Matrizes - Determinantes - Sistemas
Lineares
Matrizes - Determinantes - Sistemas Lineares
Professor: João Alvaro
Disciplina: Matemática
Turma: Ens. Médio Militar - IME - ITA
www.matemaniacos.com.br
Rio de Janeiro 2013
Matrizes - Determinantes - Sistemas Lineares
Matrizes - Determinantes - Sistemas Lineares
Definição
Operação com Matrizes.
Matrizes especiais.
Cálculo da Inversa.
Determinantes.
Exercı́cios
Considerações finais
Matrizes - Determinantes - Sistemas Lineares
1
Definição
2
Operação com Matrizes.
3
Matrizes especiais.
4
Cálculo da Inversa.
5
Determinantes.
6
Exercı́cios
7
Considerações finais
Matrizes - Determinantes - Sistemas Lineares
Matrizes - Determinantes - Sistemas Lineares
Definição
Operação com Matrizes.
Matrizes especiais.
Cálculo da Inversa.
Determinantes.
Exercı́cios
Considerações finais
Matemaniacos.com.br
1
Definição
2
Operação com Matrizes.
3
Matrizes especiais.
4
Cálculo da Inversa.
5
Determinantes.
6
Exercı́cios
7
Considerações finais
Matrizes - Determinantes - Sistemas Lineares
Matrizes - Determinantes - Sistemas Lineares
Definição
Operação com Matrizes.
Matrizes especiais.
Cálculo da Inversa.
Determinantes.
Exercı́cios
Considerações finais
Definição
Uma matriz de ordem m x n, M = (aij )mxn , é uma lista de números aij ,
onde 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ nm dispostos em m linhas e n colunas, na
qual o elemento aij está localizado no cruzamento da i-ésima linhas
com a j-ésima coluna.
Matrizes - Determinantes - Sistemas Lineares
Matrizes - Determinantes - Sistemas Lineares
Definição
Operação com Matrizes.
Matrizes especiais.
Cálculo da Inversa.
Determinantes.
Exercı́cios
Considerações finais
Definição
Uma matriz de ordem m x n, M = (aij )mxn , é uma lista de números aij ,
onde 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ nm dispostos em m linhas e n colunas, na
qual o elemento aij está localizado no cruzamento da i-ésima linhas
com a j-ésima coluna.
Matrizes - Determinantes - Sistemas Lineares
Matrizes - Determinantes - Sistemas Lineares
Definição
Operação com Matrizes.
Matrizes especiais.
Cálculo da Inversa.
Determinantes.
Exercı́cios
Considerações finais
Exemplos:

