosna reta.
Teorema 4.2 As seguintes a…rmações sobre K
R são equivalentes:
a) K é limitado e fechado;
b) Toda cobertura por abertos de K possui uma subcobertura …nita;
c) Todo subconjunto in…nito de K possui um ponto de acumulação a 2 K;
d) Toda sequência de pontos de K possui uma subsequência que converge para algum ponto de K.
Demonstração. a))b). Primeiramente vamos supor que K = [a; b]. Dada uma cobertura [a; b]
[ C de [a; b] por conjuntos abertos, vamos supor que não existe uma subcobertura …nita. O ponto médio
2L
a+b
,
2
do intervalo [a; b],
o divide em dois intervalos de comprimento
b a
.
2
Pelo menos um deles não pode
ser coberto por um número …nito dos C . Digamos [a1 ; b1 ]. Começando agora com [a1 ; b1 ] repetimos o
processo in…nitas vezes e obtemos [a; b]
[a1 ; b1 ]
onde o comprimento de [an ; bn ] é
[a2 ; b2 ]
a+b
2n
e nenhum deles pode ser coberto por um número …nito dos C . A…rmamos que existe c 2 [an ; bn ], para
todo n 2 N. De fato, temos que a1
a2
superiormente. Seja c = sup A. Temos que an
b2
b1 . O conjunto A = faj , j 2 Ng é limitado
c, para todo n 2 N. Por outro lado, c
bn , para todo
n 2 N, pois cada bn é cota superior de A. Logo c 2 [an ; bn ], para todo n 2 N. Em particular c 2 [a; b].
Logo, existe
2 L tal que c 2 C . Como C é aberto, existe " > 0, tal que (c
m 2 N tal que
a+b
2m
< ". Segue que c 2 [am ; bm ]
(c
"; c + ")
único C , o que é uma contradição. No caso geral K
C e [am ; bm ] pode ser coberto por um
[ C . Seja [a; b] um intervalo limitado e fechado
2L
contendo K. Isto é possível pois K é limitado. Seja A = R K. Temos que [a; b]
cobertura por aberto de [a; b], pois K é fechado. Pelo que já foi visto, existem
[a; b]
(C
1
[C
b)c). Seja X
2
[
[C
n
[ A). Portanto K
(C
C . Seja
"; c + ")
1
[C
2
[
[ C [A
2L
1,
2,
: : :,
n
é uma
tais que
[ C n ) é uma cobertura …nita de K.
K um conjunto que não possui pontos de acumulação em K. Dado x 2 K, existe um
intervalo aberto Ix tal que Ix \X = fxg, se x 2 X ou Ix \X = ;, se x 2
= X. Logo, K
existem x1 , x2 , : : :, xn tais que K
(Ix1 [ Ix2 [
[ Ixn ). Em particular X
[ Ix . Por hipótese,
x2K
(Ix1 [ Ix2 [
[ Ixn ).
Como cada Ixj contém no máximo um elemento de X, então X é …nito. Isto prova c).
c))d). Seja (xn ) uma sequência de pontos de K. Se o conjunto X = fxj , j 2 Ng é …nito, então (xn )
7
possui uma subsequência constante, digamos (xn0 ), que converge para xn0 2 K. Se X é in…nito, então por
hipótese, X possui um ponto de acumulação a 2 K. Logo, para todo " > 0, (a
"; a + ") contém uma
in…nidade de pontos de X e portanto contém termos xn de índices arbitrariamente grandes. Dado " = 1
escolhemos xn1 2 (a
1
; a + 12 )
2
pois (a
1; a + 1). Dado " =
1
2
1
;a
2
escolhemos xn2 2 (a
+ 12 ) com n2 > n1 . Isto é possível
contém termos xn de índices arbitrariamente grandes. Procedendo desta forma obtemos
uma subsequêcia (xni ) que converge para a 2 K, pois jxni
aj <
1
i
para todo i 2 N.
d))a). Se K não é limitado, existem x1 , x2 2 K, com x2 > x1 + 1. Também existe x3 2 K tal
que x3 > x2 + 1. Procedendo desta forma obtemos uma sequência (xn ) que não possui subsequência
convergente, pois qualquer subsequência é ilimitada. Se K não é fechado, existe x 2 K com x 2
= K. Logo,
existe uma sequência (xn ) de ponto de K tal que lim xn = x. Toda subsequência desta sequência deve
convergir para x e x 2
= K. Com esta contradição completamos a demonstração.
