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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENSINO DE CIÊNCIAS NATURAIS E
MATEMÁTICA
SUZANY CECÍLIA DA SILVA MEDEIROS
ELABORAÇÃO DE UMA SEQUÊNCIA DIDÁTICA SOBRE OS CONCEITOS
GEOMÉTRICOS PRELIMINARES AO ESTUDO DA TRIGONOMETRIA
NATAL – RN
2011
1
SUZANY CECÍLIA DA SILVA MEDEIROS
ELABORAÇÃO DE UMA SEQUÊNCIA DIDÁTICA SOBRE OS CONCEITOS
GEOMÉTRICOS PRELIMINARES AO ESTUDO DA TRIGONOMETRIA
Dissertação apresentada ao Programa de PósGraduação em Ensino de Ciências Naturais e
Matemática da Universidade Federal do Rio
Grande do Norte como exigência parcial para
a obtenção do título de Mestre em Ensino de
Matemática.
Orientadora: Profª Dra. Bernadete Barbosa
Morey.
NATAL – RN
2011
2
SUZANY CECÍLIA DA SILVA MEDEIROS
ELABORAÇÃO DE UMA SEQUÊNCIA DIDÁTICA SOBRE OS CONCEITOS
GEOMÉTRICOS PRELIMINARES AO ESTUDO DA TRIGONOMETRIA
Banca Examinadora
_______________________________________________________
Profª. Dra. Bernadete Barbosa Morey
Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Orientadora
_______________________________________________________
Profª. Dra. Lígia Arantes Sad
Universidade Federal do Espírito Santo
Examinador Externo
_______________________________________________________
Prof. Dr. John Andrew Fossa
Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Examinador Interno
3
À mainha,
a quem eu não sei chamar de outro forma, senão amor.
4
AGRADECIMENTOS
“Sempre tem gente pra chamar de nós, sejam milhares, centenas ou dois. Ficam no tempo os
torneios da voz: não foi só ontem, é hoje e depois.
São momentos lá dentro de nós, são outros ventos que vêm do pulmão, e ganham cores na
altura da voz. E os que viverem verão.”
À professora Bernadete Morey por sua orientação competente, incentivo, compreensão,
paciência e generosidade;
À Mainha e Painho porque não era obrigação, mas amor: pelo constante incentivo e
dedicação. Pelo zelo irretocável e infinita doação;
À voinha Salete, voinho Antão, titia Célia, titio Suel, tio Manoel, Artur e Beatriz, pelo apoio,
carinho e, especialmente por compreenderem as minhas ausências e pressas.
“Éramos célebres, líricos, éramos sãos. Lúcidos, céticos, Cínicos: não! Músicos práticos só
de canção. Nada didáticos, nem na intenção. Tímidos típicos, sem solução. Davam-nos
rótulos todos em vão. Éramos únicos na geração. Éramos nós dessa vez.
Sempre tem gente pra chamar de nós, sejam milhares, centenas ou dois.”
Aos meus fieis escudeiros, Maria Maroni Lopes e Severino Carlos Gomes, pela estimada
amizade, pela ajuda, pelos momentos ímpares, das dúvidas e angústias às gargalhadas e
almoços.
Às amigas Suzana da Silva Macedo, Ana Suzana Pereira de Medeiros e Tereza d’Ávila
Fernandes de Carvalho e suas respectivas famílias por me acolherem em suas casas, pelo
cuidado, por bagunçarem minha rotina de estudos e, principalmente pela amizade leal.
Aos amigos de Mestrado Fernando, Andréia, Albino, Franceliza, Elaine pelas ideias
compartilhadas e momentos inusitados de construção de conhecimento.
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À Iguaracy Medeiros e Daniel Carvalho pela solicitude e apoio.
Aos professores do programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências Naturais e
Matemática pelos momentos de aprendizado e contribuições para este trabalho.
Aos professores Vicente Garnica, Rosa Baroni, Sergio Nobre e Marcos Teixeira pela acolhida
durante estágio do PROCAD, além das contribuições durante as etapas (projeto e
qualificação) da elaboração dessa dissertação.
“Tínhamos dúvidas clássicas, muita aflição! Críticas lógicas, ácidas, não.
Pérolas ótimas, cartas na mão. Eram recados pra toda a nação, viu?
Éramos súditos da rebelião. Símbolos plácidos, cândidos.
Não! Ídolos mínimos. Múltipla ação.
Sempre tem gente pra chamar de nós, sejam milhares, centenas ou dois...”
Aos queridos amigos, conhecidos e reconhecidos na Residência de Pós-Graduação Thiago,
Rosenilson, Renata, Hugo, Leidiane, Fátima, Ana, Janaína, Iberê, Luis, Gabriel, Ivan, João
Mário, João Batista, Michele, Pedro e, mais recentemente, Lucília, Alane, Nestor pela
convivência, sentimentos compartilhados, cafés notívagos, gargalhadas e amizade peculiar.
“Fomos serenos num mundo veloz
Nunca entendemos então por que nós
Só mais ou menos”
Marcelo Jeneci
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RESUMO
Este trabalho tem caráter qualitativo, incluindo pesquisa bibliográfica e elaboração de
material didático. Seu objetivo é relatar o estudo das dificuldades de caráter geométrico
apresentadas na aplicação de trabalhos de trigonometria e relatar a elaboração de um caderno
de atividades que ajudem na superação dessas dificuldades. Para isso, fizemos a leitura de
alguns trabalhos sobre o ensino e aprendizagem de trigonometria com a finalidade de
identificar as dificuldades surgidas durante o seu percurso. Em seguida, separamos as
dificuldades de caráter geométrico e elaboramos uma lista dos conteúdos geométricos e
procedimentos associados a elas. Assim, pudemos organizar um caderno com atividades que
abordasse a maioria desses conceitos. Por fim apresentamos o caderno de atividades
denominado Atividades sobre os conceitos introdutórios ao estudo de trigonometria.
Palavras-chave: Geometria; Trigonometria; Ensino.
7
ABSTRACT
This study is qualitative, including literature search and preparation of teaching materials.
Your goal is to report the study of geometric problems of character presented in the
application of trigonometry and work on the preparation of detailed activities that help in
overcoming these difficulties. For this, we read some papers on teaching and learning of
trigonometry in order to identify the difficulties encountered during their journey. Then
separate the geometric difficulties of character and prepare a list of geometric content and
procedures associated with them. Thus, we can organize a notebook with activities that would
address most of these concepts. Finally we present the specification of activities called
Activity on introductory concepts to the study of trigonometry.
Keywords: Geometry, Trigonometry, Education.
8
LISTA DE FIGURAS
FIGURA 1
FIGURA 2
Indicação do arco e da corda de uma circunferência de raio
R e ângulo central α
Triângulo retângulo
FIGURA 3
Relações trigonométricas no círculo trigonométrico
FIGURA 4
FIGURA 5
Trabalhos analisados e características que definiram a
escolha
Relação entre corda e seno
FIGURA 6
Texto da Atividade 2: Semelhança de triângulos
27
FIGURA 7
Soluções possíveis para a atividade 2.1
28
FIGURA 8
Esquema de um rio com um ponto em cada lado
28
FIGURA 9
Possível construção para a solução da questão
28
FIGURA 10
Figura da atividade 2.4.
29
FIGURA 11
Tabelas da atividade 2.4.
30
FIGURA 12
Representação da construção para o cálculo da corda de 45°
32
FIGURA 13
Representação da construção para o cálculo da corda de 60°
33
FIGURA 14
Representação da construção para o cálculo da corda de 36°
34
FIGURA 15
Teorema de Ptolomeu para a questão 4.4
35
FIGURA 16
Ilustrações para medição da altura da árvore
38
FIGURA 17
Distâncias do segmentos do ponto A à reta r.
39
FIGURA 18
Distâncias dos ponto B à reta a e R à e s.
39
FIGURA 19
Triângulos diversos para exercício da altura.
40
FIGURA 20
Triângulo obtuso para exercício da altura.
40
FIGURA 21
Quebra-cabeça em forma de casinha com telhado.
41
FIGURA 22
Figura desenhada na malha n° 2
42
FIGURA 23
Tabela de relações trigonométricas.
44
FIGURA 24
Fragmento do texto O compasso e seu uso.
50
FIGURA 25
Construção da bissetriz
51
FIGURA 26
Orientações para a construção do pentágono regular inscrito
na circunferência
FIGURA 27
FIGURA 28
Questionamentos para a revisão
circunferência
Dica para a resolução da atividade 2
dos
elementos
13
14
14
da
20
24
52
53
53
9
FIGURA 29
Dicas úteis para usar o transferidor
54
FIGURA 30
Figura para a medição dos ângulos
54
FIGURA 31
Triângulo a ser reproduzido com papel de seda
56
FIGURA 32
Triângulos na malha quadriculada
57
10
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO
11
2
TRIGONOMETRIA E GEOMETRIA: CONCEITOS CONECTADOS
13
3
DIFICULDADES APONTADAS NAS FONTES PUBLICADAS
21
3.1
Dificuldades surgidas no ensino de trigonometria por meio da construção
da tabela de cordas
3.2
3.3
Dificuldades surgidas no ensino de trigonometria por meio da construção
da tabela trigonométrica
25
Dificuldades surgidas no ensino de trigonometria por meio da formação de
professores
3.4
21
36
Síntese da análise dos trabalhos lidos: conteúdos geométricos e
procedimentos manipulativos
46
4
ELABORAÇÃO DO CADERNO DE ATIVIDADES
49
4.1
Processo de construção do caderno de atividade
49
4.2
Considerações Finais
57
REFERÊNCIAS
60
APÊNDICE – Produto educacional (Caderno de atividades com os conceitos
introdutórios ao estudo de trigonometria)
63
11
INTRODUÇÃO
Ao exercer o papel de professor de matemática, percebemos que o ensino da
matemática, muitas vezes, aparece sem sentido para o aluno. Este vazio de significados
conceituais reflete, em alguns casos, a ausência de ligações com o cotidiano do aluno, em
outros, a falta de material didático adequado para o ensino ou ainda a relação entre os próprios
conceitos da matemática.
Por exemplo, conteúdos da disciplina de matemática, como a geometria, as frações,
as potências, são imprescindíveis ao entendimento de outros conceitos matemáticos como as
equações, as funções, ou a trigonometria, respectivamente. Contudo, não é raro que o seu
ensino seja desligado um dos outros. Desta forma, o professor de matemática necessita
identificar quais conceitos os alunos precisarão ter aprendido previamente para compreender
outros assunto em questão, na sala de aula.
Em relação à trigonometria um dos obstáculos apresentados no seu ensino é a
formação dos professores, deficiente no que diz respeito ao próprio conteúdo de trigonometria
e o desinteresse dos alunos. Preocupados com a forma como esse conceito está sendo
apresentado pelos professores em sala de aula, e interessados em melhorar o ensino e a
aprendizagem de trigonometria no ensino básico, propomos um estudo que discute o uso de
atividades de geometria que auxiliem o trabalho no professor em uma fase pré-trigonométrica,
e viabilizem uma aprendizagem significativa.
Outro fator que limita o ensino e a aprendizagem de trigonometria é a falta de
conhecimento de alguns conceitos geométricos e algébricos que são base fundamental para
compreender conceitos trigonométricos. É comum encontrarmos alunos que apresentam
dificuldades na resolução de questões de trigonometria em virtude do desconhecimento de
propriedades referentes a conceitos geométricos de construção, por exemplo.
Assim, através da leitura e análise de alguns trabalhos sobre o ensino e a
aprendizagem de trigonometria, delineamos o ponto central do nosso problema de pesquisa. A
partir dessas leituras, investigamos quais conceitos geométricos são introdutórios ao ensino e
à aprendizagem da trigonometria e, deste modo, imprescindíveis ao estudo da trigonometria e
de que forma poderemos integrá-los às atividades de trigonometria.
Esta análise tem como principal objetivo a organização de uma sequência didática,
com atividades voltadas ao ensino e à aprendizagem dos conceitos introdutórios ao estudo dos
12
conceitos trigonométricos. Estas atividades, além de fomentar o ensino e a aprendizagem,
renderão um caderno de atividades, que poderá ser usado por professores em formação, por
professores que estão em sala de aula, mas que não tiveram aulas de geometria e/ou
trigonometria durante sua formação, por alunos do ensino médio com dificuldades em
trigonometria e, ainda, por alunos do ensino fundamental que estão iniciando seus estudos em
geometria. O uso desse caderno de atividades em sala de aula propõe a discussão e a
construção de conceitos necessários à resolução de atividades de trigonometria.
Desta forma, este estudo tem como objetivo principal organizar e publicar uma
sequência didática de atividades direcionadas ao desenvolvimento das habilidades matemática
e conceitos geométricos que venham a facilitar o estudo da trigonometria.
Dentre os objetivos específicos, podemos destacar
• Investigar quais habilidades matemáticas e conceitos geométricos exercem o papel
de pré-requisito ao ensino e a aprendizagem da trigonometria;
• Organizar uma sequência didática de atividades que tenha como objetivo o
desenvolvimento das habilidades matemáticas e a aprendizagem dos conceitos que facilitem o
aprendizado da trigonometria;
• Tornar acessível para os professores, na forma impressa ou digital, todo o material
didático produzido.
Assim sendo, o trabalho está estruturado da seguinte forma:
O primeiro capítulo discorre sobre a conexão entre os conceitos de trigonometria e
geometria a partir das diversas formas de se introduzir o estudo da trigonometria.
Discorremos também sobre o caminho que percorremos para conceber este trabalho.
No segundo capítulo, analisamos as dificuldades do ensino e da aprendizagem
trigonometria. Partimos do estudo de três trabalhos (Gomes (2011), Nascimento (2005), Brito
e Morey (2004, p. 9-33)) que abordam a trigonometria através da construção da tabela de
cordas de Ptolomeu, da construção de uma tabela trigonométrica e, das dificuldades dos
professores do Ensino Fundamental, respectivamente. Também neste capítulo elaboramos
uma lista dos conteúdos geométricos que irão orientar o nosso caderno de atividades.