−3
1)  x
x

−3
2)  x
x
2
y
y

−2
z 
z

2
y 
y
3) 0 0 0
a b
4)
b d
Matrizes - Determinantes - Sistemas Lineares
Matrizes - Determinantes - Sistemas Lineares
Definição
Operação com Matrizes.
Matrizes especiais.
Cálculo da Inversa.
Determinantes.
Exercı́cios
Considerações finais
Exemplos:
Exemplo
Representar explicitamente a matriz A = (aij )2x4 tal que aij = 2i + j
Solução
Primeiro, representamos genericamente a matriz A
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
Resposta.
3
5
4
6
Matrizes - Determinantes - Sistemas Lineares
5
7
6
8
Matrizes - Determinantes - Sistemas Lineares
Definição
Operação com Matrizes.
Matrizes especiais.
Cálculo da Inversa.
Determinantes.
Exercı́cios
Considerações finais
Exemplos:
Exemplo
Representar explicitamente a matriz A = (aij )2x4 tal que aij = 2i + j
Solução
Primeiro, representamos genericamente a matriz A
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
Resposta.
3
5
4
6
Matrizes - Determinantes - Sistemas Lineares
5
7
6
8
Matrizes - Determinantes - Sistemas Lineares
Definição
Operação com Matrizes.
Matrizes especiais.
Cálculo da Inversa.
Determinantes.
Exercı́cios
Considerações finais
Exemplos:
Exemplo
Representar explicitamente a matriz A = (aij )2x4 tal que aij = 2i + j
Solução
Primeiro, representamos genericamente a matriz A
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
Resposta.
3
5
4
6
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5
7
6
8
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Definição
Operação com Matrizes.
Matrizes especiais.
Cálculo da Inversa.
Determinantes.
Exercı́cios
Considerações finais
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1
Definição
2
Operação com Matrizes.
3
Matrizes especiais.
4
Cálculo da Inversa.
5
Determinantes.
6
Exercı́cios
7
Considerações finais
Matrizes - Determinantes - Sistemas Lineares
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Definição
Operação com Matrizes.
Matrizes especiais.
Cálculo da Inversa.
Determinantes.
Exercı́cios
Considerações finais
Igualdade de matrizes
Duas matrizes são ditas iguais se possuem mesma ordem e todos os
elementos
correspondentes são iguais.
m=p e
n=q
A=B
aij = bij ∀ 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m
Matrizes - Determinantes - Sistemas Lineares
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Definição
Operação com Matrizes.
Matrizes especiais.
Cálculo da Inversa.
Determinantes.
Exercı́cios
Considerações finais
Adição / Subtração
Sejam as matrizes A e B de mesma ordem mxn, chama-se soma de
A com B a matriz C = A + B, de odem mxn, cujos elementos são as
somas dos elementos correspondentes.
cij = aij ± bij ∀1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m
Exemplo:
1 2 3
3
+
4 5 6
−3
4 4 4
1 3 5
2
−2
1
−1
Matrizes - Determinantes - Sistemas Lineares
=
1+3
4−3
2+2
5−2
3+1
6−1
Matrizes - Determinantes - Sistemas Lineares
=
Definição
Operação com Matrizes.
Matrizes especiais.
Cálculo da Inversa.
Determinantes.
Exercı́cios
Considerações finais
Adição / Subtração
Sejam as matrizes A e B de mesma ordem mxn, chama-se soma de
A com B a matriz C = A + B, de odem mxn, cujos elementos são as
somas dos elementos correspondentes.
cij = aij ± bij ∀1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m
Exemplo:
1 2 3
3
+
4 5 6
−3
4 4 4
1 3 5
2
−2
1
−1
Matrizes - Determinantes - Sistemas Lineares
=
1+3
4−3
2+2
5−2
3+1
6−1
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=
Definição
Operação com Matrizes.
Matrizes especiais.
Cálculo da Inversa.
Determinantes.
Exercı́cios
Considerações finais
Propriedades da adição
a) Comutativa: A + B = B + A
b) Associativa: (A + B) + C = A + (B + C)
c) Elemento Neutro: A + 0 = A
d) Matriz Oposta: A + (-A) = 0
Matrizes - Determinantes - Sistemas Lineares
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Definição
Operação com Matrizes.
Matrizes especiais.
Cálculo da Inversa.
Determinantes.
Exercı́cios
Considerações finais
Propriedades da adição
a) Comutativa: A + B = B + A
b) Associativa: (A + B) + C = A + (B + C)
c) Elemento Neutro: A + 0 = A
d) Matriz Oposta: A + (-A) = 0
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Definição
Operação com Matrizes.
Matrizes especiais.
Cálculo da Inversa.
Determinantes.
Exercı́cios
Considerações finais
Propriedades da adição
a) Comutativa: A + B = B + A
b) Associativa: (A + B) + C = A + (B + C)
c) Elemento Neutro: A + 0 = A
d) Matriz Oposta: A + (-A) = 0
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Definição
