Tópicos Matriciais – Pedro Henrique O. Pantoja – Natal / RN 1. Traço de Matrizes. Definição 1.1: O traço de uma matriz quadrada A a de ordem n é a soma dos elementos da diagonal principal. Em símbolos, TrA a a a a . Daqui em diante, A denotará uma matriz quadrada de ordem n, cujos elementos são números reais. Esperamos que o leitor esteja familiarizado com as definições e operações mais elementares sobre matrizes. Exemplo 1.1: Considere a matriz n x n cos x 0 0 cos 2x A 0 0 ! 0 0 Assim, TrA cos x cos 2x cos nx 0 0 0 $ # # # cos nx" %&/( % (/ ) , para x * 2kπ, k . /. Da definição 1.1 decorre o seguinte resultado: Proposição 1.1: Sejam A e B , então a) TrI n b) TrA λ · B TrA λ · TrB , λ . c) TrA TrA4 d) TrAB TrBA. Prova: a) Claramente TrI 1 677787779 1 1 n. :;<;% Sejam A =a > e B =b > para todo 1 A i, j A n , então como λB multiplica b) todos os elementos b da matriz B, teremos λ · TrB ∑ λb , assim TrA λ · TrB ∑a λb TrA λ · B. c) Quando fazemos a operação transposta de uma matriz A os elementos da diagonal principal são os mesmos da matriz A, portanto TrA TrA4 . Projeto Rumo ao ITA www.rumoaoita.com Versão 1.0 Tópicos Matriciais – Pedro Henrique O. Pantoja – Natal / RN d) Logo, Sabemos que o i, j ) ésimo elemento da matriz AB é FABG, aH bH H TrAB a b b a TrBA. I Corolário 1.1: Sejam A , B e C matrizes simétricas, então TrABC TrBAC TrCAB. Prova: É imediato, pela proposição 1.1, temos TrABC TrABC TrCAB TrFCAB4 G TrB4 A4 C4 TrBAC, pois A, B e C são simétricas. I Corolário 1.2: O traço de uma matriz anti-simétrica é zero. Prova: Se A é uma matriz anti-simétrica, então A )A4 K TrA Tr)A4 K TrA )TrA4 K TrA )TrA L TrA 0. I Exercício Resolvido 1.1: (IME-80) Mostre que não existem matrizes quadradas A e B, que verifiquem AB ) BA I , onde I é a matriz identidade de uma ordem n qualquer. Solução: Pela proposição 1.1 , TrAB ) BA TrAB ) TrBA 0, por outro TrI n , assim n 0 absurdo! Portanto tais matrizes A e B não existem. Projeto Rumo ao ITA www.rumoaoita.com Versão 1.0 lado, Tópicos Matriciais – Pedro Henrique O. Pantoja – Natal / RN LEMA 1.1: (CAUCHY-SCHWARZ) Sejam a , a , … , a e b , b , … , b números reais positivos. A seguinte desigualdade é verdadeira: N aO bO P A O N aO P N bO P. O O Corolário 1.3: Sejam A & e B & matrizes diagonais. Então FTrABG A TrA · TrB . a 0 Sejam A Q Prova: 0 a 0 0 Assim é fácil ver que 0 0 ! a R e BQ FTrABG N a b P A b 0 0 b 0 0 0 0 ! b N a P N b P R TrA · TrB . I EXERCÍCIOS 1) (ITA) Sejam A e B matrizes reais 3 x 3. Se TrA denota a soma dos elementos da diagonal principal de A. Considere as afirmações: (I) TrA TrA4 . (II) Se A é inversível, então TrA * 0. (III) TrA λ · B TrA λ · TrB , para todo λ . . Temos que a) b) c) d) e) Todas as afirmações são verdadeiras; Todas as afirmações são falsas; Apenas a afirmação (I) é verdadeira; Apenas a afirmação (II) é falsa; Apenas a afirmação (III) é falsa. Projeto Rumo ao ITA www.rumoaoita.com Versão 1.0 Tópicos Matriciais – Pedro Henrique O. Pantoja – Natal / RN 2) (IME-09) Demonstre que a matriz y z xy V xy x z xz yz xz yz Y x y Onde x, y, z . Z, pode ser escrita como o quadrado de uma matriz simétrica, com traço igual a zero, cujos elementos pertencem ao conjunto dos números naturais. Obs.: Traço de uma matriz é a soma dos elementos de sua diagonal principal. 