O “mundo” da simetria
Reflectindo sobre desafios do PMEB
Ana Maria Roque Boavida
ana.boavida@ese.ips.pt
PFCM 2010/2011
ESE/IPS
Observando o PMEB tendo a simetria por horizonte
Tópicos
Objectivos(extractos)
1º ciclo: Reflexão
• Identificar no plano figuras simétricas em relação a um eixo; desenhar no
plano figuras simétricas relativas a um eixo horizontal ou vertical (1º e 2º
anos)
• Identificar no plano eixos de simetria de figuras; construir frisos e
identificar simetrias (3º e 4º anos).
Notas: Exploração de reflexões; construção, no plano, de figuras simétricas
através de dobragens e recortes; exemplos que evidenciem reflexões como
simetrias axiais; exploração de frisos identificando simetrias de translação,
reflexão, reflexão deslizante e rotação (meia-volta)
2º ciclo: Reflexão,
Identificar, predizer e descrever a isometria em causa (...); construir o
transformado de uma figura, a partir de uma isometria ou de uma
composição de isometrias; compreender as noções de simetria axial e
rotacional e identificar as simetrias numa figura; (...) explorar padrões
geométricos que envolvam simetrias; identificar as simetrias de frisos e
rosáceas; construir frisos e rosáceas.
rotação e translação
Noção e propriedades;
simetrias axial e
rotacional
3º ciclo: Isometrias
Translação associada a
um vector; propriedades
das isometrias
• Compreender as noções de vector e de translação e identificar e efectuar
translações; identificar e utilizar as propriedades das translações; compor
translações; reconhecer as propriedades comuns das isometrias
Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 2
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ESE/IPS
Que imagens têm ou não têm simetria?
Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 3
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ESE/IPS
Simetria: Que significado?
Serão as mãos simétricas?
Será a nossa cara simétrica?
Serão os bonecos simétricos?
Afinal, de que falamos quando falamos em simetria?
Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 4
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ESE/IPS
Simetria: Que significado?
 A noção de simetria, sendo essencial em Matemática, não
é exclusiva deste campo
Simetria é uma ideia que o homem tem usado ao longo dos tempos
para tentar compreender e criar ordem, beleza e perfeição. (Serra,
1993, p. 304, cit. Weyl)
A noção de simetria é deveras importante em Matemática, nas
artes visuais e em diversas ciências como a Cristalografia e a
Física. (Oliveira, 1997, p. 70)
 Em geometria, simetria define-se em termos de isometrias
Quando a imagem de uma figura, através de uma isometria diferente
da identidade, coincide com a figura original, então a figura tem
simetria. (Serra, 1993)
Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 5
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ESE/IPS
Simetria: Estabilizando um significado
 Falar de simetria é falar de simetria de uma figura.
Figura: um subconjunto de pontos do plano ou do
espaço. Exs: Recta, rectângulo, esfera, desenho
artístico,...
(Bastos, 2006)
 Não tem sentido perguntar se as duas bonecas (duas figuras) são
simétricas...
... embora possa perguntar-se se a boneca
tem simetria.
(uma figura)
Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 6
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ESE/IPS
Simetria de uma figura: Estabilizando um significado
Focando-nos nas figuras do plano
 Simetria de uma figura não é o mesmo que simetria axial de uma
figura: a figura pode ter simetrias que não sejam axiais
Simetria de uma figura F é uma particularidade dessa figura. Significa que
existe uma isometria T do plano que deixa a figura invariante, isto é, tal
que T (F ) = F. (adaptado de Bastos, 2006)
 Invariante significa globalmente invariante
Podem alguns ou todos os pontos da figura mudar de posição, mas a figura,
como um todo, fica invariante. (Veloso, 1998, p. 182)
 Manutenção da congruência e da posição
O transformado da figura através da isometria coincide com a figura original:
as figuras são geometricamente iguais e além disso ocupam a mesma posição
no plano, mesmo que haja pontos que não coincidam com as suas imagens.
Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 7
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ESE/IPS
Revisitando isometrias a propósito de simetria
 Analisar a simetria de uma figura remete para investigar se há
isometrias (diferentes da identidade) que a deixam invariante
 Isometria: Transformação geométrica que preserva as distâncias;
as figuras do plano são transformadas noutras geometricamente
iguais.
 Quatro tipos fundamentais de isometrias:
— Rotação
— Translação
— Reflexão
— Reflexão deslizante
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ESE/IPS
Revisitando isometrias a propósito de simetria
.O
Rotação
75º
O peixe da esquerda “rodou” no sentido contrário aos ponteiros do
relógio (sentido positivo), descrevendo um ângulo de vértice O e
amplitude 75 graus.
Rotação de centro O e amplitude 750
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ESE/IPS
Revisitando isometrias a propósito de simetria
.O
Rotação
75º
Centro de rotação: pode ser
um ponto da figura
Centro de rotação:
pode ser um ponto
que não pertence
à figura
.O
2700
750
.O
1800 (meia volta)
.O
.O
3600
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ESE/IPS
Revisitando isometrias a propósito de simetria
Rotação
Rotação de centro O e amplitude α é uma transformação geométrica tal que:
•qualquer que seja o ponto P do plano, a distância de O a P é igual à distância
de O à imagem de P (P’ );
•a amplitude do ângulo orientado definido por P, O e P’ é igual a α.
Rotação de centro O e amplitude 900
F
F
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ESE/IPS
Revisitando isometrias a propósito de simetria
Translação
Translação associada ao vector v
Translação associada ao vector u

