Revisão Vetores e Matrizes
Vetores
Vetores no ℜn
Š
„
Š
ℜn = {(x1, ..., xn) tal que x1, ..., xn ∈ ℜ}
com as definições usuais de adição e
multiplicação
Adição
(x1, ..., xn) + (y1, ..., yn) = (x1+ y1, ..., xn+ yn)
2
Vetores
Multiplicação
Š
Se c ∈ ℜ, um escalar, então
c(x1, ..., xn) = (cx1, ..., cxn)
„
Seja x = (x1, ..., xn) e y = (y1, ..., yn) dois
vetores 1xn, temos
w = x.yT = x1.y1 + ... + xn.yn (w é um escalar)
„
Combinação Linear
Š
Dados u1, ..., uk vetores do ℜn, uma
combinação linear de u1, ..., uk é uma
expressão do tipo
α1u1 + ... + αkuk, onde α1, ..., αk são coef. reais
„
3
Vetores
Independência Linear
Š
„
Dizemos que os vetores u1, ..., uk são
linearmente independentes quando
α1u1 + ... + αkuk = 0
implica em α1= ...= αk = 0.
„
Caso contrário dizemos que u1, ..., uk são
linearmente dependentes.
4
Matriz
Š
Def.: uma matriz “nxp” de elementos reais é
um arranjo de “n.p” números reais, numa
estrutura retangular de “n” linhas e “p”
colunas.
⎡ a11
⎢a
21
⎢
A=
⎢ M
⎢
⎢⎣an1
L a1 p ⎤
⎥
L a2 p ⎥
O M ⎥
⎥
L anp ⎥⎦
5
Matrizes – Soma e
Subtração
Š
⎡ a11
⎢a
21
A=⎢
⎢ M
⎢
⎢⎣an1
A operação de soma/subtração é definida
apenas entre matrizes que têm a mesma
dimensão, ou seja, com o mesmo número de
linhas e colunas.
L a1 p ⎤
L a2 p ⎥⎥
O M ⎥
⎥
L anp ⎥⎦
⎡b11
⎢b
21
B=⎢
⎢M
⎢
⎢⎣bn1
L b1 p ⎤
L b2 p ⎥⎥
O M ⎥
⎥
L bnp ⎥⎦
⎡ a11 + b11
⎢a + b
21
21
C = A+ B = ⎢
⎢ M
⎢
⎢⎣ an1 + bn1
L a1 p + b1 p ⎤
L a2 p + b2 p ⎥⎥
⎥
O
M
⎥
L anp + bnp ⎥⎦
6
Soma e Subtração
Propriedades
Š
Associativa
(A + B) + C = A + (B + C)
Š
Comutativa
A+B=B+A
Š
Elemento Neutro
0+A=A
Š
Elemento Oposto
A +(-A) = 0
7
Matrizes – Multiplicação
Š
A operação de multiplicação de uma matriz A
por uma matriz B é definida apenas se o número
de colunas de A for igual ao número de linhas de
B.
⎡ a11 L a1 p ⎤
b L b
⎢a
⎥
L
a
21
2
p
⎥
A=⎢
⎢ M O M ⎥
⎢
⎥
a
L
a
np ⎥
⎣⎢ n1
⎦
⎡ (a11b11 + K + a1 p b p1 )
⎢( a b + K + a b )
21 11
2 p p1
A.B = ⎢
⎢
M
⎢
⎣⎢ (an1b11 + K + anp b p1 )
⎡ 11
1k ⎤
⎢b L b ⎥
21
2k ⎥
B=⎢
⎢ M O M ⎥
⎢
⎥
b
L
b
⎢⎣ p1
pk ⎥
⎦
L ( a11b1k + K + a1 p b pk ) ⎤
L (a21b1k + K + a2 p b pk )⎥⎥
⎥
O
M
⎥
L (an1b1k + K + anp b pk ) ⎦⎥
8
Matrizes – Multiplicação
Š
Multiplicação de uma matriz por um
escalar
⎡ c.a11
⎢c.a
21
c. A = ⎢
⎢ M
⎢
⎢⎣c.an1
L c.a1 p ⎤
L c.a2 p ⎥⎥
O
M ⎥
⎥
L c.anp ⎥⎦
9
Multiplicação
Propriedades
Š
Distributiva com escalar
q(A + B) = qA + qB
Š
Distributiva entre matrizes
A(B + C) = AB + AC
Š
Comutativa
AB ≠ BA
Š
Elemento Neutro
0.A = 0
onde 0 é uma matriz Nula.
