Variáveis Aleatórias
Cláudio Tadeu Cristino1
1 Universidade
Federal Rural de Pernambuco, Recife, Brasil
Segundo Semestre, 2011
C.T.Cristino (DEINFO-UFRPE)
Variáveis Aleatórias
2011
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Experimentos Aleatórios; Espaços Amostrais
Experimentos Aleatórios
Em Estatı́stica todos os estudos são baseados em experimentos
aleatórios:
... que são experimentos cujos resultados
não podem ser previstos com antecedência.
Exemplo
Num lançamento de um dado (com seis faces), sabemos que esse irá
cair no chão (gravidade, experimento determinı́stico), mas não
podemos afirmar com 100% de certeza qual face estará para cima,
quando o dados cair (experimento aleatório).
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Experimentos Aleatórios; Espaços Amostrais
Espaços Amostrais
O espaços amostral de um experimento aleatório é o conjunto de todos
os resultados possı́veis de tal experimento. Temos visto vários
exemplos de espaços amostrais cujos elementos são nominais, tais como
cor, cara ou coroa, chover ou não chover, etc.
Nesses casos, por vezes, certas informações são mais difı́ceis de serem
obtidas. Daı́ a necessidade de se criar uma associação entre os
elementos de um espaço amostral é números. Por quê? Números
podem ser comparados, podemos realizar operações com eles,
computadores gostam de números, ...
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Experimentos Aleatórios; Espaços Amostrais
Variáveis Aleatórias
Definição
Uma variável aleatória é uma função que associa um número para cada
elemento de um espaço amostral. Teoricamente, esta associação pode
ser arbitrária (escolhida por que irá utilizá-la, mas há várias funções
que são naturais de serem definidas. Em geral, denota-se uma variável
aleatória por letras maiúsculas: X, Y, . . .
Exemplo
Num jogo de uma moeda podemos definir a seguinte variável aleatória:
(
1, se ω é cara.
X(ω) =
0, se ω é coroa.
Note que, definida dessa maneira, X conta o número de caras (0 ou 1)
no jogo de uma moeda.
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Experimentos Aleatórios; Espaços Amostrais
Variáveis Aleatórias
Exemplo
Leonardo propõem para João o seguinte jogo: jogam uma moeda e se o
resultado for cara, João paga para Leonardo R$10,00, caso contrário
Leonardo para a João R$10,00. Podemos associar uma variável
aleatória para este experimento? Naturalmente, definimos:
(
10, se ω é cara
Y (ω) =
−10, se ω é coroa,
é a variável aleatória associada ao quanto Leonardo vai ganhar (ou
perder) nesse jogo.
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Variáveis Aleatórias
Variáveis Aleatórias
Exemplo
Num experimento aleatório, desejamos obter a altura de pessoas que
passam pela rua. Novamente, de maneira natural, temos que:
H(pessoa) ∈ (0, 3)
é uma variável aleatória. Note que esta variável aleatória é
essencialmente diferente das duas anteriores pois ela pode ser
representada (teoricamente) por qualquer número entre 0 e 3 metros,
enquanto que as duas variáveis aleatórias anteriores somente assumiam
dois valores (1 ou 0, no primeiro caso e 10 ou −10, no segundo).
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Contı́nuas versus discretas
Definição
Dizemos que uma variável aleatória é discreta se esta pode assumir
apenas uma quantidade finita ou enumerável de valores. De maneira
simplista, diremos que para os outros casos, as variáveis são ditas
contı́nuas.
Obs.: em geral, variáveis contı́nuas representaram grandezas tais como
o tempo, alturas ou distâncias, pesos, etc. Também veremos que, por
vezes iremos aproximar uma variável aleatória discreta por uma
contı́nua (seja lá o que isso queira dizer).
