MÓDULO I – 23 a 27 Jan/06 Profs. Eugênio & Altemani
FENÔMENOS DE TRANSPORTE – CHEMTECH
AULA 2
1. Formulação Geral Equações de Transporte.
2. xxx.
3. xxx
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FENÔMENOS DE TRANSPORTE – CHEMTECH
Parte I
Formulação Geral
das Equações de Transporte
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Preliminares
• Na aula 1 foram vistas alguns tipos de Equações
de Transporte.
• O desafio desta aula é colocar as equações vistas,
e outras que serão apresentadas, numa única
forma geral capaz de representar qualquer uma
delas.
• A vantagem da representação geral permite que
um único Solver possa tratar cada Equação
isoladamente ou resolvê-las simultaneamente.
• A abordagem realizada neste tópico será baseada
nas práticas empregadas pelo PHOENICS
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Forma Geral das Equações de Transporte
• O método dos volumes finitos parte da forma
conservativa das Eq. Transporte. Considere uma
variável escalar f genérica:

  
   V    S
t

• onde  é o coeficiente
difusivo definido por:

   L   T
  

PrT
 PrL



• O fonte S tem natureza diversa:
i) representam as condições de contorno do fenômeno;
ii) modelam a ação de forças ou energia de novos
mecanismos físicos ou ;
iii) representam todos os outros termos da eq. particular
que se quer representar e que não são representados
pelo lado esquerdo da equação!
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O Coeficiente Difusivo, 
• O coeficiente difusivo  no PHOENICS tem um
papel central no modelo:
   L   T
  

PrT
 PrL



• Ele representa a contribuição dos termos
‘laminares’ e ‘turbulentos’ da modelagem, subíndices L e T, respectivamente.
• O coeficiente de difusão de qualquer fenômeno
é representado pelo produto da densidade e da
viscosidade cinemática divido pelo parâmetro Pr
que está associado a uma variável.
• O significado de Pr será explorado ao longo de
exemplos nesta aula.
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Equações Auxiliares
Para modelar um fenômeno é frequente a utilização de
equações auxiliares para definir:
• Prop Termodinâmica.: densidade, entalpia, etc
• Prop Transporte: viscosidade, difusividade,
condutividade, etc
• Termos Fonte: leis de cinética química, dissipação
viscosa, Coriolis, absorção de radiação, etc
• Termos ´artificiais´: falso transiente para relaxação e
condições de contorno
Todos os termos dependem de uma ou mais das
variáveis e/ou das equações auxiliares. A medida que
um número maior destas equações auxiliares se faz
necessário, ele causa um aumento no ´grau´ de nãolinearidade do sistema.
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Natureza dos Termos

  
   V    S
t


• A equação geral possui três termos no lado
esquerdo: transiente, convectivo e difusivo.
• Nem todos fenômenos de transporte requerem a
existência simultânea destes termos. O comando
TERMS no grupo 8 permite a ativação ou não de
cada um deles:
Group 8. Terms & Devices
* Y in TERMS argument list denotes:
* 1-built-in source 2-convection 3-diffusion 4-transient
* 5-first phase variable 6-interphase transport
TERMS (P1 ,Y,Y,Y,N,Y,N)
TERMS (U1 ,Y,Y,Y,Y,Y,N)
TERMS (V1 ,Y,Y,Y,Y,Y,N)
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• A seqüência desta parte I da aula 2 será a
representação de alguns tipos de Equação de
Transporte na forma geral identificando seus
termos fontes.
• Serão representadas as Equações de
–
–
–
–
–
Massa
Q. Movimento
Energia
Concentração
Miscelânia
• Para facilitar a representação será adotado o
sistema cartesiano e a notação indicial.
• Um paralelo com a prática do PHOENICS será
realizado onde for possível.
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Notação Indicial para Eq. Geral de Transporte
• A Eq. de Transporte em Notação vetorial

  
   V    S
t


• também pode ser representada em notação
indicial pelos operadores
  
 
 

