Dinâmica do Movimento de Rotação
1- Introdução
Neste Capítulo vamos definir uma nova grandeza física, o torque, que
descreve a ação giratória ou o efeito de rotação de uma força.
Verificaremos que o torque efetivo que atua sobre um corpo rígido
determina sua aceleração angular, do mesmo modo que a força resultante
sobre um corpo determina sua aceleração linear.
força = massa × aceleração
torque = inércia rotacional × aceleração angular
Existem dois caminhos que podem ser tomados para derivar as equações da
dinâmicas rotacional.
i) A força que atua em cada partícula do corpo é considerada e os torques
atuantes em cada partículas são somadas para se encontra o torque total no
corpo; para se aplicar este método, precisamos saber como as forças externas
são transmitidas desde seus pontos de aplicação até a localização de cada
partícula.
ii) Baseia-se na conservação da energia, em particular no teorema trabalhoenergia W = ∆K.
2 – Energia Cinética de Rotação e Inércia Rotacional
Fig.1 – Um corpo rígido gira em
torno de um eixo fixo. Cada
partícula do corpo possui a mesma
velocidade angular ω, mas a
velocidade tangencial v varia com a
distância r da partícula ao eixo de
rotação. Assim, m1 e m2 possuem a
mesma velocidade angular ω, mas
v2 > v1 porque r2 > r1.
Fig.1
A energia cinética total K do corpo girante é a soma das energia
cinéticas de todas as partículas que compõem o corpo e pode ser
escrita como
K = 12 m1r12ω 2 + 12 m2 r22ω 2 + 12 m3 r32ω 2 + " =
1
2
( ∑ m r )ω
2
2
i i
A grandeza entre parênteses na expressão acima chama-se inércia
rotacional do corpo em relação ao eixo de rotação considerado e é
representado pela símbolo I:
I = ∑ mi ri
2
Unidade no SI: kg.m2
i
Assim, a energia cinética total do corpo rígido girante pode ser escrita na forma:
K = 12 Iω 2
K = 12 mv 2
análoga
translacional
Rotacional
™ Cálculo do momento de Inércia
m3
Exemplo 1: Quatro partícula de massa m estão ligadas por
hastes, sem massa apreciável, e forma um retângulo de lados
2a e 2b (ver figura ao lado). O sistema gira em torno do eixo
que está no plano da figura e passa pelo seu centro. Ache o
momento de inércia em relação a este eixo.
Solução:
4
I = ∑ mi ri = m r + m r + m r + m r
i =1
2
2
1 1
2
2 2
2
3 3
I = ma 2 + ma 2 + ma 2 + ma 2
2
4 4
m1
m4
m2
⇒ I = 4ma 2
OBS: A distância b não tem importância no cálculo do momento de inércia,
pois não está relacionada à distância de qualquer partícula ao eixo de rotação.
™ Cálculo do Momento de Inércia (continuação):
I = ∑ mi ri 2
Distribuição discreta de massa
i
I = ∫ r 2 dm = ∫ ρ r 2 dV
Distribuição contínua de massa
Se o corpo for homogêneo, a integral, envolvida na expressão do momento de inércia,
reduz-se a um fator geométrico, igual para todos os corpos de mesma forma e tamanho.
I = ρ ∫ r 2 dV
V
Exemplo 2: Barra sólida uniforme que gira em torno de um eixo que
passa por uma das suas extremidades.
M
M L 2
I = ∫ r dm = ∫ x
dx = ∫ x dx
0
L
L 0
1
M 1 3 L ML3
⇒ I = ML2
I=
x =
3
L 3 0 3L
L
2
2
Exemplo 3: Disco uniforme em torno do eixo que passa pelo seu centro
e é perpendicular ao seu plano.
M
M
M
2π rdr =
2π rdr
dA =
2
πR
A
A
Portanto,
dm =
2π M R 3
2M R 4
I = ∫ r dm =
r dr = 2
π R 2 ∫0
R 4
1
I = MR 2
2
2
Exemplo 4: Um cilindro de densidade uniforme em torno do seu eixo
Um cilindro pode ser formado por uma pilha de discos, cada
um com massa mi . Então, o momento de inércia fica dado por
1
I i = mi R 2 (para um disco)
2
De modo que,
I = ∑ Ii =
i
1 2
R ∑ mi
2
i
⇒
I=
1
MR 2
2
Exemplo 5: Esfera de densidade uniforme em torno de um diâmetro
Uma esfera pode ser formada por uma pilha de discos
circulares perpendiculares ao diâmetro considerado.
O raio de um disco elementar é: r = R 2 − z 2
dm =
M
M
M
dV = π r 2 dz = π ( R2 − z 2 )dz
V
V
V
O momento de inércia de cada disco elementar é
1
1
M
 1M
π ( R2 − z 2 )dz
dI = r 2 dm = ( R2 − z 2 )  π ( R2 − z 2 )dz  =
2
2
V
 2V
O momento de inércia total é
M R 2 2 2
M R 4
I = 2∫ dI = π ∫ ( R − z ) dz = π ∫ ( R − 2R2 z 2 + z 4 )dz
V 0
V 0
2
M  8R5  3M  8R5 
2
=
⇒
=
I
MR
I = π



5
V  15  4π R3  15 
™ Teorema dos Eixos Paralelos
O teorema dos eixos paralelos afirma que:
I = I cm + Mh 2
onde M é a massa total do corpo, e
h a distância entre os eixo.