No terceiro e último capítulo, escrevemos sobre o processo de elaboração e
organização do caderno de atividades. São apresentados os objetivos das atividades e
discutidas as suas possíveis formas de aplicação. Nele também fazemos as considerações
finais.
13
2 TRIGONOMETRIA E GEOMETRIA: CONCEITOS CONECTADOS
Este trabalho teve início com um projeto de ensino de trigonometria, que também fez
parte dos trabalhos escolhidos para a análise das dificuldades, intitulado Trigonometria numa
Abordagem Histórica1. Este referido projeto tinha como objetivo a elaboração, aplicação e
disponibilização de uma apostila que servisse de suporte aos professores do ensino básico em
suas aulas de trigonometria. A apostila foi elaborada sob a forma de atividades que
utilizassem a História da Matemática como recurso pedagógico.
No processo de elaboração e validação das atividades do projeto Trigonometria
numa abordagem histórica foram percebidas dificuldades na compreensão dos conceitos de
trigonometria, dificuldades estas advindas de um aprendizado insuficiente da geometria. A
partir disso fomos motivados a mergulhar mais profundamente nesta questão e nos
dispusemos a buscar outros trabalhos que apontassem as dificuldades que os alunos têm em
geometria que podem, por sua vez, dificultar o aprendizado da trigonometria.
Há mais de um modo de se introduzir o ensino de trigonometria e alguns deles serão
aqui enumerados.
Pode-se introduzir a trigonometria a partir do conceito de comprimento de cordas de
um arco, o que exigirá bons conhecimentos prévios de geometria principalmente aqueles
relacionados ao círculo.
FIGURA 1 – Indicação do arco e da corda de uma
circunferência de raio R e ângulo central α.
1
Esse projeto de um trabalho do qual eu participei e que resultou na dissertação: GOMES, Severino Carlos.
Elaboração e aplicação de uma sequência de atividades para o ensino de trigonometria numa abordagem
histórica. 2011. 61 f. Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Natal, 2011.
14
Pode-se introduzir a trigonometria a partir do triângulo retângulo, o que exigirá que
se tenha previamente assimilado os conceitos de semelhança de triângulos.
FIGURA 2 – Triângulo retângulo.
A trigonometria pode ainda ser introduzida a partir do círculo trigonométrico, sendo
aqui os conhecimentos prévios necessários aqueles referentes aos números relativos, à noção
de ângulo de giro, etc.
FIGURA 3: Relações trigonométricas no círculo trigonométrico.
Já o desenvolvimento posterior do conteúdo de trigonometria pode ser feito
utilizando mais ou menos manipulações algébricas dependendo de qual objetivo se persegue:
15
resolver identidades e equações trigonométricas ou construir tabelas trigonométricas e
resolver problemas.
Sendo assim, as dificuldades no processo de ensino e aprendizagem da trigonometria
podem ser de caráter variado, ou seja, geométrico, algébrico ou aritmético. Obviamente,
nenhum dos tipos de dificuldades apontados aparece sozinho. A ênfase pode ser num tipo de
dificuldade, mas os outros tipos sempre acompanham com mais ou menos intensidade.
Além disso, convém ressaltar que não estamos considerando aqui as dificuldades não
conceituais como: dificuldades afetivas, sociais, motoras e outras.
Deste modo, nossa intenção é fazer inicialmente uma busca na literatura pertinente à
cata de indicações de dificuldades no aprendizado de trigonometria, sendo o nosso objetivo
final destacar as dificuldades de caráter geométrico.
Há vários trabalhos que sugerem o ensino de trigonometria, sob diferentes
abordagens, buscando aperfeiçoar o trabalho do professor e contribuir para a formação dos
alunos. Algumas características presentes nesses trabalhos são o uso da tecnologia através de
softwares, a manipulação de modelos experimentais envolvidos em situações problema e a
história da trigonometria como fonte de atividades de reconstrução do conhecimento
trigonométrico.
São dissertações, teses, artigos, livros. Seus textos destacam as concepções de
diversos pesquisadores para uma aprendizagem trigonométrica centrada na investigação, na
discussão, na formulação de atitudes, na reconstrução de fatos históricos essenciais à
compreensão do desenvolvimento do conhecimento trigonométrico como um campo
científico necessário ao desenvolvimento da vida em sociedade e dos recursos a modificam.
A seguir comentaremos os trabalhos lidos inicialmente:
Em dissertação apresentada à PUC – SP, Costa (1997) investiga como os recursos
tecnológicos podem propiciar a construção dos conceitos da trigonometria. Para isto, elaborou
uma sequência de ensino com o objetivo de investigar a introdução das funções seno e
cosseno em três contextos: o do computador usando os softwares outro que chamou de mundo
experimental, com atividades construídas com materiais manipulativos; e o terceiro, a sala de
aula. Desenvolveu sua pesquisa com três grupos de estudantes do ensino médio, cada grupo
com uma dinâmica distinta combinando os contextos trabalhados. A pesquisa tem como
fundamentos teóricos a didática da Matemática e a psicologia cognitiva e, nas suas conclusões
após análise do desempenho dos grupos, a autora afirma que os alunos que apresentaram
16
melhor aprendizagem foram aqueles cujo grupo trabalhou inicialmente com as atividades do
mundo experimental, e só após no ambiente computacional.
Outro trabalho que estuda as implicações do uso de um software no ensino de
trigonometria é a dissertação, apresentada à PUC – SP, por Martins (2003). A autora
apresenta uma sequência didática que tem a finalidade de investigar a aprendizagem das
funções seno e cosseno, com alunos (do 2º ano do ensino médio) já familiarizados com o
conceito de seno e cosseno no triângulo retângulo e no ciclo trigonométrico. Sua base teórica
para elaboração e avaliação da proposta reside na dialética ferramenta-objeto e na interação
entre domínios de Régine Douady visando sempre a aprendizagem a partir de conhecimentos
anteriores. Conclui, ressaltando a importância do uso do software na comprovação da relação
entre os conceitos de seno e cosseno tanto no triângulo retângulo quanto no ciclo
trigonométrico e nos gráficos das funções.
Sormani (2006), em dissertação apresentada à UNESP (Bauru), dá os resultados de
um estudo exploratório sobre o uso de recursos tecnológicos na resolução de problemas
trigonométricos dentro de uma abordagem qualitativa. Observou quatro alunos da segunda
série do ensino médio na resolução de problemas de trigonometria usando um software de
geometria. Este trabalho teve como objetivos obter informações sobre como o uso de recursos
tecnológicos poderia influenciar no processo de resolução das questões, assim como fornecer
subsídios para a elaboração de estratégias educacionais que contemplassem o uso de
tecnologia. Sua fundamentação teórica está embasada na teoria da formação de conceitos de
Klausmeier e Goodwin, na teoria de Sternberg sobre a resolução de problemas e na teoria de
Ausubel no que se refere à aprendizagem significativa. Na sua análise, o autor, chega à
conclusão de que o uso do software, em atividades planejadas pelo professor, conduz a uma
aprendizagem expressiva.
Em sua tese apresentada à UFRN, Mendes (2001) propõe uma abordagem
metodológica para o ensino de trigonometria através do uso de atividades construtivistas
informadas pela história da matemática. Discutiu os resultados de uma experiência realizada
com estudantes do ensino médio de uma escola pública de Natal (RN). A elaboração e
testagem das atividades usadas nesta experiência levaram o autor a refletir mais
profundamente acerca do valor da aliança entre as ideias construtivistas e as pressuposições
envolvendo o uso da história da matemática no ensino. Tais reflexões são discutidas
detalhadamente com a finalidade de contribuir no refinamento da proposta e seu uso efetivo
em salas de aula.
17
Nascimento (2005), em seu trabalho exposto à PUC – SP, objetiva reconstruir
historicamente os passos de Ptolomeu e outros matemáticos gregos como Eratóstenes de
Cirene e Hiparco de Nicéia, na construção de uma tabela trigonométrica. Através da história
da trigonometria, a autora propõe que os alunos do 1º ano do ensino médio consigam entender
os conceitos das razões trigonométricas no triângulo retângulo de forma eficaz. Utilizando
pressupostos teóricos de Vygotsky e Vernaud e Parzysz (relativo ao ensino de geometria),
apresenta resultados que apontam para uma dificuldade em relação à aprendizagem de
conceitos básicos da geometria e da álgebra necessários para o desenvolvimento satisfatório
do aprendizado trigonométrico. Nascimento conclui que, apesar desses empecilhos, as
situações de ensino por ela sugeridas podem despertar no aluno situações de favorecimento de
sua aprendizagem, assim como desfazer concepções incorretas.
Para o VIII Seminário Nacional de História da Matemática, Morey e Faria (2009)
publicam estudo referente às contribuições de Ptolomeu, Copérnico e al-Kashi referentes ao
cálculo do seno de 1º. A interpolação utilizada por Ptolomeu, a proporcionalidade entre
cordas e arcos (para arcos muito pequenos) apresentada por Copérnico, e a abordagem
algébrica (por métodos iterativos) de al-Kashi são acompanhadas de contextualizações
históricas de cada época. Por fim, algumas atividades são apresentadas onde reflexões e
cálculos aproximam a trigonometria de sua própria história.
Ainda, como publicação para o seminário citado anteriormente, Mendes e Rocha
(2009) procuram resgatar os caminhos que levaram a trigonometria a ter um caráter
fundamental no estudo astronômico desde épocas remotas. Com atividades diversas, sempre
enfocando a história da trigonometria, enfatiza o desenvolvimento atingido pelo
conhecimento trigonométrico com a construção das primeiras tabelas trigonométricas (tabelas
de cordas). Utiliza artifícios geométricos para enfocar a trigonometria meramente geométrica
das tabelas de cordas e une a história à inovação tecnológica ao utilizar calculadoras como
auxiliares na comparação entre as medidas das cordas e o valor do seno utilizado atualmente.
Brighenti (2003) apresenta uma sequência de ensino de trigonometria por atividades
sugerindo modificações na ordem de apresentação dos conteúdos. Fundamentada na teoria
cognitiva de Ausubel (o novo conhecimento deve ser fundamentado em conhecimentos já
solidificados) comenta e justifica a sua ordem de apresentação dos conceitos trigonométricos
através de mapa conceitual. As atividades são elaboradas partindo de condições cotidianas,
quando possível, e de situações indutoras referentes à construção de conhecimento pela
descoberta dos próprios alunos orientados pelas atividades e mediação do professor.
18
Lindegger (2000), em dissertação apresentada à PUC – SP, propôs uma sequência
didática a partir da manipulação de modelos, criando situações de ensino de trigonometria no
triângulo retângulo, priorizando principalmente os conceitos das razões trigonométricas (seno,
cosseno e tangente). Sob pressupostos teóricos do construtivismo, da didática francesa de
Brousseau, e da psicologia cognitiva de Vergnaud e Vygotsky, trabalhou com duas turmas,
ambas da 8ª série do ensino fundamental (hoje 9° ano). As questões propostas nos testes
avaliativos apresentam como ponto de partida situações-problema, fazendo uma articulação
com a História da Trigonometria. Nas suas conclusões, o autor comprova que o grupo
experimental obteve um desempenho superior ao do grupo de referência. Este fato demonstra
a importância da inclusão de situações da realidade nas atividades de sala de aula.
Em dissertação apresentada à PUC – SP, Silva (2005) propõe, através de situaçõesproblema, uma articulação entre construções geométricas e tratamento figural na abordagem
das relações trigonométricas. Utilizando princípios da engenharia didática, elabora e valida
uma sequência de ensino onde construções e transformações geométricas possam
proporcionar aprendizagem eficaz dos conceitos trigonométricos no triângulo retângulo.
Articulando entre a dialética ferramenta-objeto de Douady e os registros de representação de
Duval, desenvolveu a pesquisa junto a uma turma com 13 alunos em uma escola pública de
São Paulo. A partir da análise dos erros ou dificuldades apresentadas na resolução de cada
atividade, a conclusão apresentada é que, mesmo com dificuldades de manipulação dos
elementos geométricos e suas propriedades, houve um avanço cognitivo dos conceitos
trigonométricos em questão.
Em dissertação apresenta ao programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências
Naturais e Matemática da UFRN, Oliveira (2006) analisa dificuldades apresentadas por
alunos de matemática do ensino médio relativo à explanação de conteúdos da trigonometria.
Fundamentado pela metodologia da engenharia didática de Artigue, uma intervenção
pedagógica, através de uma sequência didática, é elaborada e aplicada em uma turma de 2ª
série do ensino médio de uma escola pública de Natal (RN). As dificuldades encontradas
durante o processo de aplicação das atividades são analisadas e sugestões são apresentadas
como possíveis minimizadoras dos problemas encontrados pelo pesquisador.
Uma investigação sobre o processo de construção de uma abordagem históricofilosófica, através da reconstrução da história da trigonometria, foi o trabalho dissertativo
desenvolvido por Sampaio (2008) e apresentado à Universidade Estadual de Londrina – UEL.
O trabalho inclui uma pesquisa documental sobre a história da trigonometria nos livros
19
didáticos e a construção de uma sequência didática para o ensino das funções trigonométricas.
A sequência foi aplicada com alunos do ensino médio de uma escola pública em Londrina –
PR fundamentada pela Engenharia Didática. A elaboração e a validação das atividades se
desenvolveram segundo análise proposicional de conceitos (método avaliativo da Teoria da
Aprendizagem Significativa) de Novak e Gowin.
Após curso de extensão para professores de escolas públicas do Rio Grande do
Norte, Brito e Morey (2004, p. 65-70) apresentam um artigo com um estudo realizado com
professores do Ensino Fundamental acerca das dificuldades encontradas no ensino dos
conceitos básicos de geometria e de trigonometria, e de como o ensino desses conceitos foi
sendo proposto nos livros didáticos nas últimas quatro décadas do século XX. Com esta
análise, concluem que as dificuldades dos professores estão intimamente relacionadas a uma
negligência com o ensino de trigonometria e geometria na sua formação escolar. Dessa forma,
este estudo aponta a necessidade de ações que proporcionem a formação continuada destes
professores visando a reflexão destes conceitos e da prática docente.
