CÔNICAS
CLASSIFICAÇÃO
DE CÔNICAS
Cônicas
2
CÔNICAS NÃO
DEGENERADAS
Cônicas
3
CÔNICAS
• Estudaremos
as
(seções)
cônicas,
curvas planas que
são obtidas da
intersecção de um
cone circular com
um plano.
Cônicas
4
Cônicas
5
Cônicas
6
Cônicas
7
• Vamos definí-las como conjunto de pontos
que satisfazem certas propriedades e
determinar as equações na forma mais
simples.
Cônicas
8
ELIPSE
Cônicas
9
DEFINIÇÃO
• Dados dois pontos F1 e F2 chamamos
elipse o conjunto dos pontos P do plano
tais que d(P,F1)+d(P,F2)=2a.
Cônicas
10
ELIPSE
Elipse é o conjunto dos pontos P = (x, y) tais que d(P, F1) + d(P, F2) = 2a
Cônicas
11
ELIPSE
Cônicas
12
Elementos da Elipse
• Focos: são os pontos F1 e F2,
• Distância Focal: é a distância 2c entre
•
•
•
•
•
os focos,
Centro: é o ponto médio C do
segmento F1F2,
Vértices: são os pontos A1, A2, B1 e B2,
Eixo maior: é o segmento A1A2 de
comprimento 2a ( o segmento A1A2
contém os focos e os seus extremos
pertencem a elipse),
Eixo menor: é o segmento B1B2 de
comprimento 2b (B1B2 ḻ A1A2 no seu
ponto médio).
Excentricidade: é o número e dado
por e=c/a. Como c<a, temos 0<e<1.
Cônicas
13
Equação Reduzida da Elipse
• Eixo maior sobre o eixo dos x:
x
2
a
2

y
2
b
2
1
• Eixo maior sobre o eixo dos y
x
2
b
2

y
2
a
2
1
• Relação fundamental:
a  b c
2
2
2
Cônicas
14
Equação da Elipse com Centro na Origem e
Eixo Maior Sobre o Eixo dos x:
Proposição 1. (a) A equação de uma elipse
cujos focos são F1 = ( - c, 0) e F2 = (c, 0) é
x
2
a
2

y
2
b
2
Cônicas
1
15
Equação da Elipse com Centro na Origem e
Eixo Maior Sobre o Eixo dos x:
a
c
Cônicas
16
Equação da Elipse com Centro na Origem e
Eixo Maior Sobre o Eixo dos y:
• Proposição 1. (b) A equação de uma elipse
cujos focos são F1 = (0, - c) e F2 = (0, c) é
x
2
b
2

y
2
a
2
1
Cônicas
17
Equação da Elipse com Centro na Origem e
Eixo maior sobre o eixo dos y:
c
a
Cônicas
18
OBSERVAÇÕES
• Como
a  b c
2
2
2
temos que
a b  ab
2
2
.
• Então, sempre o maior dos denominadores da
2
equação reduzida representa o número a onde
a é a medida do semi-eixo maior.
• E mais, se na equação da elipse o número
é
denominador de x 2 , a elipse tem seu eixo maior
sobre o eixo x.
Cônicas
a
2
19
EXEMPLOS
1. Determinar: a medida dos semi-eixos, um
esboço do gráfico, os focos e a excentricidade:
(a) 9 x 2  25 y 2  225
(b)
x
2
36