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Como para os eventos de um espaço amostral definiu-se uma
probabilidade, é natural que as variáveis aleatórias também herdem
esta importante medida:
Definição
Seja X ∈ {x1 , x2 , . . . , xn } uma variável aleatória discreta (os xi ’s são
números). Define-se:
P (X = xi ) = P {A ⊆ Ω : P (a) = xi , para todo a ∈ A} .
Complicado?!? Na verdade não. A probabilidade herdada pela variável
aleatória é a mesma que foi definida para os eventos que deram origem
a tal variável aleatória. Por exemplo, temos que para o jogo de uma
moeda P (CARA) = P (COROA) = 0, 5, logo para a variável aleatória
X definida como antes P (X = 1) = P (X = 0) = 0, 5
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Função de Probabilidade
Dizemos que pi = P (X = xi ) é a função de probabilidade da variável
aleatória X. As propriedades dessa função é:
P.1 pi = P (X = xi ) ≥ 0, para todo xi ∈ R.
Pn
P.2
i=1 P (X = xi ) = p1 + p2 + · · · + pn = 1.
Ou outros termos: a função de probabilidade é uma função não
negativa cuja soma de todas seus termos é igual a 1 ou 100%.
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Exemplo
Construı́mos em sala um experimento que determinou a frequência de
N , o número de irmão de cada um dos presentes. Vimos como utilizar
esta frequência para estimar uma probabilidade (como?). Vamos
representar na Tabela abaixo os resultados obtidos:
N =n
P (N = n)
0
0,2
1
0,15
2
0,32
3
0,2
4
0,05
5
0,05
6
0,02
7
0,01
Da tabela temos, por exemplo, que num sorteio, a probabilidade da
pessoa de nossa sala escolhida tenha 2 irmãos é de 0,32 ou 32%.
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Representação de uma função de probabilidade
Figura:
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Exemplo (Continuação)
Podemos, agora, calcular vários casos:
Cálculo direto:
tab.
P (N = 4) = 0, 05
probabilidade a união é a somas das probabilidades:
P (N ≥ 5) = P (N = 5 ou N = 6 ou N = 7)
= P (N = 5) + P (N = 6) + P (N = 7)
tab.
= 0, 05 + 0, 02 + 0, 01 = 0, 08
Usando o complementar:
tab.
P (N ≥ 1) = 1 − P (N < 1) = 1 − P (N = 0) = 1 − 0, 2 = 0, 8.
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Exemplo (Continuação)
Mais casos:
Usando o complementar:
P (N 6= 2) = 1 − P (N = 2) = 1 − 0, 32 = 0, 68
Interseção:
P (N = 1 e N = 3) = 0
Ou se tem 1 ou 3 irmãos!
Interseção:
P (N ≥ 1 e N ≤ 3) = P (N = 1 ou N = 2 ou N = 3)
= P (N = 1) + P (N = 2) + P (N = 3)
tab.
= 0, 15 + 0, 32 + 0, 2 = 0, 67.
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Funções de distribuição
Definição
A função de distribuição acumulada ou, simplesmente, função de
distribuição de uma variável aleatória é definida por:
FX (x) = P (X ≤ x)
(2.1)
No caso discreto, em que X ∈ {x1 , x2 , . . . , xn } com pi = P (X = xi ) e
para x < xj , para algum j = 1, . . . , n, temos que:
FX (x) = P (X ≤ x) = P (X = x1 ou X = x2 ou · · · ou X = xj−1 )
= P (X = x1 ) + P (X = x2 ) + · · · + P (X = xj−1 )
X
= p1 + p2 + · · · + pj−1 =
P (X = xi ).
xi ≤x
Ou seja, no caso discreto a função de distribuição acumula todas as
probabilidades daqueles xi ≤ x.
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Exemplo
Supunha que tenhamos a seguintes função de probabilidade para uma
variável aleatória X:
X=x
P (X = x)
1
0,0046
2
0,0330
3
0,1318
4
0,2966
5
0,3560
6
0,1780
Tabela: Função de probabilidade da variável aleatória X.
