Nova School of Business and Economics
Prática Álgebra Linear
1 – Espaços Vectoriais
1
Espaço Vectorial
Definição
Conjunto
de elementos que verifica as seguintes propriedades:
Existência de elementos:
Contém pelo menos um elemento.
Soma:
Fecho: A soma de quaisquer dois elementos de
é um elemento de .
Comutatividade: A ordem por que é feita a soma de vectores de
não afecta o
resultado.
Associatividade: Numa soma de pelo menos
vectores de , a prioridade atribuída a
cada soma não afecta o resultado.
(
)
(
)
Existência de elemento neutro: Existe um elemento de
elemento de
cuja soma com cada
não o altera.
̅
̅
Existência de elemento simétrico: Cada elemento de
pode ser somado com outro
para resultar no elemento neutro da soma.
(
̅
)
Multiplicação por números reais:
Fecho: A multiplicação de qualquer número real por qualquer elemento de
é um
elemento de .
Associatividade: Numa multiplicação entre pelo menos
elemento de
, a prioridade atribuída a cada multiplicação não afecta o resultado.
(
)
Distributividade em
elemento de
números reais e
(
)
: A multiplicação entre uma soma de números reais e um
é igual à soma da multiplicação de cada um dos números reais por esse
elemento.
(
)
1
Prática Álgebra Linear
1 – Espaços Vectoriais
Distributividade no espaço: A multiplicação de um número real pela soma de
elementos de
é igual à soma da multiplicação desse número real por cada um dos
elementos.
(
)
Existência de elemento neutro: A multiplicação de
por cada elemento de
resulta
nesse elemento.
Ex.:
é um espaço vectorial, porque verifica as seguintes propriedades:
Existência de elementos: (
(
Soma:
Fecho:
)
)
(
(
)
)
(
(
)
(
)
(
Comutatividade:
(
)
)
)
)
(
(
)
)
(
(
(
)
)
(
̅
Existência de elemento neutro:
(
)
(
(
)
)
(
)
(
)
)
Existência
(
de
)
elemento
( ) ̅
(
simétrico:
(
Fecho:
)
Associatividade: (
Distributividade em
(
)
(
(
)
)
(
)
(
(
)(
)
)
(
: (
(
)
)
(
)
(
)
(
(
)
)
)
( (
{
(
(
(
)
(
(
(
)
)
(
)
)
)
Subespaço vectorial de um espaço vectorial
Subconjunto de , que é um espaço vectorial.
))
)
)
(
)
)(
(
Existência de elemento neutro:
Definição
(
)
Distributividade no espaço:
)
)
(
Multiplicação por números reais:
2
)
)
Associatividade: (
2
(
)
(
)
Prática Álgebra Linear
1 – Espaços Vectoriais
Ex.:
*(
)
+
é um subespaço vectorial de
porque verifica todas as
propriedades de um espaço vectorial.
3
Subespaços vectoriais e propriedades de espaços vectoriais
Facto
Um subconjunto
Não vazio:
de um espaço vectorial
é um subespaço vectorial de
se e só se for:
Contém pelo menos um elemento
Fechado para a soma: A soma de quaisquer dois elementos de
é um elemento de
Fechado para a multiplicação por números reais: A multiplicação de qualquer número
real por qualquer elemento de
Ex.:
*(
)
+
Não vazio: (
é um subespaço vectorial de
porque é:
)
(
Fechado para a soma:
(
é um elemento de .
)
(
)
(
)
(
)
)
Fechado para a multiplicação por escalares números reais:
(
4
)
(
(
)
)
Subespaços vectoriais e o vector nulo
Facto
Qualquer subespaço vectorial contém o elemento nulo do espaço vectorial a que pertence.
̅
̅
Ex.:
*(
origem de
5
)
+ não é um subespaço vectorial de
,(
).
Intersecção de dois conjuntos
Definição
Conjunto de elementos que pertencem a
*
Ex.:
*
porque não contém a
e
(
)
ea .
+
+
*
+
* +
3
Prática Álgebra Linear
1 – Espaços Vectoriais
6
Reunião de dois conjuntos
Definição
e
(
)
Conjunto de elementos que pertencem a pelo menos um dos conjuntos
*
+
*
Ex.:
+
*
*
7
e .
