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MÓDULO 5 – aula 41
(vetores)
FERA, o segmento de reta orientado utilizado para caracterizar uma
grandeza vetorial é chamado de vetor:
B
Simbologia:
AB

AB


a

a
vetor a
módulo do vetor a
A
O segmento orientado AB quando associado a uma grandeza vetorial
será um vetor de origem em A e extremidade em B. A intensidade da
grandeza está representada pelo comprimento do segmento AB e é
designado como módulo do vetor.
ANOTAÇÕES
►
VETORES EQUIPOLENTES
►
VETORES OPOSTOS
►
VETORES DIRETAMENTE
OPOSTOS
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MÓDULO 5 – aula 42
(Adição de vetores)
Método da Linha Poligonal
LEMBRE - SE
(1º)
(2º)
A adição de vetores é COMUTATIVA, ou seja:
   
a b  b a
ATENÇÃO
No método da linha poligonal
Não há limitações quanto ao número
de vetores
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MÓDULO 5 – aula 43
(Regra do Paralelogramo)
FERA, lembre-se que a Regra do Paralelogramo só pode ser
utilizada para dois vetores por vez, ok? Lembre-se disso.
Método da Linha Poligonal
LEMBRE - SE
(1º)
(2º)
(3o)
Para determinar o módulo do vetor soma, o caso geral é:



 
| S |2 | a |2  | b |2 2 | a | . | b | .cos
ATENÇÃO
Casos particulares
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MÓDULO 5 – aula 44
(subtração entre vetores)
FERA, para resolver problemas de subtração entre vetores, basta
que você se lembre que subtrair é o mesmo que somar com o oposto.
Subtração vetorial
LEMBRE - SE
  
S  a b

a

a

b
  
D  a b

b

b

a
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MÓDULO 5 – aula 45
(produto de escalar por vetor)
FERA, quando um vetor é multiplicado por um escalar, o vetor que
é resultado do produto tem mesma direção que o vetor que foi
multiplicado, ok? Ao multiplicarmos por um escalar, não variamos a direção
do vetor.
Produto de escalar por vetor
LEMBRE - SE

b

b
MESMO SENTIDO que

a
SENTIDO OPOSTO ao de
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se N > 0

a
se N < 0
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MÓDULO 5 – aula 46
(decomposição de vetores)
FERA, em muitas questões que veremos daqui para a frente, a
decomposição de vetores será útil. Atenção ao ângulo e a componente
que está adjacente a ele, ok?
ANOTAÇÕES
y
)
x
y

x



| vX || v | . cos  | v | .sen



| vY || v | .sen | v | . cos 
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MÓDULO 5 – aula 47
(versores)
O uso de versores facilita muito as operações com vetores, FERA.
Teremos uma breve introdução só para que você possa entender questões de
vestibulares que venham a cobrar esse conteúdo, ok?
ANOTAÇÕES
ĵ
î

v  aiˆ  b ˆj

| v | a 2  b 2
MÓDULO 5 – aula 48
(operações com versores)
ANOTAÇÕES
ANOTAÇÕES
Adição / subtração
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Produto por escalar
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EXERCÍCIO S D E A PL ICA ÇÃO
AULA 41 – Exemplo 01 ( )
Para que uma grandeza
precisamos conhecer:
vetorial
fique
completamente
caracterizada
a) apenas sua intensidade
b) apenas sua intensidade e direção
c) apenas sua direção e sentido
d) apenas seu sentido
e) seu módulo, sua direção e seu sentido.
AULA 41 – Exemplo 02 ( )
No quadriculado a seguir temos alguns segmentos de reta orientados
representando alguns vetores. Dos vetores representados, quais deles:
a) representam o mesmo vetor?
b) representam vetores opostos?
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AULA 42 – Exemplo 01 ( )
Dados os vetores A, B e C, representados na figura em que
cada quadrícula apresenta lado correspondente a uma unidade de medida, é
correto afirmar que a resultante dos vetores tem módulo:

