ISEG
ESTATÍSTICA II – GESTÃO
(23/02/05)
Parte Prática (140 pontos)
1. A fim de estudar e comparar a distribuição das notas da disciplina de Estatística II em
Gestão e em Economia no ISEG observaram-se, ao acaso, as notas de 100 alunos de
Gestão e de 100 alunos de Economia. Os resultados são os que constam no seguinte
quadro:
Classes da notas
[0;9]
[10;12]
[13;15]
[16;20]
Total
Cursos
Gestão
Economia
25
15
45
55
25
15
5
15
100
100
Total
40
100
40
20
200
(20) a) Existe na nossa Escola a ideia de que a distribuição das notas desta disciplina
não é idêntica nos dois Cursos. Usando os resultados desta amostra e um teste adequado
de dimensão 5%, acha que as notas se distribuem de igual modo nos dois Cursos?
(15) b) Admita agora que as notas são normalmente distribuídas. Calcule as estimativas
de máxima verosimilhança das notas médias e das variâncias das notas da disciplina em
cada Curso;
(20) c) Continuando a supor a normalidade e admitindo que na população as variâncias
das notas de Estatística II em Gestão e em Economia são, respectivamente,
σ G2 = 20 e σ E2 = 16 , obtenha um intervalo de confiança a 99% para a diferença das notas
médias e, com base no resultado obtido, o que pode dizer sobre a igualdade de notas
médias nos dois cursos ao nível de significância de 1%?
(20) d) Usando um nível de significância de 5%, comente a seguinte afirmação: “A taxa
de aprovação em Economia é superior à taxa de aprovação em Gestão”.
2. Com o objectivo de explicar a cotação das acções (cotac) das empresas cotadas na
Bolsa construíu -se um modelo de regressão linear em que se consideraram como
variáveis explicativas: os benefícios líquidos (benliq ) e a taxa de endividamento
(txendiv). O modelo proposto foi o seguinte: E(lcotac) = ß 1 + ß 2 lbenliq + ß 3 txendiv
onde lcotac e lbenliq são, respectivamente, os logaritmos (naturais) de cotac e de benliq.
A estimação do modelo (modelo 1) pelo método dos mínimos quadrados e usando o
EXCEL forneceu os resultados que se indicam no quadro abaixo indicado.
Estimou-se ainda uma nova regressão (modelo 2) em que se incluiu uma nova variável
“sector” igual a 1 se a empresa é industrial e igual a zero se não é industrial cujos
resultados foram os seguintes:
Modelo 2:
lc ôtac = 3 .1256 + 0 .1544 lbenliq − 0.0095 txendiv + 0.1190 sector
(0.0481)
R 2 = 0.2578 ; n = 40
(0.0053)
Modelo 1:
Regression Statistics
Multiple R
0,49821
R Square
0,24821
Adjusted R Square
0,20758
Standard Error
0,32767
Observations
40
Coefficients
intercept
3,13581
lbenliq
0,15084
txendiv
- 0,00659
Standard Error
0,27085
0,04748
0,00319
t Stat
11,57749
3,17705
-2,06525
P-value
7,32E-14
0,002999
0,045959
Tendo em conta os resultados obtidos e usando sempre testes de dimensão 5% ,
responda às seguintes questões:
(20) a) Considerando o modelo 1, acha que os benefícios líquidos e a taxa de
endividamento, conjuntamente, são úteis na explicação da variável dependente? E
individualmente? Justifique.
(20) b) Um investigador defende que a elasticidade das cotações em relação aos
benefícios líquidos é inferior à unidade. Considerando ainda o modelo 1, comente,
justificando, a razoabilidade desta afirmação.
(10) c) Considerando agora o modelo 2, preveja o valor da cotação das acções de uma
empresa industrial cujos benefícios líquidos sejam de 1010 u. m. e a taxa de
endividamento seja de 50.
(15) d) O que se pretendeu estudar com o modelo 2 e o que se pode concluir dos
resultados obtidos?
ISEG
ESTATÍSTICA II – GESTÃO
Parte Teórica (60 pontos)
(23-02-05)
Nome: _________________________________________________Turma:__________
Atenção: Cada alínea vale 7.5 pontos. Nas questões em que a resposta é da forma Verdadeiro
/Falso cada resposta certa vale 2,5 pontos e cada resposta errada -2,5 pontos sendo a cotação
mínima 0 e a máxima 7,5. As respostas são efectuadas nas linhas a seguir disponíveis. Durante o
decorrer da prova não serão prestados quaisquer esclarecimentos. BOA SORTE!
1. Admita uma população normal de desvio padrão igual a 5 e uma amostra de
dimensão 25. No teste da hipótese H0 : µ =10 contra H1 : µ=8 constatou-se que a
potência do teste é de 80% e que o valor-p é de 0.001. Indique quais das seguintes
afirmações são verda deiras(V) ou falsas (F)
V
F
A região crítica óptima é W={ x : x < 8}
A média da amostra usada foi de x = 6.91
O teste rejeita hipóteses verdadeiras em 12.3% dos casos
2. Diga o que entende por hipótese não paramétrica, distinga as hipóteses não
paramétricas simples das compostas e dê um exemplo de cada uma destas.
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
3. Considerando uma população de Poisson, assinale quais das seguintes
proposições são falsas (F) ou verdadeiras (V):
V F
A variância da amostra é um estimador centrado para a média da população
O estimador de Máxima Verosimilhança para a média da população é centrado
A estimativa obtida pelo método dos momentos para a probabilidade de se
observar 1 ocorrência num processo de Poisson de parâmetro λ é xe −x
4. Um estatístico calculou um intervalo de confiança a 95% para a média de uma
população normal de variância conhecida mas não ficou satisfeito com a respectiva
amplitude. Diga quais das proposições seguintes são verdadeiras (V) ou falsas (F ).
Para a diminuição da amplitude do intervalo deve:
V
Manter o grau de confiança e aumentar a dimensão da amostra
Manter a dimensão da amostra e aumentar o grau de confiança
Diminuir o desvio padrão da população e aumentar a dimensão da amostra
F
5. Um econometrista estimou os dois modelos de regressão linear seguintes:
E (Yt ) = β1 + β 2 xt 2 + β 3 xt 3 e E (Yt − xt 3 ) = β 1 + β 2 ( xt 2 − xt 3 ) . Diga, justificando, o
que se pretendia com a estima ção dos dois modelos.
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
6. Considere o MRLM E (Yt ) = β1 + β 2 x t 2 + β 3 xt 3 em que se admite a existência de
heteroscedasticidade devida à variável xt3 . Diga como procederia para efectuar o
teste B-P (Breusch-Pagan).
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
7. Com base em 30 observações estimou-se o modelo E (Yt ) = β 1 + β 2 x t tendo-se
yˆ t = 0.25 − 0.35 xt ; R 2 = 0 .94 ; VT = 550
obtido a seguinte recta de regressão:
(0.12) (0.20)
Calcule e indique os seguintes valores:
Valor-p para testar a hipótese H0 : ß2 =0 contra H1 : ß2 <0
Intervalo de confiança a 99% para o coeficiente de regressão ß 2
A estimativa de máxima verosimilhança de σ 2
8. No contexto do MRLM, distinga “previsão em média” de “previsão pontual” e
ilustre com um exemplo.
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________