Podemos, então, criar a tabela da distribuição acumulada de X:
X=x
P (X ≤ x)
1
0,0046
2
0,0376
3
0,1694
4
0,4660
5
0,8220
6
1,0000
Tabela: Distribuição acumulada para X
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Propriedades de uma distribuição
Do exemplo anterior e da definição, podemos tirar as seguintes
propriedades de uma função de distribuição:
1
2
3
FX (x) ≥ 0 para todo x.
FX (x) é uma função não-decrescente, ou seja, se x < y, então:
FX (x) ≤ FX (y).
Se x → ∞, então FX (x) → 1.
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Abaixo, o gráfico da função de distribuição da variável aleatória X, do
último exemplo.
Figura: Gráfico da função de distribuição do último exemplo.
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Modelos de Variáveis Aleatórias
Modelos de variáveis aleatórias
Podemos “agrupar” as variáveis aleatórias em classes ou modelos de
variáveis que possuem alguma caracterı́stica em comum. Vamos
começar pelo modelo de Bernoulli1 :
Definição
Qualquer experimento que possui apenas dois resultados possı́veis, que
denominaremos fracasso e sucesso, é chamado um ensaio de Bernoulli.
Podemos substituir as denominações dos resultados por quaisquer
outras, tais como preto versus branco, apagado versus aceso, quente
versus frio, etc.
Diremos que a probabilidade de sucesso é p, 0 ≤ p ≤ 1, e, portanto, a
probabilidade de fracasso é q = 1 − p.
1
em homenagem a Jacques Bernoulli (1654–1705), matemático suı́ço.
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Modelos de Variáveis Aleatórias
Modelo de Bernoulli
Definição
Diremos que uma variável aleatória X segue o modelo de Bernoulli se
ela representa o número de sucessos em um ensaio de Bernoulli. Ou
seja,
(
1, se ω = “sucesso”;
X(ω) =
0, se ω = “fracasso”.
Como consequência das definições, temos que a função de
probabilidade de uma variável aleatória que segue o modelo de
Bernoulli com probabilidade de sucesso igual a p é:
P (X = x) = px (1 − p)1−x ,
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x = 0 ou 1.
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Modelos de Variáveis Aleatórias
Exemplo
Um simples exemplo de um ensaio de Bernoulli é o lançamento de uma
moeda. Como só há dois resultados possı́veis, cara ou coroa, podemos
associar a variável aleatória X seguindo o modelo de Bernoulli como:
(
1, se ω = “cara”;
X(ω) =
0, se ω = “coroa”.
Obviamente, nesse caso,
P (X = 1) = P (“cara”) =
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1
= P (“coroa”) = P (X = 0).
2
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Modelos de Variáveis Aleatórias
Definição
Considere a repetição de n ensaios de Bernoulli independentes e todos
com a mesma probabilidade de sucesso p. A variável aleatória que
conta o número total de sucessos é denominada Binomial com
parâmetros n e p. Sua função de probabilidade é dada por:
n k
P (X = k) =
p (1 − p)n−k , k = 0, 1, . . . , n,
(3.1)
k
com nk representando o coeficiente binomial dado por:
n
n!
=
.
k
k!(n − k)!
Comumente, usa-se a notação X ∼ B(n, p) para indicar que a variável
aleatória X segue o modelo Binomial com parâmetros n e p.
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Modelos de Variáveis Aleatórias
Distribuição Binomial
Exemplo
Suponha que uma famı́lia recém formada decida ter 3 filhos. Sabendo
que em cada nascimento, a probabilidade de nascer uma menina é de
50%, qual é a probabilidade de que esta famı́lia tenha 2 meninas e 1
menino?
Devemos notar que nesse exemplo a variável aleatória N que representa
o número de meninas é Binomial com n = 4 e p = 0, 5. Assim,
3
P (N = 3) =
(0, 5)2 (1 − 0, 5)3−2
2
= 3 × 0, 25 × 0, 5 = 0, 375 ou 37, 5%.