Por último, a dissertação de Gomes (2011) se constitui em uma proposta para o
ensino de trigonometria, aliando matemática e história da matemática. As atividades
elaboradas por Gomes abordam conceitos que vão desde o círculo, a construção de tabela de
cordas dentre vários outros conceitos trigonométricos conduzidos pela história da matemática
e juntas formam um caderno destinado a professores e futuros professores de matemática.
Após a leitura desses trabalhos, com a pretensão de direcionar especificamente a
nossa visão quanto aos tipos de dificuldades possíveis de ocorrer, resolvemos selecionar
alguns dentre estes apresentados. Por entendemos que o caráter variado na abordagem do
ensino da trigonometria poderia atender aos nossos objetivos, escolhemos aqueles que além
de apresentarem características distintas entre si, são semelhantes ao que nós propomos. A
forma de organizar e conduzir as atividades propostas por cada trabalho e o público que
participou das pesquisas foram fatores que estabeleceram a eleição desses textos,
especificamente.
Dessa forma, além do fato de serem trabalhos ligados ao ensino e à aprendizagem de
trigonometria, outro fator que motivou a escolha de Gomes (2011), Nascimento (2005), Brito
e Morey (2004, p. 9-33), como base para o nosso estudo foi a diversidade da natureza de cada
um deles.
20
Assim, podemos caracterizar os trabalhos de Gomes (2011), Nascimento (2005),
Brito e Morey (2004, p. 9-33), em relação à organização e ao público alvo, respectivamente,
como:
• Atividades para o ensino de trigonometria, usando a
História da Matemática.
•
Professores e futuros professores de matemática.
Gomes, 2011.
Nascimento,
2005.
Brito e
Morey,
2004.
• Atividades para a construção de uma tabela
trigonométrica usando a História da Trigonometria.
• Alunos do 1° ano do Ensino Médio.
• Atividades para o ensino de geometria e trigonometria.
• Professores de Matemática.
FIGURA 4: Trabalhos analisados e características que definiram escolha.
Após leitura e análise desses trabalhos e definidas as dificuldades geométricas, o
nosso objetivo é organizar um conjunto de atividades que ajudem na superação dessas
dificuldades.
21
3. DIFICULDADES APONTADAS NAS FONTES PUBLICADAS
Dentre as publicações sobre o ensino de matemática há diversos trabalhos que
abordam o ensino de trigonometria. Em busca de indicações das dificuldades no ensino e na
aprendizagem deste conceito fizemos leituras de vários trabalhos e, nesse sentido,
selecionamos Gomes (2011), Nascimento (2005), Brito e Morey (2004), aos quais demos
maior atenção. Das dificuldades indicadas por esses autores, separamos as que apresentaram
natureza geométrica para, posteriormente, elaborarmos o nosso conjunto de atividades.
Analisar tais dificuldades serviu como base para escolher o caminho para
organizarmos o nosso caderno de atividades e, nessa perspectiva, as dificuldades de natureza
geométrica apresentadas na resolução das atividades propostas por esses trabalhos poderão ser
superadas se forem conectadas às atividades propostas pelo nosso caderno. Sendo assim, o
nosso trabalho adquire status de complementar às questões (de trigonometria) sugeridas nos
trabalhos lidos.
3.1 Dificuldades surgidas no ensino de trigonometria por meio da construção da tabela de
cordas
O trabalho de Gomes (2011) se constitui em uma proposta para o ensino de
trigonometria fazendo um percurso que se inicia a partir dos conceitos relacionados ao círculo
passando pela construção de uma tabela de comprimento de cordas e o desenvolvimento de
outros conceitos trigonométricos. O autor elaborou um caderno de atividades para o ensino de
trigonometria destinado aos professores e futuros professores de matemática para servir de
apoio às aulas de trigonometria. As atividades abordam conceitos que vão desde os de
polígonos regulares até os de seno e cosseno no círculo trigonométrico.
No processo de validação as atividades foram aplicadas em diversos minicursos2
ministrados aos professores de modo que o autor pudesse, baseado em suas observações,
relatar não só o percurso de elaboração das atividades, mas também quais os entraves e as
dificuldades percebidas no seu processo de aplicação.
2
O autor realizou quatro experiências piloto com o objetivo de validar as atividades e, posteriormente, ministrou
um minicurso final.
22
É possível perceber que nesse trabalho o conteúdo de trigonometria se direciona para
um enfoque geométrico. Por esse motivo parte inicial do seu curso final3 foi voltada para a
discussão de conceitos básicos de geometria. No entanto, mesmo com essa preparação inicial,
os professores e futuros professores participantes do curso ainda sofreram com dificuldades
principalmente de caráter geométrico.
Segundo o autor as dificuldades de aprendizagem são de caráter variado. Abarcam
desde a leitura e a interpretação dos enunciados das questões propostas até a manipulação de
técnicas algébricas essenciais à construção dos conceitos trigonométricos. Gomes (2011)
também aponta dificuldades que os professores apresentaram na resolução de atividades de
trigonometria, dificuldades estas relacionadas à falta de conhecimento prévio de conceitos
básicos de geometria. Outro tipo de dificuldade relatado por Gomes está relacionado à
manipulação dos instrumentos de desenho como o compasso, a régua e o transferidor.
De forma mais minuciosa, nos concentraremos nas atividades cuja resolução
apresentou dificuldades relacionadas ao aprendizado prévio da geometria. Isso nos permite
tomar a geometria como fundamental para os estudos trigonométricos.
A primeira atividade, chamada Explorando polígonos inscritos na circunferência, se
referia à relação entre a medida da corda e a variação do ângulo central correspondente, de
acordo com cada polígono trabalhado (hexágono, pentágono e octógono). Esperava-se que o
aluno pudesse observar que o comprimento da corda diminui à medida que o ângulo central
cresce, considerando a corda como o lado do polígono regular inscrito em uma circunferência.
Porém, houve uma dificuldade em reconhecer que o ângulo central pode aumentar para além
de 180° até 360°. Tal dificuldade pode ter origem em outra dificuldade: aquela de reconhecer
os elementos da circunferência, como a corda, o raio, o ângulo central.
Ainda nessa atividade Gomes sugere que os alunos generalizem este caso para um
polígono de n lados. Embora tenha sido realizada uma preparação preliminar para a resolução
dessas atividades, os participantes do curso não conseguiram abstrair a resolução dessa
questão ao nível da generalização. Deste modo, o autor apresentou este cálculo para os
polígonos regulares de 3, 4, 5, 6, 7, 10, 12, e 20 lados, com o objetivo de auxiliar no
aprendizado dos alunos e ajudar a superar tal dificuldade.
3
Realizado no Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio Grande do Norte (IFRN), campus
Natal-Zona Norte, no período de outubro e novembro de 2010. O público participante foi de professores e
futuros professores de Matemática.
23
Podemos considerar esta a primeira dificuldade geométrica encontrada. Conhecer e
identificar os elementos da circunferência como a corda de uma circunferência, além do
conceito de ângulo central, é fundamental para que se resolva essa atividade.
A segunda atividade, intitulada Calculando os comprimentos de algumas cordas,
usou construções geométricas na sua resolução. Com a régua e o compasso, os alunos
construíram polígonos regulares inscritos em circunferências, cujas cordas correspondiam
àquelas pedidas na questão. Inicialmente, Gomes solicitou o cálculo do comprimento das
cordas e 90° e 120°. Nesses casos, os procedimentos eram realizados através do triângulo
retângulo associado ao teorema de Pitágoras, para a corda de 90° e; a construção do ângulo
suplementar, triângulos e teorema de Pitágoras para a corda de 120°.
A atividade segue com o cálculo do comprimento das cordas de 180°, 60° e 72°.
Dessas, apenas o cálculo para a corda de 180° não apresentou dificuldade. Das demais,
metade dos participantes acertou o cálculo para a corda de 60° e nenhum acertou para a corda
de 72°. Sabendo que a corda de 60° corresponde ao lado do hexágono regular, para que o
aluno obtivesse êxito nessa questão ele deveria conhecer a propriedade do hexágono regular
inscrito na circunferência, que diz que a medida do seu lado é igual à medida do raio da
circunferência a que está inscrito. Apesar de esta propriedade ter sido discutida na primeira
parte do curso, ainda houve casos de erros para esse cálculo. No caso do comprimento da
corda de 72° (que corresponde ao lado de um pentágono regular inscrito na circunferência), os
erros são reincidentes. Ninguém conseguiu acertar a questão e podemos atribuir esse fato ao
grau de dificuldade da construção do pentágono regular inscrito na circunferência
(procedimento que viabiliza a resolução dessa questão). Essa tarefa exige certa maturidade em
alguns procedimentos de construções geométricas.
Outra limitação apresentada pelos alunos foi o uso dos materiais de desenho
utilizados nas construções geométricas. O manuseio do compasso e da régua dificultou o
desenvolvimento da atividade na medida em que os participantes não tinham familiaridade
para executar tarefas como regular o compasso a certa medida na régua, ou até a forma como
segurá-lo para traçar a figura.
Nesse sentido, podemos considerar as construções geométricas imprescindíveis à
resolução dessa atividade, desde o manuseio dos instrumentos de desenho até as propriedades
que constituem as figuras que serão construídas. A não familiaridade com um desses fatores
se constitui em uma dificuldade que impossibilita ou atrasa o desenvolvimento da
aprendizagem.
24
Na terceira atividade, A transformação da corda em seno, foram abordados os
procedimentos de conversão de medida da corda para seno. Esse processo foi efetuado a partir
da conversão da corda grega, para a meia corda e, em seguida, para o seno indiano. Gomes
discutiu a equivalência entre o seno da metade de um ângulo central e a metade da corda
subentendida por esse ângulo. Para exercitar essa relação, foram calculados os senos de 36°,
45°, 60° e 90° a partir do exemplo do seno de 30° usando a corda de 60° e uma tabela de foi
preenchida com esses valores.
Para a conferência e comparação dos valores obtidos nesses cálculos, os participantes
usaram uma calculadora científica. No entanto, para o cálculo do seno de 36° pela corda de
72° os alunos apresentaram dificuldades por não conseguirem trabalhar com os números
irracionais.
Nessa atividade não constatamos dificuldades de caráter geométrico. O seno foi
calculado algebricamente pela relação (FIG. 5):
FIGURA 5 – Relação entre corda e seno
Fonte: Produção própria.
Na quarta atividade, O radiano como unidade de medida angular inicia-se o estudo
sobre o radiano como medida angular e a sua relação com o ângulo para, posteriormente,
conceituar o radiano. Outro ponto importante explorado nessa atividade é o estudo da
circunferência de raio unitário. Essa é outra atividade que não suscitou dificuldades. Embora
se tenha usado a circunferência para estudar o radiano, não foram percebidas maiores
dificuldades.
Na última atividade, O seno na circunferência unitária, o seno deixou de ser
estudado através das cordas e passou a ser visto pelo do estudo da circunferência de raio
unitário. Gomes introduziu a ideia de circunferência trigonométrica e seus elementos e
conceitos como o de função foram trabalhados nessa atividade, quando o seno foi tomado
como uma função.
Nessa etapa, questionava-se sobre o seno maior que 2
radianos. Isso requer o
conhecimento sobre a divisão da circunferência em partes iguais graduada em radiano. Os
alunos demonstraram muitas dúvidas a respeito do radiano, o que não foi percebido quando a
25
unidade de medida dos arcos era o grau. Gomes ainda relata dificuldades envolvendo a
construção do gráfico do seno.
A partir dessa análise, organizando exclusivamente as dificuldades da classe
geométrica, podemos compor a seguinte lista:
 Manipulação dos instrumentos de desenho geométrico (compasso, régua);
 Compreensão de conceitos geométricos básicos como reconhecer a circunferência e
distinguir os seus elementos como a corda, o raio, o ângulo central;
 Conhecimento dos polígonos regulares e a assimilação de algumas de suas
propriedades.
Gomes aconselha que, para um bom desempenho na resolução do caderno de
atividades proposto por ele, o aluno tenha, como pré-requisitos conceituais, aprendido
conceitos básicos de geometria, como o estudo dos ângulos, dos triângulos e dos
quadriláteros, etc., domine cálculos algébricos e com números irracionais e, consiga utilizar o
compasso e o transferidor, com a finalidade de poder construir figuras geométricas, como
polígonos regulares. O autor dá um maior destaque à aprendizagem da geometria como
condição necessária ao aprendizado da trigonometria, e enfatiza que a geometria é básica para
o seu trabalho. Segundo ele, o conteúdo trigonométrico apresentado em nosso estudo prioriza
o enfoque geométrico. Com isso, além de seguir o percurso histórico, tratamos a geometria
como fundamental para estudos trigonométricos.
3.2 Dificuldades surgidas no ensino de trigonometria por meio da construção da tabela
trigonométrica
O trabalho de Nascimento (2005) tem como objetivo construir uma tabela
trigonométrica seguindo os passos de Ptolomeu e outros matemáticos gregos como
Eratóstenes de Cirene e Hiparco de Nicéia. A autora elaborou uma sequência de atividades
para alunos do 1º ano do Ensino Médio, utilizando a História da Trigonometria. Nascimento
propõe atividades que atribuam significado aos conceitos das razões trigonométricas no
triângulo retângulo. É importante lembrar que a metodologia utilizada neste trabalho foi a
26
Engenharia Didática4 e, portanto, as atividades tiveram análise a priori e a posteriori. Na
análise a priori a autora descreve as atividades e quais os objetivos pretende alcançar. Após as
aplicações das atividades, a descrição compara e analisa os resultados obtidos durante os
encontros com os alunos e faz um quadro comparativo com as ideias apreciadas na análise
primeira.
As atividades englobam conceitos desde a semelhança de triângulos, homotetia, até
as significados de seno, cosseno e tangente para a construção da tabela trigonométrica.
