Folhetim Educ. Mat., Feira de Santana, Ano 17, Número 156, set./out. 2010
Este Folhetim é um veı́culo de divulgação,
circulação de ideias e de estı́mulo ao estudo e
à curiosidade intelectual. Dirige-se a todos
os interessados pelos aspectos pedagógicos,
filosóficos e históricos da Matemática. Pretende construir uma ponte para unir os que
estão próximos e os que estão distantes.
Prosseguimos com as notas intituladas “A
Matemática: suas origens, seu objeto e seus
métodos - Parte I”, de autoria do professor Carloman, publicada em janeiro de 1983,
pelo Departamento de Ciências Exatas da
UEFS. Neste número, veremos um pouco
mais sobre o Realismo.
Nesta edição, prestamos também uma singela homenagem ao professor Geraldo Ávila.
Transcrevemos um texto elaborado por seus
filhos e que foi publicado no site da Revista
do Professor de Matemática - RPM.
Este ilustre matemático já nos brindou
com a publicação do artigo “A Eficácia da
Matemática”, cuja versão digital já está
disponı́vel no site do NEMOC. Em 2005,
ele ministrou, aqui na UEFS, uma palestra
sobre “O Ensino da Análise Matemática
na Licenciatura”. Por fim, nunca é demais
registrar que o professor Geraldo Ávila
deixou um legado inestimável para todos
aqueles envolvidos com a Matemática e com
o ensino desta ciência.
Carloman Carlos Borges (UEFS) - in memoriam
Inácio de Sousa Fadigas (UEFS)
Marcos Grilo Rosa (UEFS)
Trazı́bulo Henrique (UEFS)
ISSN 1415-8779
A Matemática: suas origens, seu objeto e seus
métodos (continuação)
Carloman Carlos Borges
1.4 O Realismo (continuação)
Com a construção intelectual da série dos números naturais, o homem passou a empregá-la diariamente estabelecendo
relações entre eles; da análise dessas relações deve ter surgido
as primeiras operações aritméticas: a adição e a multiplicação;
aquela, do hábito com diversas coleções e esta, da experiência
de lidar com várias coleções iguais. Diante, por exemplo, de
duas coleções de ovelhas, a coleção A com cinco ovelhas e a
coleção B com dez ovelhas, ele deve ter percebido que A poderia ser “misturada” com B, resultando outra coleção C com
quinze ovelhas da mesma forma que B poderia ser “misturada”
com A, originando a mesma coleção C. Da abstração da natureza concreta dos elementos das coleções A, B e C, deve ter
surgido a primeira lei da adição, a comutativa; sendo a, b e
c, respectivamente, as quantidades de elementos das coleções
A, B e C, então: a + b = b + a = c. Ainda no processo de
adicionar coleções iguais, isto é, quando a = b, surgiu o percebimento de que a + b = a + a = 2a. Para adicionar doze
coleções, cada uma com doze objetos, basta “multiplicar” doze
por doze e, desta operação, resulta uma “grosa”. Firmadas as
duas operações aritméticas e com o seu desenvolvimento material, social e, consequentemente, mental, o homem teve de
enfrentar outros problemas práticos, sem solução no quadro
dessas duas operações.
Surgiu, então, a necessidade de novos números, os números
racionais, como consequência de outro problema prático: o
problema da medida. Assim, os números racionais surgiram
como abstração do processo de medir. A medição de terras
se impôs para os antigos como um problema vivo, concreto:
“Sesórtis... repartiu o solo do Egito entre seus habitantes...
Se o rio levava qualquer parte do lote de um homem... o rei
mandava pessoas para examinar, e determinar por medida a
extensão exata da perda... Por esse costume, eu creio, que a
Geometria veio a ser conhecida no Egito, de onde passou para
a Grécia”. Estas palavras são do historiador grego Heródoto e
esclarece muito bem o que queremos dizer com problema vivo
Folhetim Educ. Mat., Feira de Santana, Ano 17, Número 156, p.2, set./out. 2010
e concreto.
Para simplificar a apresentação dessa questão,
consideremos o problema da medida de segmentos.
Seja o segmento AB; medi-lo, significa compará-lo
com outro segmento CD, chamado de unitário; o resultado dessa comparação é um número que é a medida
do segmento AB e será indicado por m(AB). Estes
conceitos retratam o primeiro conhecimento, talvez,
que o homem teve do problema da medida. Como
fazer a comparação dos segmentos AB e CD? Basta
sobrepor este último sobre aquele; desta sobreposição
pode resultar:
(a) o segmento CD cabe um número exato de vezes
no segmento AB;
(b) o segmento CD não cabe um número exato de
vezes no segmento AB, porém, um pedaço de CD,
cabe exatamente um número de vezes em AB;
(c) não acontece nem a alternativa (a), nem a alternativa (b).