Operação com Matrizes.
Matrizes especiais.
Cálculo da Inversa.
Determinantes.
Exercı́cios
Considerações finais
Propriedades da adição
a) Comutativa: A + B = B + A
b) Associativa: (A + B) + C = A + (B + C)
c) Elemento Neutro: A + 0 = A
d) Matriz Oposta: A + (-A) = 0
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Definição
Operação com Matrizes.
Matrizes especiais.
Cálculo da Inversa.
Determinantes.
Exercı́cios
Considerações finais
Multiplicação por um escalar
Seja k ∈ R e uma matriz Amxn = aij , o produto k .A = Bmxn = bij onde
cada bij = k.aij , ∀1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m
Exemplo:
1 2
2.
4 5
3
6
=
2.1 2.2 2.3
2.4 2.5 2.6
Matrizes - Determinantes - Sistemas Lineares
=
2
8
4
10
6
12
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Definição
Operação com Matrizes.
Matrizes especiais.
Cálculo da Inversa.
Determinantes.
Exercı́cios
Considerações finais
Multiplicação por um escalar
Seja k ∈ R e uma matriz Amxn = aij , o produto k .A = Bmxn = bij onde
cada bij = k.aij , ∀1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m
Exemplo:
1 2
2.
4 5
3
6
=
2.1 2.2 2.3
2.4 2.5 2.6
Matrizes - Determinantes - Sistemas Lineares
=
2
8
4
10
6
12
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Definição
Operação com Matrizes.
Matrizes especiais.
Cálculo da Inversa.
Determinantes.
Exercı́cios
Considerações finais
Propriedades multiplicação por escalar
a) 1xA = A
b) (−1).A = −A
c) a.0mxn = 0mxn
d) 0.A = 0mxn
e) a.(A + B) = a.A + a.B
f) (a + b).A = a.A + b.A
g) a.(b.A) = (a.b).A
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Definição
Operação com Matrizes.
Matrizes especiais.
Cálculo da Inversa.
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Exercı́cios
Considerações finais
Propriedades multiplicação por escalar
a) 1xA = A
b) (−1).A = −A
c) a.0mxn = 0mxn
d) 0.A = 0mxn
e) a.(A + B) = a.A + a.B
f) (a + b).A = a.A + b.A
g) a.(b.A) = (a.b).A
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Definição
Operação com Matrizes.
Matrizes especiais.
Cálculo da Inversa.
Determinantes.
Exercı́cios
Considerações finais
Propriedades multiplicação por escalar
a) 1xA = A
b) (−1).A = −A
c) a.0mxn = 0mxn
d) 0.A = 0mxn
e) a.(A + B) = a.A + a.B
f) (a + b).A = a.A + b.A
g) a.(b.A) = (a.b).A
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Definição
Operação com Matrizes.
Matrizes especiais.
Cálculo da Inversa.
Determinantes.
Exercı́cios
Considerações finais
Propriedades multiplicação por escalar
a) 1xA = A
b) (−1).A = −A
c) a.0mxn = 0mxn
d) 0.A = 0mxn
e) a.(A + B) = a.A + a.B
f) (a + b).A = a.A + b.A
g) a.(b.A) = (a.b).A
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Definição
Operação com Matrizes.
Matrizes especiais.
Cálculo da Inversa.
Determinantes.
Exercı́cios
Considerações finais
Propriedades multiplicação por escalar
a) 1xA = A
b) (−1).A = −A
c) a.0mxn = 0mxn
d) 0.A = 0mxn
e) a.(A + B) = a.A + a.B
f) (a + b).A = a.A + b.A
g) a.(b.A) = (a.b).A
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Definição
Operação com Matrizes.
Matrizes especiais.
Cálculo da Inversa.
Determinantes.
Exercı́cios
Considerações finais
Propriedades multiplicação por escalar
a) 1xA = A
b) (−1).A = −A
c) a.0mxn = 0mxn
d) 0.A = 0mxn
e) a.(A + B) = a.A + a.B
f) (a + b).A = a.A + b.A
g) a.(b.A) = (a.b).A
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Operação com Matrizes.
Matrizes especiais.
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Determinantes.
Exercı́cios
Considerações finais
Propriedades multiplicação por escalar
a) 1xA = A
b) (−1).A = −A
c) a.0mxn = 0mxn
d) 0.A = 0mxn
e) a.(A + B) = a.A + a.B
f) (a + b).A = a.A + b.A
g) a.(b.A) = (a.b).A
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Cálculo da Inversa.
Determinantes.
Exercı́cios
Considerações finais
Produto de Matrizes
Sejam duas matrizes A = (aij )mxn e B = (bjk )nxp o produto de A por B,
AxB, é a matriz mxp, C = (cik )mxp , onde o elemento cij , localizado na
i-ésima linha e k-ésima coluna, é obtido multiplicando-se os
elementos da i-ésima linha de A pelos correspondentes elementos da
k-ésima coluna de B e somando os produtos parciais assim obtidos.
Pn
cij = ai1 .b1k + ai2 .b2k + · · · + ain .bnk = j=1 aij .bjk
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Definição
Operação com Matrizes.
Matrizes especiais.
Cálculo da Inversa.
Determinantes.
Exercı́cios
Considerações finais
Exemplo
1
4
2
5
3
6
1
4
2
5
3
6
1)
2)

