Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul
Curso de Fı́sica (Noturno) - Fı́sica Experimental A
PRECISÃO DE MEDIDAS I
1
Objetivos
este tipo de erro é mais difı́cil de lidar e com ele podemos apenas obter uma minimização de seus efeitos.
Ele nunca é totalmente eliminado. Geralmente são devidos a condições que flutuam como por exemplo, variações na rede de energia elétrica, variações verificadas
no comprimento de um objeto por irregularidades da
superfı́cie, etc.
Efetuar e registrar medidas considerando os erros e incertezas envolvidas no processo.
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Introdução
Apesar de se afirmar que a Fı́sica é uma ciência exata,
não existe uma única medida em toda a Fı́sica que
esteja isenta de algum erro. Por mais que seja sofisticada a aparelhagem utilizada os erros são uma presença constante e o bom experimentador deve aprender
a conviver com eles e minimizar os seus efeitos.
Ao fazermos a medida de uma grandeza fı́sica, o
valor encontrado não coincide com o real da mesma.
Quando este resultado vai ser aplicado, é necessário
saber com que certeza a grandeza fı́sica é representada
pelo número obtido. Deve-se, então, poder expressar a
incerteza de uma medida em termos que sejam compreensı́veis a outras pessoas e para isto usa-se uma linguagem padronizada e métodos adequados para combinar
incertezas dos diversos fatores que influenciam no resultado.
3
4
Para determinarmos o valor de uma grandeza fı́sica
precisamos comparar com um padrão previamente determinado. Logo a qualidade da medida dependerá
do padrão utilizado. Os padrões de grande precisão
(primários) são definidos de maneira bastante complexa e necessitam de tecnologia avançada para serem
reproduzidos. Desta forma utilizamos padrões mais
simples (secundários) aferidos a partir dos padrões
primários, porém menos precisos.
A imprecisão dos instrumentos utilizados como
padrões secundários será estimada pela incerteza instrumental, e caracteriza a faixa de valores dentro da
qual se encontra o valor verdadeiro da grandeza medida. Dentre as caracterı́sticas dos instrumentos que
influenciam em sua precisão podemos destacar:
Erros
• Resolução: expressão quantitativa da aptidão
de um instrumento de distinguir valores muito
próximos da grandeza a medir. Esta é composta
de diversas marcas e a diferença entre os valores de
duas marcas sucessivas, valor de uma divisão, caracteriza a resolução do instrumento. A indicação,
valor de uma grandeza medida fornecida pelo instrumento, pode, em muitos casos, ser feita com
interpolação da escala de medida.
Os erros são classificados em três grandes grupos: grosseiros, sistemáticos e aleatórios.
3.1
Erros Grosseiros
São aqueles que ocorrem por inabilidade do experimentador e são provenientes de enganos , uso inadequado
de instrumentos, técnicas deficientes, etc.
3.2
• Limiar : menor variação de um estı́mulo que provoca a variação perceptı́vel na resposta de um instrumento de medir. Ele pode depender de diversos
fatores como o ruı́do, o atrito, o amortecimento ou
a inércia. Exemplo: se uma balança só acusa variação na sua indicação com a adição de 0,1 g ou
mais à massa medida seu limiar de mobilidade é
de 0,1 g.
Erros Sistemáticos
São aqueles que ocorrem sempre do mesmo jeito e são
provenientes de: erros de calibração de instrumentos,
erros do observador na leitura do instrumento, instrumentos utilizados em condiçõe inadequadas, etc. Os
erros sistemáticos podem ser eliminados ou compensados.
3.3
Instrumentos de Medida
• Estabilidade: aptidão de um instrumento de medir em conservar constantes seus parâmetros metrológicos. O mais comum é considerar a estabilidade em função do tempo, embora também possa
Erros Aleatórios ou Acidentais
Ocorrem quando em uma série de medidas ora obtemos um valor, ora outro de forma imprevisı́vel. Com
1
estar relacionada a outros parâmetros como temperatura e umidade. Nesses casos é preciso especificar a grandeza à qual a estabilidade está relacionada.