 Vj  
 S

t
x j 
x j 
• onde j pode variar de 1 a 3 representando cada
uma das direções ortogonais.
•  é uma variável escalar genérica e
• o operador  ou /xj é o gradiente de uma
grandeza escalar 
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Equação Diferencial da Massa
• Fazendo  = 1,  = 0 e S = 0, chega-se a forma da
Equação da Conservação da Massa:
 



Vj  0
t x j
• Note que para fluidos incompressíveis, isto é, 
constante, a forma geral também satisfaz pq o
termo transiente deixa de existir e ela se reduz
para:
 

Vj  0
x j
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Equação de Navier Stokes
• A Equação de NS não é uma equação escalar mas
vetorial. Esta é uma das dificuldades que a forma
geral da equação de transporte encontra.
• Ela é superada tratando cada componente da Eq.
NS como uma equação de um escalar.
• A estratégia é: colocar os termos que forem
possíveis das Eq. NS para cada componente na
forma da Eq. Geral de Transporte (escalar) e,
aqueles que não se ajustarem entram como termo
fonte.
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Equação de Navier Stokes
 




 V
2


   VV  P       V  2 S   g
t
 3

• A componente i é:


 Vi 



 Vj Vi  
t
x j
x i



   Vi Vj 
P  2   V

 

  g i




3
 x i   x j x i 
• onde i e j podem variar de 1 a 3 representando
cada uma das direções ortogonais.
• Cada componente é gerada fixando um i e
somando as variações de j,
• O próximo slide traz como exemplo a componente
na direção X;
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Equação de Navier Stokes, dir. X
 Vi 



 Vj Vi  
t
x j
x i



   Vi Vj 
P  2   V

 

  g i




3
 x j   x j x i 
• Assumindo que os índices 1,2 3 representam as
direções ortogonais X, Y e Z e que por sua vez
estão associadas às velocidades U, V e W, então a
equação para direção x é:
 U 




 UU 
 VU 
 W U 
t
X
Y
Z

 
2

P    V 
X 
3


   U U  

  

 
 X   X  X   Y
 g x

 U V  
 

 
  Y  X   Z
 U W  
 


   Z X  
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Equação de NS
 Vi 



 Vj Vi  
t
x j
x i



   Vi Vj 
P  2   V

 

  g i




3
 x j   x j x i 
• Pode-se perceber que a forma da equação de NS
ainda está longe de se ajustar a forma geral:
  
 
 

 Vj  
 S

t
x j 
x j 
• Rearranjando os termos viscosos podemos reescrever as componentes de NS como:
 Vi 
V
 

 Vj Vi    i
t
x j 
x j

   P  

x i x i


  Vj 
 2   V
 3
  x   x   g i
j 
i 
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Equação de NS: compressível e  variável
 Vi 
V
 

 Vj Vi    i
t
x j 
x j

   P  

x i x i


  Vj 
 2   V
 3
  x   x   g i
j 
i 
• A representação de NS atende à forma geral e é
válida para um escoamento em regime laminar,
compressível ou incompressível, e viscosidade
variável (T ou S) ou constante.
• O lado direito da equação traz os termos fonte:
–
–
–
–
Pressão, Sp
Compressível, Sc
Viscoso, S
Força de Campo, Sg
Note que a viscosidade do fluido pode variar com a temperatura ou
também com o módulo do tensor S no caso de fluidos não
Newtonianos Generalizados (power law fluids)
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Equação de NS: incompressível e  variável
• Para escoamentos incompressíveis, V=0 portanto
a eq. NS pode ser simplificada e um termo fonte é
eliminado.
• Desejamos manter ainda a possibilidade de
viscosidade variável (T ou S)
 Vi 
V
 

 Vj Vi    i
t
x j 
x j

   P  

x i x j

 Vj 
 
  g i
 x i 
• O lado direito da equação traz os termos fonte:
– Pressão, Sp
– Viscoso, S
– Força de Campo, Sg
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Equação de NS: incompressível e  cte.
• Se a viscosidade é constante, o termo fonte
viscoso, S é nulo:

x j
 V j 

 

x i
 x i 
 V j 

0
 x j 


V 0
• Neste caso a Eq. NS assume sua forma mais
simples, com dois termos fonte: pressão e força de
campo.
 Vi 
Vi
 

