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ESP1006 – Fundamentos de Máquinas Elétricas
2. PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DAS MÁQUINAS ROTATIVAS
A Conversão Eletromecânica de Energia ocorre quando existe variação no fluxo
associado a movimento mecânico.
dWe = i.dλ + T.dθmec
Nas máquinas rotatitvas, a tensão é induzida nos enrolamentos ou grupos de
bobinas por:
1. Rotação mecânica do enrolamento em um campo magnético.
2. Um campo magnético girante que atravessa o enrolamento.
3. Variação da relutância do circuito magnético com a rotação do motor.
DEFINIÇÕES:
ENROLAMENTO DE ARMADURA OU INDUZIDO) - Grupo de bobinas
interligadas de modo que todas as tensões nela geradas contribuem positivamente ao
valor final. Pode ser a peça rotativa (rotor), como nas máquinas de C.C. ou a peça
estacionária (estator) como nos alternadores.
As bobinas são enroladas sobre núcleos de ferro laminado, para que o caminho do
fluxo seja o mais eficiente possível e as perdas por Corrente de Foucault menores.
ENROLAMENTO DE CAMPO - Grupo de bobinas excitadas, responsáveis
pela fonte primária de fluxo. Em máquinas pequenas são usados ímãs permanentes.
2.1 MÁQUINAS ELEMENTARES DE C.A. E DE C.C.
A - MÁQUINAS SÍNCRONAS ELEMENTARES
PPPrrrooofff... G
G
m
M
M
Geeeooom
maaarrr M
M... M
Maaarrrtttiiinnnsss
D
D
E
C
T
U
M
DE
ESSSPPP///C
CT
T///U
UFFFSSSM
M
17
ESP1006 – Fundamentos de Máquinas Elétricas
ENROLAMENTO DE CAMPO - Possui anéis coletores onde são apoiadas as
escovas de carvão que permitem alimentar o campo com C.C. É de baixa
potência.
ENROLAMENTO DA ARMADURA - Colocado no estator em ranhuras estreitas,
diametralmente opostas (no caso de dois pólos).
DISTRIBUIÇÃO ESPACIAL DA INDUÇÃO MAGNÉTICA E TENSÃO INDUZIDA
Condições: * Rotor girando à velocidade constante (ω = cte.).
* Acionamento por uma fonte de potência mecânica.
MÁQUINAS COM 2 PÓLOS:
1 Rotação completa → 1 ciclo de tensão (completo)
1
1
1
=
1 Tmec = 1 Telét
f =
,
T
Tmec
2.Telet
1
.f elé t
n (rps) = f (ciclos/seg)
fmec =
2
60 rps = 60 Hz
60rps . 60 = 3600 rpm
θelét = θmec
MÁQUINAS COM 4 PÓLOS:
PPPrrrooofff... G
G
m
M
M
Geeeooom
maaarrr M
M... M
Maaarrrtttiiinnnsss
D
D
E
C
T
U
M
DE
ESSSPPP///C
CT
T///U
UFFFSSSM
M
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1 Rotação completa → 2 ciclos de tensão (completo)
1
1 Tmec = 2 Telét
Tmec = 1.Telet
2
2.n (rps) = 1/2.felét
2.n (rps) = 60 Hz
2.30 (rps) = 60 Hz
30rps . 60 = 1800 rpm
θelét = 4/2 . θmec
MÁQUINAS COM ″P″ PÓLOS:
1 Rotação completa → P/2 ciclos de tensão (completo)
P/2 x n(rps) = 1 felet
P/2 x n/60 (rpm) = 1 felet
f =
P n
.
2 60
(Hz)
θ elet =
P
.θ mec
2
onde:
f - freqüência da onda da tensão, em Hz.
n - velocidade mecânica em rpm.
θelét - ângulo elétrico.
θmec - ângulo mecânico.
e,
W = P/2 .Wmec
onde,
W - freqüência angular da onda de tensão
Wmec - velocidade angular mecânica (rad/s)
GERADORES SÍNCRONOS TRIFÁSICOS
- Vantagens na geração, transporte e utilização de grandes potências.
- Construídos com 1 conjunto de 3 bobinas deslocadas de 120°E no espaço,
para uma máquina de 2 pólos (conforme a figura a); 2 conjuntos com 3
bobinas; para máquinas de 4 pólos, P/2 desses conjuntos para máquinas de
P pólos.
