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UNIVERSIDADE DO VALE DO RIO DOS SINOS
Ciências Exatas e Tecnológicas
Álgebra Vetorial e Matricial
Matrizes
Ao recolhermos os dados referentes a altura, peso e idade de um grupo de quatro
pessoas, podemos dispô-los na tabela:
Pessoa 1
Pessoa 2
Pessoa 3
Pessoa 4
Altura ( m )
1,70
1,75
1,60
1,81
Peso ( kg )
70
60
52
72
Idade ( anos )
23
45
25
30
Se quisermos saber o peso da pessoa 3, iremos procurar o número que está na terceira
linha e segunda coluna da tabela.
Vamos agora considerar uma tabela de números dispostos em linhas e colunas, como
no exemplo acima, mas colocados entre parênteses, colchetes ou duas barras:
linha
1,70

1,75
1,60

 1,81

70 23 
1,70

1,75
60 45 

ou
1,60
52 25 



72 30 
1,81
1,70
70 23

1,75
60 45
ou
52 25
1,60

1,81
72 30
70 23
60 45
52 25
72 30
coluna
Em tabelas assim dispostas, os números são os elementos. As linhas são enumeradas de
cima para baixo e as colunas da esquerda para a direita.
1ª linha
2ª linha
3ª linha
4ª linha
1,70
1,75

1,60

1,81
70
60
52
72
23
45
25

30
1ª coluna 2ª coluna 3ª coluna
Tabelas com m linhas e n colunas (m e n números naturais diferentes de 0) são
denominadas matrizes mxn. Na tabela anterior temos, portanto, uma matriz 4x3.
Material elaborado pela professora Zeliane Arruda
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Notação Geral
Costuma-se representar as matrizes por letras maiúsculas e seus elementos por letras
minúsculas, acompanhadas por dois índices que indicam, respectivamente a linha e a
coluna que o elemento ocupa.
Assim, uma matriz A do tipo mxn é representada por:
 a11
a
 21
A =  a31

 M
a m1
[ ]
ou abreviadamente, A = aij
mxn
a12
a 22
a32
a13
a 23
a33
M
M
am2
a m3
L a1n 
K a 2 n 
K a 3n 

K M 
K a mn 
, em que i e j representam respectivamente, a linha e a
coluna que o elemento ocupa. Por exemplo, na matriz anterior, a23 é o elemento da 2ª linha
e 3ª coluna.
a11 = 2, a12 = −1, a13 = 5
2 − 1 5 



1
1

Na matriz A = 4
2  , temos: a 21 = 4, a 22 = , a 23 = 2
2

0 12 − 2


a 31 = 0, a32 = 1, a 33 = −2
Tipos de Matrizes
Algumas matrizes, por suas características, recebem denominações especiais.
•
•
•
Matriz Linha: matriz do tipo 1xn, ou seja, com uma única linha. Por exemplo, a matriz
A = [4 7 − 3 1] , do tipo 1x4
Matriz Coluna: matriz do tipo mx1, ou seja, com uma única coluna. Por exemplo,
1
B =  2  , do tipo 3x1
− 1
Matriz Quadrada: matriz do tipo nxn, ou seja, com mesmo número de linhas e colunas;
2 7
dizemos que a matriz é de ordem n. Por exemplo, a matriz C = 
 é do tipo 2x2,
4 1
isto é , quadrada de ordem 2.
Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundária. A
principal é formada pelos elementos aij tais que i = j. Na secundária, temos i +j = n + 1.
Material elaborado pela professora Zeliane Arruda
3
 a11
a
 21
A = a 31

 M
a n1
a12
a13
a 22
a 23
a32
a33
M
M
an2
an3
diagonal secundária
L a1n 
K a 2 n 
K a3n 

K M 
K a nn 
diagonal principal
Assim, para a matriz C do exemplo, os elementos a11 = 2 e a 22 = 1 (pois i = j), formam a
diagonal principal, e os elementos a12 = 2 e a 21 = 7 (pois i + j= n + 1), formam a diagonal
secundária.
• Matriz Nula: matriz em que todos os elementos são nulos; é representada por 0mxn . Por
0 0 0 
exemplo, 0 2 x3 = 
.
0 0 0 
• Matriz Diagonal: matriz quadrada de ordem n ≥ 2, em que aij = 0 para todo i ≠ j, ou
seja, todos os elementos que não pertencem à diagonal principal são nulos, sendo os
1 0 0 
2 0
elementos desta nulos ou não. Por exemplo: A 2 = 
e C 3 = 0 − 3 0 



0 1 
0 0 0
Obs: Toda matriz quadrada nula é matriz diagonal.
• Matriz Identidade ou Matriz Unidade: matriz quadrada de ordem n ≥ 2, em que todos
os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais são nulos; é representada
1 0 0
1 0
por In, sendo n a ordem da matriz. Por exemplo : I 2 = 
e I 3 = 0 1 0

