APOSTILA DE GEOMETRIA
Tópicos de Geometria Plana
Noções de Geometria Espacial
Professor: Paulo Soares Batista
Nome:_______________________________________________
1- ÂNGULOS.............................................................................................................................................01
2- POLÍGONOS.........................................................................................................................................03
3- TRIÂNGULOS E TEMAS RELACIONADOS..................................................................................04
4- QUADRILÁTEROS..............................................................................................................................09
5- CÍRCULO E CIRCUNFERÊNCIA.....................................................................................................10
6- ÁREAS DAS FIGURAS PLANAS.......................................................................................................11
7- NOÇÕES BÁSICAS DE GEOMETRIA ESPACIAL........................................................................13
8- QUESTÕES OBJETIVAS....................................................................................................................17
9- QUESTÕES DISCURSIVAS................................................................................................................24
10- RESPOSTAS DAS QUESTÕES........................................................................................................29
1- ÂNGULOS
Um conjunto de pontos, isto é, uma figura ou uma
região, é convexo se, para todos os pares de pontos
do conjunto, os segmentos formados estiverem
inteiramente contidos no conjunto.
Dois ângulos são consecutivos se um lado de um
deles é também lado do outro(um lado de um deles
coincide com um lado do outro).
Se uma região não é convexa ela é uma região
côncava.
Chama-se ângulo à reunião de duas semi-retas de
mesma origem, não contidas numa mesma reta (não
colineares).
Dois ângulos consecutivos são adjacentes se não têm
pontos internos comuns.
1
Dois ângulos são opostos pelo vértice(o.p.v.) se os
lados de um são as respectivas semi-retas opostas aos
lados do outro.
EXEMPLOS
1- Calcule a medida do ângulo indicado por a:
AÔB e CÔD são opostos pelo vértice.
2- Encontre o valor de x na figura abaixo:
AÔB e CÔD são também congruentes.
EXEMPLOS
1- Vamos determinar o valor de a na figura seguinte:
Ângulo reto
2- Observe a figura abaixo e determine o valor de m
e n.
Ângulo reto é todo ângulo congruente com seu
suplementar adjacente. Ele mede 90º.
Ângulo nulo
Bissetriz de um ângulo
Ângulo que tem os lados coincidentes. Ele mede 0º.
A bissetriz de um ângulo é uma semi-reta interna ao
ângulo, com origem no vértice do ângulo e que o
divide em dois ângulos congruentes.
Ângulo raso
Ângulo cujos lados são semi-retas opostas. Ele mede
180º.
2
Ângulo agudo
Nomenclatura
Ângulo maior que o ângulo nulo e menor que o
ângulo reto. Sua medida varia entre 0º e 90º.
De acordo com o número n de lados, alguns
polígonos convexos recebem nomes especiais. Isto é:
Ângulo obtuso
Ângulo maior que o ângulo reto e menor que o
ângulo raso. Sua medida varia entre 90º e 180º.
n = 3 → triângulo
n = 4 → quadrilátero
n = 5 → pentágono
n = 6 → hexágono
n = 7 → heptágono
n = 8 → octógono
n = 9 → eneágono
n = 10 → decágono
n = 11 → undecágono
n = 12 → dodecágono
n = 13 → tridecágono
n = 14 → tetradecágono
n = 15 → pentadecágono
......
n = 20 → icoságono
Observação: O número de vértices de um polígono é
igual ao número de lados.
Ângulo de uma volta
Ângulos em polígonos convexos
Um ângulo de 360 graus ou ângulo de uma volta é o
ângulo que completa o círculo. Após esta volta
completa, este ângulo coincide com o ângulo de zero
grau, mas possui a grandeza de 360º.
Soma dos ângulos internos
A soma das medidas dos ângulos internos de um
polígono convexo de n lados é dada pela expressão a
seguir:
Si = (n - 2).180º
EXEMPLOS
2- POLÍGONOS
Polígono é a reunião de uma linha fechada simples
formada apenas por segmentos de reta com a sua
região interna.
A palavra polígono é formada por dois
termos gregos: poli = vários, muitos e gonos
= ângulos.
Os polígonos podem ser convexos e nãoconvexos, de acordo com a sua região
interna.
1-Calcule a soma das medidas dos ângulos internos
do:
a) pentadecágono
b) octógono
c) icoságono
2- Qual é o polígono cuja soma das medidas dos
ângulos internos é igual a 1260o?
3- Determine o valor de x nos polígonos abaixo:
a)
3
b)
Quanto aos ângulos
Triângulo Acutângulo: Todos os seus ângulos são
agudos.
Triângulo Retângulo: Um de seus ângulos é reto.
Triângulo Obtusângulo: Um de seus ângulos é
obtuso.
3- TRIÂNGULOS
Dados três pontos A, B e C não de uma mesma reta
(não alinhados ou não colineares), a união dos
segmentos
chamamos triângulo
ABC e indicamos por ∆ ABC .
Soma dos ângulos internos de um triângulo
“A soma dos ângulos internos de um triângulo é
igual a 180º”.
Elementos de um triângulo
VÉRTICES : são os pontos A, B e C.
LADOS: são os segmentos
ÂNGULOS
INTERNOS:
são
os
a + b + c = 180º
ângulos
EXEMPLOS
Classificação dos Triângulos
Encontre x nos triângulos a seguir:
Quanto aos lados
a)
Triângulo Equilátero: Possui todos os lados
congruentes.
Triângulo Isósceles: Possui dois lados congruentes.