- Fases ligadas em estrela (Y) ou em triângulo (∆).
Ex: A figura b abaixo, mostra um gerador com 4 pólos c/ 2 conjuntos de 3
bobinas. O diagrama de ligação aparece na figura c.
PPPrrrooofff... G
G
m
M
M
Geeeooom
maaarrr M
M... M
Maaarrrtttiiinnnsss
D
D
E
C
T
U
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DE
ESSSPPP///C
CT
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MOTORES SÍNCRONOS
A corrente alternada é fornecida ao enrolamento da armadura e a excitação de
C.C. é suprida ao enrolamento de campo. A velocidade é:
n = 120.
f
P
No motor, o conjugado eletromagnético está no sentido da rotação e equilibra o
conjugado oponente exigido para mover a carga mecânica.
B - MÁQUINAS ELEMENTARES DE C.C.
PPPrrrooofff... G
G
m
M
M
Geeeooom
maaarrr M
M... M
Maaarrrtttiiinnnsss
D
D
E
C
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ESSSPPP///C
CT
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ENROLAMENTO DA ARMADURA - colocado no rotor, onde a corrente é levada
por meio de escovas de carvão que deslizam sobre as lâminas do comutador, realizando
assim, a retificação da tensão.
COMUTADOR - cilindro formado por lâminas de cobre, isoladas umas das
outras por meio de mica, montadas sobre o eixo do rotor e dele isoladas.
ENROLAMENTO DE CAMPO - montado no estator, e excitado por corrente
contínua.
DISTRIBUIÇÃO de FLUXO no ENTREFERRO e TENSÃO INDUZIDA
Com o rotor girando a velocidade constante, a distribuição de fluxo magnético
do entreferro segue uma forma parecida com aquela mostra na figura “a” abaixo.
Observa-se que:
A forma de onda da distribuição do fluxo é do tipo achatada ao invés da
forma senoidal das máquinas C.A.
O enrolamento da armadura é colocado no motor para possibilitar a
comutação.
São válidas as observações quanto ao papel da tensão gerada e conjugado
eletromagnético vistos para a máquina C.A.
C - MÁQUINAS DE INDUÇÃO ELEMENTARES
PPPrrrooofff... G
G
m
M
M
Geeeooom
maaarrr M
M... M
Maaarrrtttiiinnnsss
D
D
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C
T
U
M
DE
ESSSPPP///C
CT
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ESP1006 – Fundamentos de Máquinas Elétricas
A máquina de indução ou assíncrona é considerada como um TRF generalizado,
onde ocorre transformação de potência elétrica entre estator e rotor, com mudança de
freqüência e com fluxo de potência mecânico.
ENROLAMENTO DO ESTATOR - o mesmo do motor síncrono.
ENROLAMENTO DO ROTOR - fechado eletricamente sobre si mesmo.
Normalmente sem terminais externos. As correntes são induzidas nele pela ação
de transformador do enrolamento do estator.
A característica usual de velocidade x conjugado, no motor, possui uma
pequena queda de velocidade ao aumentar a carga no eixo.
2.2 TENSÃO GERADA NAS MÁQUINAS ELEMENTARES
Definições:
ENROLAMENTOS CONCENTRADOS → Todas as espiras do enrolamento estão concentradas em
um par de ranhuras.
ENROLAMENTOS DISTRIBUÍDOS → As bobinas de cada fase são distribuídas em um n° de
ranhuras fazendo melhor uso do ferro e do cobre, melhorando a forma de onda.
BOBINA DE PASSO INTEIRO ou PLENO → Possui 2 lados distantes 180°E do centro de 1 pólo até
o centro de 1 pólo de polaridade oposta.
BOBINA DE PASSO FRACIONÁRIO → Possui os 2 lados a uma distância menor do que 180°E.
Tendo como vantagem o uso de menos cobre, porém a tensão induzida é menor.
A - MÁQUINA DE C.A. ELEMENTAR DE 2 PÓLOS
- Armadura → 1 bobina com N espiras e de passo polar completo (180°E).
- Campo → Produz indução magnética B, no estator, através de uma onda espacial
senoidal.
