Relatório Junção PN
A. Ferreira (67893), A. Patrı́cio (67898), M. Prata (67933), T. Coutinho(67957)
LCET, Engenharia Fı́sica Tecnológica 2o ano,
IST, Av. Rovisco Pais 1049-001 Lisboa, Portugal
(Dated: 12 de Maio de 2011)
Estudámos as caracterı́sticas (i, v) num dı́odo comercial 1n533 para várias temperaturas.
Os dados compararam-se ao modelo de Shockley e a um segundo modelo teórico, determinando-se
o valor do gap de energia EG entre a banda de valência e de condução e do factor de idealidade η.
A análise de resultados revelou EG = (1.20 ± 0.01 eV para o gap de energia e η = 1.10 ± 0.01 com
base no modelo de Shockley. O segundo modelo forneceu EG = 1.19 ± 0.01 eV por ajuste à corrente
de saturação Is e EG = 0.79 ± 0.01 eV obtido por ajsute à corrente reversa Ir . Qualitativamente,
ambos os modelos teóricos se adequaram satisfatoriamente aos dados recolhidos.
de tipo n, onde os electrões são os portadores maioritários; de
Numa dada substância, as correntes de condução podem ser tipo p, para os quais a concentração de buracos é superior.
Uma junção PN corresponde ao acoplamento de dois semidevidas a mais do que um tipo de portadores de carga(electrões,
condutores
extrı́nsecos, um de tipo n e outro de tipo p. Nesta
iões, ...) movendo-se com diferentes velocidades de deriva v~i :
X
vamos
ter
um
excesso de electrões no lado N e de buracos no lado
J~ =
Ni qi v~i
(1)
P. Esta distribuição electrónica desigual provoca um movimento
i
sendo Ni o número de portadores por unidade de volume do de difusão de electrões/buracos entre os dois semicondutores no
sentido de homogeneizar a sua concentração
~
tipo i. Em geral, J~ tem origem num campo eléctrico E.
Em particular, estudamos a junção PN polarizada directaPor um argumento baseado no modelo de Drude[? ][3] para
mente:
a condutividade, prevê-se que para uma grande quantidade de
~
substâncias a velocidade de deriva é proporcional a E:
1.
INTRODUÇÃO TEÓRICA
~
v~i = µi E
(2)
onde µi é a mobilidade dos portadores de carga do tipo i, que
depende do livre percurso médio no material. Assim, obtemos
J~ =
X
~ = σE
~
Ni qi µi E
(3)
i
onde σ é a condutividade eléctrica do material.
O valor da condutividade permite classificar os materiais relativamente às suas propriedades de condução: os isoladoress são
caracterizados por 10−20 S.m−1 ≤ σ ≤ 10−8 S.m−1 , os semicondutores por 10−8 S.m−1 ≤ σ ≤ 106 S.m−1 e os condutores por
106 S.m−1 ≤ σ ≤ 108 S.m−1 .
Os semicondutores possuem uma estrutura de bandas de energia caracterizada pela existência de uma banda de valência, totalmente preenchida a 0 K, e de uma banda de condução vazia a
0 K. Estas encontram-se separadas por uma banda proibida ou
gap, a que corresponde o intervalo energético EG . Semicondutores tı́picos são o sı́licio, o germânio e o estanho cinzento.
No entanto, a maior distinção entre condutores e semicondutores é a variação da condutividade com a temperatura: a
condutividade dos condutores diminui com a temperatura(o livre percurso médio diminui) enquanto que a dos semicondutores
aumenta. A distinção entre semicondutores e isoladores assenta
no valor de EG , embora não haja um valor limite bem definido,
sendo tipicamente EGlimite ≈ 2 eV. Para o silı́cio EG ≈ 1.12 eV
e para o germânio EG ≈ 0.67 eV, a 302 K.[4]
O baixo valor de EG para os semicondutores permite a promoção de alguns dos electrões da banda de valência para a de
condução, por aumento suficiente da temperatura; este efeito
prevalece sobre a diminuição do livre percurso médio.
