UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE
INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA
DEPARTAMENTO DE GEOMETRIA
Disciplinas: GGM0127
GEOMETRIA ANALÍTICA E CÁLCULO VETORIAL
8a Lista de exercı́cios
1. Encontre o centro, os focos, vértices e a excentricidade das elipses dadas. Esboçar o gráfico:
a)
y2
x2
+
=1
100 36
b)
x2
y2
+
= 1 c) x2 + 25y 2 = 25 d) 9x2 + 5y 2 − 45 = 0
36 100
e) 4x2 + 9y 2 = 25 f ) 4x2 + y 2 = 1
g) 4x2 + 25y 2 = 1 h) 9x2 + 25y 2 − 25 = 0
2. Em cada um, determinar a equação da elipse que satisfaz as condições dadas.
a) Eixo maior mede 10 e focos (−4, 0) e (4, 0).
3
b) Centro (0, 0), um foco
, 0 e um vértice (1, 0).
4
√
c) Centro (0, 0), um foco (0, − 5) e o eixo não focal mede 4.
√
d) Centro (0, 0), eixo não focal mede 6, focos no eixo X e passa pelo ponto (−2 5, 2).
2
5
e) Centro (0, 0), focos no eixo X, excentricidade e passa pelo ponto 2, − .
3
3
f ) Vértices (0, −6) e (0, 6) e passando por (3, 2).
3
g) Centro (2, 4), um foco (5, 4) e excentricidade .
4
h) Eixo focal mede 10 e focos (2, −1) e (2, 5).
i) Centro (−3, 0), um foco (−1, 0) e tangente ao eixo Y .
j) Centro (−3, 4), semi-eixos de comprimento 4 e 3 e eixo focal paralelo ao eixo X.
k) Centro (−3, 4), semi-eixos de comprimento 4 e 3 e eixo focal paralelo ao eixo Y .
l) Vértices (−1, 2), (−7, 2) e a medida do eixo não focal é igual 2.
m) Centro (2, −1), tangente aos eixos coordenados e eixos de simetria paralelos aos eixos
coordenados.
2
n) Vértices (1, −4) e (1, 8), excentricidade .
3
3. Em cada um, determinar o centro, os vértices, os focos e a excentricidade das elipses dadas.
Esboçar gráfico.
a)
(x − 2)2 (y + 3)2
+
=1
16
9
b) 25x2 + 16y 2 + 50x + 64y − 311 = 0
c) 4x2 + 9y 2 − 24x + 18y + 9 = 0
d) 16x2 + y 2 + 64x − 4y + 52 = 0
e) 16x2 + 9y 2 − 96x + 72y + 144 = 0 f ) 4x2 + 9y 2 − 8x − 36y + 4 = 0
x2
y2
4. Seja P = (x1 , y1 ) um ponto da elipse 2 + 2 = 1. Prove que a reta cuja equação
a
b
x1
y1
é 2 x + 2 y = 1 tem apenas o ponto P em comum com a elipse. Por isso, ela é chamada
a
b
tangente à elipse no ponto P .
1
5. Quais são as tangentes à elipse x2 + 4y 2 = 32 que tem inclinação igual a
1
?
2
6. Os focos das elipses
x2
y2
x2 y 2
+
=1 e
+
= 1,
25
9
16 25
estão unidos entre se por umas retas, e no losango formado deste modo há uma
circunferência inscrita. Encontre a equação desta circunferência.
7. Mostre que a reta y = mx+c é tangente à elipse Ax2 +y 2 = 1 se e somente se as constantes
A, m e c satisfazem a condição A(c2 − 1) = m2 .
8. A equação de uma famı́lia de elipses é kx2 + 4y 2 + 6x − 8y − 5 = 0. Encontre as equações
1
de aqueles elementos da famı́lia que tem excentricidade igual a .
2
9. Dadas a elipse x2 + 3y 2 + 3x − 4y − 3 = 0, encontre os valores de k para os quais as retas
da famı́lia 5x + 2y + k = 0:
a) Cortam à elipse em dois pontos diferentes.
b) São tangentes à elipse.
c) Não cortam à elipse.
10. Encontre as duas retas tangentes à elipse 3x2 + 4y 2 = 16 que são perpendiculares à reta
2x − 3y = 5.
√
√
11. Os focos de uma elipse cujo eixo focal é paralelo ao eixo X, são (2−2 5, −1) e (2+2 5, −1),
e a reta tangente à elipse no vértice esquerdo é x + 4 = 0. A reta L que
√ passa pelo centro
24 5
da elipse corta ela em dois pontos, cujo comprimento entre eles é
. Encontre estos
5
pontos.
12. Encontre a equação de uma elipse cujos focos encontram-se na interseção das retas 2x−y =
3
1 e 3x − y = 14 com a reta x − y = 0, e sua excentricidade é . Encontre também o centro
5
e os vértices.
13. Tem-se uma elipse tangente ao eixo X com centro na reta 5x − 4y = 0, o eixo focal é a
reta x = 4 e passa pelo ponto (0, 5). Encontre a sua equação, excentricidade e a longitude
do lado reto.
14. Determine n de modo que a reta y = 2x + n seja tangente à elipse
x2 y 2
+
= 1.
4
9
15. Encontre as equações das quatro retas tangentes em comum a
x2 + y 2 = 1 e x2 + 16y 2 = 4.
16. As elipses n2 x2 + m2 y 2 = n2 m2 e m2 x2 + n2 y 2 = m2 n2 , com m 6= n, cortam-se em
quatro pontos que pertencem a uma circunferência com centro no origem de coordenadas.
Encontre o rádio da circunferência.
17. Encontre a área do quadrilátero que tem dois de seus vértices situados nos focos da elipse
2x2 + 4x + y 2 = 14, e os outros dois que coincidem com os extremos do eixo não focal.
18. Determine a longitude do lado do quadrado inscrito na elipse b2 x2 + a2 y 2 = a2 b2 .
2
4 2
− , − , o vértice correspondente ao outro foco
5 5
4
é A2 = (10, 14). Se a excentricidade é , determine a equação vetorial E, o centro, o foco
5
F2 e o vértice A1 .
19. A elipse E tem um foco em F1 =
1
20. Se a elipse E tem os vértices em A1 = (−2, −1) e A2 = (6, 7), e tem excentricidade ,
2
determine a equação vetorial de E, o centro e os focos F1 e F2 .
21. Encontre as equações das retas tangentes à elipse 9x2 +16y 2 = 144, traçadas desde o ponto
(4, 9).
22. Encontre as equações das retas tangentes à elipse 4x2 + 9y 2 = 36, traçadas desde o ponto
(5, 0).
Niterói, 10 de outubro de 2014
Vı́ctor Arturo Martı́nez León
3