 Vj Vi   
t
x j 
x j

   P  g i

x i

• O termo de campo é relevante somente para
escoamentos com superfície livre; escoamentos
internos ele pode ser incorporado ao termo de
pressão: P* = P+gz.
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Equação de NS – Regime Turbulento
• Considerando que a eq. NS representa o campo
médio de velocidades, surge um termo extra de
tensão (tensões de Reynolds) devido a presença
dos turbilhões.
• O tensor das tensões para um fluido Newtoniano,
incompressível com  constante é:
 Vi
Tij   P ij  
 x j


   v i v    P ij     T  Vi
j

x j

• e a equação de transporte passa a ser
 Vi 
V
 

 Vj Vi      T  i
t
x j 
x j

   P  g i

x i

• onde T é a viscosidade cinemática turbulenta
obtida por meio de modelos de turbulência
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Termos Extras
• A análise até o momento foi realizada num tensor
cartesiano. Para outros sistemas de coordenadas
surgem termos associados a inércia e à
viscosidade.
• Exemplo:, sistema cilíndrico-polar com axi-simetria
para um fluido com propriedades constantes
qX
 
U 
 
U 

W
U




VU


0




Z 
Z  Y 
Y 
 
V 
 
V 
P
V
U2
RY
W V  

VV  

 2 
Z 
Z  Y 
Y 
Y
Y
Y
ZZ
 
W 
 
W 
P

W
W




VW




Z 
Z  Y 
Y 
Z
• (q,R,Z) correspondendo a (X, Y,Z)
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Eq. Geral NS e seus termos fontes

 Vi 
 


 Vj Vi  
Vi   S P  S C  S   g i

t
x j 
x j

Vi
S

Q. Mov. X
Q. Mov. Y
U
V


P 2 


  V 
X 3 X
  U 
  V    W 





  g X
X  X  Y  X  Z  X 



P 2 


  V 
Y 3 Y
  U 
  V    W 





  g X
X  Y  Y  Y  Z  Y 
Q. Mov. Z
W



P 2 


  V 
Z 3 Z
  U 
  V    W 





  g X
X  Z  Y  Z  Z  Z 
Representação válida somente para coordenadas cartesianas
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Eq. Geral NS e sua Implementação PHOENICS
• O PHOENICS já possui implementado três termos
fontes para eq. NS : pressão, centrífugo e Coriolis.
Todos os outros o usuário terá que inserir.
Compressivel?
Viscosidade
Comp Incomp
 cte
X
X
 var
Lam
X
X
X
X
X
X
X
X
Regime
Turb
S
Phoe
User
X
SP
SC+S
X
SP
SC
X
SP
S
X
SP
-
SP
-
X
Sistema de coord. cilíndrico-polar requerem termos fonte viscosos
que deverão ser implementados pelo usuário.
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FENÔMENOS DE TRANSPORTE – CHEMTECH
Eq. Geral NS e sua Implementação PHOENICS
• Os efeitos de compressibilidades não são sentidos
até Ma ~0.3. Em geral o termo 2/3V é pequeno e
pode ser desprezado na maioria das aplicações,
exceção pode ocorrer na presença de choques.
• O termo fonte viscoso se faz sentir para dois casos:
quando m varia com a temperatura e também para
simulações com fluidos não-Newtonianos.
1. A variação de  com T ‘pode ser lenta’ e fazer com
que o termo S seja desprezível. Ele de fato é para
Escoamentos em Camada Limites.
2. Fluidos não-Newtonianos tem a viscosidade
dependente da deformação e o termo S não pode ser
desprezado. O manual do PHOENICS não é claro
sobre a prática adotada, vale a pena investigar mais...
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FENÔMENOS DE TRANSPORTE – CHEMTECH
Equação de Transporte da Entalpia, h
• A Equação de Transporte da Entalpia é de
natureza escalar.
 h 


T DP

 Vi h  
k

 f  q
t
x i
x i
x i
Dt
• A estratégia é: colocar os termos que forem
possíveis da equação na forma da Eq. Geral de
Transporte (escalar)
  