v

u

Numa translação todos os pontos de uma figura se “deslocam” na
mesma direcção, no mesmo sentido e a mesma distância.

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ESE/IPS
Revisitando isometrias a propósito de simetria
Translação

Translação associada ao vector u
é uma transformação geométrica
em que cada ponto O do plano é transformado
num outro ponto O’

(imagem de O) em que O’ = O +
u

u
 Translação da figura F associada

ao vector u
F
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ESE/IPS
Revisitando isometrias a propósito de simetria
Reflexão
Os eixos de reflexão podem, ou não ter pontos em
comum com a(s) figura(s)
eixo de reflexão
Cada ponto de uma figura e a sua imagem estão sobre uma recta
perpendicular ao eixo de reflexão e a igual distância desse eixo.
É como se o peixe e a estrela se estivessem “a ver ao espelho”...
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ESE/IPS
Revisitando isometrias a propósito de simetria
Reflexão
Reflexão de eixo s é a transformação geométrica que faz corresponder a
cada ponto O do plano o ponto O’ (imagem de O) de tal modo que:
•a recta s é perpendicular a [O O’] e passa pelo ponto médio de [O O’] (ou
s é a mediatriz de [O O’];
•se O pertence a s, a sua imagem coincide com O.
F
 Reflexão da figura F de de eixo s
s
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ESE/IPS
Revisitando isometrias a propósito de simetria
Reflexão deslizante
Transformação geométrica que
resulta da composição de uma
reflexão de eixo s com uma
translação cujo vector tem direcção
paralela a s.
F