+
+
Soma de dois conjuntos
Definição
e
(
)
Conjunto de elementos que resultam da soma de um elemento de
com um elemento de
.
*
+
*
Ex.:
+
*
*
8
+
+
Soma directa de dois conjuntos
Definição
Soma de
e
, se
e
e
(
)
forem subespaços vectoriais de um espaço vectorial
, e a
intersecção entre eles for o vector nulo de .
{
*̅ +
*(
Ex.:
)
*(
9
+
*(
)
+
)+
Combinação linear de
Definição
vectores,
,
,
e
, de um conjunto
Soma do produto de cada um dos vectores por um número real.
Ex.: (
(
4
) é uma combinação linear de (
)
(
)
(
).
), (
) e (
) porque (
)
Prática Álgebra Linear
1 – Espaços Vectoriais
10
Sistema de geradores de um espaço vectorial
Definição
Conjunto de vectores a partir dos quais se obtêm todos os vectores de , fazendo com eles
todas as combinações lineares possíveis.
*
+
*(
Ex.:
*
)
+
+
*(
sistema de geradores, por exemplo,
lineares possíveis do vector(
11
*(
, tem como
)+, porque fazendo todas as combinações
), obtemos todos os vectores de .
Conjunto de
Definição
)+ , subespaço vectorial de
vectores,
,
,
e
, linearmente dependente
Conjunto de vectores em que pelo menos um deles é uma combinação linear dos restantes.
*
+
*
+
*(
Ex.:
12
)(
)(
)+ é linearmente dependente porque (
Conjunto de
Definição
vectores,
,
,
e
)
(
)
(
).
, linearmente independente
Conjunto de vectores em que nenhum deles é uma combinação linear dos restantes.
*
+
*
+
*(
Ex.:
)(
)+ é um conjunto de vectores linearmente independente porque é
impossível obter o vector (
como o vector (
13
) a partir de uma combinação linear do vector (
) a partir de uma combinação linear do vector (
), bem
).
Independência linear, combinações lineares e vector nulo
Facto
Um conjunto de vectores é linearmente independente se e só se a única combinação linear
dos seus vectores que iguala o vector nulo do espaço que o contém é aquela cujos
coeficientes são todos 0.
*
(
+
)
*
(
)
̅
+
5
Prática Álgebra Linear
1 – Espaços Vectoriais
(
)
(
̅
)
*(
Ex. 1: O conjunto
)(
(
porque a única solução de
*(
Ex. 2: O conjunto
)+ é um conjunto de vectores linearmente independente
)
)(
(
)
(
)é
.
)+ é um conjunto de vectores linearmente dependente
porque as soluções de
(
exemplo,
é uma solução, não sendo assim a única solução
14
(
)
(
de vectores de
, pelo que, por
.
que é:
( )
Um sistema de geradores de :
Linearmente independente:
*(
Ex.: O conjunto
)(
linearmente independente
)+ é uma base de
Um sistema de geradores de
Linearmente independente:
15
) são do tipo
Base de um espaço vectorial
Definição
Conjunto
)
porque é:
( )
:
linearmente independente
Dimensão de um espaço vectorial
Definição
Número de vectores que qualquer base de
(
( ))
tem. Número de elementos de vectores de
que é possível escolher arbitrariamente.
( )
*(
Ex.:
)
+, subespaço vectorial de
suas bases (como, por exemplo, o conjunto
*(
, tem dimensão 1 porque todas as
)+) têm 1 vector. Por outro lado, na
procura de vectores de , é possível escolher 1 coordenada, tendo a outra que ser igual a
esta.
16
Dimensão de um subespaço vectorial nulo
Facto
Qualquer subespaço que contenha apenas o vector nulo de um espaço vectorial tem
dimensão
, na medida em que nenhum dos elementos do seu único vector pode ser
escolhido.
*̅+
Ex.:
6
( )
*(
)+, subespaço vectorial de
, tem dimensão 0.
