Circuitos Elétricos 2
Circuitos Elétricos Aplicados
Prof. Dr.-Ing. João Paulo C. Lustosa da Costa
Universidade de Brasília (UnB)
Departamento de Engenharia Elétrica (ENE)
Laboratório de Processamento de Sinais em Arranjos
Caixa Postal 4386
CEP 70.919-970, Brasília - DF
de Brasília
Homepage:Universidade
http://www.pgea.unb.br/~lasp
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1
Análise de Circuitos
com Transformada de Laplace (1)

Exemplo
KVL : v S (t )  Ri (t )  L
di
(t )
dt
Equação complementar
di
RiC (t )  L C (t )  0  iC (t )  K C e t
dt
RKC e t  LKC (e t )  0   
R
L
Solução particularpara esse caso
i p (t )  K p
 v S  1  RK p
R
 t
1
i (t )   K C e L
R
Use valorde contorno
v S (t)  0 p / t  0  i( 0 )  0
 t
1 
i (t ) 
1  e L ; t  0

R 

R
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2
Análise de Circuitos
com Transformada de Laplace (2)

Exemplo
di
(t )
dt
 di 
VS ( s )  RI ( s )  LL  
 dt 
1
  RI ( s)  LsI ( s)
s
1
I ( s) 
s ( R  Ls)
v S (t )  Ri (t )  L
1/ L
K
K2
 1
s( R / L  s) s s  R / L
1
K1  sI ( s ) |s 0 
R
1
K 2  ( s  R / L) I ( s ) | s   R / L  
R
I ( s) 
 t
1 
i (t ) 
1  e L ; t  0

R 

R
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3
Análise de Circuitos
com Transformada de Laplace (3)

Modelo usando KCL C dv  v  v S  0
Encontre vs
dt
v  vS
R
dv
 v  vS
dt
 dv 
RCL    V ( s )  VS ( s )
 dt 
RC
C
vS
R
dv
dt
 dv 
L    sV ( s )  v (0)  sV ( s )
 dt 
v S (t )  0, t  0  v (0)  0
1
v S  u(t )  VS ( s) 
s
1
1 / RC
V ( s) 

s ( RCs  1) s ( s  1 / RC )
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Análise de Circuitos
com Transformada de Laplace (4)

Encontre vs
V ( s) 
v  vS
R
Use frações parciais p/ determinar inversa
C
vS
1
1 / RC

s ( RCs  1) s ( s  1 / RC )
dv
dt
V ( s) 
1 / RC
K
K2
 1
s ( s  1 / RC ) s s  1 / RC
K1  sV ( s) |s 0  1
K 2  ( s  1 / RC )V ( s) |s 1 / RC  1
v (t )  1  e

t
RC ,
t 0
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Modelos dos Elementos de Circuitos (1)


Método para resolver circuitos
 escrever EDO do circuito
 aplicar a transformada de Laplace para converter EDO em equação
algébrica
Modelos dos Elementos de Circuitos
 Resistor, fontes independentes e dependentes
Fontesindependentes
vS (t )  VS ( s)
Resistor
iS (t )  I S ( s)
Fontesdependentes
vD (t )  AiC (t )  VD ( s)  AIC ( s)
iD (t )  BvC (t )  I D ( s)  BVC ( s)
v (t )  Ri (t )  V ( s)  RI ( s)
...
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Modelos dos Elementos de Circuitos (2)

Capacitor em série com fonte de tensão
1t
1
v (0)
v (t )   i ( x )dx  v (0) V ( s) 
I ( s) 
C0
Cs
s

Capacitor em paralelo com fonte de corrente
1t
v (t )   i ( x )dx  v (0)
C0
I ( s)  CsV ( s)  Cv(0)
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Modelos dos Elementos de Circuitos (3)

Indutor
 di 
L    sI ( s )  i (0)
 dt 
di
v (t )  L (t )  V ( s)  L( sI ( s)  i (0))
dt
V ( s) i (0)
I ( s) 

Ls
s
 em série com fonte de tensão
V ( s)  LsI ( s)  Li (0)
 em paralelo com fonte de corrente
I ( s) 
V ( s) i (0)

Ls
s
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Modelos dos Elementos de Circuitos (4)

Indutância mútua
di1
di
(t )  M 2 (t )
dt
dt
di
di
v2 (t )  M 1 (t )  L2 2 (t )
dt
dt
v1 (t )  L1
V1 ( s)  L1sI1 ( s)  L1i1 (0)  MsI 2 ( s)  Mi 2 (0)
V2 ( s)  MsI 1 ( s)  Mi1 (0)  LsI 2 ( s)  Li2 (0)
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Análise de Circuitos
com Transformada de Laplace (5)

Exemplo
 Determinar tensão no indutor
i (0)  1A Indutor com
corrente inicial
 Transformando fonte de corrente em fonte de tensão
KVL : 1  (1  s ) I ( s )
Lei Ohm
V ( s )  1 I ( s )  V ( s )  
1
s 1
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Análise de Circuitos
com Transformada de Laplace (6)

Exemplo
 Transforme o circuito para o domínio s e encontrar tensões no domínio
do tempo
i S (t )  0, t  0  vo (0)  0
1 