Nascimento considera que o conhecimento de vários conceitos geométricos como a
semelhança de triângulos serão úteis para a resolução de algumas atividades de sua sequência.
Nas duas primeiras questões foram revisados os conceitos de semelhança de
triângulos, propriedades dos ângulos e o conceito de seno, cosseno e tangente de um ângulo
agudo para posteriormente, utilizá-los na construção da tabela trigonométrica.
A primeira atividade, chamada Comparando e investigando triângulos, buscava
perceber a regularidade entre triângulos dados. A atividade propunha que os estudantes
comparassem diversos triângulos (fornecidos pelo professor) e anotassem as suas
características em relação aos ângulos e lados e, assim, identificassem as que eram comuns a
todos os triângulos. Para essa investigação, os alunos poderiam usar régua, compasso,
transferidor, esquadro, etc., ou qualquer outra técnica que julgassem adequada. Porém, o
professor preparou alguns questionamentos para o caso de os alunos não conseguirem
desenvolver a atividade como esperado e perceber a igualdade entre os triângulos.
Embora muitos alunos tenham registrado, nesta atividade, bons conhecimentos de
geometria – a soma dos ângulos internos do triângulo mede 180º, dois triângulos retângulos
iguais formam um retângulo – em outros casos, observações com erros foram anotadas.
Nascimento relata em seu texto que os alunos confundiram lados dos triângulos com
dimensões, demonstraram-se equivocados na denominação da figura geométrica que
utilizavam, comparando o triângulo a uma estrela e, em contraposição aos grupos que
acertaram a propriedade que diz que a soma dos ângulos internos do triângulo é 180°, outros
alunos disseram que somando todos os lados e todos os ângulos do triângulo é que somariam
180°. Ainda que não tenham demonstrado completa segurança no que diziam, poucos alunos
conseguiram responder à questão proposta, sobre a semelhança dos triângulos.
4
Consiste em uma metodologia de pesquisa voltada ao trabalho com sequências didáticas. Basicamente suas
fases são a análise a priori da sequência didática, experimentação, e análise a posteriori e validação das
atividades. A francesa Michèle Artigue se destaca no estudo dessa metodologia.
27
Na segunda atividade, Semelhança de triângulos, com os instrumentos de desenho
geométrico (régua, compasso, esquadro e transferidor) o aluno representaria graficamente os
triângulos e assim distinguiria suas propriedades. Semelhança de triângulos, altura, seno,
cosseno e tangente pelo triângulo retângulo, homotetia, foram conceitos abordados nessa
atividade. A atividade está dividida em cinco partes, sendo a última reservada ao estudo da
homotetia.
A primeira parte da atividade é uma continuação da atividade 1 e explora a
sobreposição dos triângulos como forma de estudo da semelhança dos triângulos. Alguns
alunos tiveram dificuldades para interpretar o texto da atividade, que denominava os
triângulos por T1, T2, T3 e T4 (Figura 6 e Figura 7). No mais, neste procedimento não houve
nenhuma dificuldade e, pode-se atribuir esse avanço à discussão da atividade 1.
FIGURA 6: Texto da Atividade 2: Semelhança de triângulos
Fonte: Nascimento (2005, p. 81)
28
FIGURA 7: Soluções possíveis para a atividade 2.1.
Fonte: Nascimento (2005. p. 82)
Na segunda parte da atividade 2, os alunos teriam que construir triângulos
sobrepostos, indicados por uma situação prática supondo a travessia de um rio (Figuras 8 e 9).
Os alunos construiriam os triângulos usando os materiais de desenho geométrico como a
régua, o compasso, o transferidor e esquadro para construir os triângulos, em seguida,
realizariam medições dos seus lados e preencheriam uma tabela que solicitava essas medidas
e as razões entre elas. A manipulação e a observação não seriam suficientes para a resolução
dessa atividade. Os alunos precisariam desenvolver habilidades de desenho para representar
as figuras e enxergar as suas propriedades.
FIGURA 8: Esquema de um rio com um
ponto em cada lado.
Fonte: Fonte: Nascimento (2005. p. 82)
FIGURA 9: Possível construção para a
dxx v cv cv csolução da questão
Fonte: Fonte: Nascimento (2005. p. 84)
A questão central desse momento era perceber a similaridade entre os resultados
obtidos através do cálculo das razões dos lados. Para construir os triângulos os alunos usaram
as mais diferentes estratégias, mas não usaram o esquadro e quase não o fizeram com o
29
compasso e assim houve uma diversidade de ângulos obtidos. Isso proporcionou uma
discussão sobre a coincidência nos resultados das razões e daí o surgimento dos
conhecimentos das propriedades dos triângulos e, intuitivamente, dos conceitos do seno, do
cosseno e da tangente. Durante as discussões, muitos alunos recorreram à atividade 1 para
justificar os resultados encontrados com os triângulos construídos por eles.
As dificuldades percebidas por Nascimento giram em torno da interpretação dos
textos e, consequentemente na construção dos triângulos. O uso apenas da régua e do
transferidor, identifica a falta de habilidade de manipulação do compasso e do esquadro o que
caracteriza mais uma dificuldade para construir a figura geométrica. A respeito dos textos,
consideramos que as dificuldades podem estar pautadas no excessivo uso de caracteres
(letras) na denominação das figuras e seus elementos, e da ausência orientação de como
iniciar a construção, ou analogia com outra figura semelhante/parecida.
As terceira e quarta partes dessa atividade têm como objetivo identificar, a partir das
relações métricas do triângulo, as definições dos conceitos de seno, cosseno e tangente e
aplicá-las a uma figura dada (FIG. 10). Esperava-se que os alunos percebessem, preenchendo
uma tabela semelhante à da parte dois e observando a figura dada (um triângulo semelhante
ao construído na segunda parte), que o seno, o cosseno e a tangente de um ângulo agudo são
razões constantes, isto é, o seno de 45°, por exemplo, tem o mesmo valor em qualquer
triângulo. No entanto, vários alunos não perceberam essa constância imediatamente, pois
apenas preocuparam-se em completar a tabela (FIG. 11).
FIGURA 10: Figura da atividade 2.4.
Fonte: Nascimento (2005. p. 86).
30
FIGURA 11: Tabelas da atividade 2.4.
Fonte: Nascimento (2005. p. 86).
Nesta atividade havia a necessidade de uma reflexão acerca dos valores encontrados
nos cálculos das razões dos lados do triângulo. Para esses procedimentos os alunos também
demonstraram pouca experiência e maturidade para retirar do texto da questão as informações
para executá-la. Mais uma vez, consideramos que a linguagem do texto dificulta a sua
compreensão.
Na última parte da atividade, o conceito de homotetia buscou auxiliar na
compreensão do conceito de semelhança de triângulos. O enunciado da atividade mencionava
elementos como reta, semirreta e ponto que os alunos não conheciam e, portanto, o professor
precisou destinar um tempo para prepará-los para trabalhar com esses conceitos. Segundo a
autora, essa dificuldade advém do abandono da geometria, na sala de aula. A régua e o
compasso também foram utilizados para as construções das figuras geométricas. A elaboração
dos desenhos permite reflexões sobre a importância dos desenhos geométricos, tanto na
definição de um conceito, na interpretação e compreensão do problema e até na sua própria (e
singular) solução.
A atividade 3, Os instrumentos e a resolução de problemas, consiste na construção
de um teodolito5 e um astrolábio 6 utilizando materiais de sucata como copo de plástico,
papelão, arame, etc. A finalidade de construir esses instrumentos é usá-los na resolução de
5
É um instrumento destinado para realizar medidas tanto verticais quanto horizontais (perpendiculares ou
paralelos ao chão), muito utilizado na engenharia civil. Com ele é possível medir a altura de um poste, por
exemplo.
6
É um instrumento antigo, usando na navegação, para medir a altura dos astros celestes.
31
problemas propostos na atividade, como a construção de triângulos semelhantes, comparar
medidas e medir alturas e, aliados à aplicação do conceito de tangente, resolver a atividade.
Propondo uma situação em que os alunos teriam que atravessar um rio de um
determinado ponto a outro ponto (como na atividade 2.2) a autora incentivou a escolha de um
dos instrumentos construídos para a solução da questão. Os alunos escolheram o teodolito por
este permitir calcular distâncias no sentido horizontal. Alguns dos conceitos que estão
relacionados são o de tangente e, consequentemente, a relação entre os catetos oposto e
adjacente ao ângulo agudo; triângulo retângulo; semelhança de triângulo.
Outra situação proposta para o uso do astrolábio e do teodolito foi calcular a medida
da altura do prédio da escola. Neste caso, os alunos perceberam que ambos os instrumentos
poderiam ser utilizados nessa atividade, pois admitem o cálculo de distâncias no sentido
vertical. Além da escolha do instrumento adequado e dos conceitos de seno, cosseno e
tangente, o aluno deveria conseguir a melhor localização para utilizar o instrumento e calcular
a altura do prédio.
A última etapa da atividade 3 marca a transição entre as atividades de preparação
para e a construção da tabela trigonométrica propriamente dita. Nesse momento Nascimento
solicitou que os alunos calculassem o raio da Terra usando a linha do horizonte. Espera-se que
os alunos empreguem o conceito de semelhança de triângulos e escolham o melhor
instrumento a ser utilizado nesse cálculo. As principais dificuldades estiveram relacionadas à
tentativa de representar esse modelo no papel, pela tridimensionalidade da figura.
Segundo Nascimento (p. 102, 2005), um dos motivos pelos quais escolheu propor
questões práticas na sua sequência de ensino é que, embora os livros didáticos de matemática
destinem muitas páginas ao ensino de trigonometria, as aplicações práticas não são incluídas
nas listas de exercícios.
Na atividade 4, A construção de uma tabela trigonométrica por Ptolomeu, a autora
substituiu o uso da medida das cordas, como feito por Ptolomeu, pelos valores de seno,
cosseno e tangente. Entretanto, refez os seus passos para deduzir o seno de 1°, assim como
para a construção da tabela trigonométrica de 0° a 90° de 1° em 1° (Figuras 12 e 13). Nesses
procedimentos as construções geométricas de polígonos inscritos em circunferências foram
usadas para obter os resultados da tabela. Os resultados que não puderam ser calculados por
meio das construções geométricas contaram com o auxílio das identidades trigonométricas
para terminar de preencher a tabela.
32
A tabela começou a ser preenchida pelo ângulo de 45°, por meio da construção do
quadrado inscrito na circunferência, passando pelos ângulos de 30° e 60°, pela construção do
hexágono regular inscrito na circunferência, até o ângulo de 18°, pelo decágono regular
inscrito na circunferência (seu lado é igual à corda do ângulo de 36°). Para calcular os valores
do seno, do cosseno e da tangente por meio dessas figuras, o aluno precisaria conseguir traçar
bissetrizes de ângulos. Os cálculos mais extensos ou que necessitariam de algum
procedimento mais complexo foram efetuados com a calculadora.
FIGURA 12: Representação da construção para o cálculo da
corda de 45°
Fonte: Nascimento (2005. p. 108).
33
FIGURA 13: Representação da construção para o cálculo da
corda de 60°
Fonte: Nascimento (2005. p. 109).
Uma das dificuldades percebidas nesse nível da atividade estava relacionada ao
manuseio dos instrumentos de desenho. Os alunos não entenderam que o compasso pode ser
usado para o transporte de ângulos, medindo assim todos os ângulos, repetidamente, com o
transferidor. Também foram notadas dificuldades ligadas às propriedades dos polígonos
inscritos na circunferência, principalmente a do hexágono regular que diz que a medida do
lado do polígono é igual à medida do raio da circunferência.
Na construção do decágono regular inscrito (FIG. 14), os alunos tiveram que traçar
bissetrizes, no entanto, as dificuldades estiveram no uso do compasso para realizar esse
exercício. A maioria dos alunos usou o transferidor embora traçar esse segmento com o
compasso seja um procedimento simples.
34
FIGURA 14: Representação da construção para o cálculo da corda de 36°.
Fonte: Nascimento (2005. p. 112).
A busca da construção da tabela trigonométrica continuou com o estudo do Teorema
de Ptolomeu, e a sua aplicação a polígonos inscritos para, assim, encontrar as fórmulas como
a do seno da diferença de arcos, do arco metade, etc. Fórmulas como essas permitirão calcular
outros valores para preencher totalmente a tabela (Figura 15). Nesse nível da atividade os
alunos já demonstravam maior familiaridade com as construções geométricas e seus
elementos e na interpretação dos textos das questões. Isso se deve ao exercício dessas
habilidades e ao estudo minucioso dos conceitos básicos de construções geométricas
exercitados desde o início do projeto.
35
BC.AD + AB.CD = CE.BD + AE.BD
FIGURA 15: Teorema de Ptolomeu para a questão de 4.4
Fonte: Nascimento (2005. p. 112).
Outras dificuldades de caráter algébrico e de generalização foram percebidas nessas
atividades. Resoluções pelo Teorema de Pitágoras, por diversas vezes, estiveram diretamente
ligadas a alguma dificuldade, por exigir que o aluno entenda um pouco de álgebra para
desenvolver a questão até o final. Segundo Nascimento os alunos não entendem bem os
processos algébricos dos cálculos.
A quinta atividade, Situação de reinvestimento, é uma atividade para avaliar se o
aluno realmente compreendeu os conhecimentos trabalhados na sequência de atividades
proposta. A abordagem histórica foi abandonada nesta atividade com o objetivo de verificar
se o aluno aplicaria os conceitos aprendidos com o auxílio da história da trigonometria em
uma situação diferente daquela tratada nas atividades da sequência.
Entre algumas atividades há sessões de leitura para a discussão da importância da
trigonometria e os motivos do seu desenvolvimento. Em outros casos, a leitura tinha como
objetivo motivar os alunos ao estudo da tabela trigonométrica e dos trabalhos de Ptolomeu.
Algumas informações históricas fazem parte dessas leituras.