precisamos ter cuidado ao efetuarmos mudanças de
unidade. Por exemplo: 3, 50m = 350cm e 3, 5m 6=
350cm Neste casos o procedimento correto é lançarmos
mão da notação em potência de dez e escrevermos:
3, 5m = 3, 5x102cm
Alguns autores estabelecem que, nos casos em que
não há vı́rgula decimal, o algarismo menos significativo é o não-nulo mais a direita. Por exemplo, quando
dizemos que, no curso de Fı́sica Experimental A, existem 1000 alunos matriculados, estamos apenas informando o dı́gito 1. Os três zeros aparecem apenas para
indicar a ordem de grandeza. Essa forma de escrever é muito utilizada em textos não-cientı́ficos. Se
quiséssemos aplicar o critério definido, nos três itens
anteriores, deverı́amos escrever 1x103 alunos, o que sobrecarregaria a redação. Por isso, para se evitar ambigüidade, nos casos em que se deseja dar significado a
todos os algarismos, deve-se escrever o valor na forma
1,000x103 alunos. Nestes, todos os quatro algarismos
são significativos.
• Justeza: aptidão de um instrumento de medir para
dar indicações isentas de erros sistemáticos.
• Fidelidade: aptidão de um instrumento de medir
para dar, sob condições de utilização definidas,
respostas próximas para aplicações repetidas de
um mesmo estı́mulo.
Além disso é necessário ainda satisfazer as condições
de referência, ou seja, condições de utilização de um
instrumento prescritas para assegurar a validade na
comparação de resultados de medições.
5
Algarismos Significativos
A exatidão de uma experiência deve ser evidenciada na
forma pela qual o resultado é escrito. O primeiro cuidado a ser tomado, no registro de uma medidal, é com
relação ao significado dos algarismos que aparecem no
registro. A leitura do valor da medida deve se prolongar até o algarismo correspondente ao da incerteza
instrumental. Por exemplo, se a incerteza na medida
feita com um paquı́metro é de ±0, 1mm, a leitura deve
registrar até o décimo do milı́metro, ou seja, um comprimento L deve ser lido na forma L = 12, 3mm.
No caso de não se saber qual é a incerteza da medida, esta dever ser assumida como sendo igual à metade do menor intervalo de medida do instrumento. Uma régua milimetrada deve, em princı́pio,
garantir a leitura do milı́metro e, por convenção, permitir a observação de mais um algarismo sobre o qual
incide a incerteza instrumental de ±0, 5mm. Por exemplo: o valor 514, 0mm indica que se pôde observar
o milı́metro e que há uma dúvida sobre o algarismo
correspondente ao décimo de milı́metro. Caso fosse
possı́vel observar este algarismo através de um instrumento mais exato, e este fosse zero, a medida seria
escrita na forma 514, 00mm, na qual o algarismo correspondente ao centésimo de milı́metro teria sido estimado.
O número de algarismos significativos em um resultado inclui todos aqueles lidos diretamente mais o estimado, quando for o caso. Esse número é definido por:
5.1
Operações com Algarismos Significativos
Já estamos conscientes que o resultado de uma medida
direta possui uma incerteza. Todavia, em nossos trabalhos, inúmeras vezes não podemos medir diretamente
a grandeza de interesse. Somos então forçados a obter esse valor através de outros, ou seja, necessitamos
realizar uma medida indireta. Por exemplo, ao determinar a velocidade média de um móvel, necessitamos
medir o tempo e o espaço percorrido.
Aqui se coloca o problema de como expressar o resultado desta medida indireta, pois as medidas diretas
feitas apresentam sempre alguma incerteza.
Os algarismos significativos obtidos por operações
aritméticas podem ser determinados através de algumas regras elementares de operação com algarismos
significativos.
5.1.1
Adição e Subtração
Para que o resultado da adição ou subtração contenha
apenas algarismos significativos, você deverá, inicialmente, observar se todas das parcelas estão expressas
na mesma potência de dez e qual das parcelas possui o
menor número de casas decimais, pois, o resultado deverá ser expresso com o mesmo número de casas decimais desta parcela. Os algarismos excedentes que porventura existirem no resultado devem ser abandonados
por arredondamento, isto também poderá ser feito nas
parcelas antes de se efetuar a operação. Exemplos:
1. o algarismo mais a esquerda não-nulo é o algarismo
mais significativo (exemplo: 0, 05140m);
2. o algarismo mais a direita é o menos significativo,
mesmo sendo zero (exemplo: 51, 40m);
• 12, 784cm − 5, 48cm = 7, 30cm
3. todos os algarismos entre o mais e o menos significativo são contados como significativos (exemplos:
0, 05140m, 51, 40cm, 5, 140x105 µm ou 514, 0mm,
todos com 4 algarismos significativos).