Vo ( s )   R ||  I S ( s )
Cs 

R
3
1
/
C
3

10
Vo ( s)  Cs I S ( s) 

1
s  1 / RC
s 1
R
Cs
120
K
K
Vo ( s ) 
 1  2
( s  4)( s  1) s  4 s  1
K1  ( s  4)Vo ( s) |s 4  40
K 2  ( s  1)Vo ( s) |s 1  40


vo (t )  40 e t  e 4t u(t )
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Análise de Circuitos
com Transformada de Laplace (7)

Exemplo com elementos armazenadores energizados
 Substituir os elementos energizados por elementos não energizados
com fontes
 Transformando para o domínio de s
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Análise de Circuitos
com Transformada de Laplace (8)

Exemplo com elementos armazenadores energizados
Malha 1
Malha 2
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Análise de Circuitos
com Transformada de Laplace (9)

Exemplo com elementos armazenadores energizados
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Análise de Circuitos
com Transformada de Laplace (10)

Exemplo com elementos armazenadores energizados
Nó V1
I A (s) 
i1 (0)
i (0)
 C1v1 (0)  2

s
s


 1

1
1
 G1 

 C1s V1 ( s)  
 C1s V2 ( s)
L1s L2 s


 L2 s

Nó V2
i2 (0)  G  C s  C s  1 V ( s)   C s  1 V ( s)
2
1
I B ( s )  C 2 v 2 ( 0 )  C 1 v1 ( 0 ) 
 2
 2
 1 L s 1
L
s



2
2 
s
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Análise de Circuitos
com Transformada de Laplace (11)

Exemplo: encontre vo(t) usando análise dos nós, de malha, superposição,
transformação de fonte, Thévenin, e Norton.
 Assumir condições iniciais nulas.
 Transformando para o domínio s
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Análise de Circuitos
com Transformada de Laplace (12)

Exemplo: encontre vo(t) usando análise dos nós, de malha, superposição,
transformação de fonte, Thévenin, e Norton.
 Assumir condições iniciais nulas. KCL @ V1
12
 Análise dos nós
V ( s) 
4
 
s
1
KCL@Vo
s
s  V1 ( s)  Vo ( s)  0  s
1
s
Vo ( s ) Vo ( s )  V1 ( s )

 02
1
2
s
4 s  12
 2s
(1  s 2 )V1 ( s)  s 2Vo ( s) 
s
 (1  s 2 )
 2 sV1 ( s)  (1  2 s)Vo ( s)  0
Vo ( s ) 
8( s  3)
(1  s ) 2
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Análise de Circuitos
com Transformada de Laplace (13)

Exemplo: encontre vo(t) usando análise dos nós, de malha, superposição,
transformação de fonte, Thévenin, e Norton.
 Assumir condições iniciais nulas.
 Análise de malhas
Malha1
I1 ( s ) 
4
s
Malha 2
1
12
s ( I 2 ( s )  I1 ( s ))  I 2 ( s )  2 I 2 ( s ) 
s
s
I 2 ( s) 
4( s  3)
( s  1) 2
Vo ( s )  2 I 2 ( s ) 
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8( s  3)
( s  1) 2
18
Análise de Circuitos
com Transformada de Laplace (14)

Exemplo: encontre vo(t) usando análise dos nós, de malha, superposição,
transformação de fonte, Thévenin, e Norton.
 Assumir condições iniciais nulas.
 Superposição
I 2'
Vo ( s )  V o' ( s )  V o" ( s ) 
8( s  3)
( s  1) 2
Vo' ( s )  2 
s
4

1
s
2  s
s
Vo" ( s ) 
2
12

1
2  s s
s
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Análise de Circuitos
com Transformada de Laplace (15)

Exemplo: encontre vo(t) usando análise dos nós, de malha, superposição,
transformação de fonte, Thévenin, e Norton.
 Assumir condições iniciais nulas.
 Transformação de fonte
Combinando todas as fontes e usando
fonte de corrente
s
 4 12 
  2
1
s   2 s s 
s
8( s  3)
Vo ( s ) 
( s  1) 2
Vo ( s)  2 
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Análise de Circuitos
com Transformada de Laplace (16)

Exemplo: encontre vo(t) usando análise dos nós, de malha, superposição,
transformação de fonte, Thévenin, e Norton.
 Assumir condições iniciais nulas.
 Thévenin
VOC ( s) 
12
4 4 s  12
s 
s
s
s
2
4 s  12
s2  1 s
2
s
8( s  3)
Vo ( s ) 
( s  1) 2
Vo ( s ) 
1
s2  1
ZTh   s 
s
s
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Análise de Circuitos
com Transformada de Laplace (17)

Exemplo: encontre vo(t) usando análise dos nós, de malha, superposição,
transformação de fonte, Thévenin, e Norton.
 Assumir condições iniciais nulas.
 Norton
4 12 / s 4 s  12
I SC ( s)  

s
s
s2
Divisor de
corrente
ZTh  s
s
4 s  12
2
1
s
s 2
s
8( s  3)
Vo ( s ) 
( s  1) 2
Vo ( s )  2 
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