Com o fim desta análise pudemos perceber dificuldades de diversas naturezas –
algébrica, geométrica, interpretativa, etc. – porém iremos separar, aqui, aquela de natureza
geométrica.
36

Manuseio dos instrumentos de desenho (compasso, esquadro, transferidor, régua);

Distinção dos polígonos e compreensão das suas propriedades entre si;

Identificação de elementos como reta, semi-reta, ponto;
Ao final, a autora sugere o desenvolvimento de atividades de álgebra e que explorem
mais a fundo a geometria básica. Outra recomendação importante é a adequação dessa mesma
sequência de atividades a um software de geometria dinâmica, o que proporcionaria uma nova
experiência a ser analisada e avaliada.
3.3 Dificuldades surgidas no ensino de trigonometria por meio da formação de professores.
Após curso de extensão para professores de escolas públicas do Rio Grande do
Norte, Brito e Morey (2004, p. 65-70) apresentam o artigo Geometria e Trigonometria:
dificuldades dos professores de matemática do ensino fundamental. O trabalho apresenta o
estudo realizado com professores do Ensino Fundamental acerca das dificuldades encontradas
no ensino dos conceitos básicos de geometria e de trigonometria, e de como o ensino desses
conceitos estava proposto nos livros didáticos nas últimas quatro décadas do século XX.
Nesta análise iremos nos deter apenas às questões do ensino de trigonometria e geometria.
Buscando uma relação entre a aparente resistência dos professores para ensinar
trigonometria e a sua formação inicial, as autoras elaboraram e ministraram um curso de
extensão cujo objetivo principal era investigar as dificuldades que os professores
apresentavam acerca dos conceitos geométricos e trigonométricos. Da análise dos resultados
desse curso, Brito e Morey chegaram à conclusão de que os professores desconheciam muitos
desses conceitos de trigonometria e geometria por não terem estudado na escola. Além disso,
as dificuldades não eram uma consequência apenas da falta desses conhecimentos, mas
também da sua apreensão errônea, ocorrida durante a formação desses professores.
Das dificuldades advindas da formação dos professores participantes, podemos dizer
que tiveram a sua formação em uma época em que o ensino de geometria e trigonometria foi
desprivilegiado nas escolas. Esses conceitos, quando não eram retirados do currículo, eram
deixados para o final do ano letivo, o que frequentemente implicava que não seriam ensinados
por falta de tempo. Outro fator que provocou o abandono do ensino de geometria e
37
trigonometria foram as políticas educacionais das décadas de 1960 e 1970 que, dentre outras
coisas, permitiam ao professor escolher que conteúdos iria ministrar em suas aulas 7. Segundo
Martins
O Movimento da Matemática Moderna (início da década de 60) preocupavase com as Estruturas Algébricas e com a utilização da linguagem simbólica
da Teoria dos Conjuntos. O ensino de Geometria adota uma abordagem
dedutiva com destaque nas Transformações.
Como muitos professores não dominavam o conteúdo sobre Transformações
e o enfoque nesse conteúdo não atingiu de modo significativo os livros
didáticos da época no Brasil, muitos passaram a deixar de ensinar
Geometria. (MARTINS, 2005, p.9)
Não devemos atribuir esse desamparo à falta de contribuições da geometria e da
trigonometria para a ciência ou para a formação do aluno, ou ao desenvolvimento de outros
campos da matemática. Ao contrário disso: os conceitos geométricos, desde a antiguidade,
têm auxiliado no desenvolvimento de técnicas que melhoram a vida em sociedade, como é o
exemplo das tabelas de corda, que ajudavam na localização, na predição de eventos celestes,
etc. há mais de dois mil anos.
Atualmente muitos professores acabam não incluindo a geometria nos seus
planejamentos por falta de conhecimento dos conceitos geométricos. Em outros casos, quando
a geometria aparece no final do livro didático, os professores continuam alegando que o
seguem e os conteúdos que ficam no final do livro acabam sendo vítimas da fala de tempo.
No que diz respeito às dificuldades conceituais dos professores, podemos dividir a
nossa análise por conceitos, pois não tivemos acesso a todas as atividades desse curso. As
autoras propuseram atividades de geometria e, em seguida, atividades de trigonometria.
Nas atividades que tinham como objetivo construir o conceito de altura, outros
conceitos estiveram incluídos na sua resolução: distância de um ponto a outro ponto, distância
de um ponto a uma reta e distância entre retas paralelas. Na primeira questão, para traçar a
altura de uma árvore, as figuras estavam distribuídas em vários sentidos (Figura 16). As
dificuldades surgiram a partir da figura disposta um tanto inclinada.
7
Lei 5692/71 que concedia às escolas o direito e a autonomia de escolherem os conteúdos a serem ministrados
em cada disciplina.
38
Figura16: Ilustrações para medição da altura da árvore.
Fonte: Brito e Morey, (2004, p. 18).
 Para a figura da árvore inclinada alguns participantes não conseguiram compreender
que a altura poderia ser traçada a partir de uma base (segmento traçado na horizontal) e de
uma perpendicular até o topo da árvore.
 Para a figura da árvore disposta na horizontal (deitada) a dificuldade esteve na
compreensão e aceitação de que a altura poderia ser um segmento paralelo à uma base traçada
horizontalmente.
Nessa atividade percebemos que o conceito de altura está ligado ao conceito de
comprimento e não de um segmento perpendicular a uma base escolhida. Para os alunos, a
altura só poderia ser comparada à mesma posição de quando eles estão de pé, em relação ao
solo.
Em outro caso de exploração do conceito de altura, as autoras pediram que se
calculasse distância de um ponto a uma reta sendo que, três segmentos diferentes ligavam esse
ponto à reta (FIG. 17). Alguns alunos responderam que os três segmentos poderiam
caracterizar a distância, sem se preocuparem com medida entre o ponto e a reta, ou se existia
perpendicularidade ou não na figura.
39
Figura 17: Distâncias do segmento do ponto A à reta r.
Fonte: Brito e Morey, (2004, p. 20).
Continuando, uma atividade semelhante à anterior foi proposta, mas dessa vez pediase para determinar a distância do ponto à reta sem segmentos para orientar (Figura 18). Para
um dos pontos a resposta foi dada sem dificuldades, pois podia se traçar uma reta
perpendicular dele até a reta dada. Para o outro ponto, não se podia traçar um segmento
perpendicular até a reta dada. Então, alguns alunos traçaram quaisquer segmentos de reta, sem
se preocupar com a perpendicularidade. Os que sabiam que era preciso traçar uma
perpendicular do ponto até a reta não o fizeram por não compreender que poderiam prolongar
a reta dada.
Figura 18: Distâncias dos ponto B à reta a e R à e s.
Fonte: Brito e Morey, (2004, p. 20).
40
Nessas atividades percebe-se que as dificuldades dos alunos estão no conceito de
distância de um ponto a uma reta e, também, da noção de infinitude de uma reta, nesta última
atividade.
Outra atividade que relacionava a altura dava vários triângulos (retângulos, obtusos e
agudos) e pedia que traçasse a sua altura, em relação a uma base p dada (Figura 19 e 20). Em
relação aos triângulos retângulos e agudos os professores não demonstraram dificuldades. No
entanto, em relação aos triângulos obtusos, os professores não conseguiram traçar a altura em
relação à base dada. Aqueles que realizaram a tarefa desconsideraram a base dada e traçaram
a altura interna dos triângulos. Em relação a essa resposta errada, uma resistência para
entender que a altura poderia ser um segmento externo aos triângulos.
Figura 19: Triângulos diversos para exercício da altura.
Fonte: Brito e Morey, (2004, p. 21).
Figura 20: Triângulo obtuso para exercício da altura.
Fonte: Brito e Morey, (2004, p. 21).
41
O conceito de semelhança também foi abordado por Brito e Morey. Em uma das
atividades, as autoras distribuíram entre os participantes um quebra-cabeça em forma de uma
casinha com telhado (FIG. 21). Os participantes teriam que montá-lo e, em seguida, ampliar a
figura e, com essas novas peças, montar uma nova casa.
Figura 21: Quebra-cabeça em forma de casinha com telhado.
Fonte: Brito e Morey, (2004, p. 23).
A primeira dificuldade percebida estava ligada ao senso comum, que denomina como
semelhantes figuras que são parecidas. A respeito da proporcionalidade entre os lados e a
congruência entre os ângulos, percebeu-se que, para ampliar a figura os participantes:
 Usaram a proporcionalidade dos lados, sem se preocupar em manter a congruência
dos ângulos; ou
 Usaram o processo aditivo, mas não tinham noção de como continuar a tarefa.
Os participantes notaram a necessidade de se preocupar tanto com a
proporcionalidade dos lados quanto com a estabilidade da medida dos ângulos apenas no
momento de montar o quebra-cabeça novamente.
Outra atividade sobre semelhança consistia na ampliação de um hexágono regular
sem o auxílio do círculo dividido em setores congruentes e tinha como objetivo destacar que a
proporção dos lados e os ângulos congruentes, nas figuras semelhantes, são independentes. Na
resolução da tarefa, novamente os professores deram atenção à proporcionalidade dos lados e
esqueceram a congruência dos ângulos. Isso resultou em hexágonos não regulares.
A dificuldade dos professores persiste por eles não conseguirem perceber que a
congruência dos ângulos e a proporcionalidade dos lados ocorrem independentemente uma da
42
outra. Ou que, para que uma figura seja semelhante os lados têm que ser proporcionais e os
ângulos mantidos. A origem dessa dificuldade pode estar atrelada à prática dos professores
em sala de aula, pois muitos utilizam apenas do triângulo para ensinar semelhança, pois nessa
figura a proporcionalidade dos lados pode ser configurada pela congruência dos ângulos.
Percebidas tais dificuldades, Brito e Morey propuseram outra atividade que não
demonstrou dificuldades em sua execução e, facilitou a compreensão das dúvidas sobre a
ligação entre ângulos congruentes e lados proporcionais expressas nas atividades anteriores.
Para essa atividade, os professores receberam um quadrilátero formado por varetas unidas por
tachinhas, formando os vértices e, mais algumas tachinhas e varetas separadamente. As
tachinhas e varetas sobressalentes serviriam para formar um quadrilátero semelhante ao
recebido. Essa atividade demonstra claramente que aumentar (ou diminuir) os lados de um
quadrilátero proporcionalmente pode, em alguns casos, modificar os ângulos.
Outra atividade de simetria consistia em reconhecer figuras semelhantes. As figuras
distribuídas estavam desenhadas sobre malhas quadriculadas (Figura 22) sendo,
A malha nº 1era quadriculada, as malhas nº2, nº3 e nº4 eram compostas por
retângulos, sendo que somente em duas delas os retângulos eram
semelhantes. A quinta malha era formada por paralelogramos (não
retângulos) cujas medidas dos lados eram as mesmas da malha nº2. (BRITO
E MOREY, 2004, p.25).
Figura 22: Figura desenhada na malha n° 2.
Fonte: Brito e Morey, (2004, p. 25).
43
A atividade foi resolvida quando, após discussões, os professores perceberam que
comparando apenas uma parte de cada figura, a semelhança poderia ser definida. Dessa
forma, consideraram a bandeira do barco para tal procedimento. Para alguns dos professores,
só o fato de a bandeira ter a forma de um triângulo retângulo já decidiria a sua semelhança
com as demais. Para outros, as figuras eram semelhantes nas malhas retangulares. Essas
colocações estavam baseadas em hipóteses como: figuras parecidas são semelhantes e; a
congruência de dois ângulos correspondentes em dois triângulos garante a proporcionalidade
dos lados.
Apesar de as autoras terem levantado uma discussão para debater essas hipóteses,
não tiveram sucesso.
Outras atividades sobre conceitos trigonométricos foram trabalhadas no curso. Para
elaborar tais atividades Brito e Morey consideraram algumas hipóteses:
a.
relacionar semelhança e trigonometria;
b.
entender espressões como “cateto oposto” e “cateto adjacente” como
uma relação entre lados e os ângulos do triângulo retângulo;
c.
compreender por que no círculo trigonométrico a medida do raio é a
unidade;
transferir os conceitos sobre semelhança e simetria ao círculo
trigonométrico. (BRITO E MOREY, 2004, p.26).
Com o objetivo de retomar o conceito de semelhança de triângulos, as autoras
pediram que os professores construíssem dois triângulos retângulos semelhantes e que
justificassem porque eram semelhantes. Indo de encontro com os resultados não satisfatórios
obtidos nas atividades anteriores, os professores justificaram que os triângulos construídos
eram semelhantes por terem, ambos, um ângulo reto.
Para estudar as relações entre os catetos e os ângulos do triângulo foram dados vários
triângulos (com tamanhos, medidas e posições variadas) com ângulos α e β demarcados. Os
participantes deveriam identificar qual lado era cateto oposto e qual era cateto adjacente a
cada um dos ângulos destacados. Os professores demonstraram grande surpresa ao entender
que as denominações “cateto oposto” e “cateto adjacente” estão relacionadas a um
determinado ângulo e não à posição do triângulo. Isto é, que “cateto oposto ao ângulo α” quer
dizer que este lado do triângulo está em lugar contrário (de frente) ao ângulo α; ou que “cateto
adjacente ao ângulo β” implica que este cateto está “próximo” ao ângulo β. Segundo Brito e
Morey o que atrapalha o entendimento dessas relações é a posição que os livros didáticos
44
apresentam os catetos, em que, na grande maioria das vezes o um dos catetos situa-se na
posição vertical e o outro na posição horizontal.
As atividades que buscavam construir o conceito de círculo trigonométrico incluíam,
em seus procedimentos, a construção de triângulos retângulos no círculo trigonométrico, cujo
vértice seria a origem e seu ângulo variaria de 10° em 10°, um dos catetos estaria sempre
sobre o eixo Ox e o cateto adjacente seria sempre perpendicular a esse eixo. Após a
construção desse triângulo, os professores teriam que preencher uma tabela como a da figura a
seguir (FIG. 23):
α
0°
10°
20°
30°
40°
50°
60°
70°
80°
90°
sen α
cos α
(sen α)2 + (cos α)2
Figura 23: Tabela de relações trigonométricas.