• 0, 0128m + 18, 02m = 18, 03m
5.1.2
A quantidade de algarismos significativos de uma
medida não se altera mediante uma transformação de
unidades, como pode ser ver nos exemplos acima. Mas,
Multiplicação e Divisão
Prevalece o número de algarismos significativos da parcela de menor número de algarismos. Exemplos:
2
6.1
• 12, 13N x 0, 021m = 0, 25N m
Incerteza Absoluta
Representa diretamente a incerteza medida. Assim se
a dimensão de uma barra for medida como sendo L =
1, 32m com uma incerteza absoluta
5.2 Arredondamentos
deltaL = 0, 01m, o registro dessa medida deve ser feito
na forma L = (1, 32 ± 0, 01)m. Deve-se observar que é
Freqüentemente ocorre que números devem ser arredondados. Ao se processarem os resultados de uma sobre o algarismo menos significativo do valor medido
para L que recai a incerteza. Em uma medida direta
experiência, deve-se tomar o cuidado de só se fazerem
não há sentido em se registrar outros algarismos
arredondamentos na apresentação do resultado final,
para que não sejam introduzidos erros acumulativos além do determinado pela incerteza.
durante as aproximações intermediárias.
O arredondamento pode ser aplicado para eli- 6.2 Incerteza Relativa
minação de algarismos significativos excedentes ou É uma forma mais significativa de se expressar a quapara eliminação de algarismos não significativos.
lidade de uma medida. Uma medida com uma incerAo abandonarmos algarismos em um número, o teza absoluta de 0, 1m pode parecer muito menos exata
último algarismo mantido será acrescido de uma uni- que uma outra com uma incerteza absoluta de 0, 1mm.
dade ou não conforme as regras a seguir (X significa o Entretanto, se a primeira incerteza for associada à mealgarismo a ser arredondado):
dida da altura de uma montanha, por exemplo, o pico
• 1, 0cm ÷ 24, 375s = 0, 041cm/s
de Itatiaia com h = (2787, 4 ± 0, 1)m e a segunda, à
largura de uma caneta, L = (8, 3 ± 0, 1)mm, a opinião
seria outra sobre a qualidade dessas medidas.
Por isso, é importante associar uma incerteza ao valor
que eatá sendo medido, ou seja, informar a incerteza
• de X500...1 a X999..., os algarismos excedentes são
relativa
a uma medida. A melhor forma de expressar
eliminados e o algarismo X aumenta de 1 (arredonesta
relação
é dividir a incerteza pela medida, quocidamento para cima);
ente esse denominado de incerteza relativa:
• No caso X5000000..., então o arredondamento
δM
(1)
ir =
deve ser tal que o algarismo X depois do arredonM
damento deve ser par.
em que M é a medida e δM é a incerteza da medida. No
caso da medida do pico de Itatiais, a incerteza relativa é
Exemplos:
de ir = 3, 6x10−5, enquanto que, na largura da caneta,
é de ir = 1, 2x10−2.
• 2, 4 |{z}
3 =⇒ 2, 4
• de X000... a X499..., os algarismos excedentes são
simplesmente eliminados (arredondamento para
baixo);
6.3
• 3, 68 |{z}
8 =⇒ 3, 69
É a incerteza relativa multiplicada por 100 acrescida
do sı́mbolo % (porcento). A vantagem de se escrever
a incerteza relativa na forma percentual é que se evita
escrever números muito pequenos. Assim, a incerteza
relativa associada à largura da caneta é expressa como
1,2%.
Mesmo assim, para algumas medidas, as incertezas relativas são tão pequenas, que mesmo escritas na
forma percentual, ficam com números muito pequenos.