Quando se verifica (a), diremos que a medida do
segmento AB é um número inteiro; a medida de AB é
um número racional na hipótese (b) e é um número irracional quando se verifica (c). Na hipótese (a) temos,
graficamente:
Note que, m(AB) = 7 × m(CD); como CD é
unitário, isto é, de comprimento igual a 1, temos, simplesmente: m(AB) = 7.
Na hipótese (b) vem, graficamente:
Temos m(AB) = 9 × m(EF ) e m(CD) = 6 ×
m(EF ), donde
9
m(AB) =
6
Uma simples inspeção visual na figura anterior,
sugere que a comparação AB com CD poderia ser
mais simples:
Temos m(AB) = 3 × m(EF ) e m(CD) = 2 ×
m(EF ), donde:
3
m(AB) =
2
Consideremos mais atentamente a hipótese (b).
Notemos que a ideia básica, neste caso, foi a mesma
empregada em (a) ou melhor, conhecendo-se o procedimento (a) e perante uma situação desconhecida (b),
nós reduzimos esta àquela. Este princı́pio é o Princı́pio
de Redução do Desconhecido ao Conhecido, amplamente empregado nas ciências e, particularmente, em
Matemática. Vamos, agora, introduzir mais alguns
novos conceitos: ao segmento EF damos o nome de
submúltiplo comum de AB e de CD. Como os segmentos AB e CD possuem uma medida comum que
é o segmento EF , diremos que estes dois segmentos
são comensuráveis. Considerando no caso (a) o segmento CD como sua própria medida, podemos estender o conceito de comensurabilidade também para eles,
dizendo que os segmentos AB e CD, tanto em (a)
como em (b) são comensuráveis, isto é, admitem uma
medida comum.
Ainda, generalizando tais situações: consideremos
que CD contém EF n vezes, logo, a medida EF é
1
1
n e, consequentemente, a medida AB é m × n , isto
é, m(AB) = m
n , pois, AB contém exatamente m segmentos iguais a EF . E a hipótese (c)? Quando a
comparação entre dois segmentos não se enquadra em
nenhum dos casos (a) ou (b)? Dois segmentos que não
possuem medida comum são ditos incomensuráveis.
Até aqui temos considerado a prática como a força predominante na aquisição dos primeiros conhecimentos
matemáticos mas, para todas as atividades práticas,
os casos (a) ou (b) são suficientes. Praticamente, as
NEMOC - NÚCLEO DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA OMAR CATUNDA
Folhetim Educ. Mat., Feira de Santana, Ano 17, Número 156, set./out. 2010 - Editores: Inácio, Grilo e Trazı́bulo Digitação: Josenildes Oliveira Venas Almeida e Manoel Aquino dos Santos - Editoração: Evandro Vaz e Nivaldo Assis
- Impressão: Imprensa Gráfica Universitária - Periodicidade: bimestral - Tiragem: 1.500 exemplares - Distribuição
gratuita - Endereço: Avenida Transnordestina s/n, Módulo Prof. Carloman Carlos Borges, bairro Novo Horizonte, Feira
de Santana, BA, Brasil. CEP 44.036-900. - Telefone: (75)3224-8115 - Fax: (75)3224-8086 - E-mail: [email protected] Home-Page: www.uefs.br/nemoc
Folhetim Educ. Mat., Feira de Santana, Ano 17, Número 156, p.3, set./out. 2010
coisas acontecem assim: dado um segmento AB, se
a sua medida não for um número inteiro, é sempre
possı́vel encontrar uma parte da unidade que caiba
um número exato de vezes em AB.
No Folhetim anterior, falamos do papel importante
da compatibilidade lógica quando se trata de ampliação
de conceitos. O poder criador da razão humana está
implı́cito em qualquer conceito, mesmo concreto, o
qual nunca se confunde com as representações sensı́veis
que o compõe; podemos dizer que o conceito é sempre mais amplo do que aquela parte da realidade que
serviu de inspiração e cobre um aspecto do qual as representações sensı́veis correspondentes constituem um
subconjunto próprio. A realidade não se reflete em
nossas mentes tal qual um objeto material na face
de um espelho, pois, claramente, o nosso cérebro é
muito mais rico, infinitamente mais complexo estruturalmente do que um simples espelho...