Prática Álgebra Linear
1 – Espaços Vectoriais
17
Dimensão, independência linear e geração de um espaço vectorial
Facto
Qualquer conjunto
de vectores gera um espaço vectorial
se e só se:
( )
linearmente independente
*(
Ex.: O conjunto
vectorial de
(
)(
)+ gera
*(
)
+, subespaço
, porque:
)(
)
( ) (é possível escolher arbitrariamente 2 das coordenadas dos vectores
de )
linearmente independente
18
Se
Teorema das Dimensões
Facto
e
são subespaços vectoriais do mesmo esapço vectorial, então:
(
)
( )
*(
Ex.:
*(
)
+
)
+
(
*(
(
(
)
(
)
( )
( )
)
)+
(
)
19
( )
)
( )
( )
Coordenadas de um vector
Definição
de um espaço vectorial
numa base
de
Conjunto ordenado de coeficientes necessários para escrever
como combinação linear dos
vectores de .
*
+
(
(
)
*(
Ex.:
(
(
)
)(
*(
)(
)
(
) :(
)(
)(
)+
*(
)(
)(
)+
)+
)
)
(
)
(
)
(
)
7
Prática Álgebra Linear
1 – Espaços Vectoriais
(
) :(
.
/ :(
20
Definição
)
)
(
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
Produto interno de dois vectores,
Soma do produto das coordenadas homólogas de
(
〈
)
〉
(
∑
Ex.: 〈(
)(
(
)
e , de
〉)
(〈
e .
)
)
)〉
21
Propriedades
(
)
Propriedades do produto interno de dois vectores,
Associatividade em : 〈
Comutatividade: 〈
〉
〉
Distributividade: 〈
〈
〈
〉
〉
〈
〉
〉
〈
〈
〉
〉
Exs.:
Associatividade em : 〈(
)(
Comutatividade: 〈(
)(
)〉
Distributividade: 〈(
)(
)
22
)〉
〈(
(
〈 (
)(
)〉
)(
)〉
〈(
) (
)(
)〉
〈(
)(
)〉
〈(
Norma Euclideana de um vector, , de
Definição
)〉
)〉
(‖ ‖)
Medida do comprimento de .
(
‖ ‖
)
√〈
Ex.: ‖(
23
)‖
8
√∑
((
(
)
√
√
Fórmula
(̂)
Ex.:
〉
Coseno do ângulo formado entre dois vectores,
〈
〉
‖ ‖‖ ‖
̂
)(
))
〈(
‖(
)(
)‖‖(
)〉
)‖
√
e , de
e
, de
Prática Álgebra Linear
1 – Espaços Vectoriais
24
Projecção ortogonal de
Definição
Vector resultante da transformação de
( )
〈
〈
〉
〉
Ex.:
(
)(
)
25
Definição
sobre , vectores de
(
( ))
num vector paralelo a .
〈
〉
‖ ‖
〈(
)(
)〉
〈(
)(
)〉
Vectores
(
)
〈(
‖(
e , de
)(
)〉
)‖
(
)
, perpendiculares ou ortogonais (
)
Vectores cujo produto interno é .
〈
Ex.: (
〉
)
26
(
)
〈(
)(
)〉
Ortogonalidade mútua e independência linear de factores
Facto
Qualquer conjunto de vectores mutuamente perpendiculares que não contenha o vector
nulo é linearmente independente.
*
̅
+
*(
Ex.:
)(
(
)
(
{(
)
(
(
27
Base de
)
)(
)+
(
)
)
(
)
Definição
Base ortonormada de um espaço vectorial
constituída por vectores mutuamente perpendiculares e de norma .
*
{
Ex.:
)
{.
√
√
*
√
/ .
√
+
+‖ ‖
/} é uma base ortonormada de
porque é constituída por
vectores perpendiculares e de norma .
9
Prática Álgebra Linear
1 – Espaços Vectoriais
28
Algoritmo de Gram-Schmidt para a obtenção de uma base
ortonormada de um espaço vectorial
Algoritmo
Ortogonalização: Obtenção de uma base ortogonal
1
*
dimensão , a partir de outra base
Definição de
+ de
Obtenção dos restantes vectores de
o primeiro vector de .
: Calcular
, substituindo
, substituindo
por
na fórmula
por . Continuar a calcular os vectores de
substitundo pelos restantes números naturais, de forma crescente, até .