B = B pico .cosθ
onde,
PPPrrrooofff... G
G
m
M
M
Geeeooom
maaarrr M
M... M
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ESP1006 – Fundamentos de Máquinas Elétricas
θ - medido a partir do eixo do rotor.
Bpico - valor no centro do pólo do rotor.
- Rotor → Gira com velocidade angular ω (rad/s)
+
Fluxo no entreferro, φ , por pólo: φ =
π
2
∫ B. l. r. dx
−π
2
+
φ=
π
2
∫B
pico
.cosθ . l. r . dθ
−π
2
φ = 2.Bpico .l.r
onde,
B - densidade de fluxo (Wb/m2)
φ - Fluxo magnético (Wb ou 108 Maxwell)
l - Comprimento axial do estator.
r - Raio no entreferro.
Para uma máquina com P pólos:
φ = 2/P.2Bpico .l.r
Relação entre o fluxo por pólo e a densidade
de fluxo no entreferro.
Quando o rotor gira, o fluxo concatenado, ϕ , varia com o co-seno do angulo α entre os
eixos magnéticos do estator e rotor:
ϕ = N.φ . cos wt
Pela lei de Faraday, a tensão induzida na bobina é:
e=−
dϕ
dϕ
= w. N .φ . sen wt − N .
. cos wt
dt
dt
↑
Tensão de velocidade
↑
Tensão de transformador
Tensão de velocidade - devida ao movimento relativo do campo e da bobina.
Tensão de transformador - existe quando a amplitude da onda de indução magnética varia com o tempo.
Em regime permanente, a maioria das máquinas possui a onda de fluxo de
entreferro constante. A tensão induzida deve-se só à velocidade.
e = W.N.φ.sen Wt
PPPrrrooofff... G
G
m
M
M
Geeeooom
maaarrr M
M... M
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ESP1006 – Fundamentos de Máquinas Elétricas
O valor mínimo da tensão induzida é:
E maax = W . N .φ = 2.π . f . N .φ
e o valor eficaz:
E ef =
2. π
. N .φ = 4,44 f . N .φ
2
onde,
f - freqüência, em Hz.
CONCLUSÕES:
1) O movimento relativo de uma bobina e de uma onda espacial de indução magnética
com amplitude constante produz o mesmo efeito de tensão (e = ω.N.φ.sen Wt) na
máquina que o fluxo variável no tempo associado a bobinas estacionárias num
transformador (e = N.dφ/dt).
2) Fatores que interferem na forma de onda da tensão gerada (lembrando que
e = 2.π.f.N.φ.sen Wt):
a) N° de espiras e modo como são conectadas.
b) Forma de onda da distribuição espacial do fluxo magnético no entreferro.
c) Rotação da máquina (freqüência da tensão gerada).
3) Tensões trifásicas → usa-se 3 bobinas deslocadas de 120°E no espaço.
B - MÁQUINA DE C.C. ELEMENTAR
- A tensão gerada na bobina da armadura é alternada devendo ser retificada.
- Nas máquinas convencionais, a retificação é provida mecanicamente pelo comutador,
sendo de onda completa.
Valor médio, ou de C.C. , da tensão entre escovas:
PPPrrrooofff... G
G
m
M
M
Geeeooom
maaarrr M
M... M
Maaarrrtttiiinnnsss
D
D
E
C
T
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Fmed =
Ea =
1
π
2
π
π
∫ W . N .φ.sen Wt . d (Wt )
0
.W . N . φ
Sendo, Welét = Wmec .P/2 (rad/s)
Ea =
P. N
π
.Wmec .φ = 2. PN .φ .
n
60
onde,
n - rotação mecânica, em rpm.
Se a máquina possui:  Za condutores ativos
a caminhos paralelos no enrolamento da armadura
então, o n° de espiras N, é:
N = Za/2.a (por pólo),
logo,
Ea =
P. Za
n
.φ .
60
a
Exemplo:
Um pequeno alternador trifásico de 4 pólos tem o enrolamento de armadura
concentrado, de passo pleno, ligado em Y. Cada bobina tem 2 espiras e todas as espiras
em qualquer fase são ligadas em série,. O fluxo por pólo é 0,25 Wb e é senoidalmente
distribuído no espaço. O rotor é girado à 1800 rpm. Determinar:
a)
b)
c)
d)
A tensão eficaz gerada, em relação ao neutro.