Triângulo Escaleno: Possui todos os lados diferentes.
b)
4
c)
CORRESPONDENTES:
(b e e) , (d e g) , (a e h) e (c e f)→ esses pares de
ângulos são congruentes.
EXEMPLOS
1- Determine o valor de x nas figuras a seguir:
a)
d)
b)
Ângulos de duas paralelas cortadas por uma
transversal
Dadas duas retas r e s paralelas cortadas por uma
transversal, os ângulos determinados por elas são
assim determinados:
c)
a // b
ALTERNOS INTERNOS:
(a e f) e (d e e)→ esses pares de ângulos são
congruentes.
ALTERNOS EXTERNOS:
(b e g) e (c e h)→ esses pares de ângulos são
congruentes.
d)
COLATERAIS INTERNOS:
(a e e) e (d e f)→ esses pares de ângulos são
suplementares.
COLATERAIS EXTERNOS:
(b e h) e (c e g)→ esses pares de ângulos são
suplementares.
5
2- Na figura, temos r // s.
Calcule a medida do ângulo b.
Casos ou critérios de semelhança
1º CASO (AA)
Se dois triângulos possuem dois ângulos
ordenadamente congruentes, então eles são
semelhantes.
2º CASO (LAL)
Se dois lados de um triângulo são proporcionais aos
homólogos de outro triângulo e os ângulos
compreendidos são congruentes, então os triângulos
são semelhantes.
Semelhança de triângulos
3º CASO (LLL)
Se dois triângulos têm os lados homólogos
proporcionais, então eles são semelhantes.
Definições
Algumas consequências dos casos de semelhança:
Dois triângulos são semelhantes se, e
somente se, possuem os três ângulos
ordenadamente congruentes e os lados
homólogos (correspondentes) proporcionais.
Dois lados homólogos são tais que cada um
deles está em um dos triângulos e ambos são
opostos a ângulos congruentes.
•
•
•
•
A razão entre lados homólogos é k;
A razão entre os perímetros é k;
A razão entre as alturas homólogas é k;
E os ângulos homólogos são congruentes.
EXEMPLOS
1- Determine x e y, sabendo que os triângulos são
semelhantes.
2- Se os ângulos com “marcas iguais” são
congruentes, determine x.
Razão de semelhança
6
3- Um edifício projeta uma sombra de 10 m ao
mesmo tempo que um poste de 12 m projeta uma
sombra de 4 m. Qual a altura do edifício, sabendo
que o edifício e o poste são perpendiculares ao solo?
AB e A’B’, CD
correspondentes.
e
C’D’
são
segmentos
Teorema de Tales
Se duas retas são transversais de um feixe de retas
paralelas, então a razão entre dois segmentos
quaisquer de uma delas é igual à razão entre os
respectivos segmentos correspondentes da outra. No
caso da figura acima, podemos dizer que:
Os segmentos
proporção.
correspondentes
formam
uma
EXEMPLOS
O Teorema de Tales e aplicações
1- Um terreno foi dividido em lotes com frentes para
a rua 1 e para a rua 2, como você vê na ilustração ao
lado. As laterais dos terrenos são paralelas.
Definições
· Feixe de Paralelas: É um conjunto de retas
pertencentes a um mesmo plano (coplanares)
paralelas entre si.
· Transversal do feixe de retas paralelas: É uma
reta do plano do feixe que concorre com todas as
retas do feixe.
· Pontos correspondentes de duas transversais:
São pontos destas transversais que estão numa
mesma reta do feixe.
· Segmentos correspondentes de duas transversais:
São segmentos cujas extremidades são os respectivos
pontos correspondentes.
2- Ache o valor de x e y, sabendo que r, s e t são
paralelas.
a)
A e A’, B e B’, C e C’, D e D’ são pontos
correspondentes.
7
b)
b)
c)
Relações métricas no triângulo retângulo
Elementos
Considerando um triângulo ABC, retângulo em A, e
conduzindo AD perpendicular a BC, com D em BC,
vamos caracterizar os elementos seguintes:
d)
2- Aplique as relações métricas nos triângulos
retângulos a seguir e encontre a medida x indicada:
EXEMPLOS
1- Calcule o valor de x nos triângulos retângulos:
a)
8
Aplicações importantes do Teorema de Pitágoras
4- QUADRILÁTEROS
Diagonal do quadrado: Seja d a diagonal de um
quadrado de lado .
Definição
Considere quatro pontos A, B, C e D coplanares
distintos, três a três não colineares (não alinhados),
de modo que os segmentos
interceptam-se apenas nas extremidades. A reunião
desses quatro segmentos é um quadrilátero.
TRAPÉZIO
Altura do Triângulo Equilátero: Seja h a altura de
um triângulo equilátero de lado .
Um quadrilátero é um trapézio se, e somente se, tem
dois lados paralelos. Os lados paralelos são
chamados de bases.
Classificação do trapézio
Trapézio isósceles: É o trapézio cujos lados que não
são bases são congruentes.
Trapézio escaleno: É o trapézio cujos lados que não
são bases, não são congruentes.
Trapézio retângulo: É o trapézio que tem um lado
não base perpendicular às bases e o outro oblíquo às
bases.
EXEMPLOS
1- Qual o comprimento da diagonal do quadrado de
perímetro 24cm ?
PARALELOGRAMO
Um quadrilátero que possui os lados opostos
respectivamente paralelos.
2- Encontre a medida do lado l de um quadrado
cuja diagonal mede
8 2
3
cm.