Quando um electrão é promovido à banda de condução, fica
um estado não ocupado na banda de valência(ligação covalente
quebrada), um buraco. Como os sentidos de deslocamento de
~ são opostos, segue
electrões e buracos sob a acção do campo E
~
que ambos contribuem para J. Portanto, num semicondutor
σ = ρe µe + ρb µb
(4)
sendo ρe e ρb as densidades de carga de electrões/lacunas móveis e µe , µb as mobilidades respectivas.
Num semicondutor intrı́nseco, o número de buracos é igual
ao de electrões, enquanto que num extrı́nseco este balanço é
alterado. Tal pode conseguir-se com a introdução de impurezas
dopantes, existindo dois tipos de semicondutores extrı́nsecos:
A aplicação da diferença de potencial contraria a barreira de
potencial devida ao campo eléctrico gerado pela diferença de
concentração, o que permite a difusão de electrões/buracos.
Para conhecer a intensidade de corrente que flui, em equilibrio,
na junção como resposta à diferença de potencial ∆V , necessitamos de conhecer o perfil de electrões e de buracos ao longo da
junção.
Estudaremos dois modelos que descrevem a relação (I, V ) aos
terminais do dı́odo:
qvD
I(VD ) = Is e kB T η − 1
(5)
qvD
qvD
I(VD ) = Is e kB T − 1 + Ir e 2kB T − 1
(6)
onde q é a carga do electrão, kB a constante de Boltzmann e η
um parâmetro caracterı́stico do dı́odo(factor de idealidade). Os
parâmetros Is e Ir dependem da temperatura como
Is ∝ T 3 e
EG
BT
−k
Ir ∝ T −5/2 e
E
− 2k GT
B
(7)
(8)
sendo α e β as constantes de proporcionalidade, respectivamente
Estes modelos consideram um diodo ideal, sem resistência interna na parte neutra dos semicondutores(V1 = V2 = V3 = V4 =
0). Para descrever o funcionamento de um dı́odo real, devemos
considerar um termo adicional para a tensão aos terminais do
dı́odo, reescrevendo-se cada um dos modelos como
V (I) = RI + VD ≈ RI + bln(I) + c
(9)
s

2
Ir
I
Ir
Ir 
V (I) = RI + VD = RI + 2aln 
+
+
+1−
(10)
2Is
Is
Is
2Is
sendo a =
kB T
q
2.
, b = ηa e c = −bln(Is ).
DESCRIÇÃO EXPERIMENTAL
A montagem experimental esquematiza-se na figura 1
Figura 1: Esquema experimental.
e consiste essencialmente num circuito de controlo da corrente
que passa pelo dı́odo(dı́odo comercial de silı́cio, modelo 1n5332)
e num circuito de controlo da temperatura, controlada por uma
fonte auxiliar Vaux ligada em série com uma resistência de aquecimento Ra em contacto térmico com o dı́odo.
Para 6 valores de temperatura na junção, mantida num valor
aproximadamente constante por manipulação ligeira de Vaux ,
registámos os pares de valores (I, V ) aos terminais do dı́odo,
variando I por controlo tanto de R como de E1 , nos seguintes
intervalos aproximados de variação:
R aproximado
100 kΩ
20 kΩ
1 kΩ
200Ω
Intervalo de Corrente I
10 µA-100 µA
100 µA-1000 µA
1 mA-20 mA
20 mA-100 mA
(a)Modelo 1
Passo de I
20µA
200µA
4mA
20mA
(b)Modelo 2
Figura 3: Ajuste a ambos os modelos para Tmdia = 296.4 K .
Tabela I: Dados relativos à descarga do condensador.
Note-se que nalguns casos se efectuou um número superior de
medições e que as medições até 1mA(inclusivé) foram efectuadas numa escala do amperı́metro que permitia ler valores até
0.1 µA, enquanto que as medições com I superior a 1mA foram
realizadas numa escala de mA, sendo que esta apenas permitiu visualizar a casa decimal de 1mA, o que impõe um elevado
desvio à precisão.