∑
( )]
[
( )
[
( )
*
( )]
*
Normalização: Depois de obtida a base
2
+, obter uma base
+ ortonormada de , multiplicando cada vector de
pelo inverso
da sua norma
*
+
*
Ex.:
‖ ‖
+
*(
(
)(
)+ base de
)
( )
[
)(
(
*
(
)
( )
[
( )]
)
+
.
/
(
(
)(
{(
)(
(
)
(
)
)
)]
(
) (
)
)}
Normalização:
2
‖ ‖
(
‖(
)
)‖
.
‖ ‖
‖ ‖
*
10
)(
Ortogonalização:
1
/
‖.
(
‖(
+
(
(
/‖
)
)‖
{(
(
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
)
√
)
)
) (
√
, de
+ de .
: Escolher para primeiro vector de
abaixo indicada. Calcular
*
√
√
) (
√
√
)}
,
Prática Álgebra Linear
1 – Espaços Vectoriais
29
Definição
Complemento ortogonal de um conjunto , em
Conjunto de vectores de
(
)
que são perpendiculares a todos os vectores de .
*
+
*(
Ex.:
*(
30
)
+
)
+
Perpendicularidade e bases de espaços vectoriais
Facto
Um vector é perpendicular a todos os vectores de um espaço vectorial se e só se for
perpendicular a todos os vectores de qualquer uma das suas bases.
*
*(
Ex.:
*(
31
)
+
+
)
*(
+ porque todos os elementos de
Definição
)+
são perpendiculares a (
).
Vector diferença de um plano , de
Vector que é a diferença entre dois vectores de .
Ex.:
é o plano de
diferença de
32
que passa por (
), (
) e (
porque é a diferença entre os vectores (
Definição
)e(
). (
) é um vector
), que pertencem a .
Vector normal a um plano , de
Vector que é perpendicular a todos os vectores diferença de .
(
Ex.:
é o plano de
que contém (
)
), (
)e(
). (
) é um vector normal a
porque é perpendicular a qualquer vector diferença de .
11
Prática Álgebra Linear
1 – Espaços Vectoriais
33
Vector normal a um plano e vectores do plano
Facto
Um vector é normal a um plano de
se e só se for perpendicular a pelo menos
vectores diferença do plano não paralelos.
*
+
(
{
)
*
Ex.:
+
que contém por (
é o plano de
(
) são dois vectores diferença de
), (
)e(
não paralelos. (
). (
)e
) é perpendicular a estes
dois vectores, logo é um vector normal a , sendo por isso também perpendicular a todos os
outros vectores diferença de .
34
Equações de um Plano , de
Fórmula
Normal: 〈(
) 〉
Cartesiana: ∑
(
e é normal a
)
Ex.: Equações do plano de
Normal: 〈,(
, que contém
)
que contém (
(
)- (
) e é normal a (
):
)〉
Cartesiana:
35
Distância Euclideana entre dois vectores,
Definição
Norma Euclideana do vector diferença entre
(
(
)
)
Ex.: ((
36
contém
(
‖
‖
√∑
)(
))
√(
e , de
( (
e .
)
,(
) )
(
√(
)
(
)
(
12
)
)
Distância Euclideana entre um vector, , e um plano
))
e é normal a ( (
Definição
Norma Euclideana do vector diferença de menor comprimento possível entre
de .
))
de
, que
e um vector
Prática Álgebra Linear
1 – Espaços Vectoriais
(
)
|
〉
‖ ‖
(
Ex.:
(
〈
)
)
|
37
〈(
(
)
(
‖(
)(
)‖
)〉
)
(
)
|
Distância Euclideana entre dois planos paralelos,
Definição
( (
|
e
, de
))
Norma Euclideana do vector diferença de menor comprimento possível entre um vector de
e um vector de
. Distância Euclideana entre um vector de
Euclideana entre um vector de
(
)
(
)
|
〈
|
|
〈
〉
‖ ‖
(
Ex.:
(
(
)
(
)
(
)
|
〈(
)
. Distância
e o plano .
〉
‖ ‖
e o plano
(
‖(
(
|
)
)
(
)
)(
)‖
(
)〉
|
|
〈(
)
)
)
(
‖(
)(
)‖
)〉
|
13