Fonte: Brito e Morey, (2004, p. 29).
Os professores perceberam que a última coluna da tabela estava ligada ao Teorema
de Pitágoras e, a partir dessa atividade foi construído o círculo trigonométrico. Surgiram
discussões a respeito da conveniência de se adotar o raio unitário e da orientação no círculo
trigonométrico.
Dos obstáculos situados nesta atividade, podemos ressaltar o manuseio dos
instrumentos de desenho – compasso e transferidor. Segundo Brito e Morey, isso decorre do
fato de os livros didáticos não proporem atividades com o uso desses instrumentos e de a
disciplina de desenho geométrico ter sido confundida, e por isso ministrada, como educação
artística, durante muito tempo, na época da formação inicial dos professores estudados. Ainda
no que diz respeito ao uso do compasso e do transferidor, as autoras perceberam que os
professores não conseguiram compreender o grau de precisão da medida em função desses
instrumentos.
45
A última atividade buscava lembrar os conceitos de simetria, semelhança e estudar os
valores do seno e do cosseno no círculo trigonométrico. Além disso, tinha como objetivo
ressaltar as relações entre esses conceitos. Para isso, as autoras pediram que os professores
construíssem um ângulo agudo n círculo trigonométrico e destacassem o triângulo retângulo
correspondente. Em seguida, fizessem a reflexão desse triângulo em relação ao eixo vertical,
utilizando os conceitos de simetria estudados anteriormente. Pra finalizar, sugeria que
analisassem os sinais do seno e do cosseno do ângulo.
A maior dificuldade em realizar essa atividade foi a utilização do conceito de
simetria. Em relação ao círculo trigonométrico as dificuldades percebidas estiveram em torno
da noção de orientação do círculo trigonométrico e da razão de o raio ser unitário. Conceitos
como os de simetria, semelhança, ângulo orientado, eixos orientados, seno e cosseno de um
ângulo atuaram como dificuldades freqüentes na experiência de Brito e Morey; o fato de os
professores estarem estudando pela primeira vez esses conteúdos e, consequentemente, nunca
o terem lecionado.
Assim, sintetizando as dificuldades evidenciadas no trabalho de Brito e Morey,
podemos elencar:
 Conceituar razões trigonométricas fundamentais, polígonos regulares inscritos (ou
não) em uma circunferência, altura de um polígono, movimento de rotação e simetria,
circuncentro e centro de triângulos, mediatriz e bissetriz;
 Na formação do conceito de semelhança notou-se que os professores consideram
semelhantes aquelas figuras que são parecidas, deixando de lado a independência entre a
proporcionalidade dos lados e a congruência dos ângulos.
Segundo a análise das autoras, essas dificuldades são provenientes de fatores como a
formação dos professores, ocorrida nas décadas de 70 e 80, quando os conceitos de
trigonometria não eram incluídos junto àqueles ensinados nas escolas; a formalização precoce
de conceitos de geometria e de trigonometria dos livros didáticos e; pela memorização
desvinculada da compreensão desses procedimentos de uso desses conceitos e suas
propriedades. Da mesma forma, na aplicação desse curso, muitos professores estavam
estudando conceitos como os de trigonometria pela primeira vez e, portanto nunca o tinham
lecionado. Algumas atividades do próprio curso, pela sua natureza investigativa em relação às
dificuldades e formativa em relação à formação do professor, facilitaram o aprendizado dos
conceitos explorados em outras.
46
Com esta análise, Brito e Morey concluem que as dificuldades dos professores estão
intimamente relacionadas a uma negligência com o ensino de trigonometria e geometria na
sua formação escolar. Dessa forma, este estudo aponta que os professores poderão superar
essas dificuldades através de ações que proporcionem a formação continuada destes
professores visando a reflexão destes conceitos e da prática docente.
3.4
Síntese da análise dos trabalhos lidos: conteúdos geométricos e procedimentos
manipulativos
Muitas foram as dificuldades encontradas na resolução das atividades, nos trabalhos
lidos. Elas tinham caráter variado: algébrico, geométrico, aritmético, afetivos, etc. Essas
dificuldades emergiam, algumas vezes de forma independente, porém, em outros casos, as
dificuldades surgiam sob um efeito dominó. Ou seja, a falta de compreensão de um
determinado conceito impedia a boa resolução de algum exercício que exigisse o seu domínio.
Consequentemente, outras atividades posteriores, se abordassem esse conteúdo, teriam a
solução comprometida.
Cada trabalho teve sua particularidade em relação ao método de aplicação das
atividades. O público alvo foi desde alunos do ensino básico a professores de matemática e
alunos de licenciatura em matemática, mas todos convergiram seu foco para o ensino e a
aprendizagem de trigonometria. Assim, muitas vezes, as dificuldades que surgiam em um dos
trabalhos se repetiam nos demais. Algumas com maior intensidade em uns, e outras, com
menor ênfase em outro, dependendo da importância que a atividade tinha para o trabalho em
si.
É válido ressaltar que a heterogeneidade do público escolhido para a aplicação de
cada um dos trabalhos analisados nos proporcionou uma diversidade de abordagens para cada
atividade e, consequentemente uma gama maior de respostas a essas formas de agir. Além
disso, esse fator nos motivou a escolher o público alvo para o qual direcionamos o nosso
caderno de atividades: professores de matemática, professores de matemática em formação,
alunos do ensino médio que necessitam de reforço para as aulas de trigonometria, e alunos do
ensino fundamental, que estão iniciando seus estudos em geometria; assim como em situações
em que se observe dificuldades semelhantes àquelas indicadas nos trabalhos analisados.
47
Em relação à natureza desses obstáculos analisados, o nosso direcionamento
principal se voltará às dificuldades de caráter geométrico, as quais iremos comentar mais
detalhadamente.
A análise das dificuldades observadas nos trabalhos lidos resultou em uma lista de
conteúdos matemáticos e procedimentos manipulativos que estão associados à boa resolução
das suas atividades de trigonometria. A lista poderá servir de apoio para a elaboração de
outras atividades que tenham a finalidade de superar essas dificuldades e proporcionar um
bom aprendizado de trigonometria. Assim, para a resolução dos cadernos de atividades
analisados nas sessões anteriores é fundamental o conhecimento de alguns conceitos
geométricos básicos.
Durante a aplicação das atividades foram percebidos diversos entraves no seu
desenvolvimento. A natureza dessas dificuldades percorria desde a interpretação dos
enunciados, passando pelo manuseio dos instrumentos de desenho até a associação de
conceitos e propriedades básicas de geometria com as soluções das atividades.
Cada uma das atividades, de forma implícita, carrega um grupo de conceitos,
definições ou procedimentos geométricos indispensáveis ao seu estudo e que denominaremos
de preliminares ao estudo da trigonometria. Dessa forma, acreditamos que aprender esses
grupo de conceitos, definições, procedimentos preliminares poderá promover o êxito da
resolução das atividades de trigonometria.
Buscamos uma intersecção entre as dificuldades encontradas e procuramos associálas às atividades do nosso caderno que, se estudadas previamente, podem ajudar a superá-las.
Chamamos os conteúdos abordados de conteúdos preliminares ou conteúdos pré-requisitos ao
estudo da trigonometria:
 conceito de corda,
 cálculo da medida da corda de uma circunferência,
 relação entre o comprimento da corda e o seu respectivo arco,
 divisão da circunferência em partes iguais,
 relação entre corda de uma circunferência, lado do polígono inscrito e medida do
ângulo central desse polígono,
 procedimentos de construção de figuras geométricas com régua e compasso,
 o manuseio dos instrumentos de desenho,
 os polígonos regulares e a sua construção com régua e compasso,
48
o
dentre esses polígonos, os triângulos e sua classificação quanto aos seus lados
e quanto aos seus ângulos,
o
traçar bissetrizes e mediatrizes,
 unidades de medidas de arcos: conceitos de grau e de radiano.
Foi a partir desta lista que elaboramos o nosso caderno de atividades. Reunimos os
conceitos mais próximos e, de acordo com a sua natureza, procuramos atividades que
pudessem exercitar esses conceitos e assim promover uma aprendizagem significativa.
49
4. ELABORAÇÃO DO CADERNO DE ATIVIDADES
Ao analisarmos os trabalhos de Gomes (2011), Nascimento (2005) e Brito e Morey,
(2004), que propõem atividades para o ensino de trigonometria, percebemos que muitas
dificuldades de aprendizagem permearam o seu percurso. Preocupados com o ensino e a
aprendizagem de trigonometria, e com a forma como esse conteúdo é trabalhado em sala de
aula, resolvemos elaborar uma sequência de atividades que contemplasse especialmente
aqueles conceitos que, diante da sua deficiência ou falta, resultaram nas dificuldades
encontradas. Segundo Zabala (1998, p. 18), sequência de atividades “são um conjunto de
atividades ordenadas, estruturadas e articuladas para a realização de certos objetivos
educacionais, que têm um princípio e um fim conhecidos, tanto pelos professores, como pelos
alunos”
Essa sequência de atividades (ver apêndice) tem o objetivo de auxiliar o professor
(e/ou o aluno) na construção dos conceitos preliminares ao ensino e à aprendizagem de
trigonometria. Tem como público alvo professores de matemática, principalmente aqueles que
não estudaram geometria e trigonometria na sua formação, e alunos das últimas séries do
Ensino Fundamental.
Entendemos que, para um ensino e aprendizagem efetivo de trigonometria é
necessário a compreensão e domínio dos conceitos de geometria abordados na sequência de
ensino.
4.1 Processo de construção do caderno de atividades
No processo de organização do caderno de atividades nos orientamos pela lista de
conteúdos matemáticos e procedimentos manipulativos preliminares ao estudo e
aprendizagem da trigonometria, resultado da análise das dificuldades apresentadas nos
trabalhos de Gomes (2011), Nascimento (2005) e Brito e Morey, (2004).
A atividade 1, Compassos, construções geométricas e polígonos tem como objetivos
exercitar o manuseio dos instrumentos de desenho como a régua, o compasso e o transferidor
e a construção figuras geométricas; investigar os conceitos de arco, ângulo e corda;
reconhecer os polígonos regulares.
50
Partindo desses objetivos elaboramos um texto sobre o uso do compasso, mostrando
sua estrutura e as algumas possibilidades para o seu uso (Figura 24). Propomos a construção
de um compasso rudimentar em sala para discutir uma das finalidades do compasso: traçar
círculos.
Figura 24: Fragmento do texto O compasso e seu uso.
Fonte: Produção própria.
Para a resolução desta atividade, o professor poderá pedir aos alunos que peguem
compassos antes da leitura do texto. Realizar a leitura de posse do compasso permitirá que o
aluno compare o seu instrumento com o texto, reconheça a sua estrutura e manuseie
livremente antes da atividade proposta.
Aliando ao uso dos instrumentos de desenho a conceitos de geometria, propomos
ainda na atividade 1 que o aluno observe um ângulo dado dividido por uma bissetriz e
refletisse como ele poderia construir aquele segmento. Ou seja, construísse uma bissetriz a um
determinado ângulo (Figura 25). Uma vez que os alunos têm pouca (ou nenhuma)
familiaridade com o uso dos instrumentos de desenho incluímos algumas orientações para a
construção da bissetriz.
51
Figura 25: Construção da bissetriz
Fonte: Produção própria
Para o exercício das construções, e aprofundamento do conceito de bissetriz,
acrescentamos a essa atividade a tarefa de dividir a circunferência em 2, 4 e 8 partes iguais. O
aluno terá que perceber que, uma vez realizada uma dessas construções, as outras emergiriam
a partir da bissetriz. Para a divisão da circunferência em 8 lados iguais, propomos o exercício
como um desafio.
Ao final dessa parte da atividade, levantamos a discussão sobre a relação entre essas
construções. Esperamos que, terminada essa parte, os alunos não apresentem mais
dificuldades para manusear o compasso e a régua.
A segunda parte da atividade tem a finalidade exercitar as construções geométricas e
preparar os alunos para o estudo dos polígonos regulares inscritos, dos conceitos de ângulo
central e corda e suas relações. A sua proposta é continuar dividindo a circunferência em
partes iguais, mas sem a relação apenas da bissetriz.
Pedimos para que dividissem a circunferência em 6 partes iguais, e posteriormente
em 3 e em 5. O motivo de termos iniciado com a divisão em 6 partes iguais é relembrar a
propriedade do hexágono regular inscrito que diz que a medida do seu lado é igual à medida
do seu raio.
A divisão em 5 partes se constitui na parte mais complexa de toda essa atividade. Ela
demanda uma maturidade para ser construída e requer que o aluno tenha conhecimentos de
ponto médio e, principalmente, entenda que o compasso pode ser usado para o transporte de
medidas. Dessa forma, achamos conveniente elaborar algumas orientações para que o aluno
pudesse se orientar (FIG. 26).
52
Figura 26: Orientações para a construção do pentágono regular inscrito na circunferência.
Fonte: Produção própria.
Como finalização dessa parte da atividade, apresentamos alguns polígonos regulares
(triângulo eqüilátero, quadrado, pentágono regular, hexágono regular, heptágono regular e
octógono regular), e pedimos para que os alunos comparassem aquelas figuras às construções
que tinham acabado de fazer. Como resultado dessa comparação, espera-se que os alunos
conseguissem entender que, ligando os pontos das circunferências divididas, conseguirão
obter os polígonos e, dessa forma, reconstruí-los em local adequado.
A última parte dessa atividade consiste em revisar os elementos da circunferência,
assim como exercitar o trabalho com a régua, com exercícios de visualização e medição. São
discutidos os conceitos de corda, raio, diâmetro, como medi-los e as relações entre corda e
lado do polígono, lado e ângulo central. Ao final permite-se o uso do compasso para comparar
esses segmentos (FIG. 27).
53
Figura 27: Questionamentos para a revisão dos elementos da circunferência.