Tensão eficaz de linha:
Sistema de equações p/ as tensões de F – N trifásicos no tempo.
Equações p/ as 3 tensões de linha (a – b, b – c, c –a).
2.3 Decomposição do campo magnético em série de fourier
Efeito dos harmônicos de campo sobre a tensão gerada
PPPrrrooofff... G
G
m
M
M
Geeeooom
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A análise é feita a partir do traçado de um gráfico da densidade de fluxo no
entreferro em função do ângulo, para um pólo, tomando-se como valor a média dos
valores das linhas de indução no ferro e no entreferro para diversas posições relativas
dos pólos e ranhuras.
Na figura 1, supõe-se que a densidade de fluxo no entreferro siga a distribuição
quadrada:
Fig. 2.3.1 - Distribuição p/ passo fracionário
Pelas regras conhecidas por séries de Fourier, temos:
∞
a
n.π .x
n.π .x
SF(f) = o + ∑ (an . cos
+ bn . sen
)
2 n =1
l
l
onde:
an = 0 ,
e
bn =
2l
n.π .x
dx .
∫ f ( x ). sen
l0
l
1°) Tem-se apenas senóides.
2°) Tem-se apenas harmônicas ímpares (função simétrica nos semi-ciclos
sucessivos).
∞
n.π .x
Æ Série de senos de Fourier.
f ( x ) = ∑ bn . sen
l
n =1
Logo,
∞
B = ∑ Ar . sen( rα )
r =1
Y = f(α) = A1.sen α + A2.sen 2α + A3.sen 3α + ... + Ar.sen r.α + ... + B1.cos α + B2.cos
2α + +B3.3cos α + ... + Br.cos r. α+ ...
Sendo
PPPrrrooofff... G
G
m
M
M
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Ar =
2
π
π −γ
.
∫γ f (α ). sen( r.α )dα
como
0 para 0 < α < γ
A para γ < α < π - γ
0 para π - γ < α < π
f(α) =
Então,
Ar =
Ar =
2
π
π −γ
..
∫γ A. sen(r.α )dα
2 A
. .[cos( rγ ) − cos r (π − γ )] ;
π r
Para valores ímpares de r:
cos (rπ − rγ) = - cos rγ Æ Ar =
4A
. cos rγ , (para r ímpar).
πr
Para valores pares de r:
cos (rπ − rγ) = cos rγ e Ar = 0, (para r par).
Resultando:
B=
4A
1
1
1
.[cos γ . senα + . cos 3.γ . sen 3.α + . cos 5γ . sen 5α + ... + cos rγ . sen rα + ...]
3
5
r
π
CONCLUSÃO:
PPPrrrooofff... G
G
m
M
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Geeeooom
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ESP1006 – Fundamentos de Máquinas Elétricas
A forma de onda quadrada possui apenas harmônicos de ordem ímpar .
A amplitude dos harmônicos diminui com a sua ordem: (4A / πr).cos rγ.
Se γ = 0, tem-se a distribuição p/ passo inteiro:
∞
a
n πx
nπx
+ bn . sen
SF (f ) = o + ∑ (an . cos
2 n =1
l
l
onde:
an =
nπx
1l
dx
∫ f ( x ). cos
l −l
l
bn =
nπx
1l
dx
∫ f ( x ). sen
l −l
l
)
n = 0, 1, 2, ...
n = 1, 2, 3, ...
2.4 REAÇÃO DA ARMADURA
Como já foi visto, uma máquina C.A. possui:
- 01 Enrolamento de campo (indutor) (em C.C.).
- 01 Enrolamento de armadura (induzido).
Pode-se fazer duas análises distintas para condições de carga da máquina:
A – Máquina funcionando EM VAZIO
Existe uma f.m.m. e um fluxo operando na máquina (pólos):
φpolar => função (Icampo)
f.m.m.polar = 2.Np .Icampo (A.e)
onde:
φpolar = Fluxo da magnético polar
Icampo = Corrente de campo
Np = N° de espiras/pólo
B – Máquina funcionando COM CARGA
Se o gerador é ligado a uma carga, circula uma corrente na armadura. Surge uma
onda de fluxo no entreferro (N.Ia) que gira à velocidade síncrona. Este fluxo reage com
o fluxo polar resultando um conjugado eletromagnético devido à tendência dos campos
magnéticos se alinharem. No gerador, este conjugado se opõe à rotação, e a máquina
motriz deve aplicar um conjugado mecânico a fim de sustentar a rotação.
