DIDATIKA
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Nota: _________
No esquema da figura, suponha que o sistema formado pelas polias e o bloco D estejam inicialmente em repouso.
O eixo de um motor ligado à polia A inicia um movimento uniformemente acelerado de tal forma que após 20 s a
frequência de rotação da polia A atinge 600 rpm. As polias A e B giram em contato sem que haja escorregamento
entre elas. As polias B e C são solidárias e o bloco D está preso a um fio vertical que vai enrolando-se na polia C.
polia B
polia A
polia C
r
ω
4r
vD
D
A polia A tem raio RA = 10,0 cm, a polia C tem raio r = 5,0 cm e a polia B tem raio 4 r. Determine:
a) A frequência de rotação da polia C no instante t = 20 s. (1 ponto)
b) A aceleração angular da polia A, B e C, supostas constantes, em rad/s2. (1 ponto)
c) A velocidade escalar (ou linear) de subida do bloco D, em t = 20 s. (1 ponto)
d) Quantas rotações a polia C executou durante os 20 s? (1 ponto)
e) Se a massa do bloco D vale 1 kg, determine a intensidade da força de tração no fio. (1 ponto)
RESOLUÇÃO ESPERADA
a) As polias A e B possuem a mesma velocidade linear. O raio de A vale 10cm e o raio de B vale 20cm. Desta forma,
enquanto a polia B executa 1 volta, a polia A executa 2 voltas. Assim, a frequência de A é o dobro da frequência de B.
Então, fB = fA/2= 600rpm/2 = 300rpm.
Ou ainda: (justificativa matemática)
VA = VB
2πRA . fA = 2πRB . fB
RA . fA = RB . fB
10.600 = 20 . fB
fB = 300 rpm
Notamos ainda que as polias B e C giram solidárias a um eixo comum, assim fC = fB = 300 rpm
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b) Como a aceleração angular é constante, então o movimento das polias é um movimento circular uniformemente
acelerado. Abaixo, segue um resumo teórico das equações deste movimento.
Uma grandeza linear é igual a sua grandeza linear correspondente multiplicada pelo raio R, ou seja:
s
= ϕ (s é o espaço linear ou escalar, dado em metros e ϕ é o espaço angular em rad)
R
v
=
R
ω (v é a velocidade linear ou escalar, dado em m/s e ω é a velocidade angular em rad/s)
a
=
R
α (a é a aceleração linear ou escalar, dado em m/s2 e ω é a velocidade angular em rad/s2)
Desta forma, temos:
v = v0 + a . t (forma linear da função horária da velocidade)
Dividindo ambos os termos pelo raio R, temos:
v v0 a
=
+ .t
R R R
ω = ω0 + α . t (forma angular da função horária da velocidade)
Temos ainda:
s = s0 + v 0 . t +
a . t2
(forma linear da função horária dos espaços)
2
Dividindo ambos os termos pelo raio R, temos:
a .t 2
s s0 v 0
.t +
=
+
R 2
R R
R
ϕ = ϕ0 + ω0 .t +
α.t 2
(forma angular da função horária dos espaços)
2
A equação de Torricelli, tem sua forma angular expressa assim:
ω2 = ω0 2 + 2 . α . ∆ϕ
Em t = 20 s, a frequência da polia A vale 600 rpm = 10 Hz. Nesse instante, a velocidade angular da polia A vale:
ω = 2 . π . f = 2 . π . 10 = 20π
rad
s
ω = ω0 + α . t
20π = 0 + αA . 20
Como a velocidade angular de B é metade da velocidade angular de A, podemos dizer que a aceleração angular de B
é também metade da aceleração angular de A, ou seja:
ωB = 2 . π . fB = 2 . π . 5 = 10π
ωB = ω0 + α . t
10π = 0 + αB . 20
π rad
αB = 2 2
s
rad
s
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A aceleração angular de B e C tem a mesma intensidade, visto que elas giram solidárias a um eixo comum:
π rad
αB = αC = 2 2
s
c) Como a corda não escorrega sobre a polia C, então a velocidade de subida da corda e do corpo D é igual a velocidade
linear da polia C.
Como as polias B e C giram solidárias a um mesmo eixo de rotação, então ωB = ωC = 10π
vC = ωC . R ⇒ vC = 10π . 5cm = 50π
rad
s
cm
s
d) Usando a equação da velocidade média na forma angular podemos determinar o número de rotações da polia C
durante os 20s de movimento. Assim temos:
∆ϕ ω0 + ω
=
2
∆t
∆ϕ 0 + 10π
=
20
2
∆ϕ = 100π rad
Lembrando que 1 volta corresponde a 2 π rad, concluímos que a polia C executou 50 voltas durante 20s.
e) A aceleração linear da polia C é igual à aceleração linear do corpo D, pois são ligados pela mesma corda. Assim,
temos:
αC =
π rad
2 s2
Lembrando que:
a=α.R
aC =
m
π
. 5 x 10 − 2 m == 2,5 x 10 − 2 2
2
s
A intensidade da tração na corda é dada por:
FR = m . a
T–P=m.a
T – 10 = 1 x 2,5 x 10–2
T = 10,025 N