u
s
O’’ imagem de O através da reflexão

deslizante associada a s e ao vector u
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ESE/IPS
Retomando a ideia de simetria de uma figura
De entre as aplicações mais interessantes das transformações
e grupos de transformações estão as relacionadas com
questões de simetria. Existindo muitas espécies de simetrias
no plano e no espaço (...). (Oliveira, 1996, p. 187)
Há uma simetria para cada um dos quatro tipos de isometrias
referidos. (Serra, 1993, p. 305)
— Simetria de reflexão (ou simetria axial)
— Simetria de rotação (ou simetria rotacional)
—Simetria de translação
—Simetria de reflexão deslizante
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ESE/IPS
Simetria de reflexão de uma figura
Existe, pelo menos, uma reflexão que deixa a figura
globalmente invariante
Como a reconhecemos? Várias hipóteses...
 Se conseguirmos dobrar a figura de tal modo que as
duas partes obtidas se sobreponham exactamente;
 Se conseguirmos colocar um espelho ou mira sobre a
figura de modo a que a junção da parte reflectida com a
não reflectida seja exactamente igual à figura toda;
 Se recortarmos a figura e conseguirmos preencher
exactamente o buraco que fica na folha com a parte
recortada mas virada ao contrário (com a parte de baixo
do papel virada para cima);
 ...
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ESE/IPS
Simetria de reflexão de uma figura
 Por vezes a simetria de reflexão é designada por simetria axial; o eixo
de reflexão também se pode designar por eixo de simetria ou linha de
simetria. (Serra, 1993, p. 305)
Eixo de simetria?
1 eixo de simetria
? eixos de simetria
? eixos de simetria
? eixos de simetria
? eixos de simetria
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ESE/IPS
Simetria de reflexão de uma figura
Eixo de simetria?
1 eixo de simetria
2 eixos de simetria
6 eixos de simetria
0 eixos de simetria
4 eixos de simetria
Eixo de simetria de uma figura: Recta (sobre a qual se
faz a dobra ou se coloca o espelho/mira…) que divide a figura ao
meio de modo que uma metade da figura seja a reflexão da outra
metade. Caso contrário, a recta não é eixo de simetria.
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ESE/IPS
Simetria rotacional de uma figura
Existe, pelo menos, uma rotação com uma amplitude superior a 00
e inferior a 3600 que deixa a figura globalmente invariante. Só
neste caso se admite também uma simetria rotacional associada a
um ângulo de 3600.
Como a reconhecemos?
Se conseguirmos girar a figura em torno de um ponto fixo, de modo a que a
imagem resultante, através da rotação, coincida com a figura original.
Figura com simetria rotacional
Figura sem simetria rotacional
(ou qualquer outro tipo de simetria)
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ESE/IPS
Simetria rotacional de uma figura
Que simetrias rotacionais tem a figura?
C: Centro da simetria rotacional (ponto
em torno do qual a figura “roda”)
C
Ângulo da simetria rotacional: ângulo orientado que descreve o
“movimento” da figura.
Um quarto de volta
(90º)
Meia volta
(180º)
Três quartos de volta
(270º)
Uma volta inteira
(360º)
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ESE/IPS
Simetria de translação de uma figura
Existe, pelo menos, uma translação que deixa a figura
globalmente invariante
Como a reconhecemos?
 Se podemos movimentar a figura segundo uma dada distância e
uma dada direcção (identificadas pelo vector da translação) de
tal modo que o seu transformado coincide com a figura original
 Se a figura for infinita, existe essa possibilidade…
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ESE/IPS
Simetria de reflexão deslizante de uma figura
Existe, pelo menos, uma reflexão deslizante que deixa a figura
globalmente invariante
Como a reconhecemos?
 Se, por exemplo, depois de desenharmos a figura em papel transparente, de
virarmos o papel ao contrário “em torno” de uma determinada recta e de o
deslocarmos segundo a direcção dessa recta, conseguirmos que o
transformado da figura coincida com a figura original.
 Se a figura for infinita, existe essa possibilidade…
Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 24
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ESE/IPS
Em busca de simetrias de figuras
Potencialidades
O estudo das simetrias das figuras constitui uma
aplicação muito interessante das isometrias que permite
desenvolver o conhecimento matemático destas
transformações geométricas e fornecer,
consequentemente, ferramentas que podem ser muito
úteis na resolução de problemas geométricos. (...)
O conceito de simetria pode ser também a base para
actividades de descrição e classificação de figuras
geométricas, de argumentação/demonstração (…)
A análise de objectos artísticos ou de cristais através das
suas simetrias são actividades que estabelecem ligações
entre a matemática e outros domínios do saber (...)
Conhecimento matemático
Resolução de problemas
Conhecimento matemático
Comunicação e raciocínio
Conexões matemáticas
(Bastos, 2006, p. 11)
Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 25
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ESE/IPS
Simetrias de polígonos
Que simetrias existem num quadrado?
D
A
C
B
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ESE/IPS
Simetrias de polígonos
Que simetrias existem num quadrado?