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Modelos de Variáveis Aleatórias
Para o exemplo anterior, podemos observar o resultado na seguinte
árvore de probabilidade:
3ºNasc.
3 meninas
2ºNasc.
50%
1ºNasc.
2 meninas, 1 menino
2 meninas, 1 menino
50%
50%
50%
2 meninos, 1 menina
50%
2 meninas, 1 menino
50%
50%
50%
2 meninos, 1 menina
2 meninos, 1 menina
3 meninos
Figura: Árvore de probabilidade para a famı́lia de probabilidade.
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Modelos de Variáveis Aleatórias
Mais aplicações da Binomial
1
Num plebiscito, deve-se responder SIM ou NÃO para alguma
questão.
2
Sorteios sucessivos com reposição de bolas em uma urna.
3
Em um exame com vinte questões, cada questão com 4 ı́tens,
sendo que apenas um item esteja correto, o número de acertos “no
chute”.
4
...
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Modelos de Variáveis Aleatórias
O modelo Uniforme discreto
Definição
Seja X uma variável aleatória cujos possı́veis valores são representados
por x1 , x2 , . . . , xn . Diremos que X segue o modelo uniforme discreto se
atribui a mesma probabilidade 1/n a cada um destes n valores, isto é,
sua função de probabilidade é dada por
P (X = xj ) =
1
, para todo j = 1, 2, . . . , n.
n
(3.2)
Como exemplos para uma variável aleatória como modelo Uniforme
discreto temos o número sorteado num bingo, ou no lançamento de um
dado. Escrevermos X ∼ U D(n) para representar uma variável aleatória
X que segue o modelo uniforme discreto como n elementos.
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Modelos de Variáveis Aleatórias
A distribuição de Poisson
Definição
Seja X uma variável aleatória discreta definida para todo número
inteiro positivo. Dizemos que X segue o modelo de Poisson (diz-se
POASSON) se sua função de probabilidade é dada por:
P (X = k) =
e−λ λk
,
k!
k = 0, 1, 2, . . .
(3.3)
em que λ > 0 e k! = ×(k − 1) × (k − 2) × · · · × 2 × 1.
Consequentemente, a função de distribuição de X é dada por
P (X ≤ x) =
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X e−λ λk
k≤x
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(3.4)
k!
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Modelos de Variáveis Aleatórias
A distribuição de Poisson - cont.
Mas o que representa a distribuição de Poisson? Bem, ela representa o
número de ocorrências de um determinado evento, num determinado
intervalo de tempo.
Exemplo
O número de chamadas telefônicas que são recebidas numa
empresa numa hora, pode ser representada para distribuição de
Poisson.
A quantidade de aviões que pousam no Aeroporto Internacional
dos Guararapes num ano pode ser considerado como Poisson.
O número de automóveis que passam por uma ponte num
determinado dia da semana pode ser Poisson.
Escrevermos: X ∼ P oisson(λ) para a variável X que segue o modelo
de Poisson com parâmetro λ.
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Modelos de Variáveis Aleatórias
Modelo Geométrico
Definição
Dizemos que uma variável aleatória X segue o modelo Geométrico de
parâmetro p, se sua função de probabilidade é da forma:
P (X = k) = p(1 − 1)k , 0 ≤ p ≤ 1, k = 0, 1, 2, . . .
(3.5)
Nesse caso, escreveremos X ∼ G(p).
Se interpretarmos p como a probabilidade de sucesso, a distribuição
geométrica representa o número de ensaios de Bernoulli que precedem
o primeiro sucesso.
