QUARTA LISTA DE EXERCÍCIOS
Fundamentos da Matemática II
MATEMÁTICA — DCET — UESC
Humberto José Bortolossi
1
Polı́gonos
Uma poligonal é uma figura formada por uma seqüência (finita) de pontos
V1 , V2 , V3 , . . . , Vn−1 , Vn e pelos segmentos V1 V2 , V2 V3 , . . . , Vn−1 Vn . Os pontos
são denominados vértices da poligonal e os segmentos são os seus lados.
Na figura (1), Crux (Cruzeiro do Sul) é a única constelação que não é uma
poligonal. As constelações Centaurus, Lupus, e Musca não podem ser descritas como poligonais sem a repetição de lados e as constelações Triangulum
Australe e Chamaeleon sem a repetição de vértices.
Centaurus
Crux
Musca
Chamaeleon
Lupus
Triangulum Australe
Circinus
Apus
Figura 1: Algumas constelações.
1
Um polı́gono é uma poligonal em que as seguintes condições são satisfeitas:
(a) Vn = V1 (o primeiro vértice coincide com o último), (b) os lados da
poligonal se interceptam somente em suas extremidades, (c) dois lados com
a mesma extremidade não pertencem a mesma reta e (d) exatamente dois
lados se encontram em cada vértice.
Um polı́gono de vértices V1 , V2 , V3 , . . . , Vn , Vn+1 será representado por
V1 V2 V3 · · · Vn Vn+1 (note que este polı́gono tem n lados e n vértices).
Das constelações na figura (1), apenas Triangulum Australe e Chamaeleon
são polı́gonos. Na figura (2), ABCD e XY ZW não são polı́gonos: ABCD
não satisfaz a condição (c) (os lados CD e DA estão sobre uma mesma reta)
e XY ZW não satisfaz a condição (b) (os lados XY e ZW se interceptam
em um ponto que não é uma extremidade).
C
Z
Y
X
W
D
A
B
Figura 2: ABCD e XY ZW não são polı́gonos.
O segmento ligando vértices não consecutivos de um polı́gono é chamado
uma diagonal do polı́gono. Na figura (3) os segmentos tracejados são as
diagonais do polı́gono ABCDEF .
[01] Quantas diagonais tem um polı́gono de 6 lados? E 7 lados? E 20 lados?
E n lados?
Ângulo interno de um polı́gono é todo ângulo que é formado por lados
consecutivos do polı́gono e cujo interior contém total ou parcialmente o interior do polı́gono. O polı́gono da figura (3) possui 6 ângulos interiores:
∠ABC, ∠BCD, ∠CDE, ∠DEF , ∠EF A e ∠F AB.
2
E
D
F
C
A
B
Figura 3: As diagonais de um polı́gono.
2
Polı́gonos convexos
Um polı́gono é convexo se está sempre contido em um dos semi-planos
determinados pelas retas que contêm os seus lados. Na figura (5), ABCDEF
é um polı́gono convexo enquanto que KLM N OP não é convexo.
Existe uma outra maneira de se caracterizar polı́gonos convexos. A partir
do pressuposto de que um polı́gono divide o plano em duas regiões disjuntas,
o interior e o exterior do polı́gono (teorema da curva de Jordan), um polı́gono
é convexo se, e somente se, o segmento de reta que liga dois pontos quaisquer
da união do polı́gono com seu interior está inteiramente contido na união do
polı́gono com seu interior. Por exemplo, na figura (5), o polı́gono KLM N OP
não é convexo pois o segmento de reta que liga X a Y (dois pontos do interior
do polı́gono) não está contido na união do polı́gono com seu interior.
Esta definição pode ser estendida para subconjuntos arbitrários (não necessariamente polı́gonos). Assim, por exemplo, o subconjunto S da figura (6)
não é convexo pois existe um segmento de reta que liga dois pontos de S que
não está inteiramente contida em S.
[02] Dê três exemplos de polı́gonos convexos e três exemplos de polı́gonos
não-convexos.
[03] Dê três exemplos de conjuntos convexos e três exemplos de conjuntos
não-convexos que não sejam polı́gonos.
3
E
D
O
F
C
A
P
N
M
B
K
Figura 4: ABCDEF é convexo e KLM N OP não é convexo.
N
O
X
P
M
Y
K
L
Figura 5: KLM N OP não é convexo.
4
L
S
Figura 6: Um exemplo de um subconjunto não-convexo do plano.
Os polı́gonos convexos recebem nomes especiais, dependendo do número
de lados do polı́gono. A tabela (1) exibe alguns destes nomes.
3
Polı́gonos regulares
Dizemos que um polı́gono convexo é regular se todos os seus lados e todos
os seus ângulos internos são congruentes.
[04] O fato de um polı́gono convexo ter todos os seus lados congruentes não
é suficiente para garantir que este polı́gono seja regular. Para ver isto,
desenhe um polı́gono convexo com todos os lados congruentes mas com
ângulos internos não todos congruentes.
[05] O fato de um polı́gono convexo ter todos os seus ângulos internos congruentes não é suficiente para garantir que este polı́gono seja regular.
Para ver isto, desenhe um polı́gono convexo com todos os ângulos internos congruentes mas com lados não todos congruentes.
4
Paralelogramos
Um paralelogramo é um quadrilátero ABCD cujos lados opostos são congruentes, isto é, m(AB) = m(CD) e m(BC) = m(AD) (figura (7)).
[06] Mostre que os lados opostos de um paralelogramo são paralelos. Reciprocamente, mostre que se os lados opostos de um quadrilátero são
paralelos, então este quadrilátero é um paralelogramo.
5
número de lados
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
40
50
60
70
80
90
100
1000
nome do polı́gono convexo
triângulo
tetrágono
pentágono
hexágono
heptágono
octógono
eneágono ou nonágono
decágono
hendecágono ou undecágono
dodecágono
tridecágono
tetradecágono
pentadecágono ou qüindecágono
hexadecágono
heptadecágono
octadecágono
nonadecágono
icoságono
hendecoságono
docoságono
tricoságono
tetracoságono
pentacoságono
hexacoságono
heptacoságono
octacoságono
nonacoságono
triacontágono
hentriacontágono
dotriacontágono
tritriacontágono
tetracontágono
pentacontágono
hexacontágono
heptacontágono
octacontágono
nonacontágono
hectágono
quiliógono
Tabela 1: Nomes dos polı́gonos convexos de acordo com o número de lados do polı́gono.
6
D
C
A
B
Figura 7: No paralelogramo ABCD temos m(AB) = m(CD) e m(BC) =
m(AD).
[07] Mostre que as diagonais de um paralelogramo se interceptam em seus
pontos médios. Reciprocamente, mostre que se as diagonais de um quadrilátero se interceptam em seus pontos médios, então este quadrilátero
é um paralelogramo.
Texto composto em LATEX2e, HJB, 27/04/2004.
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