Simetrias de reflexão
4
Eixos de simetria: 2 rectas que contêm as
diagonais do quadrado e 2 rectas que passam
pelos pontos médios de lados opostos

90º
Simetrias rotacionais
4
D
C
Com centro no ponto de encontro das diagonais
do quadrado e amplitudes 900, 1800, 2700 e 3600.
B
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ESE/IPS
Simetrias de polígonos
Exemplo de material de apoio à exploração
de simetrias em polígonos
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ESE/IPS
Simetrias na arte decorativa: o caso das rosáceas
Exemplos de rosáceas
Rosáceas
 Figuras compostas por diversos
módulos geometricamente
iguais que se repetem por
rotação. O centro de rotação é
sempre o mesmo ponto, a
amplitude da rotação é sempre
a mesma e a divisão entre 3600
e a medida desta amplitude é
exacta.
 Existe sempre um ponto do
plano que é fixo para o grupo
de simetria da figura (conjunto
das transformações de simetria
da figura).
 Têm sempre simetrias
rotacionais, podendo ter
também simetrias de reflexão.
Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 29
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ESE/IPS
Simetrias na arte decorativa: o caso das rosáceas
Que simetrias existem nestas rosáceas?
Identificar
•
• assinala o
centro de simetria
(ou centro de
rotação) da figura
Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 30
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ESE/IPS
Simetrias na arte decorativa: o caso das rosáceas
Que simetrias existem nestas rosáceas?
Identificar
•
• assinala o
centro de simetria
(ou centro de
rotação) da figura
 Simetria de reflexão e simetria rotacional  Só simetria rotacional
 Simetria de reflexão
2 eixos de simetria – lado/lado
 Simetria rotacional
R rotação de 1800
R2 rotação de 3600 (identidade)
R rotação de 600
R2 rotação de 1200
R3 rotação de 1800
R4 rotação de 2400
R5 rotação de 3000
R6 rotação de 3600 (identidade)
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ESE/IPS
Simetrias na arte decorativa: o caso das rosáceas
Exemplo de um recurso tecnológico de apoio à
construção de rosáceas: o scratch
Motivo
simples
Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 32
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ESE/IPS
Simetrias na arte decorativa: o caso das rosáceas
Exemplo de um recurso tecnológico de apoio à
construção de rosáceas: o scratch
Motivo
simples
Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 33
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ESE/IPS
Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos
Exemplos de frisos
Friso
 Figura infinita
caracterizada por
apresentar sempre
simetrias de translação
com a mesma e uma só
direcção.
 No friso, o grupo de
simetria fixa uma recta.
 Pode haver outras
simetrias para além das
de translação
As barras cinzentas ou os motivos incompletos, indicam que a figura se prolonga indefinidamente
para a esquerda e para a direita
Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 34
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ESE/IPS
Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos
Que simetrias existem neste friso?
Identificar
Nomenclatura
adoptada
recta horizontal
recta vertical
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ESE/IPS
Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos
Que simetrias existem neste friso?

u
Identificar
Nomenclatura
adoptada
recta horizontal
recta vertical
v
 De translação. Por exemplo, translações associadas aos

vectores u e v .
 De reflexão de eixo horizontal


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ESE/IPS
Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos
Que simetrias existem neste friso?
Identificar
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ESE/IPS
Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos
Que simetrias existem neste friso?
Identificar
 De reflexão de eixo horizontal
 De reflexão de eixos verticais
 De translação da figura