10
Matrizes Especiais
Š
Matriz Quadrada
Possuem o mesmo número de linhas e colunas
⎡ a11 L a1 p ⎤
⎥
⎢
A=⎢ M O M ⎥
⎢a p1 L a pp ⎥
⎦
⎣
Š
Matriz Diagonal
Uma matriz quadrada A é dita matriz diagonal
quando todos os elementos não pertencentes a
diagonal são diferentes de zero.
⎡a11
⎢0
A=⎢
⎢M
⎢
⎢⎣ 0
0
a22
M
0
0 ⎤
L 0 ⎥⎥
O M ⎥
⎥
L a pp ⎥⎦
L
11
Matrizes Especiais
Š
Matriz Triangular
Uma matriz quadrada A é dita ser triangular: (i) se e
somente se todo elemento aij ∈ A, tal que i < j, é igual a
zero; (ii) todo elemento aij ∈ A, tal que i > j, é igual a
⎡a11 a12 L a1 p ⎤
zero;
⎢0
A=⎢
⎢M
⎢
⎢⎣ 0
Š
a22 L a2 p ⎥⎥
M O M ⎥
⎥
0 L a pp ⎥⎦
Matriz Simétrica
Uma matriz quadrada A é simétrica, se e somente se,
⎡a11
⎢x
A=⎢
⎢M
⎢
⎢⎣ y
x
a22
M
z
y ⎤
L z ⎥⎥
O M ⎥
⎥
L a pp ⎥⎦
L
aij = aji para todo i
≠ j ∈ {1, 2, ..., n}
12
Matrizes Especiais
Š
Matriz Identidade
Uma matriz quadrada A é uma matriz
identidade, se e somente se, todo elemento aij ∈
A, tal que i ≠ j, é igual a zero e todo elemento aij ∈
A, tal que i = j, é igual a 1;
⎡1 0 L 0 ⎤
⎢0 1 L 0 ⎥
⎥
I =⎢
⎢M M O M⎥
⎢
⎥
⎣0 0 L 1 ⎦
Š
Matriz Idempotente
Uma matriz quadrada A é idempotente, se e
somente se,
A.A = A
13
Matrizes Especiais
Š
Matriz Transposta
Dada uma matriz A de qualquer dimensão “nxp”,
chamamos de matriz transposta de A,
representada por A’ ou AT, a matriz “pxn” tal que
a’ji = aij, ou seja, as linhas de A’ são as colunas de
A, na mesma ordem.
⎡ a11
⎢a
⎢ 21
A = ⎢ a31
⎢
⎢ M
⎢ an1
⎣
a12
a22
a32
M
an 2
L a1 p ⎤
L a2 p ⎥⎥
L a3 p ⎥
⎥
O M ⎥
L anp ⎥⎦
⎡ a11
⎢a
12
T
A =⎢
⎢ M
⎢
⎢⎣a1 p
a21
a22
M
a2 p
a31 L an1 ⎤
a32 L an 2 ⎥⎥
M O M ⎥
⎥
a3 p L anp ⎥⎦
14
Matrizes Especiais
Matriz Inversa
Š
Dada uma matriz quadrada A de dimensão
“nxn”, chamamos de matriz inversa de A,
denotada por A-1, a matriz de dimensão “nxn” que
atende a seguinte propriedade:
−1
−1
A. A = A . A = I n
„
Regra do Cofator
15
Transposta e Inversa
Propriedades
Matriz Transposta
Š
Š
Š
(AT)T = A
(A + B)T = AT + BT
(A . B)T = BT . AT
Matriz Inversa
Š
Š
Š
(A-1)-1 = A
(A . B)-1 = B-1 . A-1
(AT)-1 = (A-1)T
16
Matrizes Especiais
Š
Matriz de Projeção
Uma matriz simétrica e Idempotente é
chamada matriz de projeção.
Exemplo
⎡1 0 ⎤
P=⎢
⎥
0
0
⎣
⎦
Repare que:
⎡1 0⎤ ⎡ x ⎤ ⎡ x ⎤
⎢0 0⎥.⎢ y ⎥ = ⎢0⎥
⎣
⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦
(x,y)
(x,0)
17
Matrizes Especiais
Š
Matriz Singular
Seja A uma matriz quadrada, dizemos que
A é uma matriz singular quando seu
determinante é igual a zero.