3- Determine x nos triângulos equiláteros:
a)
b)
9
Comprimento de uma circunferência
Recordando:
“A soma dos ângulos internos de um quadrilátero
convexo é igual a 360º”.
Quando somamos todos os lados de uma figura plana
iremos obter o seu perímetro, no caso específico do
círculo, o cálculo do seu perímetro é dado pelo
comprimento da circunferência (contorno do
círculo), pois um círculo é contornado por uma
circunferência que é formada pela união das
extremidades de uma linha aberta.
5- CÍRCULO E CIRCUNFERÊNCIA
A circunferência é o lugar geométrico de todos os
pontos de um plano que estão localizados a uma
mesma distância r de um ponto fixo denominado o
centro da circunferência.
O círculo é a reunião da circunferência com o
conjunto de pontos localizados dentro da mesma.
O cálculo do comprimento da circunferência
(perímetro) foi obtido da seguinte forma: como todas
as circunferências são semelhantes entre si, ou seja,
todas pertencem ao mesmo centro, foi concluído que
a razão entre o comprimento (C) de qualquer
circunferência pelo seu respectivo diâmetro (D) será
sempre uma mesma constante.
Raio de uma circunferência (ou de um círculo) é um
segmento de reta com uma extremidade no centro da
circunferência e a outra extremidade num ponto
qualquer da circunferência. Na figura, os segmentos
de reta OA, OB e OC são raios.
O número 3,141592... corresponde em matemática à
letra grega π (lê-se "pi"). Costuma-se considerar
π = 3,14.
Corda de uma circunferência é um segmento de reta
cujas extremidades pertencem à circunferência. Na
figura, os segmentos de reta AC e DE são cordas.
Diâmetro de uma circunferência (ou de um círculo) é
uma corda que passa pelo centro da circunferência.
Observamos que o diâmetro é a maior corda da
circunferência. Na figura, o segmento de reta AC é
um diâmetro.
10
EXEMPLOS
1- Determinar o comprimento de uma circunferência
que tem 9 cm de raio.
Fácil compreender, portanto, que a área do retângulo
seja o produto de suas duas dimensões.
Um retângulo de dimensão 4cm por 3cm, por
exemplo, tem 12cm² de área. Isto é, sua superfície
equivale à superfície de 12 quadrados de lado 1cm.
2- Qual é o comprimento r do raio de uma
circunferência que tem 18,84 cm de comprimento?
3- A roda de um automóvel tem 0,6 m de diâmetro.
S = 4.3
S = 12 cm2
PRINCIPAIS ÁREAS:
Nessas condições, responda:
a) Qual será, aproximadamente, o comprimento da
circunferência da roda?
QUADRADO
RETÂNGULO
b) Se essa roda der 5000 voltas completas, de quantos
metros será a distância percorrida pelo automóvel?
S=l.l =l2
6- ÁREAS DAS FIGURAS PLANAS
Área é uma função que associa a cada figura um
número positivo que representa a medida de sua
superfície.
Mais importante do que saber as “fórmulas” de área é
entender o que represente a área de uma região plana.
Admitindo a superfície de um quadrado de lado
unitário como uma unidade quadrada, a área de uma
região plana é o número que expressa a relação entre
sua superfície e a superfície desse quadrado.
PARALELOGRAMO
Seja “u” a unidade de área:
TRIÂNGULO
11
EXEMPLOS
LOSANGO
S =
D .d
2
1- Determine a área dos polígonos nos casos abaixo,
sendo o metro a unidade das medidas indicadas:
a) Quadrado
6
TRAPÉZIO
6
CÍRCULO
S = πR 2
COROA CIRCULAR
S = π( R2 – r2 )
12
7- NOÇÕES
ESPACIAL
BÁSICAS
DE
GEOMETRIA
Sólidos geométricos
Denominam-se sólidos geométricos as figuras
geométricas do espaço. Entre os sólidos geométricos,
destacamos, pelo seu interesse, os poliedros e os
corpos redondos.
Classificação dos sólidos geométricas
A partir das características dos sólidos geométricos
podemos fazer uma classificação:
2- Encontre o valor das áreas nos seguintes casos:
(Obs.: Considere as medidas em m).
Poliedros: apresentam somente faces planas. Eles
não rolam.
Corpos redondos: apresentam partes não-planas
(“arredondadas”);por isso rolam.
Outros sólidos geométricos: Possuem partes não
planas, mas não rolam.
POLIEDRO
Chamamos de poliedro o sólido limitado por quatro
ou mais polígonos planos, pertencentes a planos
diferentes e que têm dois a dois somente uma aresta
em comum.
Os polígonos são as faces do poliedro; os lados e os
vértices dos polígonos são as arestas e os vértices do
poliedro.
c)
(Coroa Circular)
3- Calcule a área hachurada. O quadrado tem lados
iguais a 6 cm.
Poliedros convexos e côncavos
Observando os poliedros acima, podemos notar que,
considerando qualquer uma de suas faces, os
poliedros encontram-se inteiramente no mesmo semiespaço que essa face determina. Assim, esses
poliedros são denominados convexos.
Isso não acontece no poliedro abaixo, pois, em
relação a duas de suas faces, ele não está contido
apenas em um semi-espaço. Portanto, ele é
denominado côncavo.