Quando desejamos pensar sobre algo, o primeiro
esforço de nossa vontade parece dirigir-se à nossa
memória, a qual libera ao nosso consciente uma
sequência de informações afins com o objeto sobre o
qual queremos pensar. Graças à associação de ideias,
estas brotam da memória de uma maneira continuada,
surgindo, assim, diversas bifurcações, variadas séries
de ideias - todas elas, porém, tendo um elemento comum: “aquilo” sobre o qual queremos pensar; é justamente este “aquilo” que constitui o conceito fundamental de todas essas séries de ideias, no sentido
de que serve para organizar as ideias em um mosaico
lógico e compreensı́vel. A organização desse mosaico é
obra do pensamento, donde se conclui que este é, por
definição, uma força criadora que se manifesta toda
vez quando existe uma composição lógica de ideias
dentro de nossa mente.
A criação dos números irracionais é um bom exemplo desse poder criador, guiado sempre, em cada
dedução, pelo princı́pio da não contradição ou da
compatibilidade lógica, o qual consiste em não admitir, numa mesma dedução, como verdadeiras, duas
proposições logicamente contraditórias. É impossı́vel,
logicamente, negarmos a existência de números irracionais, apesar da “evidência” de que, dados dois segmentos, sempre podemos compará-los de acordo com
a hipótese (a) ou a hipótese (b).
Vejamos como as coisas se passam: primeiro, confiados naquela “evidência”, negamos a existência dos
números irracionais; isto implica que, dado qualquer
segmento AB, podemos sempre escrever: m(AB) =
m
n (1); segundo, imaginemos um triângulo retângulo
com os dois catetos com medidas iguais a 1 (ver figura
a seguir); terceiro: m(AB) = m
n - conforme (1); porém,
conforme o Teorema√de Pitágoras, podemos escrever,
também: m(AB) = 2 (2), comparando (1) com (2),
Triângulo retângulo com dois lados iguais: m(AC) = m(CB) = 1
√
temos 2 = m
(3), e esta igualdade nos diz ser o
n
√
número 2 um número racional.
√
Ora, é muito fácil mostrar que 2 não é um
número racional pois, se o fosse, terı́amos, elevando ao
quadrado ambos os membros de (3): 2n2 = m2 igualdade falsa, pois os números m2 e n2 , decompostos em
fatores primos, contêm cada um dos seus fatores primos um número par de vezes; assim, 2n2 contêm um
número ı́mpar de fatores primos e, consequentemente,
a igualdade 2n√2 = m2 é falsa e, com ela, a suposição
inicial de que 2 é um número racional.
√
A descoberta da irracionalidade do número 2 foi
obra dos gregos e causou grande impacto entre os
matemáticos da época e, até mesmo, entre os filósofos.
Para aclarar melhor esta descoberta, consideremos o
conjunto dos números racionais.
O conjunto dos números racionais possui uma propriedade notável: dados dois números racionais quaisquer, m e n, entre eles sempre podemos colocar outro
número racional. Realmente, se os números são, por
exemplo, 3 e 7, entre eles podemos colocar, sua soma
dividida por dois, 5; entre m e n, podemos colocar
o número m+n
que é um número racional. Dizer
2
que entre dois números racionais quaisquer é sempre possı́vel colocar um número racional é equivalente
afirmar que entre dois números racionais quaisquer é
possı́vel colocar infinitos números racionais. Esta propriedade chama-se densidade. Dizemos que o conjunto
dos números racionais é denso. Pois bem, apesar da
densidade, os números racionais não “enchem” inteiramente a reta e isto parece estranho à nossa intuição
comum.
Vimos assim que, enquanto os números racionais
são uma abstração do problema da medida, os números
irracionais são uma exigência da compatibilidade
lógica. Embora criação da mente, os números irracionais não poderiam ser criados antes dos números
racionais pois, como acabamos de verificar, todo o
nosso raciocı́nio lógico nesta construção foi baseada,
inicialmente, nos números racionais e este processo
não poderia ser invertido pelo simples fato da realidade circundante ao homem primitivo, devido à sua
simplicidade, não apresentar problemas práticos para
servirem de inspiração a tal criação.
Folhetim Educ. Mat., Feira de Santana, Ano 17, Número 156, p.4, set./out. 2010
Geraldo Severo de Souza Ávila
Geraldo nasceu em Alfenas, Minas Gerais, em 17
de abril de 1933.
Nasceu na roça e atingiu os mais altos escalões da
carreira acadêmica. Porém, seu sucesso não foi fruto
de ambição carreirista, mas o resultado natural de uma
aderência a princı́pios éticos e de muito trabalho. Ele
nunca definiu o sucesso pelos tı́tulos conquistados e
nunca deixou de se identificar com as pessoas que não
tiveram as oportunidades que ele teve. Nos momentos
mais altos de sua carreira, nunca deixou de se dedicar
também ao aprimoramento de material didático para
o ensino fundamental e médio. Nesse espı́rito, era profundo admirador de Anı́sio Teixeira.