A

B
a) 1
c) 3

C
b) 2
d) 4
e) 5
AULA 42 – Exemplo 02 (Mackenzie SP)
Com seis vetores de módulos iguais a 8u, construiu-se o hexágono regular a
seguir. O módulo do vetor resultante desses seis vetores é:
a) zero
c) 24u
b) 16u
d) 32u
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e) 40u
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AULA 43 – Exemplo 01 ( )
Dois vetores
 
aeb
de módulos respectivamente iguais a: 12 cm e 16 cm,
pertencem ao mesmo plano. Sendo
a) 4 cm
c) 16 cm
  
S ab
b) 12 cm
d) 20 cm
o valor do

S
não pode ser:
e) 32 cm
AULA 43 – Exemplo 02 (UNIUBE MG)
Dois vetores

d1
e

d 2 são
perpendiculares e têm módulos 6 cm e 8 cm,
respectivamente. Nesse caso, podemos afirmar que o módulo do vetor soma
de

d1
com
a) 2 cm
c) 9 cm

d2
é igual a:
b) 7 cm
d) 10 cm
e) 14 cm
AULA 43 – Exemplo 03 ( )
Duas forças são aplicadas simultaneamente em uma partícula. As forças têm
módulos 3N e 5N e formam entre si 60o. Determine o módulo da resultante
da dação das duas forças sobre a partícula
a) 3 N
c) 7 N
b) 5 N
d) 8 N
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e) 15 N
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AULA 44 – Exemplo 01 ( )
Dois vetores
 
aeb
têm módulos respectivamente iguais a 10 e 6.
Determine o módulo de
 
a b
quando:
(a)
 
aeb
são paralelos de mesmos sentidos
(b)
 
aeb
são paralelos de sentido opostos
(c)
 
aeb
são perpendiculares
(d)
 
aeb
formam um ângulo de 120o entre eles.
AULA 45 – Exemplo 01 ( )

a

3a
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
½ a
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
-2 a
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AULA 46 – Exemplo 01 (FT)®
Em um dia bem ensolarado, no momento que uma bola é chutada ao gol, os
raios solares são perfeitamente verticais. Sabendo que a bola de futebol é
lançada obliquamente, formando um ângulo de 37o em relação a horizontal
(sen 37o = 0,6 e cos 37o = 0,8) e que a velocidade de lançamento foi 25
m/s, assinale a alternativa que indica o valor do módulo da velocidade da
sombra da bola sobre o campo horizontal.
a) 25 m/s
c) 15 m/s
b) 20 m/s
d) 10 m/s
e) 5 m/s
AULA 46 – Exemplo 02 (EsPCEx)
Um ponto material de massa 2
3 kg
está
submetido unicamente à ação de três forças
coplanares de módulo F1 = 5N, F2 = 4
3N
e
F3 = 10N como mostra a figura. O módulo da
aceleração resultante da partícula, em m/s2, é:
a) 2
c) 4,5
b) 4,5
3
3
d) 9,5
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e) 9
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3
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FERA, nessa nova lista é preciso que você fique
bem atento(a) ao que foi trabalhado nas aulas. As
operações envolvendo vetores são, em geral, um
pouco diferentes daquelas que são apenas com
valores numéricos, ok? Sempre que preciso, volte
aos vídeos e reveja o que deve ser feito.
Bons estudos.
Divirta-se
#LQVP
P 151 (FAVIP PE)
As informações a seguir referem-se às grandezas físicas.
I : As grandezas escalares ficam perfeitamente definidas, quando
conhecemos seu valor numérico e a correspondente unidade.
II : As grandezas vetoriais apenas necessitam de direção e sentido,
para ficarem totalmente definidas.
III : São grandezas vetoriais: deslocamento, velocidade, força e
corrente elétrica.
A alternativa, que representa corretamente as grandezas físicas, é:
a) I, II e III
c) somente I
b) somente III
d) II e III
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e) I e III
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P 152 ( )