13
Classificação
Relação de Euler
Os poliedros convexos possuem nomes especiais de
acordo com o número de faces, como por exemplo:
Em todo poliedro convexo é válida a relação
seguinte:
V-A+F=2
•
•
•
•
•
•
tetraedro: quatro faces
pentaedro: cinco faces
hexaedro: seis faces
heptaedro: sete faces
octaedro: oito faces
icosaedro: vinte faces
Poliedros regulares
Um poliedro convexo é chamado de regular
se suas faces são polígonos regulares, cada um com o
mesmo número de lados e, para todo vértice,
converge um mesmo número de arestas.
em que:
V é o número de vértices
A é o número de arestas
F, o número de faces.
Observe os exemplos:
V = 8 A = 12 F= 6
8 - 12 + 6 = 2
Existem cinco poliedros regulares:
Tetraedro
4 faces triangulares
4 vértices
6 arestas
V = 12 A = 18 F = 8
12 - 18 + 8 = 2
Hexaedro
6 faces quadrangulares
8 vértices
12 arestas
EXEMPLOS
Octaedro
8 faces triangulares
6 vértices
12 arestas
Lembre-se: Nos poliedros convexos é válida a
seguinte relação:
V-A+F=2
Dodecaedro
12 faces pentagonais
20 vértices
30 arestas
1- Num poliedro convexo, o número de faces é 8 e o
número de vértices é 12. Calcular o número de
arestas.
Icosaedro
20 faces triangulares
12 vértices
30arestas
2- Determinar o número de arestas e de vértices de
um poliedro convexo com seis faces quadrangulares e
quatro faces triangulares.
14
a) paralelepípedo oblíquo
PRISMA
Elementos do prisma
Dado o prisma a seguir, consideramos os seguintes
elementos:
b) paralelepípedo reto
•
bases:as regiões poligonais R e S.
•
•
altura:a distância h entre os planos
arestas das bases:os lados ( dos polígonos)
•
arestas laterais:os segmentos
•
faces laterais: os paralelogramos AA'BB',
BB'C'C, CC'D'D, DD'E'E, EE'A'A
Paralelepípedo retângulo
Seja o paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c
da figura:
Classificação
Um prisma pode ser:
•
•
reto: quando as arestas laterais são
perpendiculares aos planos das bases;
oblíquo: quando as arestas laterais são
oblíquas aos planos das bases.
Veja:
Temos quatro arestas de medida a, quatro arestas de
medida b e quatro arestas de medida c; as arestas
indicadas pela mesma letra são paralelas.
Área total
Planificando o paralelepípedo, verificamos que a área
total é a soma das áreas de cada par de faces opostas:
ST = 2( ab + ac + bc)
Volume
Por definição, unidade de volume é um cubo de
aresta 1. Assim, considerando um paralelepípedo de
dimensões 4, 2 e 2, podemos decompô-lo em 4 . 2 . 2
cubos de aresta 1:
prisma reto
prisma oblíquo
Então, o volume de um paralelepípedo retângulo de
dimensões a, b e c é dado por:
Paralelepípedo
Todo prisma cujas bases são paralelogramos
recebe o nome de paralelepípedo.Assim, podemos
ter:
V = abc
15
Determine quantos litros de água são necessários
para encher o aquário.
Cubo
Um paralelepípedo retângulo com todas as arestas
congruentes (a = b = c) recebe o nome de cubo.
Dessa forma, as seis faces são quadrados.
3- Um determinado bloco utilizado em construções
tem a forma de um paralelepípedo retângulo, cujas
dimensões são 25cm, 15cm e 10cm. Pretende- se
transportar blocos desse tipo num caminhão cuja
carroceria tem, internamente, 4m de comprimento
por 2,5m de largura e 0,6m de profundidade. No
máximo, quantos blocos podem ser transportados
numa viagem, de modo que a carga não ultrapasse a
altura da carroceria?
Área total
A área total ST é dada pela área dos seis quadrados de
lado a:
ST = 6a2
Volume
De forma semelhante ao paralelepípedo retângulo, o
volume de um cubo de aresta a é dado por:
V= a . a . a = a3
EXEMPLOS
4- Um reservatório em
retângulo tem 10 m
comprimento. Sabendo
416 m2, qual é o
1- Considerando o cubo abaixo, determine:
3
a) o seu volume, em cm .
formato de paralelepípedo
de largura e 12 m de
que sua área total vale
valor da altura deste
reservatório?
b) sua área total.
“Lembre-se:
2- Um aquário possui o formato de
paralelepípedo com as seguintes dimensões:
ST = 2( ab + ac + bc)
um
16
8- QUESTÕES OBJETIVAS
6- Qual polígono tem a soma de seus ângulos
internos valendo 1800º?
1- Na figura, o valor de x é:
a) (
b) (
c) (
d) (
) 50º
) 25 º
) 11 º
) 8º
a) (
b) (
c) (
d) (
e) (
) pentágono
) hexágono
) octógono
) decágono
) dodecágono
7- (OBMEP) Falta um ângulo – Na figura dada,
2- No triângulo ABC, o ângulo B mede o triplo do
ângulo C e o ângulo A mede o dobro do ângulo B.