(a)Modelo 1
3.
RESULTADOS EXPERIMENTAIS
(b)Modelo 2
Figura 4: Ajuste a ambos os modelos para Tmdia = 318.3 K .
Os dados experimentais, presentes numericamente em [5],
resumem-se aqui graficamente, na fig. 2.
(a)Modelo 1
(b)Modelo 2
Figura 5: Ajuste a ambos os modelos para Tmdia = 334.3 K .
Figura 2: Pontos Experimentais (I, V ) para cada temperatura.
(a)Modelo 1
As temperaturas apresentadas foram calculadas por uma média ponderada na soma dos desvios à precisão em I e em V para
cada sequência de pontos, sendo que a variação de temperatura
para cada sequência de pontos nunca é superior a 1.8 K nas três
primeiras(de menor temperatura média) sequências de dados,
nem a 0.6 K nas três últimas(regulação mais activa do grupo na
manutenção da temperatura).
A escala do eixo das ordenadas é logarı́tmica para não condensar em demasia os pontos para baixas correntes.
4.
(b)Modelo 2
Figura 6: Ajuste a ambos os modelos para Tmdia = 348.6 K .
ANÁLISE DE RESULTADOS
Começámos por proceder ao ajuste dos pares (I, V ), para cada
temperatura média, aos modelos dados pelas equações 9 e 10.
Para o primeiro modelo, todos os parâmetros foram mantidos
livres, pois isto não afecta a estabilidade do ajuste dado que os
parâmetros de ajuste são apenas coeficientes em I, ln(I) e 1.
Relativamente ao segundo modelo, verificámos ser pouco estável o ajuste com quatro parâmetros livres, pelo que optámos
por fixar a = kBq T recorrendo aos valores de temperatura média
calculados para cada sequência de pontos.
Estes ajustes apresentam-se nas figuras 3 a 8.
(a)Modelo 1
(b)Modelo 2
Figura 7: Ajuste a ambos os modelos para Tmdia = 366.3 K .
2
Destes ajustes, podemos observar que o segundo modelo parece exibir a propriedade de que para baixas temperaturas se
adequa melhor a valores de corrente mais elevados, enquanto
que para temperaturas elevadas se apropria melhor a correntes
mais baixas.
O primeiro modelo exibe um comportamento de ajuste aos
dados bastante uniforme para as várias temperaturas.
Deste conjunto de ajustes, retirámos os parâmetros R, b e c
para o modelo 1 e R, Is e Ir para o modelo 2, para cada tempe-
aos pontos (T, b) obtidos pelo modelo 1, que se encontra representado na figura 10.
(a)Modelo 1
(b)Modelo 2
Figura 8: Ajuste a ambos os modelos para Tmdia = 382.2 K .
Figura 10: Ajuste linear de b(T ) = η
ratura média. Estes e respectivos erros de ajuste, apresentam-se
nas tabelas II e III.
kB T
q
aos pontos (T, b) .
Tabela III: Resultados obtidos dos ajustes ao modelo 2.
Observamos que o modelo não se ajusta aos pontos experimentais, pelo que a sua validade é discutı́vel. Deste ajuste conseguimos b(T ) = (1.31±0.01)×10−4 ·T , o que implica η = 1.52±0.02.
Este valor está dentro do intervalo esperado para o factor ([1, 2])
mas, devido à falta de qualidade do ajuste, dele não extraı́mos
significado.
Tal falta de qualidade poderá estar relacionada com a falha
óbvia de uma das condições simplificativas usadas na dedução
do modelo de Shockley para a junção PN, nomeadamente a
existência de equı́librio termodinâmico na junção PN percorrida
por uma corrente I. De facto, no decorrer da experiência,
apesar do tempo de espera relativamente longo( cerca de
20 min ) que o grupo esperou para que se estabelecesse o
equı́librio de temperaturas, observavam-se claramente oscilações
de temperatura para cada conjunto de medições.
