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SALVADOR-BA
Formando pessoas para transformar o mundo.
Tarefa:
RESOLUÇÃO DA 1ª AVALIAÇÃO DE MATEMÁTICA
ALUNO(A): ______________________________________________
3ª série
do ensino
médio
Elaboração: Prof. Octamar Marques Resolução: Profa. Maria Antônia Gouveia
Turma: ___
Nº: ______
Unidade: III
QUESTÃO 01.
Numa sala estão reunidos 64 jovens.
Sabe-se que:
I)
O número de rapazes que falam Inglês é 10.
II)
O número de moças que não falam Inglês excede em 6, o número de rapazes que, também não
falam Inglês.
III)
O número de moças que falam Inglês é dois terços do número de rapazes que, também não
falam Inglês.
Qual a probabilidade de, escolhendo-se ao acaso um desses jovens ocorra uma moça
01) 52,46%
02) 48,04%
03) 56,25%
04) 58,20%
05) 45,20%
RESOLUÇÃO:
2x
2x
= 64 ⇒ 2x +
= 48 ⇒
3
3
8x = 144 ⇒ x = 18
Existem, então 36 moças.
36
= 0,5625 .
A probabilidade pedida ë
64
10 + x + x + 6 +
RESPOSTA: Alternativa 03.
QUESTÃO 02.
x3 + 8
14
A soma das raízes da equação 2
é igual a
= −
3
x −4
8
1
01) −
02) 3
03) 0
04)
3
2
05) 2
RESOLUÇÃO:
x3 + 8
14
(x + 2)(x 2 − 2x + 4)
14
=
−
⇐
= −
⇒ 3(x 2 − 2x + 4) = − 14(x − 2) ⇒ 3x 2 + 8x − 16 = 0
2
x −4
3
(x + 2)(x − 2)
3
8
⇒ S= −
3
RESPOSTA: Alternativa 01.
RESOLU_AVALIAÇÃO 01 3EM_U III.doc_01/03/07_ado
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QUESTÃO 03.
Na figura, AB representa um poste de altura 6m,
sustentado pelos cabos CB e BD de comprimentos iguais
a 10m. Sabendo que o ângulo CB̂D formado por esses
cabos é igual a 60o, calcule o cosseno do ângulo CÂD
01)
4
11
02)
7
32
04)
9
16
05)
4
9
03)
5
12
RESOLUÇÃO:
O triângulo BCD é eqüilátero. O segmento AB é
perpendicular ao plano determinado pelos pontos A,
C e D. Então: x2 = 100 – 36 ⇒ x = 8.
Aplicando a lei dos cossenos no triângulo ACD,
temos: 100 = 64 + 64 – 2 × 8 × 8 × cosα ⇒
7
128 cosα = 28 ⇒ cosα =
32
RESPOSTA: Alternativa 02.
QUESTÃO 04.
O pagamento de uma dívida deve ser feito em 30 prestações mensais sucessivas.
No primeiro mês o pagamento foi de R$ 52,00, no segundo mês R$ 60,00, no terceiro mês R$ 68,00 e
assim, sucessivamente.
Calcule a soma das 30 prestações.
01) R$ 4.200,00
04) R$ 5.040,00
02) R$ 4.840,00
05) R$ 5.160,00
03) R$ 4.960,00
RESOLUÇÃO:
A seqüência 52, 60, 68, 76,
P30 constitui uma P.A. com 1o termo 52 e razão 8. Assim P30
= 52 + (30 – 1)×8 = 52 + 232 = 284.
( 52 + 284) × 30 = 5040
Então a soma das 30 prestações é:
reais.
2
RESPOSTA: Alternativa 04.
RESOLU_AVALIAÇÃO 01 3EM_U III.doc_01/03/07_ado
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QUESTÃO 05.
Uma dívida deve ser paga em 10 prestações, sendo que cada prestação é igual a anterior acrescida de
20%.
A terceira prestação foi de R$ 144,00.
Calcule a soma das 10 prestações, considerando 1,2 9 = 5,16 .
01) R$ 1.890,00
04) R$ 2.426,00
02) R$ 1.964,00
05) R$ 2.596,00
03) R$ 2.026,00
RESOLUÇÃO:
P1 = x; P2 = 1,2x; P3 = 1,22x = 144;
; P10 = 1,29x.
Esta seqüência é uma P.G. de razão 1,2 e primeiro termo P1 = x.
144
= 100 .
De 1,22x = 144, temos que x =
1,44
(
)
a1 q n − 1
A soma dos termos de uma P.G. pode ser calculada pela fórmula: Sn =
.
q− 1
(
)
(
)
100 1,210 − 1 100 1,2 × 1,2 9 − 1
=
= 500(1,2 × 5,16 − 1) = 2596 reais.
Assim S10 =
1,2 − 1
0,2
RESPOSTA: Alternativa 05.
QUESTÃO 06.
A soma dos n primeiros termos de uma P.A. é igual a 6n − n 2 ; n ∈ N*.
Qual o valor do décimo termo dessa seqüência?
01) –13
02) –11
03) –9
04) –7
05) –5
RESOLUÇÃO:
Se a soma dos n primeiros termos de uma P.A. é igual a 6n − n 2 ; n ∈ N*, fazendo n = 1, nessa relação,
temos o valor de a1 = 6 – 1 = 5.
Para n = 2, temos: a1 + a2 = 12 – 4 = 8 ⇒ aa = 3.
A seqüência é, então: 5, 3, 1, ......... que é uma P.A. de razão – 2, logo
a10 = 5 + 9× (–2) = –13.
RESPOSTA: Alternativa 01.
RESOLU_AVALIAÇÃO 01 3EM_U III.doc_01/03/07_ado
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QUESTÃO 07.
Numa P.G. de termos positivos o quinto termo é igual a m e o nono igual a n..
Determine o valor do décimo primeiro termo.
01) m
n
m
02) n
n
m
03) n
m
n
m
n
04) m
05)
m
m
n
RESOLUÇÃO:
Numa P.G. temos a9 = a5 × q9 – 5 = a5 × q4 ⇒ n = m × q4 ⇒ q =
2
 n 
Assim a11 = a9 × q11 – 9 = a9 × q2 = n ×  4  = n
 m
4
n
.
m
n
m
RESPOSTA: Alternativa 03.
QUESTÃO 08.
Sendo f ( x ) =
01)
2
, determine p de modo que ( fο f )(p) = 1.
x+ 1
1
3
02) −
1
3
03) −
1
2
04) 1
05)
1
2
RESOLUÇÃO:
2
=1
2
 2 
+ 1= 2 ⇒
 = 1 ⇒ 2
( fο f )(p) = 1 ⇒ ( f ( f ( p)) = 1 ⇒ f 
⇒
+1
p+ 1
 p + 1
p+ 1
2
= 1 ⇒ p + 1 = 2 ⇒ p = 1.
p+ 1
RESPOSTA: Alternativa 04.
QUESTÃO 09.
 − x, se − 2 ≤ x ≤ 2
Considere a função f (x) = 
 x − 3 , se 2 < x ≤ 4
Qual o número de soluções da equação f (x) = x − 1 ?
01) 5
02) 4
RESOLU_AVALIAÇÃO 01 3EM_U III.doc_01/03/07_ado
03) 3
04) 2
4
05) 1
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RESOLUÇÃO:
Analiticamente temos:
 − x, se − 2 ≤ x ≤ 2  x − 1 = − x, se − 2 ≤ x ≤ 2
 2 x = 1, se − 2 ≤ x ≤ 2
x − 1= 
⇒ 
⇒ 
 x − 3 , se 2 < x ≤ 4  x − 1 = x − 3 , se 2 < x ≤ 4  x − 3 = ± ( x − 1) , se 2 < x ≤ 4
1