Qual é a medida do ângulo B?
a) (
b) (
c) (
d) (
e) (
) 18º
) 36º
) 48º
) 54º
) 90º
3- (SARESP) O encosto da última poltrona de um
ônibus, quando totalmente reclinado, forma um
ângulo de 30º com a parede do ônibus (veja a
figura). O ângulo a na figura mostra o maior valor
que o encosto pode reclinar. O valor de a é:
a) (
b) (
c) (
d) (
a) (
b) (
c) (
d) (
e) (
)
)
)
)
)
30
50
55
65
70
8- (ESPCAR) Na figura seguinte, as retas r e s são
paralelas. A medida do ângulo x é igual a:
) 50º
) 90º
) 100º
) 120º
4- – Se o triângulo ACD é retângulo e isósceles,
então o ângulo BCˆ D mede:
a) (
b) (
c) (
d) (
e) (
TU = SV. Quanto vale o ângulo SV̂U , em graus?
) 100º
) 105º
) 110º
) 115º
) 120º
a) (
b) (
c) (
d) (
) 230º
) 225º
) 220º
) 210º
9- (SARESP) Na figura, o triângulo BDC é
eqüilátero e o triângulo ABD é isósceles (AB =
BD). A medida do ângulo interno  é igual a:
a) (
b) (
c) (
d) (
) 20º
) 30º
) 45º
) 60º
5- Se um polígono é regular e tem dez lados, então
cada um dos seus ângulos internos mede:
a) (
b) (
c) (
d) (
e) (
) 144º
) 140º
) 135º
) 130º
) 120º
17
10- (ESPCAR) Sabendo-se que os ângulos internos
de um triângulo são diretamente proporcionais aos
números 2, 3e 4, tem-se que suas medidas valem:
a) (
b) (
c) (
d) (
) 40º, 60º e 80º
) 30º, 50º e 100º
) 20º, 40º e 120º
) 50º, 60º e 70º
11- (Cesgranrio) Na figura, as retas r e r’ são
paralelas, e a reta s é perpendicular à reta t. A
medida, em graus, do ângulo a é:
a) (
b) (
c) (
d) (
e) (
) 36º
) 32º
) 24º
) 20º
) 18º
a) (
b) (
c) (
d) (
e) (
) 6.3 m
) 4, 5 m
) 7,8 m
) 3,6 m
) 2,7 m
15- (COVEST-PE) A figura a seguir ilustra dois
terrenos planos. Suponha que os lados AB e BC são
paralelos, respectivamente, a DE e EF e que A, D, F,
C são pontos colineares.
12- (UFGO) Na figura abaixo as retas r e s são
paralelas. A medida do ângulo b é:
a) (
b) (
c) (
d) (
e) (
) 20º
) 80º
) 100º
) 120º
) 130º
Qual a distância AC, em metros?
13- (UEBA) Na figura abaixo AB = 8, MN = 2 e
MC = 3. Se MN é paralelo a AB , o segmento AM
mede:
a) (
b) (
c) (
d) (
e) (
) 75
) 76
) 78
) 79
) 80
16- (UFRS) Para estimar a profundidade de um poço
com 1,10m de largura, uma pessoa cujos olhos estão
a 1,60m do chão posiciona-se a 0,50m de sua borda.
Desta forma, a borda do poço esconde exatamente
seu fundo, como mostra a figura.
a) (
b) (
c) (
d) (
e) (
)8
) 10
) 12
)9
)6
14- (UNAMA-PA) A incidência dos raios solares faz
com que os extremos das sombras do homem e da
árvore coincidam. O homem tem 1,80m de altura e
sua sombra mede 2 m. Se a sombra da árvore mede
5m, a altura mede:
18
Com os dados acima, a pessoa conclui que a
profundidade do poço é:
a) (
b) (
c) (
d) (
e) (
) 2,82 m
) 3,00 m
) 3,30 m
) 3,52 m
) 3,85 m
17- Na figura, os segmentos BC e DE são paralelos,
AB = 30 m, AD = 10 m e AE = 12 m. A medida do
segmento CE é, em metros:
a) (
b) (
c) (
d) (
) 20
) 24
) 28
) 32
a) (
b) (
c) (
d) (
) 13
) 12
) 11
) 10
21- (UMC-SP) Uma escada medindo 4 metros tem
uma de suas extremidades apoiada no topo de um
muro, e a outra extremidade dista 2,4 m da base do
muro. A altura desse muro é:
18- Observe a figura. Nela, as retas r, s e t são
paralelas, AB = 6 cm, BC = x, DE = 4 cm e
DF = x + 3. A medida de x, em centímetros é:
a) (
b) (
c) (
d) (
e) (
)2
)3
)4
)6
)9
19- Observe a figura. Nela, as retas r, s e t são
paralelas, AD = 5 cm, BC = 4 cm e DF= 6 cm. A
medida do segmento BE, em centímetros, é:
a) (
b) (
c) (
d) (
e) (
) 4,8
)6
) 7,2
) 8,8
) 9,6
a) (
b) (
c) (
d) (
) 2,3
) 3,0
) 3,2
) 3,8
22- (OBM) No triângulo PQR, a altura PF divide o
lado QR em dois segmentos de medidas QF = 9 e
RF = 5. Se PR = 13, qual é a medida de PQ?
a) (
b) (
c) (
d) (
e) (
)5
) 10
) 15
) 20
) 25
20- Qual é o valor, em cm, da medida x indicada no
triângulo a seguir?
19
23- (Ceeteps – SP) A medida da diagonal da tela
de uma televisão determina as polegadas da TV.