y
2
1
100
Cônicas
20
EXEMPLOS
2. Deduza uma equação da elipse de focos
F1 = (-3, 0) e F2 = (0, 4) e eixo maior 7.
3. Determine a equação da elipse que tem centro
C(0,0), um foco F(3/4,0) e um vértice A(1,0).
Cônicas
21
APLICAÇÕES
A figura mostra os planetas girando em torno do Sol. Foi o astrônomo e
matemático Johannes Kepler (1571-1630) que formulou 3 leis que regem o
movimento planetário. Uma delas diz que um planeta gira em torno do Sol
em uma órbita elíptica com o Sol em um dos focos.
22
APLICAÇÕES
No caso da Terra os semi-eixos são a =
153.493.000km e b = 153.454.000 km. Donde
podemos obter a excentricidade da órbita da Terra:
(quase uma circunferência)
Cônicas
23
APLICAÇÕES
• Arcos em
forma de semi-elipse são muito
empregados na construção de pontes de concreto e
de pedras (desde os antigos romanos)
Cônicas
24
APLICAÇÕES
• Engenharia
Elétrica:
conjuntos
de
elipses
homofocais (elipses de mesmo foco) são utilizadas
na teoria de correntes elétricas estacionárias.
• Engenharia Mecânica: são usadas engrenagens
elípticas (excêntricos).
Cônicas
25
HIPÉRBOLE
Cônicas
26
DEFINIÇÃO
• Dados dois pontos F1 e F2 chamamos hipérbole o
conjunto dos pontos P do plano tais que
|d(P,F1) - d(P,F2)|=2a (0<2a<2c, 2c= d(F1,F2) ).
Cônicas
27
Elementos da Hipérbole
• Focos: são os pontos F1 e F2,
• Distância Focal: é a distância 2c
•
•
•
•
entre os focos,
Centro: é o ponto médio C do
segmento F1F2,
Vértices: são os pontos A1 e A2,
Eixo Real ou transverso: é o
segmento A1A2 de comprimento 2a,
Eixo imaginário ou conjugado: é o
segmento B1B2 de comprimento 2b,
• Excentricidade: é o número e
dado
por
temos e>1.
e=c/a. Como c>a,
Cônicas
c
2
a b
2
2
28
Equação Reduzida da Hipérbole
• Eixo real sobre o eixo dos x:
x
2
a
2

y
2
b
2
1
• Eixo real sobre o eixo dos y:
y
2
a
2

x
2
b
2
1
Cônicas
29
Equação da Hipérbole com Centro na
Origem e Eixo Real sobre o eixo dos x:
• Proposição 1. (a) A equação de uma
Hipérbole cujos focos são F1 = (- c, 0) e
F2 = (c, 0) é
x
2
a
2

y
2
b
2
1
Cônicas
30
Equação da Hipérbole com Centro na
Origem e Eixo Real sobre o eixo dos x:
Cônicas
31
Equação da Hipérbole com Centro na
Origem e Eixo Real sobre o eixo dos y:
• Proposição 1. (b) A equação de uma
hipérbole cujos focos são F1 = (0, - c) e
F2 = (0, c) é
y
2
a
2

x
2
b
2
Cônicas
1
32
Equação da Hipérbole com Centro na
Origem e Eixo Real sobre o eixo dos y:
Cônicas
33
Assíntotas
• As retas y   ba x são chamadas assíntotas da hipérbole.
• São retas das quais a hipérbole se aproxima cada vez
mais à medida que os pontos se afastam dos focos.
Cônicas
34
EXEMPLO
• 1. Determinar na hipérbole 9 x 2  7 y 2  63
a) A medida dos semi-eixos
b) Um esboço gráfico
c) Os vértices
d) Os focos
e) A excentricidade
f) As equações das assínotas
Cônicas
0
35
EXEMPLO
• 2. Determinar na hipérbole
a) A medida dos semi-eixos
b) Um esboço gráfico
c) Os vértices
d) Os focos
e) A excentricidade
f) As equações das assínotas
Cônicas
y
2
100

x
2
1
64
36
EXEMPLO
• 3. Encontre uma equação da hipérbole de focos
•
F1(0,-5) e F2(0,5) e eixo real de medida 6.
2
2
R:
y
x