1
x 4
1

1
x 4
1
2
1
2
2
1
2

3
0 
3

3
0 
3
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Definição
Operação com Matrizes.
Matrizes especiais.
Cálculo da Inversa.
Determinantes.
Exercı́cios
Considerações finais
Propriedades
Propriedades do produto
a) A multiplicação de matrizes não é comutativa, isto é, para duas
matrizes quaisquer A e B nem sempre ocorre AxB = BxA
b) Associatividade: (AxB)xC = Ax(BxC)
c) Distributividade em relação a adição: Ax(B + C) = AxB + AxC
d) Elemento neutro: Am xIm = Im xAm
e) Multiplicação pela matriz nula: 0pxm .Amxn = 0pxn
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Definição
Operação com Matrizes.
Matrizes especiais.
Cálculo da Inversa.
Determinantes.
Exercı́cios
Considerações finais
Propriedades
Propriedades do produto
a) A multiplicação de matrizes não é comutativa, isto é, para duas
matrizes quaisquer A e B nem sempre ocorre AxB = BxA
b) Associatividade: (AxB)xC = Ax(BxC)
c) Distributividade em relação a adição: Ax(B + C) = AxB + AxC
d) Elemento neutro: Am xIm = Im xAm
e) Multiplicação pela matriz nula: 0pxm .Amxn = 0pxn
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Definição
Operação com Matrizes.
Matrizes especiais.
Cálculo da Inversa.
Determinantes.
Exercı́cios
Considerações finais
Propriedades
Propriedades do produto
a) A multiplicação de matrizes não é comutativa, isto é, para duas
matrizes quaisquer A e B nem sempre ocorre AxB = BxA
b) Associatividade: (AxB)xC = Ax(BxC)
c) Distributividade em relação a adição: Ax(B + C) = AxB + AxC
d) Elemento neutro: Am xIm = Im xAm
e) Multiplicação pela matriz nula: 0pxm .Amxn = 0pxn
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Definição
Operação com Matrizes.
Matrizes especiais.
Cálculo da Inversa.
Determinantes.
Exercı́cios
Considerações finais
Propriedades
Propriedades do produto
a) A multiplicação de matrizes não é comutativa, isto é, para duas
matrizes quaisquer A e B nem sempre ocorre AxB = BxA
b) Associatividade: (AxB)xC = Ax(BxC)
c) Distributividade em relação a adição: Ax(B + C) = AxB + AxC
d) Elemento neutro: Am xIm = Im xAm
e) Multiplicação pela matriz nula: 0pxm .Amxn = 0pxn
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Definição
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Matrizes especiais.
Cálculo da Inversa.
Determinantes.
Exercı́cios
Considerações finais
Propriedades
Propriedades do produto
a) A multiplicação de matrizes não é comutativa, isto é, para duas
matrizes quaisquer A e B nem sempre ocorre AxB = BxA
b) Associatividade: (AxB)xC = Ax(BxC)
c) Distributividade em relação a adição: Ax(B + C) = AxB + AxC
d) Elemento neutro: Am xIm = Im xAm
e) Multiplicação pela matriz nula: 0pxm .Amxn = 0pxn
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Operação com Matrizes.
Matrizes especiais.
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Determinantes.
Exercı́cios
Considerações finais
Propriedades
Propriedades do produto
a) A multiplicação de matrizes não é comutativa, isto é, para duas
matrizes quaisquer A e B nem sempre ocorre AxB = BxA
b) Associatividade: (AxB)xC = Ax(BxC)
c) Distributividade em relação a adição: Ax(B + C) = AxB + AxC
d) Elemento neutro: Am xIm = Im xAm
e) Multiplicação pela matriz nula: 0pxm .Amxn = 0pxn
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Definição
Operação com Matrizes.
Matrizes especiais.
Cálculo da Inversa.
Determinantes.
Exercı́cios
Considerações finais
Observações.
Observação 1
Sendo AxB = 0 não se pode concluir que A = 0 ou B = 0
Exemplo:

