Estrutura da Matéria
Lista-3
2 de novembro de 2006
Prof. Rômulo Rodrigues da Silva
1) O experimento de Rutherford, Fig.(1), mostrou pela primeira vez como
deve ser a estrutura atômica.
Figura 1:
Para explicar a observação experimental, Rutherford propôs o modelo,
Fig.(2), onde toda a carga positiva do átomo está confinada no núcleo, Ze.
Dada a força de interação entre partı́cula α, ze, e o núcleo,
F (r) =
zZe2
,
r2
(1)
(a) nesse modelo, como você definiria o raio, R, de um núcleo. (b) Encontre
a solução da hipérbole, Fig.(2), r(θ) = 1/u(θ), onde u(θ) obedece a equação
da trajetória:
d2 u
m
+ u = − 2 2 F (1/u),
(2)
2
dθ
Lu
onde m é a massa da partı́cula α e L o seu momento angular. (c) Utilize a
condição u(π − φ) = 0 e mostre que:
b(φ) =
R
cotg(φ/2),
2
1
(3)
onde R é o raio nuclear obtido no ı́tem (a). (d) Considerando um grande
número de colisões de partı́culas α em um único núcleo, Fig.(3), determine
o número de partı́culas α, dN, que atravessam o anel de raio b ao redor do
núcleo. (e) Mostre que a fração de partı́culas α que atravessam esse anel é:
2πbdb
dN
=
= ρt2πbdb,
Ntot
Aatom
(4)
e determine através das Eqs.(3) e (4), a relação para a fração de partı́culas
α por unidade de área do anel do detector, Fig.(1).
Figura 2:
Figura 3:
2) (a) Obtenha os autoestados de energia do hidrogenóide, usando os
postulados de Bohr. (b) Considere uma transição entre um estado inicial i
para um estado final f , obtenha a frequência da radiação emitida e o número
de onda. (c) Como você explicaria através do ı́tem (b), a observação das
séries de Lyman, Balmer e Paschen. (d) Considere uma estrela que contém
hidrogênio em sua atmosfera e que é observado em seu espectro uma boa
fração de linhas que obedece a série de Paschen. Estime a temperatura da
estrela.
3) (Eisberg, pg-123) Deduza a relação que liga a frequência da radiação
emitida em uma transição entre dois estados de um átomo de Bohr e a
frequência orbital dos elétrons nesses dois estados. Estude essa relação no
limite de n grande e comente acerca de sua correspondência com as predições
da fı́sica clássica.
4) Sommerfeld considerou um átomo mais realı́stico que o de Bohr, pois
considerava que os elétrons poderiam descrever elipses. Ao adicionar essa
possibilidade de movimento, Sommerfeld teve que trabalhar com a sua recém
2
descoberta mecânica quântica, baseada nas regras de quantização de WilsonSommerfeld. Para o movimento do elétron orbtitando ao redor do núcleo,
temos as seguintes regras de quantização:
Jθ =
I
Ldθ = nθ h,
(5)
Jr =
I
pr dr = nr h.
(6)
A Eq.(5) fornece facilmente a quantização do momento angular de Bohr (ver
lista2). Por outro lado, a obtenção da integral da Eq.(6) não é tão simples. (a)
Mostre que usando a mecânica não-relativı́stica, pr = mṙ, e que a trajetória
dos elétrons é dada por:
A
,
(7)
r=
1 − cos(θ)
podemos escrever a integral Jr , na forma:
2
Jr = L
Z
2π
dθ
0
sen2 (θ)
.
[1 − cos(θ)]2
(8)
(b) Use o valor da integral obtido por resı́duos (Rômulo),
√
1 − 2 − 1
Jr = −2πL √
,
1 − 2
e a relação entre os parâmetros da elipse, Fig.(4),
b √
= 1 − 2 ,
a
para obter a relação:
nθ
b
= ,
(9)
a
n
onde n = nr + nθ . (c) Use o fato que os autoestados de energia do átomo de
Sommerfeld não-relativı́stico depende apenas do número quântico n (Rômulo),
mostre quantas trajetórias distintas podemos construir para um elétron com
energia n = 3. (d) Explique por que essa situação constitui um estado degenerado. (e) Como Sommerfeld conseguiu eliminar esses estados degenerados?
3
Figura 4:
boa sorte !!
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