1
 x = , se − 2 ≤ x ≤ 2
⇒ x=
2
⇒
2
 x − 3 = − x + 1 ⇒ x = 2, se 2 < x ≤ 4
Graficamente temos
RESPOSTA:Nos dois tipos de resolução vemos que existe apenas uma única solução:
Alternativa 05.
QUESTÃO 10.
O comprimento de uma barra metálica é função do 1o grau de sua temperatura, medida em graus
centígrados.
Sabe-se que, quando T = 50o o comprimento da barra é  = 200cm e quando T1 = 110o,
 1 = 200,40cm.
Qual o comprimento dessa barra, em centímetros, quando a temperatura for igual a 180o.
01) 200,67
02) 200,77
RESOLU_AVALIAÇÃO 01 3EM_U III.doc_01/03/07_ado
03) 200,87
04) 200,95
5
05) 201,01
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RESOLUÇÃO:
(T) = aT + b.
  1 
 60a = 0,40
 50 150  + b = 200
 50a + b = 200



⇒ 
⇒
0,4
1 e 
Pelos dados do problema temos: 
a
=
=
110a
+
b
=
200,40
599


b=
60,0 150


3
1
599
1
599 6 599 3013
 (T) = 150 T + 3 ⇒ (T) = 150 × 180 + 3 = 5 + 3 = 15 = 200,87
RESPOSTA: Alternativa 03.
QUESTÃO 11.
O número de habitantes P de uma cidade a cada ano, é determinada pela função
P = a(1,5) bt .
Em 1980, quando t = 0, o número de habitantes era igual a 200.000. Em 1982 passou a ser 300.000.
Quantos mil habitantes essa cidade tinha em 1986?
01) 525
02) 550
03) 575
04) 600
05) 675
RESOLUÇÃO:
a(1,5) 0 = 200.000 ⇒ a = 200.000 ⇒ P = 200.000(1,5) bt .
(
Fazendo t = 2, 200.000(1,5) 2b = 300.000 ⇒ (1,5) b
(
)
)
2
= 1,5 ⇒ (1,5) b =
1,5
t
Assim P = 200.000 1,5 .
(
)
t
Na igualdade P = 200.000 1,5 substituindo t por 6 temos a população da cidade em 1986: P =
(
200.000 1,5
)
6
= \200.000 × (1,5) = 675.000
3
RESPOSTA: Alternativa 05
QUESTÃO 12.
Determine a área do triângulo ABC, onde C é o centro da circunferência
x2 + y2 – 10x – 10y + 24 = 0 e os pontos A e B são os pontos de interseção dessa circunferência com o
eixo dos x.
01) 5u.a
02) 4,5u.a
RESOLU_AVALIAÇÃO 01 3EM_U III.doc_01/03/07_ado
03) 5,5u.a
04) 6u.a
05) 6,5u.a
6
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RESOLUÇÃO:
x2 + y2 – 10x – 10y + 24 = 0 ⇒ (x2– 10x + 25)+ (y2 – 10y +25) + (24 – 25 – 25) = 0 ⇒
(x – 5)2 + (y – 5)2 = 26 que é a equação de uma circunferência de centro C=(5,5) e raio
26 .
Pela figura temos: 26 = 25 + x2 ⇒ x = 1 ⇒ AB = 2.
2× 5
= 5
Logo a área do triângulo ABC é
2
RESPOSTA: Alternativa 01.
QUESTÃO 13.
Determine a equação da reta r, mediatriz do segmento de extremidades A = (–2, 4) e
B = (8, 2).
01) x +y – 6 = 0
04) 3x + 2y – 4 = 0
02) 2x – y – 3 = 0
05) 5x – y – 12 = 0
03) 3x – 2y – 3 = 0
RESOLUÇÃO:
A reta r, mediatriz do segmento AB é perpendicular à reta suporte deste segmento e passa pelo seu ponto
médio M = ( 3,3).
4− 2
1
= − ⇒ que o coeficiente angular da reta r é igual a 5.
− 2− 8
5
Logo a equação de r é y = 5x + b. Como ela passa pelo ponto M = ( 3,3),