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Modelos de Variáveis Aleatórias
Função de Probabilidade Geométrica
0,035
0,03
0,025
0,02
0,015
0,01
0,005
0
0
5
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10
15
20
25
Variáveis Aleatórias
30
35
40
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Modelos de Variáveis Aleatórias
O modelo Hipergeométrico
Definição
Considere um conjunto de n objetos dos quais m são do tipo I e n − m
são do tipo II. Para um sorteio de r objetos (r < n), feito ao acaso e
sem reposição, defina X como o número de objetos do tipo I
selecionados. Diremos que a variável aleatória X segue o modelo
hipergeométrico e sua função de probabilidade é dada pela expressão:
m n−m
P (X = k) =
k
r−k
n
r
, k = max(0, r − (n − m), . . . , min(r, m). (3.6)
Escreveremos X ∼ HG(n, m, r)
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Medidas resumo de uma variável aleatória
Medidas de resumo de uma variável
Definição
Seja X uma variável aleatória discreta que assume valores dentre o
conjunto {x1 , . . . , xn }. Seja pi = P (X = xi ) a função de probabilidade
de X. Define-se por:
E(X) =
n
X
i=1
xi pi = x1 p1 + x2 p2 + · · · + xn pn ,
(4.1)
a esperança da variável aleatória X. Tal valor é também conhecido
como média de X ou esperança matemática de X. Ela representa um
valor central de equilı́brio.
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Medidas resumo de uma variável aleatória
A média de uma variável aleatória
Exemplo
Seja X a variável aleatória com função de probabilidade da na tabela
abaixo:
X = xi
P (X = xi )
1
0,1
3
0,12
4
0,075
7
0,305
11
0,2
12
0,15
13
0,05
Então, temos que:
E(X) =
7
X
i=1
xi pi = 1 × 0, 1 + 3 × 0, 12 + · · · + 13 × 0, 05 = 7, 545.
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Medidas resumo de uma variável aleatória
Médias para casos especiais
Temos que:
Se X ∼Bernoulli(p), 0 ≤ p ≤ 1, então: E(X) = p.
Se Y ∼ B(n, p), n ≥ 2 e 0 ≤ p ≤ 1, então: E(Y ) = n · p.
Se W ∼Poisson(λ), então: E(W ) = λ.
Se Z ∼ G(p), 0 ≤ p ≤ 1, então E(Z) =
Se H ∼ HG(n, m, p), então E(H) =
1−p
p
rm
n .
Se U ∼ U D(1, k) é uma variável aleatória uniforme discreta com
valores entre 1 e k, então E(U ) = 1+k
2
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Medidas resumo de uma variável aleatória
A respeito da média
Observe que:
A média ou esperança é um número. Este número representa o
centro de massa da variável aleatória . Este valor nos informa uma
posição central dos valores da variável aleatória em relação à sua
função de probabilidade. Em outras palavras, a média é um valor
da variável aleatória, ponderado pela função de probabilidade.
min xi ≤ E(X) ≤ max(xi ), ou seja, média deve estar no intervalo
definido pelos valores da variável aleatória.
Se X e Y são duas variáveis aleatórias com E(X) e E(Y ) finitas,
então, em qualquer caso:
E(X + Y ) = E(X) + E(Y ).
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Medidas resumo de uma variável aleatória
Outras medidas de localização, como a média, são:
Definição
Denomina-se moda a valor com maior probabilidade entres os possı́veis
de serem assumidos por uma variável aleatória. Assim se
X ∈ {x1 , . . . , xi } com pi = P (X = xi ):
M o(X) = {xi : pi = max pj }
Definição
Denomina-se mediana o valor central dos valores da variável aleatória.
. Temos que:
M d(X) = xi tal que P (X ≤ xi ) ≥ 50% e P (X ≥ xi ) ≥ 50%
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Medidas resumo de uma variável aleatória
Variância
Definição
Denomina-se variância de uma variável aleatória ao desvio médio
quadrado dos valores de uma variável aleatória em torno da média, ou
seja:
n
X
2
Var(X) = E(X − E(X)) =
(xi − E(X))2 pi
(4.2)
i=1
Esta definição é equivalente a:
Var(X) = E(X 2 ) − (E(X))2 ,
(4.3)
ou seja, a esperança de X ao quadrado, menos o quadrado da
esperança de X.