 

1 2 0
0 0 0
 1 1 0 x  0 0 0 
−1 4 0
1 4 15
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Definição
Operação com Matrizes.
Matrizes especiais.
Cálculo da Inversa.
Determinantes.
Exercı́cios
Considerações finais
Observações.
Observação 1
Sendo AxB = 0 não se pode concluir que A = 0 ou B = 0
Exemplo:

 

1 2 0
0 0 0
 1 1 0 x  0 0 0 
−1 4 0
1 4 15
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Operação com Matrizes.
Matrizes especiais.
Cálculo da Inversa.
Determinantes.
Exercı́cios
Considerações finais
Observações.
Observação 2
Quando temos AxB = AxC ou (BxA = CxA) não se pode concluir
que B = C, mesmo que A = 0
Exemplo:

 

1 2 0
1 2 3
 1 1 0  x  1 1 −1  =
 −1 4 0   2 2 2 
1 2 0
1 2 3
 1 1 0  x  1 1 −1 
−1 4 0
1 1 1
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Definição
Operação com Matrizes.
Matrizes especiais.
Cálculo da Inversa.
Determinantes.
Exercı́cios
Considerações finais
Observações.
Observação 3
Produtos notáveis
(A + B)(A − B)
(A ± B)2
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Definição
Operação com Matrizes.
Matrizes especiais.
Cálculo da Inversa.
Determinantes.
Exercı́cios
Considerações finais
Observações.
Observação 3
Produtos notáveis
(A + B)(A − B)
(A ± B)2
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Definição
Operação com Matrizes.
Matrizes especiais.
Cálculo da Inversa.
Determinantes.
Exercı́cios
Considerações finais
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1
Definição
2
Operação com Matrizes.
3
Matrizes especiais.
4
Cálculo da Inversa.
5
Determinantes.
6
Exercı́cios
7
Considerações finais
Matrizes - Determinantes - Sistemas Lineares
Matrizes - Determinantes - Sistemas Lineares
Definição
Operação com Matrizes.
Matrizes especiais.
Cálculo da Inversa.
Determinantes.
Exercı́cios
Considerações finais
Matriz linha
É toda matriz de ordem 1xn, ou seja, que possui uma única linha.
M = (aij ) = a11 a12 · · · a1n
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Definição
Operação com Matrizes.
Matrizes especiais.
Cálculo da Inversa.
Determinantes.
Exercı́cios
Considerações finais
Matriz Coluna
É toda matriz de ordem mx1, ou seja, que possui uma única coluna.


a11
 a21 


M = (aij ) =  . 
 .. 
am1
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Definição
Operação com Matrizes.
Matrizes especiais.
Cálculo da Inversa.
Determinantes.
Exercı́cios
Considerações finais
Matriz Nula
É toda matriz de ordem mxn que possui todos os elementos iguais a
zero.


0 0 ··· 0
 0 0 ··· 0 


0mxn =  . . .
. . ... 
 .. ..