3 = 15 + b ⇒ b = – 12 ⇒ y = 5x – 12 ⇒ 5x – y – 12 = 0.
O coeficiente angular da reta AB é a =
RESPOSTA: Alternativa 05.
RESOLU_AVALIAÇÃO 01 3EM_U III.doc_01/03/07_ado
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QUESTÃO 14.
Seja α um plano perpendicular ao plano β.
É verdade que:
1) Toda reta de β é perpendicular a α.
2) Toda reta de β é paralela a α.
3) Se A ∈ α e B ∈ β, a reta AB é reversa à reta s = α ∩ β, de interseção de
α e β.
4) Se a reta t, não contida em α nem em β, é paralela à reta s = α ∩ β, então t // α e
t //β.
5) Se uma reta é perpendicular a α e outra é perpendicular a β, então essas são ortogonais.
RESOLUÇÃO:
1)
2)
FALSO.
Na figura vemos as retas s e u que pertencem a β e não são perpendiculares a α.
FALSO.
Na figura temos a reta r que pertence a β e não é paralela a α.
3)
4)
5)
FALSO.
Na figura A ∈ α e B ∈ β, mas a reta AB coincide com a reta s = α ∩ β, de interseção de α e β
.
VERDADEIRO.
Na figura vemos que a reta t, não contida em α nem em β, é paralela à reta
s = α ∩ β, então t // α e t //β.
FALSO.
Na figura a reta r é perpendicular a α e a reta v é perpendicular a β, e elas são perpendiculares
e não ortogonais.
RESOLU_AVALIAÇÃO 01 3EM_U III.doc_01/03/07_ado
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QUESTÃO 15.
Um obelisco é formado por um cubo encimado por uma pirâmide
quadrangular regular.
A aresta do cubo é igual ao triplo da altura da pirâmide.
Determine a área lateral da pirâmide, em metros quadrados,
sabendo que o volume é 240,00m3.
01) 12 13
02) 8 15
03) 4 19
04) 2 21
05) 8 7
RESOLUÇÃO:
Pelos dados do problema podemos considerar, AB = 3x, VO = x, OC =
3x
e VC = a.
2
1
2
× ( 3x ) × x = 240 ⇒
3
3
3
3
27x + 3x = 240 ⇒ x = 8 ⇒ x = 2 ⇒ AB = 6, VO = 2 e OC = 3.
No triângulo retângulo VOC, VC2 = VO2 + OC2 ⇒ a2 = 4 + 9 ⇒ a = 13
A área lateral da pirâmide é igual ao produto do semiperímetro da sua base pela medida do segmento VC
.
S = 2 × 6 × 13 = 12 13 .
Como o volume de o obelisco é 240,00m3, ( 3x ) +
3
RESPOSTA: Alternativa 01.
QUESTÃO 16.
A figura representa o gráfico do polinômio
p(x) do terceiro grau.
Calcule p(4)
01) –18
02) –20
03) –24
04) –28
05) –30
RESOLU_AVALIAÇÃO 01 3EM_U III.doc_01/03/07_ado
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RESOLUÇÃO:
Um polinômio p(x) pode ser escrito em função de suas raízes:
p(x) = a(x – x’)(x – x’’)(x – x”’)(x – x’’’’).........
No caso em questão o polinômio é do terceiro grau cujas raízes são – 2, –1 e 3, podemos escrever: p(x)
= a(x +1)(x +2)(x – 3).
O gráfico do polinômio passa no ponto (0,6) ⇒ p(0) = a(1)(2)(– 3) = 6 ⇒ a = –1.
Logo p(x) = – (x +1)(x +2)(x – 3) ⇒ p(4) = – 5 × 6 × 1 = –30.
RESPOSTA: Alternativa 05.
QUESTÃO DISCURSIVA
 1 0 1