1 1 Seja A [ \. Calcule TrA A AH onde K . Z. 0 2 (ITA-08) Seja A . M( uma matriz simétrica e não nula, cujos elementos 4) são tais que a , a e a formam, nesta ordem, uma progressão geométrica de razão q * 1 e TrA 5a . Sabendo-se que o sistema AX X admite solução não-nula X . M( , pode-se afirmar que a q é igual a 3) a) b c b) c c) 5 d) de e e) c d 2. Matrizes Ortogonais. Definição 2.2: Dizemos que uma matriz quadrada A é ortogonal se A é inversível e A4 Af . Proposição 2.1: a) O produto de duas matrizes ortogonais é uma matriz ortogonal. b) O determinante de uma matriz ortogonal é 1 ou ) 1. Prova: a) Suponhamos que A e B sejam matrizes ortogonais, então A4 Af e B4 Bf , agora sabemos que se A e B são inversíveis AB também o é, ABf B f Af B4 A4 AB4 . b) Se A4 Af K DetA4 DetAf K DetA FDetAGf K FDetAG 1 L DetA 1 ou DetA )1. I Projeto Rumo ao ITA www.rumoaoita.com Versão 1.0 Tópicos Matriciais – Pedro Henrique O. Pantoja – Natal / RN cos θ ) sin θ Exemplo 2.1: A matriz A [ \ é ortogonal, de fato, A4 A sin θ cos θ cos θ sin θ cos θ ) sin θ [ \·[ \ ) sin θ cos θ sin θ cos θ cos θ sin θ ) sin θ cos θ sin θ cosθ k [1 0\ j 0 1 ) cos θ sin θ cos θ sin θ sin θ cos θ Da mesma forma, Portanto, A4 Af . 1 AA4 [ 0 0 \ verimique! 1 A matriz A é conhecida como matriz de rotação do plano. Exercício resolvido 2.1: (ITA-91) Sejam M e B matrizes quadradas de ordem n tais que M ) M f B. Sabendo que M o M f , podemos afirmar que: a) b) c) d) e) B é a matriz nula. B )2I B é simétrica B é anti-simétrica N.d.a. Notações: M o e M f denotam, respectivamente, a matriz transposta de M e a matriz inversa de M. Por I denotamos a matriz identidade de ordem n. Solução: Como M o M f( M é ortogonal) temos que M ) M 4 B K B4 M ) M 4 4 M 4 ) M )M ) M 4 )B K B )B 4 , isto é, B é antisimétrica. Resposta: alternativa D. Dizemos que uma matriz A é idempotente se A A. Exercício resolvido 2.2: Mostre que para qualquer matriz simétrica e idempotente A, a matriz I ) 2A é ortogonal. Projeto Rumo ao ITA www.rumoaoita.com Versão 1.0 Tópicos Matriciais – Pedro Henrique O. Pantoja – Natal / RN Solução: Como A é simétrica e idempotente p pq e p p. Note que r ) 2p r ) 2pr ) 2p r ) 2p ) 2p 4p r ) 4p 4p r, tuí vwxr ) 2p * 0, portanto r ) 2p é inversível. Agora r ) 2pq r ) 2pq r ) 2p, logo r ) 2pr ) 2p r K r ) 2pq r ) 2p r ) 2pr ) 2pq r, assim r ) 2p é ortogonal. EXERCÍCIOS 1) 2) Mostre que a matriz abaixo é ortogonal cos z 0 ) sin z py 0 1 0 { sin z 0 cos z (ITA-04) Se A é uma matriz real, considere as definições: i) Uma matriz quadrada é ortogonal se e só se A for inversível e pf pq . ii) Uma matriz quadrada A é diagonal se e só se u|} 0, para todo ~, 1, … , , ~ * . Determine toda as matrizes quadradas de ordem 3 que são, simultaneamente, diagonais e ortogonais. 3) (ITA-08) Uma matriz real quadrada A é ortogonal se A é inversível e pf pq . Determine todas as matrizes 2 x 2 que são simétricas e ortogonais, expressando-as quando for o caso, em termos de seus elementos que estão fora da diagonal principal. 4) (IME-01) Uma matriz quadrada é denominada ortogonal quando sua transposta é igual a sua inversa. Considerando esta definição, determine se a matriz FG abaixo, é uma matriz ortogonal, sabendo-se que n é um número inteiro e z um ângulo qualquer. Justifique sua resposta. cos z FG y sin z 0 ) sin z cos z 0 Projeto Rumo ao ITA www.rumoaoita.com Versão 1.0 0 0{ 1 Tópicos Matriciais – Pedro Henrique O. Pantoja – Natal / RN GABARITO TRAÇO DE MATRIZES: 1) D 2) Demonstração 3) & ) 4) A MATRIZES ORTOGONAIS 1) 2) Demonstração y { com a, b, c . , ) ) , com ) A A 3) 4) Sim , ) √ ) , )√ ) )√ ) √ ) REFERÊNCIAS: [1] SALAHODDIN SHOKRANIAN, INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA LINEAR, EDITORA UNB, 2004. [2] ELON L. LIMA, ÁLGEBRA LINEAR, C. MATEMÁTICA UNIVERSITÁRIA, IMPA, 2009. Para dúvidas e sugestões, entre em contato pelo email: [email protected] Projeto Rumo ao ITA www.rumoaoita.com Versão 1.0