 
 

 Vj  
 S
t
x j 
x j 
• e, aqueles que não se ajustarem entram como
termo fonte.
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Equação de Transporte da Entalpia, h
• A primeira dificuldade encontrada é que o termo
difusivo não depende da entalpia, mas da
temperatura.
• Para uma substância simples,
h  hP, T  dh 
dh  C P dT 
1  T 

dP;
h
h
dT 
dP
T P
P T
v

T P
 coe f compre ss.


 isobárica 


• Para líquidos, h = h(T) e portanto dh = CdT
• Para gases ideais, b = 1/T, portanto dh = CpdT
• Para gases reais, h = h(P,T) mas para eq. Energia
adota-se a aproximação: dh = CpdT
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Equação de Transporte da Entalpia, h
• Pode-se expressar a temperatura em função da
entalpia no termo difusivo da equação:
h
T
 CP
x i
x i

T
1 h

x i
C P x i
• Assim chega-se a forma geral da eq. transporte,
 h 
 
k h

  Vi h 
t
x i 
C P x i
 DP
 
 f  q
 Dt
• O lado direito da equação traz os termos fonte:
– Trabalho de Pressão, Sp
– Dissipação viscosa, f
– Fonte volumétrica de energia, q’’’
• A eq. é válida para escoamentos compressíveis
ou incompressíveis e propriedades variáveis.
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Equação de Transporte da Entalpia, h
• Para ajustar-se a prática do PHOENICS ainda é
necessário definir o coeficiente difusivo, :

k
k





 Pr h 

Prh  C P
CP 
• Neste caso o Pr(h) é o próprio N. Prandtl do
fluido,
 h 
 
  h

  Vi h 
t
x i 
Pr x i
 DP
 
 f  q
 Dt
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Equação de Transporte Turbulento da Entalpia, h
• O fluxo turbulento de energia é proporcional ao
gradiente do campo médio de temperatura
(hipótese de Boussinesq):
  T  T



q T i  C P 
 PrT  x i
• Ele pode ser diretamente incorporado ao termo
difusivo da eq. da entalpia :
    T  h
 h 
 


  Vi h  

t
x i 
 Pr PrT  x i
 DP


 Dt  f  q

• PrT é o n. Prandtl turbulento, PrT ~0.9.
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Equação de Transporte da Entalpia, h
• A equação de transporte de entalpia se ajusta
bem a forma geral da equação de transporte. Há
porém um inconveniente em sua aplicação:
definição de condição de contorno em paredes.
• Em geral se conhece nas paredes sua
temperatura e não sua ‘entalpia’, neste caso os
contornos onde estão especificados temperatura
terão que ser multiplicados por Cp.
• Para superar este inconveniente foi desenvolvida
a equação para transporte da Temperatura!
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FENÔMENOS DE TRANSPORTE – CHEMTECH
Equação de Transporte da Temperatura
•
A Equação de transporte da Temperatura,
CP
•
•
 T

  T 
DP
  T
 CP
 Vi T 
  k
 f  q
t
x i
x i  x i 
Dt
tem o calor específico multiplicando seu lado
esquerdo. Isto causa um problema para expressála na forma geral da eq. de transporte.
Dividindo ambos os lados por Cp,

 T

1   T   T DP f q
 

 VT 
  k


t
x i
C P x i  x i  C P Dt C P C P

•

ainda não é suficiente. Para forçar a forma geral
um novo fonte aparece:

 T
 
k
 T DP f q  T    1 
 

  Vi T 
T   


  k


t
x i 
CP
C
Dt
C
C

x
P
P
P
i  x i  Cp 


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FENÔMENOS DE TRANSPORTE – CHEMTECH
Equação de Transporte da Temperatura
•
No entanto, se considerarmos Cp constante ou
que o novo termo fonte associado a variação de
Cp seja muito pequeno em relação aos demais,
•
A equação de transporte para temperatura
simplifica-se para:
 T
 
k T 
T DP f q
  

  Vi T 


t
x i 
C P x i 
C P Dt C P C P
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Equação de Transporte da Temperatura
    T  T 
 T
 