É o caso da altura do pico de Itatiaia, em que a incerteza percentual é de 0,0036%. Neste casos, utilizamse outras relações como parte por milhão (ppm=106 ),
parte por bilhão (ppb=109 ) ou mesmo parte por trilhão
(ppt=1012 ), mas que não utilizaremos em nosso curso.
• 5, 6 |{z}
499 =⇒ 5, 6
• 5, 6 |{z}
501 =⇒ 5, 7
• 5, 6 |{z}
500 =⇒ 5, 6
• 5, 7 |{z}
500 =⇒ 5, 8
• 9, 47 |{z}
5 =⇒ 9, 48
• 3, 32 |{z}
5 =⇒ 3, 32
6
Incerteza Percentual
Incerteza
7
A importância do registro correto de uma medida é
porque, através dele, é possı́vel informar tanto o valor
da medida quanto a incerteza instrumental utilizada.
Esta pode ser expressa de duas formas: incerteza absoluta e incerteza relativa. A palavra erro é muitas
vezes empregada no lugar da incerteza. Essa palavra,
quando associada à incerteza da medida, não significa
que a medida está errada do valor erro, mas que a ela
está associado um erro provável de até o valor erro.
Questionário
1. Efetua-se uma medida de comprimento com uma
régua de plástico e repete-se a mesma medida com
uma trena metálica. Em qual das duas situações
o grau de confiança da medida é maior? Justifique sua resposta com base nos erros que podem
ocorrer no procedimento e nas caracterı́sticas dos
intrumentos de medida.
3
8. O valor de um ângulo obtido de uma série de medidas é (60 ± 1)◦ , qual o seno deste ângulo?
2. Quantos algarismos significativos existem em cada
um dos valores a seguir?
9. Calcule as incertezas relativas, na forma percentual de cada uma das medidas a seguir:
(a) 135, 5cm
(b) 0, 010kg
(c) 1, 01x10−3s
(a) m = (34, 55 ± 0, 05)g
(d) 4, 123g
(b) d = (7, 802 ± 0, 001)g/cm3
(e) 11, 342g/cm3
(c) c = (2, 998 ± 0, 002)x108m/s
(f) 2002, 0cm/s
10. Qual é a incerteza absoluta da medida do perı́odo
de um pêndulo T = 1, 58s, feita com uma incerteza
percentual de 2%.
(g) 978, 7cm/s2
(h) 6, 02x1023s
(i) 3, 14159
8
(j) 3x108 m/s
(k) 60x104kg
Bibliografia
1. VUOLO, J.H., Fundamentos da Teoria de Erros,
2 edição, São Paulo, Editora Edgar Blucher Ltda.,
1996.
(l) 3500cm
(m) 0, 0065kg
2. BARTHEM, B. R., Tratamento e Análise de Dados em Fı́sica Experimental, Rio de Janeiro, Editora da UFRJ.
3. Faça as mudanças de unidades:
(a) 20m = .............................cm
3. Roteiros: Laboratório de Mecânica e Termodinâmica - UFMS, 1995.
(b) 44, 5x103g = ....................kg
(c) 0, 0068m = .........................mm
(d) 1000l = ..........................m3
4. Arredonde os valores abaixo, para apenas dois algarismos significativos:
(a) 34, 48m
(b) 1, 281m/s
(c) 8, 563x103s
(d) 4, 35cm3
(e) 9, 97x10−6g
(f) 0, 0225N
(g) 2787m
(h) 0, 04095km
(i) 143768900
(j) 2, 54cm
5. Escreva os resultados das operações matemáticas
a seguir, respeitando o uso de algarismos significativos:
(a) 1, 02x105kg ÷ 3, 1m3
(b) 345m + 23, 3M + 1, 053m
(c) 390, 5g ÷ 22, 4cm3
(d) 1, 89x102g − 2, 32g
(e) 10, 0m ÷ 0, 01s
6. Um copo e seu conteúdo pesam (640, 4 ± 0, 6)gf .
O copo sozinho pesa (148, 0 ± 0, 4)gf . Qual o peso
do conteúdo?
7. O raio de uma esfera de metal mede (4, 30 ±
0, 5)cm. Determine o seu volume.
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