u
associadas a vectores com a
direcção de u e comprimento
múltiplo do deste vector.
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ESE/IPS
Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos
A partir de um motivo simples
podem-se construir frisos muito
diversos usando isometrias
Construir
r
A’
B’
C’
D’
Motivo simples
[A´, B’, C’, D’] imagem do
motivo simples através de
uma reflexão de eixo r.
Nota: O motivo simples é, por vezes, designado por módulo
A’
A’’
B’
C’
D’
B’’
C’’
D’’
[A’´, B’’, C’’, D’’] imagem de
[A´, B’, C’, D’] através de
uma translação de vector
paralelo ao eixo de reflexão
(recta r).
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ESE/IPS
Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos
Construir (continuação)
Através de translações sucessivas da figura
Obtém-se o friso
Simetrias do friso: de translação e de reflexão deslizante
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ESE/IPS
Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos
Que tipos de frisos há?
Investigar
Investigar que tipos de frisos existem (...) [é] perceber que
“estruturas” de frisos existem e, para isso, devemos
investigar que grupos de simetria podem ter os frisos (...)
[trata-se] de procurar uma classificação dos frisos baseada
nos respectivos grupos de simetria. (Veloso, 1998, p. 202)
Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 41
PFCM 2010/2011
ESE/IPS
Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos
Motivo simples
Investigar
Tipo 1: gerado por translação
Motivo composto
Tipo 2: gerado por reflexão de eixo horizontal e translação
Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 42
PFCM 2010/2011
ESE/IPS
Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos
Motivo simples
Investigar
Motivo composto
Tipo 3: gerado por reflexão de eixo vertical e translação
Motivo4:
composto
Tipo
gerado por reflexão de eixo horizontal, reflexão de eixo
vertical e translação
Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 43
PFCM 2010/2011
ESE/IPS
Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos
Investigar
Motivo simples
Tipo 5: gerado por rotação de 1800 e translação
Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 44
PFCM 2010/2011
ESE/IPS
Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos
Investigar
Motivo simples
Tipo 6: gerado por reflexão deslizante e translação
Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 45
PFCM 2010/2011
ESE/IPS
Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos
Investigar
Motivo simples
Motivo composto
Tipo 7: gerado por reflexão de eixo vertical, reflexão deslizante e
translação
Há apenas sete tipos de frisos...
Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 46
PFCM 2010/2011
ESE/IPS
(Alcazar,
Adaptação
conferência
por Anaharmonia,
Maria Boavida nobeleza...
Encontro BragançaMat
11 (AbrilSevilha)
2011) 47
Simetria:
A da
busca
deapresentada
equilíbrio,
PFCM 2010/2011
ESE/IPS
Bibliografia e outros materiais consultados
Bastos, R. (2006). Notas sobre o Ensino da Geometria do Grupo de Trabalho de Geometria da APM –
Simetria. Educação Matemática, 88, 9-11.
Bastos, R. (2007). Notas sobre o ensino da Geometria: Transformações geométricas. Educação e
Matemática, 94, 23-27.
Deledicq, A. & Raba, R. (1997). Le monde des pavages. Paris: ACL- Éditions.
Devlin, K. (2002). Matemática: A ciência dos padrões. Porto: Porto Editora.
Hargittai, I. & Hargittai, M. (1994). Symmetry: A unifying concept. Bolinas, California: Shelter
Publications.
Haylock, D. (2001). Mathematics explained for primary teachers. London: Sage.
Musser, G., Burger, W. (1997). Mathematics for elementary teachers: A contemporary approach (4ª
ed.). Upper Saddle River: Prentice-Hall.
Oliveira, A. (1997). Transformações geométricas. Lisboa: Universidade Aberta.
Serra, M. (1993). Discovering geometry: An inductive approach. Berkeley: Key Curriculum Press.
Veloso, E., Bastos, R. & Figueirinhas, S. (2009). Notas para o ensino da Geometria: isometrias e
simetria com materiais manipuláveis. Educação e Matemática, 101, 23-28.
Veloso, E. (1998). Geometria. Temas actuais. Lisboa: Instituto de Inovação Educacional
Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 48
PFCM 2010/2011
ESE/IPS
Bibliografia e outros materiais consultados
Documentos não publicados
Conjunto de slides elaborados por Ana Maria Boavida para a conferência Revisitando simetrias e
isometrias no plano... a propósito do PMEB realizada no âmbito do PFCM da Universidade de Évora
(Julho de 2010).
Conjunto de slides sobre Simetrias de uma figura e isometrias no plano elaborados por Ana Maria
Boavida, Fernanda Matias, Margarida Rodrigues e Sílvia Machado para a Formação de Professores
Acompanhantes do PMEB: Geometria promovida pela DGIDC (Setembro 2009) .
Conjunto de slides sobre isometrias e simetria de uma figura no plano elaborado por Lina Brunheira,
professora acompanhante do Plano da Matemática II (Fevereiro de 2011).
Conjunto de slides sobre Simetria e frisos elaborados pela equipa do Programa de Formação
Contínua em Matemática para professores dos 1º e 2º ciclos da Universidade de Évora (2008/2009).
Sites
http://www.apm.pt/formacao/tgs_2008/index.html
http://www.atm.org.uk/resources/
http://www.atractor.pt/simetria/matematica/index.html
http://illuminations.nctm.org/ActivityDetail.aspx?ID=168
http://mathstitch.com/Rosettes__Friezes_and_Wallp.html
Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 49
15º EREPM, 30/4/2011- Bragança
O “mundo” da simetria
Reflectindo sobre desafios do PMEB
Ana Maria Roque Boavida
ana.boavida@ese.ips.pt
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O mundo da simetria