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MATRIZ INVERSA
Dada uma matriz quadrada A, se det A ≠ 0 então existe uma matriz A-1, chamada matriz
inversa de A.
A-1 é dada por: A-1 × A = I, onde I é a matriz identidade (matriz que possui os números
da diagonal principal iguais a um e os demais igual a zero).
Tradicionalmente, no ensino básico, ensina-se a calcular a matriz inversa de A por meio
da multiplicação dela por uma B, com todos os elementos como incógnitas, e igualando
esta multiplicação à matriz identidade. Neste caso, B é a inversa de A. É um método
cômodo para matrizes de ordem dois, entretanto, para uma matriz de ordem três, com
poucos ou nenhum elemento nulo, torna-se trabalhoso, pois implicará na resolução de
três sistemas de equações, de três variáveis.
Uma forma alternativa para encontrar uma matriz inversa é por meio da seguinte
igualdade:
onde det A é o determinante da matriz A e (cof)T é a transposta da matriz dos cofatores
de T.
O cálculo torna-se mais fácil quando se pensa de forma algorítmica, passo a passo.
Considerando uma matriz dada por
i) Calcula-se seu determinante
Rodrigo Thiago Passos Silva
Bacharelando em Ciência e Tecnologia
Universidade Federal do ABC
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ii) Calcula-se a matriz dos cofatores de A
Cada elemento da matriz dos cofatores de A é também uma matriz. De forma geral, cada
elemento é dado da seguinte forma:
onde, i é a linha do elemento e j a coluna. O determinante de segunda ordem que é
formado pelos elementos x, y, w e z é obtido ignorando-se a linha e a coluna do
elemento aij, e selecionando os quatro números que sobram.
O termo (- 1)i+j determina o sinal da matriz conforma a posição. Para as posições a13 e
a22, por exemplo, o sinal é positivo, e para as posições a32 e a21 é negativo. Assim
sendo, podemos estabelecer uma máscara de sinais para a matriz cofatora, de tal modo:
De modo bastante literal, a matriz cofatora é dada por:
Seu desenvolvimento em termos de aij é trivial, portanto não será feito.
iii) Cálculo da transposta da matriz
Tendo-se obtido a matriz cofatora de A, é trivial o cálculo da transposta, também
chamada de matriz adjunta de A. No matriz transposta, as linhas tornam-se colunas e as
colunas tornam-se linhas.
iv) Finalmente, volta-se para a equação de cálculo da inversa
Obtem-se:
Rodrigo Thiago Passos Silva
Bacharelando em Ciência e Tecnologia
Universidade Federal do ABC
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Exemplo: Calcule a matriz inversa de
.
i) Cálculo do determinante:
ii) Montagem da matriz dos cofatores:
iii) Montagem da matriz adjunta:
iv) Calculo da inversa:
Rodrigo Thiago Passos Silva
Bacharelando em Ciência e Tecnologia
Universidade Federal do ABC