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Medidas resumo de uma variável aleatória
Exemplo
Voltemos ao nosso último exemplo: seja X com função de
probabilidade:
X = xi
P (X = xi )
1
0,1
3
0,12
4
0,075
7
0,305
11
0,2
12
0,15
13
0,05
Então, para E(X) = 7, 545, temos:
Var(X) =(1 − 7, 545)2 × 0, 1 + (3 − 7, 545)2 × 0, 12 + · · ·
+ (13 − 7, 545)2 × 0, 05 = 14, 648.
De outra maneira:
2
E(X ) =
7
X
i=1
x2i pi = 12 × 0, 1 + 32 × 0, 12 + · · · + 132 × 0, 05 = 71, 575.
Logo,
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Variáveis
2 Aleatórias
2
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Medidas resumo de uma variável aleatória
Desvio-padrão
Definição
Define-se por desvio padrão de uma variável aleatória X por
p
dp(X) = Var(X).
O desvio padrão também é uma medida de dispersão em torno da
média, só que está na mesma unidade da variável.
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Medidas resumo de uma variável aleatória
Variâncias para casos especiais
Temos que:
Se X ∼Bernoulli(p), 0 ≤ p ≤ 1, então: Var(X) = p(1 − p).
Se Y ∼ B(n, p), n ≥ 2 e 0 ≤ p ≤ 1, então: E(Y ) = n · p(1 − p).
Se W ∼Poisson(λ), então: E(W ) = λ.
1−p
p2
rm(n−m)(n−r)
.
n2 (n−1)
Se Z ∼ G(p), 0 ≤ p ≤ 1, então E(Z) =
Se H ∼ HG(n, m, p), então E(H) =
Se U ∼ U D(1, k) é uma variável aleatória uniforme discreta com
2
valores entre 1 e k, então E(U ) = k 12−1
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Variáveis Contı́nuas
Variáveis aleatórias: o caso contı́nuo
Existem várias grandezas cuja medida pode ser tomada como um valor
qualquer num intervalo da reta ou mesmo na reta inteira. Por exemplo,
tempo, alturas, peso, etc, são consideradas grandezas contı́nuas. Assim,
variáveis aleatórias que representem tais grandezas são denominadas
variáveis aleatórias contı́nuas.
Note que uma diferença essencial para uma variável aleatória discreta é
que uma variável aleatória contı́nua não pode ter seus possı́veis valores
enumerados ou contados.
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Probabilidades de uma variável aleatória contı́nua
Para os modelos com distribuições contı́nuas temos que a probabilidade
de que uma variável aleatória assuma EXATAMENTE um valor é
sempre ZERO. Nesse caso, sempre desejaremos encontrar
probabilidades associadas a um dado intervalo. Por exemplo, qual é a
probabilidade de que uma lâmpada queime com exatamente 100 horas
de funcionamento? ZERO. Mas, qual é a probabilidade de que uma
lâmpada queime entre 100 e 1000 horas de funcionamento? Bem, agora
essa probabilidade será maior que zero e dependerá da distribuição que
modela o tempo de funcionamento de uma lâmpada até a sua queima.
Nesta parte do curso, trabalharemos com apenas um modelo de
variável aleatória contı́nua: o modelo Normal.
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O modelo Uniforme Contı́nuo
Definição
Uma variável aleatória X tem distribuição Uniforme Continua no
intervalo [a, b], para dois números a e b, em que a < b se sua função de
distribuição é dada por:


0,
se x¡a

x − a
F (x) = P (X < x) =
, se a ≤ x ≤ b
(5.1)

b−a


1,
se x > b.
Usaremos a notação X ∼ U [a, b] para indicar que X segue o modelo
Uniforme Contı́nuo no intervalo considerado.