Se B é a inversa da matriz A =  2 1 1  . Calcule o elemento b12 de B.
 1 1 2


RESOLUÇÃO:
 1 0 1


Se B é a inversa da matriz A =  2 1 1  , então B é uma matriz de ordem 3, tal que:
 1 1 2


 1 0 1
 1 0 0
 a b c






 2 1 1  × B =  0 1 0  . Considerando B =  d e f  , onde b = b12, temos:
 1 1 2
 0 0 1
g h i






 1 0 1  a b c  1 0 0

 
 

 2 1 1  ×  d e f  =  0 1 0  . Como o elemento b12 de B é um elemento da primeira linha e da
 1 1 2  g h i   0 0 1

 
 

segunda coluna, para a solução da questão basta multiplicar as linhas da
primeira matriz pela segunda coluna da segunda matriz e igualar os resultados aos elementos da segunda
coluna da matriz produto.
1

b= 2
b+ h = 0
b= −h

b+ e= 1
1



⇒ e=
 2b + e + h = 1 ⇒  2b + e − b = 1 ⇒ 
2
 b + e + 2h = 0  b + e − 2b = 0  − b + e = 0 


1

h = − 2

RESPOSTA: O elemento b12 =
RESOLU_AVALIAÇÃO 01 3EM_U III.doc_01/03/07_ado
1
.
2
10