De forma a verificar a tendência de variação da resistência R
da parte neutra dos semicondutores com a temperatura, representámos graficamente os resultados da figura 9.
Finalmente, terminamos a análise do modelo 1 com o estudo
da dependência c(T), nomeadamente
realizamos o ajuste da
T( K )
296.4 ± 1.0
318.3 ± 1.1
334.3 ± 0.9
348.6 ± 0.4
366.3 ± 0.6
382.2 ± 0.2
R( Ω )
0.38 ± 0.01
0.41 ± 0.01
0.41 ± 0.01
0.59 ± 0.01
0.66 ± 0.01
0.74 ± 0.01
b( V )
(4.54 ± 0.01) × 10−2
(4.60 ± 0.01) × 10−2
(4.60 ± 0.01) × 10−2
(4.44 ± 0.01) × 10−2
(4.34 ± 0.02) × 10−2
(4.28 ± 0.01) × 10−2
c( V )
(6.94 ± 0.01) × 10−1
(6.47 ± 0.01) × 10−1
(6.12 ± 0.01) × 10−1
(5.66 ± 0.01) × 10−1
(5.22 ± 0.01) × 10−1
(4.89 ± 0.01) × 10−1
Tabela II: Resultados obtidos dos ajustes ao modelo 1.
T( K )
296.4
318.3
334.3
348.6
366.3
382.2
R( Ω )
0.36 ± 0.03
0.69 ± 0.02
0.75 ± 0.02
1.09 ± 0.01
0.98 ± 0.01
0.84 ± 0.02
(a)Modelo 1
Is ( A )
(5.3 ± 0.9) × 10−12
(5.5 ± 0.3) × 10−10
(5.8 ± 0.3) × 10−9
(7.2 ± 0.2) × 10−8
(3.4 ± 0.1) × 10−7
(8.4 ± 0.2) × 10−7
Ir ( A )
(5.10 ± 0.03) × 10−7
(1.79 ± 0.01) × 10−6
(4.07 ± 0.04) × 10−6
(7.05 ± 0.09) × 10−6
(1.59 ± 0.02) × 10−5
(3.56 ± 0.02) × 10−5
equação c(T ) = −η kBq T ln(αT 3 exp(− kEBGT )) aos pontos (T, c)
obtidos. Este representa-se na figura 11.
(b)Modelo 2
Figura 9: Valores de R(T ) para ambos os modelos.
Analisando a variação da resistência da parte neutra da junção para o modelo 1, verificamos que a figura sugere um ligeiro
aumento deste parâmetro com a temperatura, tal como esperado. Paralelamente, a ordem de grandeza destas resistências é
três vezes inferior à da menor resistência de carga usada no circuito, o que não contraria a validade dos resultados. Por outro
lado, o baixo valor encontrado também pode influenciar negativamente a significância dos resultados; de facto, o isolamento
térmico entre o dı́odo e a parte restante do circuito é um pouco
deficiente, o que introduz nos cálculos o efeito de variação com
a temperatura da resistividade dos fios condutores.
Relativamente ao modelo 2, também a resistência aumenta
com a temperatura, mas somente até um pico de R = 1.09 ±
0.01 Ω para uma temperatura média de T = 348.6 K. Verificamos que os valores de resistência da parte neutra se mantêm
mais pequenos que as resistências de carga, sendo no entanto
mais elevados que os obtidos pelo modelo 1, como esperado pois
o segundo modelo introduz um termo adicional no valor da corrente I e, portanto, para uma dada corrente que percorre o dı́odo
I o segundo modelo prevê uma diferença de potencial VD menor,
logo uma resistência R superior ao primeiro modelo.
Para obter uma primeira estimativa do factor de idealidade
do
dı́odo, realizámos um ajuste linear da equação b(T ) = η kBq T
Figura 11: Ajuste linear de c(T ) = −η
kB T
q
ln(αT 3 exp(− kEBGT )) aos
pontos (T, c) associados ao modelo 1.