Fonte: Produção própria.
A atividade 2, Medindo ângulos, tem como o objetivo estudar o conceito de ângulos,
a disposição das suas medidas na circunferência e exercitar o uso do transferidor para medilos. Iniciamos com uma atividade de comparação entre ângulos, com o intuito de estimular a
observação e desenvolver a percepção de uma abertura em relação a outras. Detivemo-nos a
ângulos de 0° a 90°. Para esse exercício, incluímos uma sugestão de como o aluno pode
responder à questão, sem a ajuda do transferidor ou do compasso para medir esses ângulos
(FIG. 28).
Figura 28: Dica para a resolução da atividade 2.
Fonte: Produção própria.
Sabendo da falta de prática para o uso do transferidor, indicamos algumas dicas úteis
para o seu uso (Figura 29).
54
Figura 29: Dicas úteis para usar o transferidor.
Fonte: Produção própria.
Essa atividade é terminada com um exercício de medição de ângulos com o
compasso. Dada uma figura, os alunos irão reconhecer o ângulo segundo suas partes (lados e
origem/vértice) (Figura 30).
Figura 30: Figura para a medição dos ângulos.
Fonte: Produção própria.
55
A atividade 3, Triângulos: seus lados e seus ângulos, refere-se ao estudo dos
triângulos. Sua finalidade é classificar os triângulos em relação aos seus lados (eqüilátero,
isósceles, escaleno) e aos seus ângulos (agudo, reto, obtuso). A princípio pedimos que os
alunos meçam os lados de vários triângulos e registrem essas medidas. De acordo com um
quadro proposto, os alunos iriam conhecer a classificação dos triângulos em equilátero,
escaleno e isósceles.
Em relação à classificação pelos ângulos, fizemos uma atividade semelhante. Mas,
nesse caso, o aluno iria medir os ângulos, usando o transferidor. A partir de outro quadro,
como na atividade anterior, os alunos iriam conhecer a classificação dos triângulos quanto à
medida dos seus ângulos em agudo, obtuso e reto. Em seguida, para finalizar, os alunos
usariam a habilidade da percepção para classificar outros triângulos dados, quanto aos
ângulos.
Retomando conceitos estudados anteriormente, a atividade 4 conta com um exercício
de medição de ângulos com o transferidor, seguida do registro da medida e da classificação
desse ângulo em reto, agudo ou obtuso.
Ao final da atividade, propomos um desafio com o objetivo testar os conhecimentos
de triângulos estudados até esse nível e preparar o aluno para o estudo de semelhança de
triângulos (FIG. 31).
56
Figura 31: Triângulo a ser reproduzido com papel de seda
Fonte: Produção própria.
Na atividade 4, Semelhança nos triângulos retângulos, o objetivo é estudar o
conceito de semelhança de triângulos retângulos e estabelecer relações entre os lados e os
ângulos de dois ou mais triângulos.
Para realizar essa tarefa desenhamos alguns triângulos em papel quadriculado e
pedimos para os alunos que medissem os seus lados e verificassem os seus ângulos (Figura
32). Os registros dessas medidas foram feitos em tabelas, onde o aluno poderia perceber,
posteriormente, se havia alguma característica comum aos triângulos.
57
Figura 32: Triângulos na malha quadriculada.
Fonte: Produção própria.
Na atividade 5, Onde está a altura?, o nosso objetivo é identificar o conceito de
altura de um triângulo através do reconhecimento de uma base dada. Para tanto, pedimos que
os alunos observassem os triângulos variados e, assim, reconhecessem o lado marcado como a
base a ser considerada. Dessa forma, esperamos que os alunos que tracem a altura de cada
triângulo independente da sua posição, mas de acordo com a base dada.
4.2 Considerações Finais
Existem vários tipos de publicações visando a melhoria e do ensino e da
aprendizagem de conceitos matemáticos. Essas estratégias são dispostas em livros, artigos,
cadernos de atividades, apostilas, vídeo-aulas, sites, etc. e são desenvolvidas através da
História da Matemática, da modelagem matemática, do uso de softwares e outros recursos
tecnológicos, da resolução de problemas, da Etnomatematica, etc. Geralmente são voltadas
tanto para os alunos quanto para os professores, sejam do Ensino Médio ou do Ensino
Fundamental.
No entanto, para que essas propostas sejam viabilizadas para o uso em sala de aula e
assim os alunos apreendam os conceitos abordados, é necessário que o professor esteja
preparado para utilizá-las em sala de aula e orientar com segurança as atividades durante o seu
percurso de aplicação.
58
Nesse sentido, os Mestrados Profissionalizantes, que têm como um dos seus
objetivos priorizar as iniciativas que visem a prática em sala de aula, surgem como uma
alternativa para a produção de meios para a melhoria do trabalho do professor em sala de aula
associado à um nível elevado de formação do docente. Dessa forma, o Mestrado Profissional
é a designação do Mestrado que enfatiza estudos e técnicas diretamente
voltadas ao desempenho de um alto nível de qualificação profissional. Esta
ênfase é a única diferença em relação ao acadêmico. Confere, pois, idênticos
grau e prerrogativas, inclusive para o exercício da docência, e, como todo
programa de pós-graduação stricto sensu, tem a validade nacional do
diploma condicionada ao reconhecimento prévio do curso (Parecer
CNE/CES 0079/2002).
Diferente do Mestrado Acadêmico, que visa as pesquisas teóricas, resultando em
trabalhos predominantemente teóricos, a dissertação do Mestrado Profissionalizante tem
caráter prático e propõe, de forma explícita, a produção de um produto educacional. Este
produto educacional deve estar voltado para o trabalho do professor, ou do professor com os
alunos, na sala de aula. Ele pode estar na forma de caderno de atividades, sites, programas
computacionais, livros, experimentos, etc. de forma que o professor possa usá-lo
separadamente do corpo da dissertação, cotidianamente, nas suas aulas.
Segundo Ficher (apud. Gomes, 2011, p. 55) “o trabalho de conclusão do mestrado
profissional configura-se como dissertação que demonstre domínio do objeto de estudo, além
da investigação aplicada à solução de problemas que possa tem impacto no sistema a que se
dirige”.
Nessa perspectiva, organizamos um caderno de atividades, abordando os conceitos
de geometria que são necessários para o ensino e a aprendizagem de trigonometria, visando
contribuir para a diminuição das dificuldades no estudo da trigonometria.
Gomes (2011), a respeito do seu produto educacional8 diz que
Para que a utilização desse produto (ou parte dele) seja viável em sala de
aula, os professores interessados devem se deter a alguns requisitos básicos:
ter conhecimentos em geometria, domínio de cálculos algébricos e com
números irracionais, familiaridade com construções geométricas e com o
estudo das funções. Sem uma preparação prévia dos participantes com
relação a esses conceitos matemáticos mencionados, nossa proposta ficará
bastante limitada. (GOMES, 2011, p. 56)
8
Sequência de ensino e trigonometria através da abordagem histórica.
59
O nosso trabalho, então, após o processo de revisão bibliográfica e organização e
elaboração de um grupo de atividades sobre os conceitos introdutórios ao estudo da
trigonometria, culminou em um produto educacional que poderá ser utilizado tanto
separadamente, sozinho de forma independente de outro material, quanto como um momento
de preparação das atividades de trigonometria. Além disso, ganha status de complementar ao
trabalho de Gomes (2011), dentre outros de mesma natureza.
Entendemos também que é possível aprofundar a sequência de ensino apresentada,
dando continuidade aos estudos sobre triângulos e a inserção de textos reflexivos sobre alguns
conceitos como o de radiano. Outra alternativa seria aprofundar os exercícios de construção
geométrica com o uso de um software de geometria dinâmica.
60
REFERÊNCIAS
BRIGHENTI, Maria José Lourenço. Representações gráficas: atividades para o ensino e a
aprendizagem de conceitos trigonométricos. – Bauru, SP: EDUSC, 2003.
BRITO, Arlete de J. MOREY, Bernadete B. Geometria e Trigonometria: dificuldades de
professores do ensino fundamental. In: FOSSA, John A. (org): Presenças matemáticas.
Natal: EDUFRN, 2004.
COSTA, N. M. L., Funções seno e cosseno: uma sequência de ensino a partir dos contextos
do “mundo experimental” e do computador. 1997. Dissertação (Mestrado em Ensino da
Matemática). Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, SP.
FOSSA, John A. Ensaios sobre a educação matemática. Belém: EDUEPA, 2001. Série
Educação 2.
GOMES, Severino Carlos. Elaboração e aplicação de uma sequência de atividades para o
ensino de trigonometria numa abordagem histórica. 2011. 61 f. Dissertação (Mestrado) Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Natal, 2011.
KENNEDY, Edward S. Tópicos de História da Matemática para uso em sala de aula:
Trigonometria. São Paulo, Atual, 1992.
LINDEGGER, L. R. M. Construindo os conceitos básicos da trigonometria no triângulo
retângulo: uma proposta a partir da manipulação de modelos. 2000. Dissertação (Mestrado
em Educação da Matemática). Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, SP.
LOUREIRO, Cistina. et al. Geometria: 10º ano de escolaridade. Lisboa: Ministério da
Educação de Portugal, 1997.
__________. Geometria: 11º ano de escolaridade. Lisboa: Ministério da Educação de
Portugal, 1997.
MARTINS, V. L. O. F. Atribuindo significados ao seno e cosseno, utilizando o software
Cabri-Géomètre. 2003. 150 f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática). Pontifícia
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61
MENDES, Iran Abreu. Ensino de trigonometria através de atividades históricas. Natal:
UFRN, 1997. (Dissertação de mestrado).
_______. Ensino da matemática por atividades: uma aliança entre o construtivismo e a
História da Matemática. Natal: UFRN, 2001. (Tese de doutorado).
_______. Atividades históricas para o ensino de Trigonometria.In: BRITO, Arlete de Jesus
(org.). História da Matemática em atividades didáticas. Natal: EDUFRN, 2005. (p. 53-88).
MENDES, Maria José de Freitas. ROCHA, Maria Lúcia Pessoa Chaves. Problematizando os
caminhos que levam à tabela trigonométrica; Belém: SBHMat, 2009.
MOREY, Bernadete B. Tópicos de história da trigonometria. Natal: SBHMat, 2001.
__________. Geometria e Trigonometria na Índia e nos Países Árabes. Rio Claro:
SBHMat, 2003.
__________. FARIA, Paulo Cézar de. Abordagens no cálculo do seno de 1º: as
contribuições de Ptolomeu, Al-Kashi e Copérnico. Belém: SBHMt, 2009
NACARATO, Adair M. BREDARIOL, Claudia C. PASSOS, Miriam P. F. Tendências
presentes no ensino de trigonometria no Brasil: uma abordagem histórica. In: MENDES,
Jackeline R. GRANDO, Regina C. (org.). Múltiplos olhares: matemática e produção de
conhecimento. São Paulo: Musa Editora, 2007.
NASCIMENTO, Alessandra Z. do. Uma sequência de ensino para a construção de uma
tabela trigonométrica. 228 f. Dissertação (Mestrado Profissional em Ensino de Matemática)
– Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, 2005.
OLIVEIRA, Francisco Canindé de. Dificuldades no processo ensino aprendizagem de
trigonometria por meio de atividades. 74 f. Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências
Naturais e Matemática) – Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Natal, 2006.
SAMPAIO, Helenara R. Uma abordagem histórico-filosófica na educação matemática:
contribuições ao processo de aprendizagem em trigonometria no ensino médio. 190 f.
Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências e Educação Matemática) – Universidade
Estadual de Londrina,, Londrina, 2008.
62
SILVA, Sílvio Alves da. Trigonometria no triângulo retângulo: construindo uma
aprendizagem significativa. 198 f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) –
Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, 2005.
SORMANI, JUNIOR, C. Um estudo exploratório sobre o uso da informática na resolução
de problemas trigonométricos. 2006. 226 f. Dissertação (Pós-Graduação em Educação Para
a Ciência). Universidade Estadual Paulista, Bauru, SP.
TROTTA, Fernando. JAKUBOVIC, José. IMENES, Luiz M. P. Matemática aplicada. Vol.
1. São Paulo: Moderna, 1979.
__________. Matemática aplicada. Vol. 2. São Paulo: Moderna, 1979.
63
APÊNDICE – Produto educacional (Caderno de atividades com os conceitos introdutórios ao
estudo da trigonometria).
1
Caderno de atividades
Atividades sobre os conceitos
introdutórios ao estudo da
trigonometria
Suzany Cecília da Silva Medeiros
UFRN – PPGECNM
2011
2
MEDEIROS, Suzany Cecília da Silva Medeiros. Caderno de
atividades: Atividades sobre os conceitos introdutórios ao
estudo de trigonometria. UFRN (PPGECNM): Natal, 2011.
(Orientadora - Profª Bernadete Barbosa Morey)
3
SUMÁRIO
APRESENTAÇÃO
4
Atividade 1
Compassos, construções geométricas e polígonos
5
Atividade 2
Medindo os ângulos
17
Atividade 3
O triângulo: seus lados e seus ângulos
20
Atividade 4
Semelhança nos triângulos retângulos
24
Atividade 5
Onde está a altura?
25
4
APRESENTAÇÃO
Com o objetivo de auxiliar professores e futuros professores de Matemática no seu
trabalho em sala de aula, apresentamos esse caderno de atividades que intitulamos de
Atividades sobre os conceitos introdutórios ao estudo de trigonometria.
Procuramos desenvolver os conceitos geométricos ligados ao ensino e a
aprendizagem da trigonometria através de atividades que buscam tocar no ponto principal de
cada conceito para ligá-lo ao posterior estudo da trigonometria. São cinco atividades que
abordam os conceitos de círculo e seus elementos, construções geométricas, triângulos e suas
classificações e o conceito de altura.
Cada uma das atividades, de forma implícita, carrega um grupo de conceitos ou
procedimentos geométricos indispensável ao seu estudo e que denominamos de preliminares
ao estudo da trigonometria. Dessa forma, acreditamos que aprender esses conceitos
preliminares poderá promover o êxito da resolução das atividades de trigonometria.