R. Dizemos que K é compacto se for satisfeita uma das condições do teorema
De…nição 4.3 Seja K
4.2 sobre K.
No teorema 4.2, as implicações a))b) e a))c) são conhecidas, respectivamente, por Teorema de
Borel-Lebesgue e Teorema de Bolzano-Weierstrass.
Exemplo 4.4 a) Todo conjunto in…nito e limitado X possui um ponto de acumulação. De fato, X
[a; b]
e [a; b] é compacto.
b) O conjunto X =
Y = X
1
n
1 1
[
2 n
f0g =
1
]; 1
n+1 n
0; 1;
1;
1
;
2
+ 12 [ n1
1
;
2
1
,
n
1
,
n
1
]
n+1
, então Y
1
n
:::
é compacto, pois é limitado e fechado. Por outro lado,
:::
:::;
cobertura …nita, pois In \ Y =
c) Os conjuntos R, Q, R
:::;
não é compacto. De fato, se para cada n 2 N pomos In =
[ In é uma cobertura por aberto de Y que não possui sub-
n2N
.
Q, não são compactos.
d) Um exemplo importante de conjunto compacto não-enumerável é o conjunto de Cantor. Dado o intervalo
[0; 1] retiramos deste o seu terço médio aberto
aberto
1 2
;
9 9
e de
2
;1
3
o seu terço médio aberto
1 2
;
3 3
. Em seguida, retiramos de 0; 31 o seu terço médio
7 8
;
9 9
. Ficamos então com 0; 91 [
2 1
;
9 3
[
2 7
;
3 9
[
8
;1
9
.
O próximo passo é retirar deses intervalos os seus respectivos terços médios abertos. Repete-se o processo
inde…nidamente. O conjunto K dos pontos não retirados é o conjunto de Cantor. Se indicamos por I1 ,
I2 , : : : os intervalos retirados, então K = [0; 1]
1
1
n=1
n=1
[ In = [0; 1] \ R
K é compacto.
8
[ In é fechado e, como é limitado,
5
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Em espaços métricos pode ocorrer de um conjunto X ser limitado e fechado sem que toda cobertura por
abertos de X possua sobcobertura …nita. Consideramos, por exemplo l2 , o conjunto de todas as sequências
1
P
x = (x1 ; x2 ; : : :) de números reais tais que x2i < 1.
i=1
r1
P
Dados x; y 2 l2 , de…nimos jxj =
x2i e a distância d(x; y) como sendo d(x; y) = jx yj. Desta forma,
i=1
de…nimos o análogo ao intervalo aberto da reta como sendo B(x; r) = fy 2 l2 ; jy
xj < rg, a bola aberta
e centro x e raio r. A de…nição de conjunto aberto é análoga ao caso real, considerando agora as bolas
abertas.
Seja X = fe1 ; e2 ; : : :g
l2 , onde ei = (0; 0; : : : ; 0; 1; 0; : : : ; 0) (1 na i-ésima posição). Se m 6= n, então
p
p
jem en j = 12 + ( 1)2 = 2. Isto signi…ca que X é limitado. Mais ainda, como todos os pontos de
X são isolados, então X é fechado. Mas, sendo discreto (sem pontos de acumulação) e in…nito, X não é
compacto.
References
[1] Lima, Elon Lages - Curso de análise, volume I. Rio de Janeiro, Instituto de Matemática Pura e
Aplicada, 1976.
9