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Medidas de Resumo para a variável aleatória uniforme
Para uma variável aleatória X ∼ U [a, b] temos:
E(X) =
Var(X) =
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a+b
2
(b − a)2
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Função densidade de probabilidade
Nós utilizamos a função de distribuição para calcular probabilidades.
Também temos uma “outra ferramenta” para calcularmos essas
probabilidades:
Definição
Dizemos que uma função f (x) é uma função densidade de probabilidade
para uma variável aleatória contı́nua X, se satisfaz duas condições:
1
2
f (x) ≥ 0, para todo x ∈ (−∞, ∞);
A área definida pelo gráfico de f é igual a 1 (Figura 4).
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Função densidade de probabilidade
P(F>fc)
fc
Figura: Função densidade de probabilidade.
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Função densidade de probabilidade
Figura: Função densidade de probabilidade da dist. Uniforme Contı́nua.
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O modelo Exponencial
Definição
Dizemos que uma variável aleatória (contı́nua) segue o modelo
exponencial com parâmetro λ ∈ R+ , denotando X ∼ Exp(λ), se sua
função de densidade de probabilidade é:
(
λe−λx , x ≥ 0;
(5.2)
fX (x) =
0,
caso contrário.
Para obter a função de distribuição de uma variável aleatória seguindo
o modelo exponencial, basta que tomemos a integral da Equação (5.2)
acima:
Z b
b
P (a < X ≤ b) =
λe−λx dx = −e−λx = e−λa − e−λb .
(5.3)
a
a
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O modelo exponencial
Para obter a média e a variância de uma variável aleatória seguindo o
modelo exponencial é preciso utilizar a integração por parte, um bom
exercı́cio de Cálculo, mas somente apresentaremos os resultados:
Temos que se X ∼ Exp(λ),
E(X) =
1
λ
Var(X) =
1
λ2
(5.4)
Obs.: Alguns autores denotam a f.d.p. de uma variável aleatória
x
exponencial como fX (x) = α1 e− α , representando α como parâmetro do
modelo, que coincide com a média da variável aleatória.
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A distribuição Normal
A distribuição Normal é um exemplo de distribuição contı́nua e que
tem boa aplicabilidade, no sentido que é bastante utilizada para
modelar vários fenômenos em que valores extremos são menos
prováveis do que valores centrais.
Essa distribuição possui algumas outras caracterı́sticas, que serão
discutidas. Primeiramente, escrevemos X ∼ N (µ, σ 2 ) para uma
variável aleatória X que segue o modelo Normal com parâmetros µ e
σ 2 . Temos que:
µ = E(X) e σ 2 = Var(X).
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Figura: Gráficos de duas variáveis com densidade Normal.
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Propriedades da Normal
A distribuição normal é simétrica em torno da média. Isto pode
ser escrito matematicamente da seguinte forma:
Se X ∼ N (µ, σ 2 ) ⇒ P (X ≤ µ − a) = P (X ≥ µ + a).
Isto também implica que P (X ≤ µ) = P (X ≥ µ) = 50%.
√
X −µ
Se X ∼ N (µ, σ 2 ), então
∼ N (0, 1), em que σ = σ 2 .
σ
Os valores de probabilidades dessa distribuição podem ser
TABULADOS. Em geral, usa-se uma tabela para uma variável
aleatória N (0, 1), chamada normal padrão.
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Tabela da Normal Padrão
Figura: Parte da tabela da distribuição Normal.
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Uma grande aplicação
Apresentamos o seguinte resultado:
Teorema
Sejam X1 , X2 , . . . , Xn variáveis aleatórias com a mesma média
µ = E(Xi ), i = 1, . . . , n, e mesma variância σ 2 = Var(Xi ), i = 1, . . . , n
(σ 2 < ∞). Então
X n − µ n→∞
√
−→ Z ∼ N (0, 1),
(5.5)
σ/ n
em que X n é a média entre as n variáveis.
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