26- (SENAI) O sistema UTM, utilizado pelos pilotos
de corrida de rali, faz com que qualquer ponto da
Terra possa ser identificado por um sistema
cartesiano de coordenadas (x, y). Suponha que o
ponto inicial de um rali seja dado pelas coordenadas
A (4, 6). Ao visualizar as coordenadas B (10, 14), o
piloto percorreu a distância AB, em unidades de
comprimento igual a:
Uma televisão cuja tela mede 30 cm por 40 cm
possui:
a) (
b) (
c) (
d) (
) 29 polegadas
) 20 polegadas
) 18 polegadas
) 16 polegadas
Lembrete: 1 polegada = 2,5 cm
24- (SENAI) A figura abaixo representa uma praça:
a) (
b) (
c) (
d) (
e) (
Um ciclista gosta de percorrer o trecho AB, BC e
CA. A cada volta completa ele percorre:
a) (
b) (
c) (
d) (
e) (
)
)
)
)
)
130 m.
120 m.
110 m.
100 m.
90 m.
)
)
)
)
)
10
30
50
60
80
27- (SENAI) Imagine um sistema cartesiano de
coordenadas (x, y) colocado sobre uma mesa de
bilhar, conforme indica a figura. Nesse sistema, a
bola que será lançada se encontra no ponto A, de
coordenadas (20, 12). As coordenadas do ponto onde
a bola lançada deverá bater é B (36, 0). A distância
AB percorrida pela bola, em unidades de
comprimento, corresponde a:
25- (SENAI) Uma fábrica de cerâmica fabrica lajotas
na forma de um triângulo eqüilátero como mostra a
figura.
Para que a área de cada lajota seja igual a 49 3 cm2,
o lado do triângulo deverá medir:
a) (
b) (
c) (
d) (
e) (
)
)
)
)
)
35 cm
28 cm
21 cm
14 cm
7 cm
a) (
b) (
c) (
d) (
e) (
)
)
)
)
)
20
28
56
72
86
20
28- (SENAI) Deverá ser construído um muro, em
volta de uma pista de patins no gelo, como indica a
figura. Se o metro linear construído do muro, custa
R$ 300,00, o total a ser pago pela construção será:
A área desse losango, em cm2, será:
a) (
b) (
c) (
d) (
e) (
)
)
)
)
)
R$ 15900,00
R$ 19500,00
R$ 20600,00
R$ 22500,00
R$ 35400,00
a) (
b) (
c) (
d) (
e) (
)
)
)
)
)
500
1000
1200
1500
2000
32- (SENAI) Um terreno quadrado com lado
medindo 20 m será dividido em três lotes, conforme
mostra a figura:
29- (ANRESC) No centro de uma cidade é
construída uma praça circular com uma passarela
central de 50 m de comprimento, como mostra a
figura.
A área do lote II deverá medir:
a) (
b) (
c) (
d) (
)
)
)
)
25 m.
50 m.
100 m.
200 m.
30- (SARESP) Medi o comprimento da roda de
minha bicicleta e, a seguir, calculei a razão entre
esta medida e o diâmetro da roda, encontrando um
número entre:
a) (
b) (
c) (
d) (
)
)
)
)
a) (
b) (
c) (
d) (
e) (
)
)
)
)
)
100 m2.
150 m2.
200 m2.
250 m2.
300 m2.
33- (SENAI) Uma estufa para mudas, quando vista
de cima, conforme a figura abaixo, será dividida em
quadrados com 50 cm de lado, em cada quadrado da
divisão serão cultivadas 18 mudas. Então, o total de
mudas cultivadas nessa estufa será:
2 e 2,5
2,5 e 3
3 e 3,5
3,5 e 4
31- (SENAI)Tenho uma cartolina retangular de
dimensões 50 cm x 40 cm. Com essa cartolina quero
construir um losango, como indica a figura abaixo.
21
a) (
b) (
c) (
d) (
e) (
)
)
)
)
)
1.440
1.320
1.280
1.200
1.180
37- A área da figura hachurada, no diagrama, vale:
34- (SENAI) Uma sala em forma de L, conforme a
figura abaixo, será revestida com lajotas quadradas
de 40 cm de lado. Se o preço de cada lajota é
R$ 1,65, o valor gasto nesse revestimento será de:
a) (
b) (
c) (
d) (
e) (
)
)
)
)
)
4,0
3,5
3,0
4,5
5,0
38- (ANRESC) Quantos quilogramas de semente são
necessários para semear uma área de 10 m x 24 m,
observando a recomendação de aplicar 1 kg de
semente por 16 m2 de terreno?
a) (
b) (
c) (
d) (
e) (
)
)
)
)
)
R$ 105,60.
R$ 247,50.
R$ 353,10.
R$ 393,60.
R$ 495,20.
35- (OBMEP) Placa decorativa – Uma placa
decorativa consiste num quadrado branco de quatro
metros de lado, pintado de forma simétrica com
partes em cinza, conforme a figura.
a) ( )
1
15
b) ( ) 1,5
c) ( ) 2,125
d) ( ) 15
39- (CEFET-MG) No retângulo ABCD os lados AB
e BC medem, respectivamente, 16 cm e 10 cm e E e
F são pontos médios dos segmentos.
Qual é a fração da área da placa que foi pintada?