Devemos notar que se revelou necessário fixar um dos
parâmetros de forma a reduzir o número de graus de liberdade
do ajuste pois os pontos (T, c) são em número insuficiente
para permitir um ajuste fiável com 3 parâmetros livres
α, η e EG . Assim, como nos interessa obter η e EG , fixámos
α num valor tı́pico para uma junção de silı́cio α ≈ 179 A.K −3 [6].
3
O ajuste revelou-se bastante satisfatório, tendo-se conseguido
η = 1.10 ± 0.01 com um desvio à precisão de 0.9% para o factor
de idealidade e um valor EG = (1.92 ± 0.04) × 10−19 J = 1.20 ±
0.02 eV para a energia de gap , com um desvio à precisão de
2.1% e um desvio de 7.1% à exactidão.
Verificamos, então, que o valor de η, mais fiável agora dada
a qualidade do ajuste, reside no interior do intervalo antecipado
[1,2] mas que agora se aproxima mais do valor tı́pico η ≈ 1 para
um dı́odo de silı́cio.
Já o valor obtido para EG é razoável, tendo a mesma ordem
de grandeza que o valor teórico, o que parece atribui alguma
credibilidade ao primeiro modelo teórico. Porém, o desvio à
exactidão mais de três vezes superior ao desvio à precisão parece
indicar tambem que algumas das simplificações introduzidas
pelo modelo 1 não devem ter-se verificado experimentalmente.
5. ANÁLISE SUMÁRIA E CONCLUSÕES
A mais facilmente identificável no laboratório foi a não exisA análise de resultados atrás realizada permitiu obter um valor
tência da equı́librio termodinâmico para cada conjunto de de EG = 1.20±0.01 eV e η = 1.10±0.01 para o modelo teórico 1
medidas, que tem implicação directa nas expressões usadas para e EG = 0.79±0.01 eV obtido a partir de Ir e EG = 1.19±0.01 eV
a densidade de portadores de carga.
obtido a partir de Is para o modelo teórico 2.
Existem erros experimentais associados às medições da intenAnalisamos, agora, os parâmetros obtidos com o modelo 2.
sidade de corrente, tensão e temperatura, que se apresentam nos
Realizámos o ajuste na figura 12 da equação teórica 7 para
registos efectuados em laboratório.
variação dea corrente de saturação Is com a temperatura.
Os erros introduzidos pelos multı́metros ligados aos circuito
apresentam-se desprezáveis, uma vez que apenas estamos interessados na relação (i, v) aos terminais do dı́odo(o efeito de
inserir em série o amperı́metro não interfere nas medidas) e a
resistência interna do multı́metro é da ordem de 1 M Ω(o que
apenas para Vaux = 0 V e Vaux ≈ 9 V introduz um factor de
erro da ordem de grandeza do erro da leitura).
Porém, existe uma influência muito grande nos dados dos erros
de leitura nos multı́metros, nomeadamente na leitura da intensidade de corrente. De facto, para valores de corrente superiores
a 5 mA o multı́metro não permitia a leitura de valores com uma
precisão melhor que 1mA, o que introduziu bastante incerteza
nos dados. Esta incerteza afectou crucialmente todos os ajustes
Figura 12: Ajuste linear da equação 7 aos pontos (T, Is ).
realizados pois estes foram realizados tendo a corrente I como
Do anterior gráfico de ajuste, obtivémos o valor para a cons- abcissa e, portanto, não se considerou esta perda de relevântante de proporcionalidade α = 103 ± 16 A.K −3 e para o gap de cia na leitura das correntes. Este efeito propaga-se amplificado
energia EG = (1.90 ± 0.01) × 10−19 J = 1.19 ± 0.01 eV , com um para os ajustes realizados aos parâmetros do primeiro ajuste.
desvio à precisão de 0.5% e à exactidão de 6.0%.