0 1 
0 0 1
1, se i = j
,
a
=

ij
nxn
0, se i ≠ j
t
• Matriz Transposta: matriz A obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as
linhas por colunas ou as colunas por linhas. Por exemplo:
[ ]
Assim, para uma matriz identidade In = aij
2 − 1
3 0
2


t
Se A = 
 então A = 3 − 2
−
1
−
2
1


0 1 
Desse modo, se a matriz A é do tipo mxn , At é do tipo nxm.
Material elaborado pela professora Zeliane Arruda
4
Note que a 1ª linha de A corresponde à 1ª coluna de At e a 2ª linha de A corresponde a 2ª
coluna de At
• Matriz Simétrica: matriz quadrada de ordem n tal que A = At . Por exemplo,
3 5 6 
A = 5 2 4 é simétrica, pois a12 = a 21 = 5 , a13 = a31 = 6 , a 23 = a32 = 4 , ou seja,
6 4 8 
temos sempre aij = a ji .
•
Matriz Oposta: matriz –A obtida a partir de A trocando-se o sinal de todos os
3 0 
 − 3 0
elementos de A. Por exemplo, se A = 
, então − A = 

.
4 − 1
− 4 1
Igualdade de Matrizes
Duas matrizes, A e B, do mesmo tipo mxn, são iguais se, e somente se, todos os
elementos correspondentes, ou seja, todos os elementos que ocupam a mesma posição são
iguais:
A = B ⇔ aij = bij para todo 1 ≤ i ≤ m e todo 1 ≤ j ≤ n
 2 0
 2 c
Se A = 
, B=

 e A = B, então c = 0 e b = 3.
− 1 b
− 1 3
Operações envolvendo Matrizes
•
Adição
[ ]
Dadas as matrizes A = aij
[ ]
matriz C = cij
mxn
mxn
[ ]
e B = bij
mxn
, chamamos de soma dessas matrizes a
obtida pela soma de todos os elementos correspondentes de A e B , ou
seja,
A + B = C ⇔ aij + bij = cij , para todo 1≤ i ≤ m e todo 1≤j ≤ n
Por exemplo:
 0 1 3
1 − 1 2
 0 + 1 1 − 1 3 + 2 1 0 5
e B=
A=
⇒ A+B = 


 = 

 − 2 5 0
3 − 4 5
− 2 + 3 5 − 4 0 + 5 1 1 5
Material elaborado pela professora Zeliane Arruda
5
É sempre bom lembrar que só podemos somar duas matrizes do mesmo tipo e que a
matriz soma é do tipo das matrizes somadas.
• Subtração
[ ]
Dadas as matrizes A = aij
[ ]
e B = bij
mxn
mxn
, chamamos de diferença entre essas
matrizes, a soma de A com a matriz oposta de B:
A – B = A + (-B )
Por exemplo:
3 0 
1 2 
3 0  − 1 − 2 3 + (−1) 0 + (−2)
A=
e B=
=
⇒ A–B= 


+
2   4 + 0
− 7 + 2 
4 − 7 
0 − 2 
4 − 7  0
 2 − 2
A–B= 

4 − 5
• Multiplicação de um número real por uma matriz
Dados um número real x e uma matriz A do tipo mxn, o produto de x por A é uma
matriz do tipo mxn obtida pela multiplicação de cada elemento de A por x, ou seja, bij =
xaij:
B = xA
Por exemplo:
 2 7
 2 7  3.2 3.7   6 21
e x = 3 ⇒ xA = 3 
A=

=
=

− 1 0
− 1 0 3.(−1) 3.0 − 3 0 
• Multiplicação de Matrizes
[ ]
O produto das matrizes A = aij
mxp
[ ]
e B = bij
pxn
[ ]
é a matriz C = cij
mxn
em que cada
elemento cij é obtido por meio da soma dos produtos dos elementos correspondentes da iésima linha de A pelos elementos da j-ésima coluna de B.
 2 3
 1 2 3
Vamos multiplicar a matriz A =  0 1 e B = 
para entender como se
− 2 0 4

− 1 4
obtém cada cij :
Material elaborado pela professora Zeliane Arruda
6
B
 1 2 3
 − 2 0 4


A
 2 3
 0 1


− 1 4
− 4 4 18
− 2 0
4 

 − 9 − 2 13
A.B
− 4 4 18
Assim, A.B = − 2 0
4 
 − 9 − 2 13
Da definição, temos que a matriz produto A.B só existe se o número de colunas de A
for igual ao número de linhas de B:
Amxp . Bpxn = (A.B)mxn
=
A matriz produto terá o número de linhas de A (m) e o número de colunas de B (n)
Obs: *A propriedade comutativa, geralmente não vale para a multiplicação de matrizes.
*Não vale também o anulamento do produto, ou seja: sendo 0mxn uma matriz
nula, A.B = 0mxn não implica , necessariamente, que A= 0mxn ou B = 0mxn.
*A lei do cancelamento não tem validade, ou seja, pode ocorrer A.B = A.C
mesmo com A ≠ 0 e B ≠ C
Exercícios:
1. Escreva as matrizes:
a) A = (aij )2 x3 tal que aij = 2i + 3 j
i 2
se i = j
b) B = (bij )3 x 3 tal que bij = 
i + j se i ≠ j
y+3
2x 
2
z − 2 seja uma matriz diagonal
z3 − 8
3 
x − y  12
 a+b
3. Encontre os valores desconhecidos, sabendo que: 
=
2b − 3a 2 y − x   9
1
2. Calcule x, y e z para que A =  x 2
 0
Material elaborado pela professora Zeliane Arruda
3
2
7
4. Quantos elementos tem uma matriz 3x5?
5. Sendo C = (cij )3x 2 dada por cij = 2i − 3 j , determine –C e Ct
1
6. Dada a matriz A =  2
a
7.
a)
b)
8.
a)
4
 , calcule o valor de a para que A seja simétrica.
3 
 0 4 − 2
− 3 6 9
0 −1 0
 , B = 
 e C = 
 , calcule:
Dadas as matrizes A = 
6 2 8 
 12 − 6 0 
1 −1 2
A+B+C
c) 2A - B + 3C
e) (A + B )t - Ct
1
1