9
1
16
• 4. Encontre uma equação da hipérbole de focos
•
F1(-2,1) e F2(1,3) e eixo real 2.
R:
2
20 x  48 xy  76 x  24 y  79  0
Cônicas
37
APLICAÇÕES
• Recentemente, experimentos físicos mostraram que
partículas carregadas atiradas em núcleos de átomos se
espalham ao longo de trajetórias hiperbólicas.
• Mecânica Celeste: dependendo de sua velocidade, um
cometa tem uma órbita elíptica,
hiperbólica (o foco coincide com o Sol).
parabólica
ou
• Em Mecânica dos Fluidos e em alguns problemas
referentes ao fluxo estacionário de eletricidade são
utilizadas hipérboles homofocais (de mesmo foco).
Cônicas
38
APLICAÇÕES
• O sistema LORAN (long range navigation) e o sistema
DECCA de navegação aérea usam a hipérbole.
• Igualmente na navegação marítima utilizam-se sistemas
hiperbólicos: O sistema RADUX (de baixíssima
freqüência) e o sistema LORAC (de ondas contínuas para
observações de grande precisão).
Cônicas
39
APLICAÇÕES
Cônicas
40
PARÁBOLA
Cônicas
41
Parábola
• Dados um ponto F e uma reta d,
com F  d, seja p = d(F,d). Chamamos parábola o
conjunto dos pontos P do plano que são
equidistantes de F e d, i. é., d(P,F)= d(P,d).
Cônicas
42
Parábola
Cônicas
43
Elementos da Parábola
• Foco: é o ponto F,
• Diretriz: é a reta d,
• Eixo: é a reta que passa pelo foco e é
•
•
perpendicular à diretriz,
Vértice: é o ponto V de interseção da parábola
com seu eixo,
d(V,F)=d(V,A)
Cônicas
44
Equação Reduzida da Parábola
• O eixo da parábola é o eixo dos y: x
2
 2 py
• Se p>0 a parábola tem concavidade voltada
para cima e se p<0 a parábola tem concavidade
voltada para baixo.
Cônicas
45
Equação Reduzida da Parábola
• O eixo da parábola é o eixo dos x: y 2  2 px
• Se p>0 a parábola tem concavidade voltada para a
direita e se p<0 a parábola tem concavidade voltada para a
esquerda.
Cônicas
46
EXEMPLO
• 1. Achar as coordenadas do foco e a equação
da diretriz das parábolas
a) y   8 x
2
b) x 2  8 y
Cônicas
47
EXEMPLO
• 2. Determine a equação da parábola sabendo
que:
a) Vértice V(0,0) e foco F(-1,0)
b) Vértice V(0,0), passa pelo ponto P(-2,5) e
concavidade voltada para cima.
Cônicas
48
APLICAÇÕES
• (a) A secção de um farol de automóvel tem o
formato de uma parábola (a superfície espelhada é
um parabolóide). A lâmpada situada no foco,
quando acesa, emite raios luminosos que após
incidirem sobre a parábola serão refletidos numa
mesma direção segundo retas paralelas ao eixo da
parábola.
Cônicas
49
APLICAÇÕES
• (b) Se um espelho parabólico é apontado para o
•
Sol, os raios da luz (paralelos ao eixo da
parábola) serão refletidos para o mesmo ponto
(foco). Pela grande quantidade de calor
produzido nesta fonte, procede o nome foco
(em latim focus significa fogo).
Aplica-se o mesmo princípio na construção de
espelhos para telescópios, antenas de radar e
antenas parabólicas (as ondas paralelas ao eixo
da parábola, se refletem na antena e confluem
para o retransmissor).
Cônicas
50
APLICAÇÕES
• (c) Em balística, quando se lança um projétil
sobre o qual atua somente a força da gravidade,
a trajetória é uma parábola.
Cônicas
51
TRANSLAÇÃO DE EIXOS
Cônicas
52
Translação de Eixos
Consideremos no plano
cartesiano xoy um ponto
o’(h,k), arbitrário.
Vamos introduzir m
novo sistema x’o’y’ tal que os
eixos o’x’
o’y’ tenham a
mesma unidade de medida, a
mesma direção e o mesmo
sentido dos eixos ox e oy.
Nestas condições, um
sistema pode ser obtido do
outro,
através
de
uma
translação de eixos.
Cônicas
53
Translação de Eixos
• Seja um ponto P qualquer do plano tal que suas
coordenadas são:
x e y em relação ao sistema xoy,
x’ e y’ em relação ao sistema x’o’y’.
Pela figura anterior, obtemos:
x=x’+h e y=y’+k
Ou
x’=x-h e y’=y-k
que são as fórmulas de translação e que
permitem transformar coordenadas de um sistema
para outro.
Cônicas
54
Equação da Parábola de Vértice Fora da
Origem do Sistema
• 1º Caso: O eixo da parábola é paralelo ao eixo
dos y.
A equação da parábola de vértice V(h,k) é:
( x  h)  2 p( y  k )
2
• 2º Caso: O eixo da parábola é paralelo ao eixo
dos x.
( y  k )  2 p( x  h)
2
Cônicas
59
Equação da Parábola na Forma Explícita
• Sabemos que a equação da parábola de vértice
V(h,k) e eixo paralelo ao eixo dos y tem a forma
padrão: ( x  h ) 2  2 p ( y  k )
• Uma equação nessa forma pode ser escrita como:
y  ax  bx  c
2
que é chamada forma explícita da equação da
parábola cujo eixo é paralelo ao eixo dos y.
• Se a parábola tem eixo paralelo ao eixo dos x, sua
equação na forma explícita é
x  ay  by  c
2
correspondente à forma padrão
Cônicas
( y  k )  2 p( x  h) .
2
60
Exemplo
• 1. Determine a equação da parábola de foco em
F(1,2) e diretriz d:x=5
• Observação: Para completar o quadrado da
expressão:
somamos o quadrado da
metade do coeficiente de y, isto é,  q  .
y  qy
2
2
2
• 2. Determinar o vértice, um esboço gráfico, o
foco e a equação da diretriz da parábola
y  6 y  8x  1  0
2
Cônicas
61
Equação da Elipse de Centro Fora da Origem
do Sistema
• 1º Caso: O eixo maior é paralelo ao eixo x.
A equação da elipse de centro C(h,k) é:
(x - h)
a
2
(y - k)