Impunha-se a utilização de um método numérico que consideVerificamos que houve uma ligeira melhoria no valor de EG rasse esta perda de relevância.
em relação ao teórico. Porém, esta foi pequena e o ajuste não
Os desvios observados aos resultados teóricos devem-se em
permite concluir a boa adequação da variação teórica de Is aos
parte à variação da temperatura da junção ao longo de cada
dados experimentais, pois este revelou-se particularmente sensı́conjunto de medições, tendo-se de aguardar um longo hiato de
vel a pequenas variações nos erros tomados para os valores de Is
tempo para estabelecimento de um regime o mais estacionário
obtidos para as várias temperaturas.
possı́vel. Porém, as condições no laboratório, nomeadamente o
Por fim, analisámos ainda a variação de Ir com a temperatura,
estabelecimento da experiência à entrada do mesmo estando a
obtido a partir dos ajustes ao modelo teórico 2. Isto foi feito
junção muito susceptı́vel a correntes de ar e o tempo limitado
realizando um ajuste da equação teórica 8 aos pontos (T, Ir )
para realizar as medições, fazem com que a hipótese teórica de
obtidos com os ajustes ao modelo teórico 2. Este apresenta-se
equı́librio termodinâmico não seja plenamente satisfeita.
na figura 13.
Relativamente aos modelos teóricos usados, verificamos que
ambos se ajustam razoavelmente aos pontos obtidos, notandose que a adequação do modelo 1 aos dados é mais uniforme em
toda a gama de intensidades de corrente e de temperaturas. Por
outro lado, verifica-se que
Por outro lado, verifica-se que os ajustes das relações entre
os parâmetros de ajuste ao modelo 2 e a temperatura são mais
adequados aos dados experimentais que aqueles obtidos com o
modelo 1; nomeadamente, a descrição do parâmetro b com uma
relação de proporcionalidade em relação à temperatura é claramente inadequada.
Obviamente que não se esperava um ajuste perfeito dos modelos teóricos pois estes são apenas isso, uma abstração simpliFigura 13: Ajuste linear da equação 8 aos pontos (T, Ir ).
ficada da realidade. Porém, para obter uma estimativa mais riDeste obtivémos para a constante de proporcionalidade β =
gorosa dos resultados, em particular do gap de energia, e devido
(1.79 ± 0.09) × 10−6 A.K −5/2 e para o gap de energia EG =
ao método usado de ajustar curvas a parâmetros de ajuste, seria
(1.27±0.01)×10−19 J = 0.79±0.01 eV , com um desvio à precisão
crucial melhorar o isolamento térmico da junção, a implemende 1.3% e à exactidão de 29%.
tação de um sistema de medição menos sensı́vel a perturbações
Este último valor para o gap de energia é bastante inferior ao na bancada de trabalho e a implementação da experiência num
esperado.
local mais abrigado.
[1] J. L. Figueirinhas, Aula de apresentação sobre a Junção PN.
[2] J.L.Figueirinhas, http://www.ciul.ul.pt/~figuei/jpn.pdf
[3] http://en.wikipedia.org/wiki/Drude_model, Drude Model @
Wikipedia
[4] B. Streetman, S. Banerjee, Solid State electronic Device,s (5th
ed.)( Prentice Hall, New Jersey), p. 524.
[5] https://spreadsheets0.google.com/spreadsheet/
ccc?authkey=CN3cpPoL&hl=pt_PT&key=tb2vUsKI_
ACySPaPZhoGnTA&hl=pt_PT&authkey=CN3cpPoL#gid=0,
Dados
Experimentais
[6] Z. Lin, X. Huang, W. B. Berry, Temperature dependence on the
energy gap selection in two cell, four terminal tandem solar cell
design, Specialists Conference (1991), p. 324.
[7] http://en.wikipedia.org/wiki/Diode#Shockley_diode_
equation, Shockley diode equation @ Wikipedia
4