A área do triângulo CEF, em cm2, é
36- (CPFO-SP) Se a base de um retângulo mede 7
cm e o perímetro mede 19 cm, então, a sua área
vale:
a) (
b) (
c) (
d) (
) 9,5 cm2
) 17,5 cm2
) 35 cm2
) 84 cm2
a) (
b) (
c) (
d) (
)
)
)
)
20
40
60
80
40- (CEFET-MG) Sabendo-se que os polígonos
ABCD, EFGH e IJLM são quadrados, a área
hachurada na figura abaixo, em cm2, é igual a:
22
45- (FUVEST-SP) Dois blocos de alumínio, em
forma de cubo, com arestas medindo 10cm e 6cm,
são levados juntos à fusão e, em seguida, o alumínio
é moldado como um paralelepípedo reto-retângulo de
arestas 8cm, 8cm e x cm. O valor de x é:
a) (
b) (
c) (
d) (
e) (
a) (
b) (
c) (
d) (
)
)
)
)
) 20
) 19
) 18.
) 17
) 16
46- (SENAI) Na entrada da cidade de Fluidópolis,
foi construído um obelisco composto de um pedestal
de concreto e cubos metálicos maciços, formando a
inicial da cidade, conforme a figura a seguir.
1
2
3
4
41- Quanto medem as arestas de um cubo cuja área
total é de 600 cm2?
a) ( )
6 cm
b) ( ) 10 cm
c) ( ) 6 cm
d) ( ) 10 cm
2
42- Uma face de um cubo tem área 81cm . Seu
volume é:
a) (
b) (
c) (
d) (
e) (
3
) 9cm .
) 81cm3.
) 180cm3.
) 243cm3.
) 729cm3.
Se cada cubo tem aresta de 50 cm, o volume de metal
usado nos cubos que compõem esse obelisco foi de:
a) (
b) (
c) (
d) (
e) (
)
)
)
)
)
3,000 m3.
2,725 m3.
2,000 m3.
1,575 m3.
1,000 m3.
43- (FAFI-MG) As dimensões de uma piscina
olímpica são: 50m de comprimento, 25m de largura e
3m de profundidade. O seu volume, em litros, é:
47- (SENAI) Na praça central de uma cidade foi
construído um obelisco, em forma de cruz, conforme
a figura. A cruz é compacta e construída com cubos
de alumínio de arestas iguais a 80 cm. O volume de
alumínio usado para construir somente a cruz foi de:
a) (
b) (
c) (
d) (
e) (
a) (
b) (
c) (
d) (
e) (
) 3750.
) 37500.
) 375000.
) 3750000.
) 37500000.
)
)
)
)
)
5,12 m3.
4,80 m3.
4,48 m3.
4,16 m3.
3,84 m3.
44- (CESCEA-SP) Se a soma das arestas de um
cubo é igual a 72 cm, então o volume do cubo é igual
a:
a) (
b) (
c) (
d) (
e) (
) 100 cm3.
) 40 cm3.
) 144 cm3.
) 16 cm3.
) 216 cm3.
23
9- QUESTÕES DISCURSIVAS
Ângulos
1- As figuras mostram um quadrado ABCD e um
hexágono regular CDEFGH.
4- Em um terreno de forma triangular deve-se
construir uma quadra retangular, de acordo com a
ilustração.
Determine, em graus, a medida do ângulo ADˆ E .
2- Na figura, as retas r e s são paralelas. Determinar
os valores de a, b, c e d.
Se a e b representam, em metros, as dimensões da
quadra, determine-os.
Teorema de Pitágoras
5- (FUVEST-SP) Uma escada de 25 dm de
comprimento se apóia num muro do qual seu pé dista
7 dm. Se o pé da escada se afastar mais 8 dm do
muro, qual o deslocamento verificado pela
extremidade superior da escada?
Semelhança de triângulos
3- (UNICAMP) Uma rampa de inclinação constante,
como a que dá acesso ao Palácio do Planalto, em
Brasília, tem 4 metros de altura na sua parte mais
alta. Uma pessoa, tendo começado a subi-la, nota que
após ter caminhado 12,3 metros sobre a rampa, está a
1,5 metro de altura em relação ao solo. Calcule
quantos metros a pessoa ainda deve caminhar para
atingir o ponto mais alto da rampa.
24
outro terreno, a medida do comprimento é 80% da
medida do comprimento do primeiro. Se ambos têm
a mesma área, qual a largura do segundo terreno?
9- (CPFO) Qual a área da região colorida?
6- (CEFET-PR) Em um acampamento escoteiro,
num certo momento, a atividade que se desenvolvia
em um terreno plano visava o treinamento do uso
da bússola. A escoteira Rosa Dosven Tussin partiu
de um ponto A e andou no sentido Norte, 137
passos até o ponto B. Em seguida caminhou 21
passos, no sentido Oeste, até o ponto C e, depois,
165 passos, no sentido Sul, até o ponto final D. Lá
chegando, encontrou um tesouro: uma caixa de
chocolate “Tris”. A que distância do ponto A, de
partida, estava escondido o tesouro?
Use π = 3,14.
Paralelepípedo
Círculo e Circunferência
7- (UFMA) No relógio da torre de uma igreja, o
ponteiro maior mede 2 m. Em quanto tempo a
ponta desse ponteiro percorre 5 π metros?
10- A superfície lateral de um prisma de base
quadrada é feita com uma folha de cartolina de 30
cm por 40 cm. Sabendo-se que a altura do sólido é
30 cm, pergunta-se:
a) Quantos centímetros tem o lado do quadrado da
base do prisma?
b) Quantos centímetros quadrados de cartolina no
total foram gastos na construção desse sólido?
Áreas das figuras planas
8- As dimensões de um terreno retangular são: 80
m de comprimento por 12 m de largura. Em um
25
QUESTÕES DISCURSIVAS – OBMEP
As questões a seguir foram obtidas de materiais
das Olimpíadas Brasileiras de Matemática das Escolas Públicas.
