18/11/2003. 26/10/2005 00:22:49h
24/4/2006, 18:46:21
Produto de Matrizes _____________________________________________________ 1
Exercício: _________________________________________________________________ 1
Matriz Involutiva _______________________________________________________ 1
Exercício__________________________________________________________________ 1
Matriz Simétrica _______________________________________________________ 2
Exercício__________________________________________________________________ 2
Matriz anti-simétrica: ___________________________________________________ 2
Exercício__________________________________________________________________ 2
Determinante de uma matriz de ordem 2 _____________________________________ 2
Determinante de uma matriz de ordem 3 — Regra de Sarrus_____________________ 3
Definição _________________________________________________________________ 3
Exercício: _________________________________________________________________ 3
Respostas: ____________________________________________________________ 4
Produto de Matrizes
Exercício:
1 1 2


1. Seja a matriz A =  1 3 1  , determine
4 1 1


a)
2
a matriz polinomial, 2. A + 3. A + 5.I .
b) A matriz inversa A-1 usando a fórmula A
−1
=−
1 2 5
3
A + A + .I .
17
17
17
Matriz Involutiva
Uma matriz A quadrada é involutiva quando A = I
2
Exercício
2.
Uma matriz diagonal A, de ordem 2, é involutiva. Determine-a.
 a 0
 .
 0 b
Sugestão: faça A = 
Arquivo: aula2matriz.doc
Matriz Simétrica
[ ]
— é uma matriz quadrada A = aij
nxn
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, diz-se simétrica quando aij = a ji para todo i, 1 ≤ i ≤ n , para todo
j, 1 ≤ j ≤ n .
= A
Obs: Se A é simétrica então A
t
.
Exercício
3.
3
2
b
Determine o número b ∈ R, para que a matriz A = 
2b 
 , seja simétrica.
b 
aii = 0

4. Seja a matriz A = aij
, para a qual aij = a ji
. Determine A e At. A é
4x4

aij = i + j, se1 ≤ i < j ≤ 4
[ ]
simétrica?
 sen 2α
5. Se 
 cos 4α

(sen α + cosα )2 
1

=
sen3 α + cos3 α   2a


b
, determine os números a, b e c.

c
Matriz anti-simétrica:
, diz-se anti-simétrica quando aij = −a ji para todo i, 1 ≤ i ≤ n ,
— é uma matriz quadrada A = aij
nxn
[ ]
para todo j, 1 ≤ j ≤ n .
Obs: Se A é anti-simétrica então
A = − A t ; os elementos da diagonal principal são todos nulos.
Exercício
a b
 0


6. A matriz A =  − a
0 c  é anti-simétrica.
 − b − c 0


2
−3 
 a


7. Determine os números reais a, b, c, x, y e z para que a matriz A =  x − 1 b 2 y − 4  seja anti z
4
c 

simétrica.
Determinante de uma matriz de ordem 2
A toda matriz quadrada está associado um número real chamado determinante.
Exemplos: Calcular os determinantes das matrizes:
 4 − 2
 o determinante dessa matriz é: detA= 4.7 – 6(-2) = 28 + 12 =40
6 7 
 5 3
b) B = 
 o determinante dessa matriz é: detB= 5.2 – 3. 4 = 10 – 12 = -2
 4 2
a) A = 
c) Calcule o polinômio característico det(A – x.I)=0, onde
x∈R;
Arquivo: aula2matriz.doc
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Determinante de uma matriz de ordem 3 — Regra de Sarrus
8.
Calcular os determinantes das matrizes pela regra de Sarrus:
2 3 −1
a) 4
1 2
−3 2 1
2 −1 1
b) 1 0 0
0 1 0
log 2 8
9.
Calcule os determinantes a)
1
2
4
− 12
2 3 0
c) 0 1 2
1 3 2
tg
π
4
sen8π
ln e
sec(− π )
30
1
π
2
b) log1
3π
cos
2
sen
− 12
1
0
−1
2 −1
30
Matriz Inversa
Definição
Seja A uma matriz quadrada de ordem n. A matriz quadrada B, de ordem n, diz-se uma inversa de A, se e
somente se: A.B = B. A = I n .
Propriedade:
A inversa de uma matriz A existe se o det A ≠ 0 .
Exercício:
1 2
 , pede-se:
3 0
10. Seja a matriz A = 
a)
verificar se existe a inversa A-1 da matriz A, det A ≠ 0 .
b) A inversa da A-1 usando a definição.
Resolução:
1 2  a b   1 0
.
 = 

A. A −1 = I → 
3 0   c d   0 1
1 1
 . Determine A-1, se existir.
0
0


2 − 1
12. Encontrar a matriz inversa B-1 da matriz B = 

3 0 
11. Seja a matriz A = 
a)
usando a definição.
b) usando o “artifício”.
c)
usando escalonamento
2
-1
d) a partir da equação B =2.B-3.I, determine a matriz inversa B , (obs: 2=2+0 e
3=det B).
Arquivo: aula2matriz.doc
Resolução:
B2=2.B-3.I à
1 0 1 


13. Encontre a matriz inversa C-1 da matriz C = 0 − 1 2 , usando o escalonamento.


2 0 1 
Respostas:
 28 15 16 


1)  19 36 15 
 30 19 28 


1 0 1 0 
 ,
2) 
 , 
 0 1   0 −1
−1 0 


 0 − 1
8) a) -47 b) 1
9) a) -8
 − 1 0
 ,

 0 1
4)
3
0
5
6
4
5
0
7
a =
1
3
, b=
2
2
1 
 0

3 
10)
1
1
− 
6
 2
0 − 1 / 3
=

1 2 / 3 
1 0 1 1 0 0
13) 0 − 1 2 0 1 0 à
2 0 1 0 0 1
1
− 1 0

−1
B =  4 − 1 − 2
 2 0 − 1 
12) B
5

6
, A é uma matriz
7

0 
simétrica.
5)
b) 1/2
11) Não existe, pois a matriz é singular.
3) 0 ou 2
0

3
A=
4

5

c)-2
e c=
3 6
8
6) Quaisquer que sejam a, b e c pertenceste a
R.
7) a=b=c=0; x=-1 e y=0; z=3
−1
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