 T DP f q 




  Vi T  






t
x i 
C P Dt C P C P
 Pr PrT  x i 
• O lado direito da equação traz os termos fonte:
– Trabalho de Pressão, Sp
– Dissipação viscosa, f/Cp
– Fonte volumétrica de energia, q’’’/Cp
• A eq. é válida para escoamentos compressíveis
ou incompressíveis, transporte de calor em
regime laminar ou turbulento e propriedades
variáveis, exceto o calor específico, Cp.
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Equação para Entalpia Total, h0
• A eq. Transporte da entalpia total é
h 0

Vi h  

t
x i

x i
 T   P

 k
 
 Vi
x i
 x i  t
 2 V j

 
 2 S ij   f  q 
 3 x j



• para calor específico constante,
h 0


t
x i


 h 
 Vi h 0         0  
 Pr Pr  x 

t 
i 



P
  2 Vj
 Vi

 2 S ij   f  q 

t
x i  3 x j

Sh 0
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Equação de Transporte de um Componente
• A equação de transporte para o componente ou espécie
química ‘m’ de uma mistura é:
 
 t  w m
 w m 
 


  Vi w m  

t
x i 
 Prm Prtm  x i

  m


• Onde wm é a concentração mássica da espécie m
• A variável Prm é /D, também conhecida como n. de
Schmidt, Scm
• A variável Prtm é o correspondente Sc do transporte
turbulento
•
e m representa a geração (+) ou extinção (-) da espécie
m por reação química, m tem unidade de kgm/(s.m3).
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Equações de Transporte para Modelo k-e
Dentre os modelos de turbulência, o modelo k-e é
um dos mais populares. Para referência as que.s de
transporte para k e e são mostradas na forma geral,
 k


t
 xi


 T   k
 Vi k     



 K   xi



 T   e
e
 



Vi e     

t
 xi 
 K   xi

O termo de
produção, Pk, é
determinado por:
e a viscosidade
turbulenta:
Pk 
u 'i u 'j

  Pk  e


2

e
e
  C e1 Pk  C e1

k
k

  Ui  U j   Ui
 Ui


 T 

  Tf


 xj
 xi   x j
  xj
 T  C
2
k
e
Hipótese
Bousinesq
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Eq. Geral Escalar e seus termos fontes
  
 
 

 Vj  
S


t
x j 
x j 
Pr 

k

 Cp
T
Pr 

k

 Cp
h0
Pr 

k

 Cp
wm
Pr 

 Sc
D
h
k
Pr  1
e
Pr  1
onde
    T 

  

Pr
Pr
T 

  h, T, h 0 , w m , k e e
 P
P 

  f  q
 Vi

t

x
i 


 T  P
P  f q  T    1 





 Vi

 k
C P  t
x i  C P C P  x i  x i  C P 

P
  2 Vj
 Vi

 2 S ij   f  q


t
x i  3 x j

m
Pk  e
Ce1
e
e2
Pk  Ce1
k
k
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Eq. Geral Escalar e sua Implementação PHOENICS
• O PHOENICS já possui implementado dois termos
fontes para eq. entalpia : o trabalho de pressão e o
termo de dissipação de energia mecânica em
energia térmica .
• Estes dois termos fontes são aqueles que a eq. H1
necessita, note porém que GXGENK – dissipação en.
Mecânica não inclui a parcela compressível.
• O PHOENICS não possui termo fonte ‘implementado’
para nenhuma outra forma da equação da energia
(TEM1 ou h0) pelo menos é o que o manual diz.
• O PHOENICS não emprega a forma geral da equação
de transporte quando resolve temperatura, mas ele
também não informa como ele implementa.
• Os termos fontes para modelo k-e são
implementados ao ativar o modelo no PHOENICS
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Notas Finais da Parte I
• Até o momento vimos que as equações de
transporte podem ser representadas, de forma
genérica como:

  
   V    S
t


• Nem todos os fenômenos físicos que elas podem
modelar requerem que todos os seus termos
estejam presentes.
• A supressão dos termos: transiente, convectivo
ou difusivo muda o comportamento da equação
e seus requerimentos de condições de contorno.
• Para melhor entender este comportamento é
necessário classificar as EDP, assunto de nosso
próximo tópico.
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Parte II
Classificação das Equações
Diferenciais
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Condições Iniciais e de Contorno
• A definição da Eq. Geral de Transporte

  
   V    S
t


não é completa a menos que sejam definidas as
C.I. e C.C. Do fenômeno que ela representa.
• As C.I. e C.C. variam dependendo do tipo de
equação diferencial que o modelo emprega.
• A distinção é feita baseando-se no modo como a
informação do contorno é transportada para o
domínio.
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Nota Introdutória
• A forma geral da Eq. de Transporte é complexa
para iniciarmos nosso estudo, vamos deixá-la
para o final.
• Vamos começar estudando três ‘simples’ EDP
lineares e sua dependência com relação a
informação do contorno.
• Elas são:
– Equação da condução em
regime permanente
– Equação da difusão em
regime transiente
– Equação da onda
 2
x
2

 2
y
2
0
  2 

t
x 2
 2
t
2
c
 2
x 2
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Condições Iniciais e de Contorno - EDP - HIPERBÓLICAS
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• Hiperbólicas: duas características reais e distintas. A informação se
propaga com velocidade finita em duas direções.
 2f
x
Y
2

1
 2f
M  1 y
2
2
0
Características
(Mach const.)
P
Y
X
b
a
P depende das
informações
ao longo do
segmento a-b
c
X
C.C.: necessário conhecer u & v ou
f ao longo da linha
Condições Iniciais e de Contorno - EDP - PARABÓLICAS
u
Y
u
u
 u
v

x
y
y 2
u = Uext
u = Uinlet
Y
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• Parabólicas: as linhas características se degeneram para uma única
curva real. A informação se propaga com velocidade finita em uma
direção. Fisicamente significa que a informação de P influencia a
solução somente em um lado do plano XY
2
P
u=0
X
• O valor de P influência a solução somente aos pontos à sua direita.
• P depende dos valores à sua esquerda mas não daqueles à sua direita.
• A solução numérica utiliza um processo de marcha em X.
• É necessário especificar somente uma fronteira em X a outra
extremidade é aberta
X
Condições Iniciais e de Contorno - EDP - ELÍPTICAS
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• Elípticas: as linhas características são complexas. A informação se
propaga em todas direções com velocidade infinita.
• Fisicamente significa que a informação de P recebe a influência de
todos os pontos do domínio!
 2T
Y
x
2

 2T
y
2
0
T/ x = 0
Neuman
• Em EDP Elípticas somente
se você conhecer os valores
em todo o contorno você
pode determinar a solução
T/ x = 0
Neuman
X
q”= -kT/ x
Neuman
P
T=0
Dirichlet
Escoamentos
y
OUTLET
INLET
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p/
de Contorno
Condições
DE TRANSPORTE
FENÔMENOS
– CHEMTECH
NWALL
BLOCK
SWALL
z
PATCH NAMES
VARIÁVEL
INLET
OUTLET
NWALL
SWALL
MASSA
WINA
---
---
---
---
---
---
---
---
---
W=0
V=0
No slip
W=0
V=0
No slip
W=0
V=0
No slip
W=0
V=0
No slip
PRESSÃO
---
Q.
MOVIMENTO
WIN2A
ENERGIA
CpTINWINA
P = PREF(*)
Fixa P
referência
saída
dW/dz=0
dV/dz=0
Local//e
parabólico
BLCNWALL BLCHWALL
dT/dz=0
T = Twall dT/dy=q.A/k dT/dy = 0
Local//e
Temp. fluxo de calor
bloco
Parabólico
fixa
imposto
adiabático
dT/dz = 0
bloco
adiabático
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• O TERMO Dp/dt na equação
da energia está com sinal
trocado.
• verifique
    T  h
 h 
 


  Vi h  

t
x i 
 Pr PrT  x i
 DP


 Dt  f  q

    T  T 
 T
 
 T DP f q 



  Vi T  





t
x i 
C P Dt C P C P
 Pr PrT  x i 