Encare as questões como desafios e persista na busca por soluções!
11- Triângulo isósceles – Na figura, o triângulo
∆ABC é isósceles, com BÂC = 20º . Sabendo que
BC = BD = BE, determine a medida do
ângulo BDˆ E .
14- Ângulos em função de x – Na figura estão
indicadas, em graus, as medidas de alguns ângulos
em função de x. Quanto vale x?
12- Ângulos e perímetro – Calcule os ângulos que
não estão indicados e o perímetro da figura, sabendo
que BD = BC e DBˆ C = BCˆ D .
15- Região sombreada - A figura mostra um
retângulo formado por 18 quadrados iguais com
algumas partes sombreadas. Qual é a fração da área
do retângulo que está sombreada?
13- Área – Um lote retangular foi divido em quatro
terrenos, todos retangulares. As áreas de três deles
estão dadas na figura, em km2. Qual é a área do lote?
16- A casa da Rosa – A figura mostra a planta da
casa da Rosa. O quarto e o quintal são quadrados.
Qual é a área da cozinha?
26
18- Triângulos e ângulos. . . – Determine os ângulos
α e β dados na figura.
17- A figura mostra um dodecágono regular
decomposto em seis triângulos equiláteros, seis
quadrados e um hexágono regular, todos com lados
de mesma medida.
19- Poste elétrico – Uma companhia de eletricidade
instalou um poste num terreno plano. Para fixar bem
o poste, foram presos cabos no poste, a uma altura de
1,4 metros do solo e a 2 metros de distância do poste,
sendo que um dos cabos mede 2,5 metros, conforme
a figura.
a) Se cada triângulo da figura tem área igual a 1 cm2,
qual é a área do hexágono?
b) A figura abaixo foi obtida retirando doze
triângulos eqüiláteros de um dodecágono regular cujo
lado mede 1 cm. Qual é a área dessa figura?
Um professor de Matemática, após analisar estas
medidas, afirmou que o poste não está perpendicular
ao solo. Você acha que o professor está certo?
Justifique sua resposta.
c) A figura abaixo foi obtida retirando dois
hexágonos regulares de um dodecágono regular cujo
lado mede 1 cm. Qual é a área dessa figura?
20- Discos de papelão – Para fabricar nove discos de
papelão circulares para o Carnaval usam-se folhas
quadradas de 10 cm de lado, como indicado na
figura. Qual é a área (em cm2) do papel não
aproveitado?
(Use π = 3,1)
27
Figura Questão 22
a) Quantas peças foram obtidas?
21- Triângulos impossíveis – Quais dessas figuras
estão erradas?
b) Um metro cúbico dessa madeira pesa
aproximadamente 900 kg. Qual é o peso de cada uma
dessas peças?
23- Pedro gasta 1 mL de tinta cinza para pintar 100
cm² de superfície.
a) O sólido da figura foi feito colando uma face de
um cubo de aresta 10 cm em uma face de um cubo de
aresta 20 cm. Quantos mL de tinta Pedro precisa para
pintar esse sólido?
22- Dividindo o paralelepípedo – Um bloco de
madeira na forma de um paralelepípedo retângulo
tem 320 cm de comprimento, 60 cm de largura e 75
cm de altura. O bloco é cortado várias vezes, com
cortes paralelos às suas faces, de modo a subdividi-lo
em blocos menores, todos na forma de
paralelepípedos retângulo de 80 cm de comprimento
por 30 cm de largura por 15 cm de altura.
28
b) Pedro gastou 54 mL de tinta para pintar um cubo e
depois dividiu esse cubo pintado em dois blocos
retangulares iguais, como na figura. Quantos mL a
mais de tinta ele gastará para acabar de pintar esses
dois blocos?
10- RESPOSTAS DAS QUESTÕES
QUESTÕES OBJETIVAS
1
17
33 A
C
B
2
18
34 C
D
B
3
19
D
D 35 C
4
20
B
A 36
B
5
21
A
C 37 D
6
22
E
C 38 D
7
23
39 C
D
B
8
24
40 A
C
B
9
25
B
D 41 D
10
26
A
A 42
E
11
27
E
A 43 D
12
28
44
C
B
E
13
29
D
A 45
B
14
30
B
C 46 C
15
31
47 A
C
B
16
32
D
C
24- Quadrado, Pentágono e Icoságono. A figura
mostra parte de um polígono regular de 20 lados
(icoságono) ABCDEF..., um quadrado BCYZ e um
pentágono regular DEVWX.
QUESTÕES DISCURSIVAS
1) 150º
2) a = 70º, b = 30º, c = 80º, d = 70º
3) 20,5 m 4) a = 4 5 m e b = 4 m
5) 4 dm
6) 35 passos
8) 15 m
9) 21,5 cm2
7) 1 hora 15 min
10) a) 10 cm b) 1400 cm2 11) 60º
Determine a medida do ângulo YDˆ C .
12) Perímetro: 696 m
Ângulos não indicados: 128º, 80º, 60º, 60º, 60º
13) 225 Km2
15)
4
9
14) 18º
16) 16 m2
17) a) 6 cm2
b) 6 cm2
c) 6 cm2
18) α = 120 º eβ = 85º
19) Correto.(Apresente sua justificativa !)
20) 22,5 cm2
21) Todas.(Apresente sua justificativa !)
22) a) 40 peças b) 32,4 Kg
23) a) 28 mL b) 18 mL
24) 54º
29