Dois vetores a e b de módulos respectivamente iguais a: 6 cm e 8 cm,

  
S
pertencem ao mesmo plano. Sendo S  a  b o valor do
:
a) vale 14cm
b) vale 10 cm
c) vale 2 cm
d) pertence ao intervalo de 2 cm a 14 cm
e) é menor que 2 cm ou é maior que 14 cm
P 153 ( )
Considere duas forças F1 e F2 de intensidades respectivamente iguais a 18N
e 12N, aplicadas numa partícula P. A resultante R = F1 + F2 não poderá
ter intensidade igual a:
a) 30N
c) 12N
b) 18N
d) 6N
e) 3N
P 154 (Unitau SP)
considere o conjunto de vetores representados na
figura. Sendo igual a 1 o módulo de cada vetor, as
operações A + B, A + B + C e A + B + C + D terão
módulos, respectivamente, iguais a:
a) 2; 1; 0
b) 1;
c)
d)
2 ; 1; 0
2;4
2;
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2;1
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e) 2;
2;0
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P 155 ( )


Dois vetores a e b , de mesma origem, formam entre si um ângulo de
60o. Se os módulos desses dois vetores são a = 7u e
módulo do vetor soma?
a) 15u
c) 8u
b) 13u
d) 7u
b = 8u, qual o
e) 1u
P 156 (FCC SP)
Qual é a relação entre os vetores
M
,
N
,
P
e
R
representados?
a)
c)
    
M  N PR  0
   
PRM N
b)
d)
   
PM  N R
   
PRM N
e)
   
PRN M
P 157 ( )
A figura mostra 5 forças representadas por
vetores de origem comum, dirigindo-se aos
vértices de um hexágono regular.
Sendo 10N o módulo da força FC, a
intensidade da resultante dessas 5 forças é:
a) 50N
c) 40N
b) 45N
d) 35N
e) 30N
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P 158 (FAAP)
A intensidade da resultante entre duas forças concorrentes, perpendiculares
entre si, é de 75N. Sendo a intensidade de uma força igual a 60N, calcule a
intensidade da outra
P 159 (MACKENZIE) Um sistema é constituído por duas forças de direções
normais entre si e de intensidade 60N e 80N. A força resultante dessas duas
forças forma com a força de intensidade 80N um ângulo cujo seno vale:
a) 1,00
c) 0,75
b) 0,80
d) 0,60
e) 0,50
P 160 (UNIUBE) Duas forças perpendiculares estão aplicadas em um
mesmo ponto, sendo o módulo de uma o triplo do módulo da outra. Sabendo
que a resultante dessas duas forças vale 10N, podemos concluir que:
a) a maior força vale 5N
b) a menor força vale 1N
c) o ângulo formado pela resultante com a menor força vale 30o
d) uma força vale 2N e a outra vale 6N
e) todas as afirmativas acima são incorretas.
P 161 (UNESP) Duas forças, cujos módulos (intensidades) são diferentes de
zero, atuam juntas sobre um ponto material. O módulo da resultante dessas
forças será máximo quando o ângulo entre elas for:
a) 0o
c) 60o
b) 45o
d) 90o
e) 180o
P 162 ( ) Um navegador segue as orientações de um mapa para conseguir
chegar a uma ilha. Ao obedecê-las, ele impôs ao seu barco dois
deslocamentos sucessivos, um de 6 milhas e outro de 8 milhas, em
diferentes direções, alcançando assim o seu objetivo. A distância entre o
ponto de partida do navegador e a ilha pode ser:
a) 18 milhas
c) 10 milhas
b) 14 milhas
d) 2 milhas
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e) 1 milha
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P 163 (UFAL) Em um estacionamento, um coelho se desloca, em sequência,
12m para o oeste, 8m para o norte e 6m para o leste. O deslocamento
resultante tem módulo:
a) 26m
c) 12m
b) 14m
d) 10m
P 164 (
e) 2m
) O deslocamento de uma partícula pode ser representado
utilizando versores pela expressão:
abaixo a alternativa que indica

| d |:

d  5iˆ  12 ˆj , em unidades S.I.. Assinale
]
a) 5m
c) 13m
b) 12m
d) 17m
e) 60m
P 165 ( ) Uma partícula se desloca a partir de um ponto A,
até um ponto B,

d  5iˆ  12 ˆj ,

d  5iˆ  12 ˆj ,
em unidades S.I.. Determine a distância
entre os pontos A e B, em metros.
a) 5m
c) 13m
b) 12m
d) 17m
e) 60m
GABARITO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS:
151
156
161
C
B
A
152
157
162
D
E
C
153
158
163
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E
45
D
184
154
159
164
C
D
C
155
160
165
B
E
C
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