f) (2A)t – B +3Ct
A + B -C
d) A −  B + C 
2
3


Calcule se possível:
1 6
3
 2
 
3 5
 5 − 3  3 



 
b) [1 3 5] 0
c)
−2 1
d)  2  (0 - 3 2 )
−1 2
 − 1 4  2 
1
3
4 0
 
1 0 
3 − 2
 0 − 3
, B = 
 e C = 
 , determine:
9. Sendo A = 
 2 - 1
1 4 
− 2 5 
a) A.B.C
c) A.B + Ct
e) (A + B)2.C
2
t
b) (A + B).C
d) A – (B.C)
f) (At – Bt).C
10. Dadas as matrizes A = (aij )6 x 4 , tal que aij = i − j, B = (bij )4 x 5 , tal que bij = j − i e C =
AB, determine o elemento c42.
Respostas
 1 3 4
b)  3 4 5 
 4 5 9 
2. x = 0, y = -3 e z = 2
3. a = 3 , b = 9 , x = 8 e y 5
4. 15 elementos
5. –A = a ij onde a ij = −2i + 3 j
5 8 11
1.a) 

7 10 13 
( )
( )
At= a ij onde a ij = −3i + 2 j
6. a = ±2
7
− 3 9
7. a) 

 19 − 5 10 
 − 3 11 7
3 − 1 − 13 
 1 1 − 4
b) 
c) 
d) 



22 
 17 − 3 6
3 7
− 2 4 2 
Material elaborado pela professora Zeliane Arruda
8
 − 3 17 
e)  11 − 3


 7
6 
f) não é possível efetuar as operações pois as ordens são diferentes.
9 
8. a)   b) [17] c) não é possível efetuar a operação pois número de colunas da
5 
primeira matriz é diferente do número de linhas da segunda matriz.
0 − 9 6 
d) 0 − 6 4 


0 − 3 2 
 4 − 19 
9. a) 

16 − 55 
 − 28 − 100 
e) 
48 
 −6
 4 − 22
b) 
6 
− 6
3 − 4 
c) 

2 − 3 
2 
0
d) 

 − 3 − 11
1 
− 2
f) 

 10 − 31
10. c42 = 2
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Resolução de Equações Matriciais
1 2
 0 − 2
 e B = 
 , calcule a matriz X de modo que X +
Exemplo 1: Sabendo que A = 
3 4
5 8 
A = B.
Resolução:
1 4 
14 4 
 e B = 
 , determine a matriz X de modo que AX = B.
Exemplo 2: Sendo A = 
1 2 
 8 2
Resolução:
Material elaborado pela professora Zeliane Arruda
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Exercícios:
 0 6
0 2
1
 e B = 

1. Resolva a equação matricial 2X − B + A t = 0 , sendo A = 
3
 − 6 0
4 6
2. Sendo A = (aij)2x2, em que aij = 2i – j , e B = (bij)2x2, em que bij = j – i , determine X tal
que 3A + 2X = 3B.
3. Calcule
(3X )t − 2Y t
5
2 X − 3Y = (5 5 5)
sabendo que 
X + Y = (0 0 0 )
4. Resolva as seguintes equações matriciais:
0 1 0
5 


a) 2 3 0 X = 5
1 − 1 1
0
 1 0 2 1 0 2 
b) X 
=

− 3 2 4 0 2 10
1 2   x   2 
c) 
  =  
0 1   y  1 
4 5
5. Sabendo que A = 
 , determine uma matriz B de modo que AB = I2.
 3 4
2 X + Y = A + B
 0 3
 −1 2
 e B = 

6. Resolva o sistema 
, sabendo que A = 
 X − Y = A − 2B
1 6
 0 3
Respostas:
0 0 
1. 

3 3 
 − 3 / 2 3 / 2
2. 
− 3 
 −6
 4 − 5
5. 

− 3 4 
1
3. 1
1
 1/ 3 4 / 3
6. X= 

2 / 3 3 
− 5
 
4. a) 5
 
 10 
b)
 1 0
0 
3 1 c)  1


 
− 5 / 3 7 / 3
3 
 − 1/ 3
Y= 
Material elaborado pela professora Zeliane Arruda