Destacou-se numa ilustre e riquı́ssima carreira
acadêmica, mas acima de tudo foi um esposo, pai e
avô que deixa um legado fortı́ssimo de lições de vida,
caráter, integridade e dignidade. Admirava e se intrigava profundamente com a natureza e o conhecimento
humano, os pequenos e grandes mistérios, o encontro
da complexidade com a simplicidade. Seu entusiasmo era contagiante. Passou aos filhos e netos o profundo respeito por todas as pessoas, árvores, pedras,
cachoeiras, montanhas e animais. Na natureza, ele via
a presença de Deus. Era apaixonado por astronomia.
O interesse pelo conhecimento o acompanhou por
toda a vida. Na UTI, pediu que a filha lhe trouxesse
um livro.
Seu interesse pelo conhecimento desde jovem o
levou a dar valor ao estudo. Seu primeiro trabalho
foi como estagiário em curso de contabilidade, o que
permitiu que se tornasse professor aos 18 anos. Após
sua formatura pela USP e inı́cio de carreira no ITA,
em São José dos Campos, foi um dos primeiros bolsistas do CNPq no exterior, onde fez mestrado e
doutorado em Matemática na Universidade de Nova
York. Lecionou e chefiou departamentos em universidades nos Estados Unidos e no Brasil. Foi
um dos professores fundadores da Universidade de
Brası́lia. Lá, anos depois, foi professor titular, Diretor do Instituto de Ciências Exatas e Decano de
Pesquisa e Pós-Graduação. Foi também Professor
Doutor da Unicamp e Professor Titular da UFG.
Atuou como editor dos periódicos Revista do Professor
de Matemática e Matemática Universitária, presidente
da Sociedade Brasileira de Matemática e Membro Titular da Academia de Ciências do Estado de São Paulo
e da Academia Brasileira de Ciências. Foi autor de
vários artigos acadêmicos e livros didáticos de nı́vel
universitário, dos quais dois foram indicados para o
Prêmio Jabuti da Câmara Brasileira do Livro e um
deles foi agraciado com o Prêmio. Em 1985, foi eleito
reitor pelo Colegiado da Universidade através de lista
sêxtupla, de acordo com o estatuto da UnB na época,
e empossado pela Ministra da Educação. Porém, no
contexto polı́tico do momento de transição, conturbado pela doença de Tancredo Neves, colocou o cargo
à disposição, à espera do posicionamento do novo governo porque sua imagem estava sendo associada pela
mı́dia ao governo anterior. Com a morte de Tancredo
Neves, e decidido a não permanecer no cargo sem o
apoio da comunidade universitária, renunciou ao cargo
alguns dias depois.
Era sua convicção que o trabalho de um reitor não
poderia sujeitar-se a interesses partidários imediatistas. A Fundação da UnB tinha como meta a autonomia universitária para poder desenvolver projetos educacionais consistentes e de longo alcance.
De volta às suas funções de pesquisa e docência,
prestou concurso na Unicamp em 1987, assumindo o
cargo de Professor Doutor. Participou de grupos de
pesquisa em Análise Matemática na Universidade de
Oxford, Universidade da Califórnia - Berkeley, Universidade de Utah e Universidade de Bordeaux. Permaneceu na Unicamp até novembro de 1994, quando
foi diagnosticado como portador de câncer do pulmão.
Mudou-se para Brası́lia para ficar perto da filha e netos. Foi operado, para retirar parte do pulmão. No
ano seguinte, considerado curado, prestou concurso
em Goiânia (Universidade Federal de Goiás), onde assumiu o cargo de professor titular efetivo.
Sua esposa, filhas e filhos, noras e genro, neta e
netos, irmãs e irmão agradecem a Deus pelo esposo,
pai, avô e irmão que guardam com amor indizı́vel no
coração. As palavras de condolências recebidas pela
famı́lia revelam que não foram poucos os testemunhos
de que era impossı́vel conhecê-lo sem admirá-lo.
Ele não será esquecido por todos nós que com ele
partilhamos momentos da Vida.
Fonte: Site da Revista do Professor de Matemática.
http://www.rpm.org.br/cms/index.php?option=com content&vi
ew=article&id=70. Acesso em 20/09/2010.
A Matemática: suas origens, seu objeto e seus
métodos. (Continuação)
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