O conjugado eletromecânico é o mecanismo através do qual maior potência
elétrica de saída exige maior potência mecânica de entrada.
PPPrrrooofff... G
G
m
M
M
Geeeooom
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M... M
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Assim, existem duas f.m.m.s primárias e dois fluxos operando na máquina:
φpolar = função (Icampo)
φarmadura = função (NaIa) = 2.Na.Ia
onde:
φarmadura - Fluxo da armadura.
Ia - Corrente de armadura.
Na – N° de espiras/enrolamento.
O φpolar (fmmpolar) e φarmadura (fmmarmadura) interagem resultando no entreferro φR , o
fluxo resultante de entreferro.
Quando uma máquina rotativa está sob condições de carga, pode-se decompor a
fmmarmadura (a reação da armadura) em 2 eixos: um na linha dos pólos e outro em
quadratura.
Tem-se uma componente que é magnetizante ou desmagnetizante do fluxo polar e outra
que o distorce (magnetizante transversal).
Da mesma forma, a corrente de armadura pode ser decomposta segundo os 2
eixos, resultando em duas situações possíveis:
1- Componente transversal da corrente, adiantada:
Atinge um máximo 90°E antes. Produz um φA transversal que está no mesmo sentido do
φpolar, contribuindo à ação magnetizante dos pólos.
2- Componente transversal da corrente, em atraso:
Atinge um máximo 90°E depois de a bobina ter se deslocado. Produz um φA transversal em
sentido contrário ao do φpolar , tendo efeito desmagnetizante.
Fig. 2.4.1 – Efeitos da corrente da armadura sobre o fluxo resultante
A componente em fase da corrente magnetiza ao longo de um eixo entre os pólos
fazendo o fluxo principal aumentar nas bordas de saída, dos pólos, e a diminuir nas
bordas de entrada. O efeito é a de uma ação magnetizante transversal. A figura 2.4.1,
apresenta as condições estudadas.
PPPrrrooofff... G
G
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2.5 F.M.M. DE ENROLAMENTOS CONCENTRADOS E DISTRIBUÍDOS
F.M.M. NAS MÁQUINAS de C.A.
A – ENROLAMENTO CONCENTRADO
Como visto na figura acima, a onda retangular de f.m.m. de uma bobina tipo
concentrada, de passo pleno é distribuída em degraus de amplitude ± N.i/2. Esta onda
pode ser desenvolvida em série de Fourier, obtém-se uma fundamental e uma série de
harmônicas ímpares. A fundamental é:
FA1 =
4  N.i 
.
. cosθ
π  2 
onde θ é medido a partir do eixo da bobina do estator.
B – ENROLAMENTO DISTRIBUÍDO
No projeto das máquinas C.A. são feitos sérios esforços para distribuir o
enrolamento para produzir, com boa aproximação, uma distribuição espacial senoidal
de f.m.m. .
Na figura 2.5.2, observa-se que a onda de f.m.m. é uma série de degraus de altura
2.nb.ib , onde ib é a corrente na bobina. Nota-se que é produzida uma onda com melhor
aproximação senoidal de f.m.m. do que na bobina concentrada.
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G
m
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Fig. 2.5.2 – A fmm de uma fase de um enrolamento trifásico
A onda de f.m.m. é uma série de degraus de altura 2.nb.ib, onde ib é a corrente na
bobina.
A f.m.m., de ordem fundamental, resultante vale:
Fa1 =
N
.K d . s .i a cosθ
π
P
4
onde:
Kd – Fator de distribuição (0,85 à 0,95).
Ns – N° de espiras em série, por fase.
ia = Im . cos wt
e
Fmáx =
N
.K d . s .I m
P
π
4
F.M.M. NAS MÁQUINAS de C.C.
A onda de f.m.m. da armadura possui formato triangular devido à presença do
comutador.