2
b
2
1
2
• 2º Caso: O eixo maior é paralelo ao eixo y.
(x - h)
b
2
2

(y - k)
a
2
Cônicas
2
1
62
Exemplo
• 1. Determinar o centro, os vértices, os focos e a
excentricidade da elipse de equação
4 x  9 y  8 x  36 y  4  0
2
2
Cônicas
63
Equação da Hipérbole de Centro Fora da
Origem do Sistema
• 1º Caso: O eixo real é paralelo ao eixo dos x.
A equação da hipérbole de centro C(h,k) é:
(x - h)
a
2

2
(y - k)
b
2
1
2
• 2º Caso: O eixo maior é paralelo ao eixo y.
(y - k)
a
2
2

(x - h)
b
2
Cônicas
2
1
64
Exemplo
• 1. Determinar o centro, um esboço do gráfico,os
vértices e os focos da hipérbole de equação:
9 x  4 y  18 x  16 y  43  0
2
2
Cônicas
65
Exemplo
• 2. Obter a equação reduzida resultante de uma
•
•
•
translação de eixos, classificar, dar os elementos
e esboçar o gráfico da equação.
2
2
x

4
y
 4 x  24 y  36  0
A)
B) x 2  y 2  8 x  4 y  11  0
C) y 2  8 x  6 y  17  0
Cônicas
66
Equação Geral do Segundo Grau
Cônicas
67
Equação Geral do Segundo Grau
Cônicas
68
Equação Geral do Segundo Grau
+
Cônicas
69
Equação Geral do Segundo Grau
Cônicas
70
Equação Geral do Segundo Grau
Cônicas
71
Equação Geral do Segundo Grau
Portanto o gráfico de uma equação do segundo grau
pode ser:
1.Uma elipse
2.Uma hipérbole
3.Uma parábola
4.Um par de retas
5.Uma única reta
6.Um ponto ou
7.Conjunto vazio
De 1 a 6 chamamos cônicas e de 4 a 6 cônicas
degeneradas.
Cônicas
72
Proposição
• Proposição: O gráfico de uma equação do 2º
grau, isto é, o gráfico de uma equação da forma
ax2 + by2 +cxy + dx + ey + f = 0,
a, b ou c não nulo é uma cônica.
Cônicas
73
Sessões Cônicas
Cônicas
74
Sessões Cônicas
Cônicas
75
Sessões Cônicas
Cônicas
76
Sessões Cônicas
Cônicas
77
FIM
Cônicas
78