Š
Matriz Não-Singular
Seja A uma matriz quadrada, dizemos que
A é não-singular quando seu determinante
é diferente de zero.
OBS: Uma matriz não-singular também é
inversível
18
Matrizes Especiais
Š
Matriz Positiva Definida
Uma matriz simétrica A, “nxn”, é positivadefinida quando x’Ax > 0, p/ todo vetor x,
“nx1”.
OBS 1:
1 Toda matriz simétrica positiva-definida é
não-singular, logo também é inversível.
OBS 2:
2 Se A é positiva-definida, então A-1 é
positiva-definida.
OBS 3:
3 Se X é “nxp” (n >> p), com posto ρ(X) =
p, então X’X é positiva-definida.
19
Matrizes Especiais
Posto de uma Matriz
Š
„
Seja A uma matriz qualquer, o posto de A
representado por ρ(A), corresponde ao
número máximo de linhas (ou colunas)
linearmente independente de A.
Traço de uma Matriz
Š
„
Seja A uma matriz quadrada “nxn”,
definimos o traço de A como
n
tr ( A) = ∑ aii
i =1
(Soma dos elementos
da diagonal)
20
Matrizes Especiais
Traço de uma Matriz (Propriedades)
Š
„
„
„
tr(A + B) = tr(A) + tr(B)
tr(λA) = λtr(A), onde λ é um escalar
tr(AB) = tr(BA)
21
Matrizes Especiais
Determinantes
Š
„
„
A toda matriz quadrada A, tem-se um
número (escalar) conhecido como
determinante da matriz, que é indicado por
det A ou pelo símbolo | A |.
Note que uma matriz por si não tem valor
numérico algum, mas o determinante de uma
matriz é um número inteiro.
1 2 3
⎡1 2 3 ⎤
A= 4 5 6
A = ⎢⎢4 5 6⎥⎥
7 8 9
⎢⎣7 8 9⎥⎦
22
Matrizes Especiais
Cálculo de um Determinante
Š
„
Matriz 2x2
a11
| A |=
a21
a12
a22
Det A = a11a22 – a12a21
„
Matriz 3x3 (Regra de Sarrus)
a11
| A |= a21
a12
a22
a13
a23
a31
a32
a33
Det A = a11(a22a33 – a23a32) - a12(a21a33 – a23a31) + a13(a21a32 –
a22a31)
23
Matrizes Especiais
Cálculo de um Determinante
Š
„
Matriz nxn
| A |=
„
a11
a21
M
an1
a12 L a1n
a22 L a2 n
M O M
an 2 L ann
Det A = a11C11 – a12C12 + a13C13 – ... – (ou +) a1nC1n,
onde C11, C12, C13, ..., C1n são os complementares dos
elementos a11, a12, a13, ..., a1n.
24
Matrizes Especiais
Cálculo de um Determinante
Š
„
„
„
Para calcular os complementares devemos
eliminar a linha e a coluna a que o número em
questão pertence.
Deste modo, para calcular o complementar de a11,
devemos eliminar a 1a linha e a 1a coluna da
matriz A. Já para encontrar o complementar de
a13, devemos eliminar a 1a linha e a 3a coluna da
matriz A
Caso Cij tenha dimensão superior a 3, devemos
reduzi-lá sucessivamente até que ela atinja a
ordem 3, quando então aplicamos a regra de
Sarrus.
25
Matrizes Especiais
Š
Matriz Particionada
Muitas vezes é comum trabalhar com
matrizes na forma de blocos, por exemplo
⎛A B⎞
⎟⎟
X = ⎜⎜
⎝C D⎠
onde A, B, C e D são matrizes
26
Matrizes Especiais
Š
Produto de Matrizes Particionadas
Muitas vezes é comum trabalhar com
matrizes na forma de blocos, por exemplo
⎛ A B⎞⎛E
⎜⎜
⎟⎟.⎜⎜
⎝C D⎠ ⎝G
F ⎞ ⎛ AE + BG AF + BH ⎞
⎟⎟ = ⎜⎜
⎟⎟
H ⎠ ⎝ CE + DG CF + DH ⎠
desde que todos os produtos e somas acima
estejam bem definidos.
27
Matrizes Especiais
Exercício
Š
„
Escrever um ensaio de até 5 páginas sobre
Matrizes Particionadas
28