O campo magnético da armadura é perpendicular ao enrolamento de campo,
resultando num conjugado contínuo unidirecional, devido às trocas dos enrolamentos
pelo comutador.
Na figura 2.5.3, tem-se uma máquina de c.c. de 2 pólos, cuja armadura
possui dois condutores por ranhura (dupla camada) e passo pleno. A altura de
cada degrau de f.m.m.é igual ao número de ampères-espiras 2.nb.ib Ae em uma
ranhura.
A forma de onda da f.m.m. dependerá sempre do arranjo do enrolamento e da
estrutura magnética de cada pólo. Neste caso, a onda de f.m.m. é uma série de degraus
de altura 2.nbib.
PPPrrrooofff... G
G
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M
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ESP1006 – Fundamentos de Máquinas Elétricas
Quanto maior o n° de ranhuras por pólo, na armadura, melhor será a aproximação
para uma onda triangular.
bobina = 12.nb.ib (A.e)
Valor de pico em cada pólo: (12/2).nb.ib
O valor de pico da f.m.m. é:
Fa =
1 Za i a Na
.
. =
.i a
2 P a
P
onde,
a – n° de caminhos paralelos da armadura.
Na - n° de espiras em série. ( Na = Za / 2.a )
P – n° de pólos.
Za – n° de Condutores Ativos da armadura.
Fig. 2.5.3 – F.m.m. de uma máquina de C.C. c/ enrolamento em dupla camada
2.6 CAMPOS MAGNÉTICOS GIRANTES
Para compreender a teoria de máquinas de C.A. polifásicas (síncronas e de
indução), é necessário estudar a natureza do campo magnético produzido por um
enrolamento polifásico.
O estudo dos campos girantes pode ser realizado por duas formas diferentes: a Análise
gráfica ou o Método Analítico.
ANÁLISE GRÁFICA – Consideremos a máquina de C.A. vista na figura 2.6.1, do tipo
trifásica, com 3 enrolamentos deslocados uns dos outros de 120°E, ao longo da
circunferência do entreferro, marcados pelas bobinas a, -a, b, -b, c, -c.
As ondas espaciais senoidais de f.m.m. produzidas são representadas por fasores
centrados nos eixos magnéticos de cada fase. Logo, as três ondas de f.m.m. estão
deslocadas de 120°E no espaço.
Sob condições trifásicas balanceadas, as correntes instantâneas são:
PPPrrrooofff... G
G
m
M
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32
ia = Im .cos wt
ib = Im .cos wt - 120°
ib = Im .cos wt + 120°
onde Im é o valor máximo da corrente.
A f.m.m. da fase a tem seu valor máximo Fmax , para t=0, que é o momento em
que a corrente da fase a está no seu valor máximo Im. Assim,
p/ wt = 0: Fia = Fmáx
Fib = - Fmáx / 2
Fic = - Fmáx / 2
Pode-se estender a análise para outros tempos, resultando:
P/ wt = π / 3: ia = ½.Imáx
ib = ½.Imáx
ic = -Imáx
P/ wt = 2π / 3: ia = -½.Imáx
ib = Imáx
ic = -½ . Imáx
PPPrrrooofff... G
G
m
M
M
Geeeooom
maaarrr M
M... M
Maaarrrtttiiinnnsss
D
D
E
C
T
U
M
DE
ESSSPPP///C
CT
T///U
UFFFSSSM
M
33
ESP1006 – Fundamentos de Máquinas Elétricas
Fig. 2.6.1 – Enrolamento de um estator trifásico, 2 pólos
Conclusão:
A medida que o tempo passa, a onda de f.m.m. resultante mantém sua forma
senoidal e amplitude (= 3/2 Fmax), e se desloca progressivamente ao redor do entreferro.
Ao final de 1 ciclo, a f.m.m. resultante, volta a posição inicial, perfazendo 1 giro
completo por ciclo em uma máquina de 2 pólos.
Um enrolamento polifásico excitado por correntes polifásicas equilibradas,
produz o mesmo efeito que é produzido pela rotação de um ímã permanente em torno de
1 eixo perpendicular ao ímã, ou pela rotação dos pólos de campo excitado por C.C.
PPPrrrooofff... G
G
m
M
M
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maaarrr M
M... M
Maaarrrtttiiinnnsss
D
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DE
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