Esperamos que esse caderno contribua para o formação continuada do professor, do
seu trabalho em sala de aula, e consequentemente, para um aprendizado significativo dos
conceitos básicos de geometria e de trigonometria.
5
Atividade 1: Compassos, construções geométricas e polígonos
1.1 Texto para leitura: O compasso e seu uso
Você já experimentou desenhar um círculo apenas com lápis e papel?
O compasso é um instrumento de desenho que serve
para desenhar segmentos circulares como arcos,
circunferências, entre outras figuras circulares.
Também é utilizado para encontrar o centro de uma
circunferência e auxiliar na construção de polígonos
como hexágonos e pentágonos. Além das figuras
circulares, podemos usar o compasso para resolver
alguns
problemas
geométricos
segmentos de retas iguais a outros.
Ele possui em uma de suas pontas, que
chamamos de ponta seca, uma agulha, que é
usada para firmar o compasso no papel. Na
outra ponta há um lápis, ou uma ponta de
grafite, para traçar as curvas no papel. No caso
do desenho da circunferência, a ponta seca
marca o centro da circunferência, enquanto a
outra ponta, sob uma abertura determinada por
quem segura o topo do compasso, faz uma
volta suave em torno deste centro, delineando
a figura.
como
marcar
6
Figura: Construindo uma circunferência com o compasso.
A distância entre o centro da circunferência e um ponto no seu comprimento é
chamada de raio. Dessa forma, concluímos que a distância entre a ponta seca e a fixa é o raio
da circunferência.
Dicas úteis para usar um compasso
 Veja como o carpinteiro faz.
Fixe bem a ponta seca, para evitar que
ela escorregue durante o seu trabalho.
Atenção! Deixe a ponta de grafite leve
para deslizar suavemente.

Se você não conseguiu dar a
volta toda de uma só vez, não se
preocupe! Se os braços do compasso
permanecerem à mesma distância,
você poderá recomeçar de onde parou.
7
Desafio 1: Agora imagine se você tivesse que improvisar um compasso aqui na sala de aula
usando tachinhas, barbante e grafite. Como você faria?
1.2 Usando os instrumentos de desenho
Desafio 2: Veja a figura abaixo. É um ângulo dividido ao meio por uma linha reta. Esta
linha é chamada de bissetriz de um ângulo. Observe atentamente o desenho e descubra como
se faz para traçar a bissetriz de um ângulo.
:
Caso você não tenha conseguido resolver o desafio anterior não desanime. Veja uma solução:

Coloque a ponta seca do compasso em A e com uma abertura conveniente, trace um
arco CB.

Com a ponta seca do compasso em C, trace um arco.

Faça o mesmo com o compasso em B.

Marque o ponto D interseção dos arcos.

Trace a semireta AD. Ela é a bissetriz desejada.
Agora, trace você mesmo a bissetriz do ângulo dado abaixo.
8
Observe agora a circunferência de centro O, na qual se destaca o arco AB. Você poderia,
usando régua e compasso, dividir o arco AB em duas partes iguais ?
Conseguiu realizar o desafio? Houve algo em comum nos desenhos? Que tal explicar os
seus procedimentos para realizar cada etapa do desafio?
9
A partir de agora podemos tentar dividir a circunferência em partes iguais? Iniciemos
dividindo em 2 partes iguais.
Em seguida, divida a circunferência em 4 partes iguais
10
Desafio 3: A partir do exercício anterior, construa uma circunferência e divida-a em 8
partes iguais.
Conseguiu? Que tal usar os conhecimentos sobre bissetriz que você aprendeu
anteriormente para dividir cada uma das quatro partes ao meio?
E agora? Consegue perceber algo que relacione a construção dessas três figuras? Vamos
continuar fazendo divisão de circunferência? Mas agora não é simplesmente dividir os arcos
ao meio.
Divida a circunferência em 6 partes iguais.
11
Divida a circunferência em 3 partes iguais.
Divida a circunferência em 5 partes iguais.
Se você não conseguiu resolver essa questão proposta, não desanime. Essa é uma tarefa
bem difícil que exige maturidade. É necessário que você conheça procedimentos relativos às
construções geométricas: a construção do pentágono regular inscrito numa circunferência.
12
Você já viu um pentágono inscrito em uma circunferência? Então observe a figura abaixo
atentamente.
Figura - Pentágono regular inscrito na circunferência
Nela, F é o ponto médio do segmento OH, os segmentos AF e FG são congruentes e os
segmentos AG e AB também são congruentes. Esses dados fazem parte dos procedimentos
geométricos para construção do pentágono regular inscrito numa circunferência. O que você
acha de reproduzí-los para realizar a tarefa?
13
1.3 Polígonos regulares
Observe as figuras abaixo. São polígonos regulares. Isto quer dizer que são figuras que
têm os lados de mesmo comprimento e os ângulos de mesma medida. Alguns polígonos
regulares têm nomes especiais.
Polígono regular de 3 lados
Polígono regular de 4 lados
Polígono regular de 5 lados
Triângulo equilátero
Quadrado
Pentágono regular
Polígono regular de 6 lados
Polígono regular de 7 lados
Polígono regular de 8 lados
Hexágono regular
Heptágono regular
Octógono regular
Usando o que você aprendeu sobre divisão da circunferência, como você poderia
desenhar estas figuras?
14
Triângulo equilátero
Quadrado
Pentágono regular
15
Hexágono regular
Heptágono regular
Octógono regular
16
Desafio 4 –
Como você chegou a esses desenhos? As construções foram simples? Você
atingiu o resultado esperado? Como um desafio, escreva argumentos para que
as suas construções sejam aceitas como válidas!
1.4 Exercícios de visualização
A partir de agora vamos relembrar os elementos da circunferência:
RAIO: É um segmento de
reta com uma extremidade
no centro O da
circunferência e a outra
extremidade em qualquer
ponto da circunferência
CORDA: É um segmento
de reta que tem as
extremidades dois pontos
da circunferência.
DIÂMETRO: É uma corda
que passa pelo centro da
circunferência.
Então, pegue uma régua e vamos observar e fazer medições.
a. Nos polígonos que você desenhou você consegue destacar uma corda? Há algo em
especial no segmento que você destacou? O quê?
b. Agora, compare a corda com o raio da circunferência na qual o polígono está
inscrito. O que você observou? Eles têm medidas diferentes? São maiores, iguais,
menores? Se você sentir dificuldades para observar use uma régua para medir os
segmentos.
17
c. Nessas observações, você conseguiu perceber alguma relação entre o lado do
polígono e uma corda? E entre o lado do polígono e o ângulo central do polígono?
Ficou mais difícil? Então tente usar a régua e o transferidor para compará-los
18
Atividade 2: Medindo os ângulos
3.1 Ângulos
As partes que constituem um ângulo são os lados e o vértice ou origem. Além disso,
uma característica fundamental do ângulo é a sua abertura, que pode ser medida. A medida
usada para isso é o grau, ou seja,
°
da circunferência. Sendo assim, uma circunferência
completa mede 360°.
Observemos a tabela abaixo:
1 volta completa de circunferência
360°
Meia volta de circunferência
180°
¼ de volta de circunferência
90°
1/8 de volta de circunferência
45°
19
Veja os ângulos abaixo. Marque o intervalo de medidas referente a cada um deles,
respectivamente.
a.
b.
c.
d.
Entre 45° e 90°
Entre 180° e 360°
Entre 0° e 45°
Igual a 90°
a.
b.
c.
d.
Entre 90° e 180°
Entre 45° e 90°
Entre 180° e 360°
Entre 0° e 45°
a. Entre 0° e 45°
b. Entre 90° e 45°
c. Entre 180° e 360°
d. Entre 90° e 180°
a. Igual a 90°
b. Entre 90° e 180°
c. Igual a 45°
d. Entre 45° e 90°
Dica: Se tiver necessidade, você pode construir uma circunferência de papel, dobrá-la em 4 ou
mais partes iguais e sobrepor nos ângulos para fazer as medições.
Para saber com mais precisão a
medida de um ângulo usa-se o transferidor.
Geralmente o transferidor é um semicírculo
graduado de 0° a 180°. Com ele é possível
construir ângulos ou medir ângulos de
medidas desconhecidas.
.
Dicas úteis para usar o transferidor

Colocamos o transferidor de modo que o seu centro coincida com o vértice do ângulo
e a escala correspondente ao zero fique sobre um dos lados do ângulo.

Identifique na escala do transferidor o número interceptado pelo outro lado que forma
o ângulo
20
Veja a figura abaixo:
Primeiro, vamos visualizar a figura. Você consegue perceber se há ângulos? Se sim,
indique-os com uma letra maiúscula.
Quanto será que eles medem? Usando um transferidor nós poderíamos conhecer esses
ângulos? Será que você consegue fazer essas medidas e escrevê-las na própria figura?
21
Atividade 3 – O triângulo: seus lados e seus ângulos
Umas das figuras geométricas mais interessantes é o triângulo. Para estudá-lo é
preciso conhecer os seus vários tipos, classificando-os de acordo com os seus lados.
Observe as figuras abaixo. Quanto mede os seus lados?
Agora, preencha a tabela abaixo de acordo com a sua classificação. Note que, de acordo com o
tamanho dos lados, os triângulos têm uma classificação.
Todos os lados congruentes
Equilátero
Dois lados congruentes
Isósceles
Todos os lados não
congruentes
Escaleno
22
Lembra que nós aprendemos a medir ângulos usando transferidor? Então, usando os mesmos
triângulos que você mediu os lados, e meça os seus ângulos. Depois de fazer isso, preencha a nova
tabela.
Todos os ângulos menores
que 90°
Acutângulo

Um dos ângulos é igual a 90°
Triângulo Retângulo
Um dos ângulos é maior que
90°
Obtusângulo.
Agora, sem usar o transferidor tente classificar os triângulos abaixo em acutângulo, retângulo
ou obtusângulo.
23

Anteriormente nós aprendemos a usar o transferidor. Agora, use-o para medir os
seguintes ângulos e classificá-los em agudos, obtusos ou retos. Complete as lacunas a
seguir:
a).
Medida: ______________________
Classificação:__________________
b).
Medida: ______________________
Classificação:__________________
c).
Medida: ______________________
Classificação:__________________
d).
Medida: ______________________
Classificação:__________________
24
Desafio 4: Veja o triângulo abaixo.
Sem usar o transferidor, siga os passos a seguir:
1.
Com papel de seda, régua, lápis e tesoura reproduza esse triângulo duas vezes.
2.
Cole em uma folha um dos triângulos. Meça seus lados. E classifique-o em relação aos
seus lados e aos seus ângulos.
3.
Pegue o outro triângulo e dobre-o de modo que um dos vértices recaia sobre outro
vértice. Corte-o na dobra e cole uma das partes no caderno. Meça os seus lados, e estime a
medida dos seus ângulos. Para isso, tome como base o ângulo de 90°.
4.
Pegue a outra parte do triângulo obtida no item 2. Faça uma dobra para obter a bissetriz
do menor ângulo. Corte-a na dobra e cole o triângulo que ficar maior no caderno. Meça os
seus lados e os seus ângulos, e classifique-o.
5.
Você conseguiu terminar o desafio? O que você percebeu?
25
Atividade 4 - Semelhança nos triângulos retângulos
Alguns triângulos têm formas parecidas, embora seus tamanhos sejam bem diferentes.
Observe os triângulos desenhados no papel quadriculado. Usando o compasso ou o
transferidor, meça os ângulos anote as medidas na tabela abaixo. Faça o mesmo para os lados.
Triângulo
Ângulo a
Ângulo b
Ângulo c
Cateto
Cateto
Hipotenusa
I
II
III
IV
Triângulo
I
II
III
IV
Você consegue perceber alguma lógica nas medidas de alguns desses triângulos. Será que
poderia separá-los par a par?
26
Atividade 5 – Onde está a altura?
Observe os triângulos abaixo. Note que eles são de tipos variados: equiláteros, isósceles
e escalenos, e dessa forma, acutângulos, retângulos e obtusângulos. Observe também que um
dos lados está marcado: é a base do triângulo. Conhecendo todos esses elementos, você
consegue encontrar a altura de cada um desses triângulos? Então, pegue um lápis de cor e
trace a altura de cada triângulo.
b
b
b
b
b
b
b
b
27
REFERÊNCIAS
BRIGHENTI, Maria José Lourenço. Representações gráficas: atividades para o ensino e a
aprendizagem de conceitos trigonométricos. – Bauru, SP: EDUSC, 2003.
BRITO, Arlete de J. MOREY, Bernadete B. Geometria e Trigonometria: dificuldades de
professores do ensino fundamental. In: FOSSA, John A. (org): Presenças matemáticas.
Natal: EDUFRN, 2004.
GOMES, Severino Carlos. Elaboração e aplicação de uma sequência de atividades para o
ensino de trigonometria numa abordagem histórica. 2011. 61 f. Dissertação (Mestrado) Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Natal, 2011.
LOUREIRO, Cistina. et al. Geometria: 10º ano de escolaridade. Lisboa: Ministério da
Educação de Portugal, 1997.
__________. Geometria: 11º ano de escolaridade. Lisboa: Ministério da Educação de
Portugal, 1997.
MARTINS, V. L. O. F. Atribuindo significados ao seno e cosseno, utilizando o software
Cabri-Géomètre. 2003. 150 f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática). Pontifícia
Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, SP.
MENDES, Iran Abreu. Ensino de trigonometria através de atividades históricas. Natal:
UFRN, 1997. (Dissertação de mestrado).
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MOREY, Bernadete B. Tópicos de história da trigonometria. Natal: SBHMat, 2001.
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NASCIMENTO, Alessandra Z. do. Uma sequência de ensino para a construção de uma
tabela trigonométrica. 228 f. Dissertação (Mestrado Profissional em Ensino de Matemática)
– Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, 2005.