Podemos provar este teorema mediante o resultado,
1
1
2
K = M v cm + I cmω 2
2
2
A velocidade do CM em relação a qualquer ponto do eixo de rotação é:
v cm = hω
Podemos escrever a energia cinética total do corpo rígido como,
K=
1 2
Iω
2
1 2 1
1
Iω = M h 2ω 2 + I cmω 2 ⇒ I = I cm + Mh 2
2
2
2
Exemplo 6: Achar o momento de inércia de uma barra de densidade
uniforme em relação ao eixo y1 que passa pelo centro de massa (ver figura).
Solução: Pelo teorema dos eixos paralelos, temos
I y = I cm + Mh 2 ⇒ I cm = I y − Mh 2
I cm = 13 ML2 − M ( 12 L) 2 = 13 ML2 − 14 ML2
I cm = 121 ML2
Calculado no exemplo 2.
Inércia rotacional de vários sólidos em torno de eixos selecionados
TORQUE SOBRE UMA PARTÍCULA
Seja uma força F atuante em uma partícula, situada no ponto P, cuja posição
em relação a origem O do referencial inercial é dada pelo vetor r. Com estes
dois vetores definimos um plano (no caso da figura abaixo o plano xy) que
contenha os vetores F e r. O torque atuante sobre a partícula em relação à
origem O é definida por:
G
G G
τ = r×F
O torque é uma grandeza vetorial, cujo módulo é dado por:
G G
τ = r F senθ onde θ é o ângulo entre os vetores r e F .
Unidade de Torque no SI:
O torque possui dimensões de força
multiplicada por distância, ou seja:
[ M ][ L]2 [T ]−2
N ⋅m
(OBS: Embora 1 N·m = 1J, não expressamos
o torque em joules)
Fig. Regra da mão direita
DINÂMICA ROTACIONAL DE UM CORPO RÍGIDO
A segunda Lei de Newton para a rotação
A segunda Lei de Newton toma uma forma peculiar quando aplicada
aos movimentos que envolvem rotação. Se fizermos a decomposição
da força aplicada a uma partícula segundo as suas componentes
perpendicular e paralela ao vetor posição dessa partícula, teremos:
G
G  F& = ma&
F = ma 
 F⊥ = ma⊥
Mas, quando consideramos o torque associado a essa força, temos:
τ = r F⊥ = mr a⊥ = mr (rα ) = (mr 2 ) α
τ = Iα
Logo, o torque fica na forma:
onde I é o momento de inércia da partícula considerada.
Trabalho, Potência, e o Teorema do trabalho - Energia Cinética
Para calcular o trabalho infinitesimal dW executado por uma força F temos que
G G
d W = F ⋅ d s = F cosθ ds = F⊥ds = F⊥rdθ
mas τ = rF⊥ . Ficamos com d W = τ dθ
Integrando (*), temos:
θf
W = ∫ τ dθ
θi
(*)
τ = Iα
Lembrando que:
θf
θf
θf
θi
θi
θi
W = ∫ τ dθ = ∫ I α dθ = I ∫
W = I∫
ωf
ωi
Potência:
1
1
2
ω d ω = I ω f − I ω i2
2
2
dW τ dθ
dθ
=
=τ
dt
dt
dt
P≡
dω
dθ
dt
⇒ W = ∆K
⇒
P =τ ω
MOVIMENTO COMBINADOS DE TRANSLAÇÃO E ROTAÇÃO
Quando temos movimento de translação e
rotação simultaneamente (ver figura ao
lado) a energia cinética do corpo rígido é
escrita na forma:
K =
1
1
2
+ I cm ω 2
M v cm
2
2
Momento Angular de uma Partícula Para um sistema de n partículas temos:
Considere uma partícula de massa m e
G
G
G
momento linear p = mv na posição r
de um referencial inercial. Definimos
o momento angular da partícula em
relação à origem O por:
G G G
l =r×p
G
dl
∑τ = dt
n G
G
G G G
L = l1 + l2 + " + ln = ∑ li
∑τ
ext
G
dL
=
dt
i =1
Momento angular e velocidade angular
G
G
L=Iω
COMPARAÇÃO ENTRE AS EQUAÇÕES DA DINÂMICA LINEAR E ROTACIONAL
Movimento Linear
Deslocamento linear
Movimento em torno de um eixo fixo
x
dx
dt
Velocidade linear
v=
Aceleração linear
dv
a=
dt
Massa (inércia
translacional)
Força
Trabalho
Energia Cinética
m
F = ma
W = ∫ Fdx
K = 12 mv 2
Deslocamento
angular
Velocidade angular
Aceleração angular
Inércia angular
Torque
θ
ω=
dθ
dt
α=
dω
dt
I
τ = Iα
Trabalho
W = ∫ τ dθ
Energia Cinética
K = 12 Iω 2
Potência
P=Fv
Potência
P =τ ω
Momento Linear
p = mv
Momento Linear
L=Iω