0 0 ··· 0
Matrizes - Determinantes - Sistemas Lineares
Matrizes - Determinantes - Sistemas Lineares
Definição
Operação com Matrizes.
Matrizes especiais.
Cálculo da Inversa.
Determinantes.
Exercı́cios
Considerações finais
Matriz quadrada
A matriz constituida pelo mesmo número de linhas e colunas .
O número de linhas ( ou de colunas) é chamado ordem da matriz.


a11 a12 · · · a1m
 a21 a22 · · · a2m 


Am =  .
..
.. 
..
 ..
.
.
. 
am1 am2 · · · amm
Matrizes - Determinantes - Sistemas Lineares
Matrizes - Determinantes - Sistemas Lineares
Definição
Operação com Matrizes.
Matrizes especiais.
Cálculo da Inversa.
Determinantes.
Exercı́cios
Considerações finais
Matriz quadrada



Am = 

a11
a21
..
.
a12
a22
..
.
···
···
..
.
a1m
a2m
..
.
am1
am2
···
amm





Diagonal principal
São os elementos aij da matriz quadrada A, tal que i = j
Os elementos da diagonal principal são: a11 ; a22 ; · · · amm
Diagonal secundária
São os elementos aij da matriz quadrada A, tal que i + j = M + 1 (M
é a ordem da matriz)
Os elementos da diagonal secundária são: am1 ; am−1;2 ; · · · a1m
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Definição
Operação com Matrizes.
Matrizes especiais.
Cálculo da Inversa.
Determinantes.
Exercı́cios
Considerações finais
Matriz quadrada



Am = 

a11
a21
..
.
a12
a22
..
.
···
···
..
.
a1m
a2m
..
.
am1
am2
···
amm





Diagonal principal
São os elementos aij da matriz quadrada A, tal que i = j
Os elementos da diagonal principal são: a11 ; a22 ; · · · amm
Diagonal secundária
São os elementos aij da matriz quadrada A, tal que i + j = M + 1 (M
é a ordem da matriz)
Os elementos da diagonal secundária são: am1 ; am−1;2 ; · · · a1m
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Definição
Operação com Matrizes.
Matrizes especiais.
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Exercı́cios
Considerações finais
Matriz quadrada



Am = 

a11
a21
..
.
a12
a22
..
.
···
···
..
.
a1m
a2m
..
.
am1
am2
···
amm





Diagonal principal
São os elementos aij da matriz quadrada A, tal que i = j
Os elementos da diagonal principal são: a11 ; a22 ; · · · amm
Diagonal secundária
São os elementos aij da matriz quadrada A, tal que i + j = M + 1 (M
é a ordem da matriz)
Os elementos da diagonal secundária são: am1 ; am−1;2 ; · · · a1m
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Exercı́cios
Considerações finais
Matriz quadrada



Am = 

a11
a21
..
.
a12
a22
..
.
···
···
..
.
a1m
a2m
..
.
am1
am2
···
amm





Diagonal principal
São os elementos aij da matriz quadrada A, tal que i = j
Os elementos da diagonal principal são: a11 ; a22 ; · · · amm
Diagonal secundária
São os elementos aij da matriz quadrada A, tal que i + j = M + 1 (M
é a ordem da matriz)
Os elementos da diagonal secundária são: am1 ; am−1;2 ; · · · a1m
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Exercı́cios
Considerações finais
Matriz quadrada



Am = 

a11
a21
..
.
a12
a22
..
.
···
···
..
.
a1m
a2m
..
.
am1
am2
···
amm





Diagonal principal
São os elementos aij da matriz quadrada A, tal que i = j
Os elementos da diagonal principal são: a11 ; a22 ; · · · amm
Diagonal secundária
São os elementos aij da matriz quadrada A, tal que i + j = M + 1 (M
é a ordem da matriz)
Os elementos da diagonal secundária são: am1 ; am−1;2 ; · · · a1m
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Exercı́cios
Considerações finais
Matriz Diagonal
Toda matriz quadrada em que os elementos não pertencentes a
diagonal principal são iguais a zero, ou seja, aij 6= 0 sempre que i 6= j
.


a11 0 · · ·
0
 0 a22 · · ·
0 


0m =  .
.
.. 
..
..
 ..
.
. 
0
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0
···
amm
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Matrizes especiais.
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Determinantes.
Exercı́cios
Considerações finais
Matriz Identidade
É a matriz diagonal, na qual todos os elementos da diagonal principal
são iguais a 1.


1 0 ··· 0
 0 1 ··· 0 


Im = aij =  . . .
. . ... 
 .. ..

0
Im = aij =
Matrizes - Determinantes - Sistemas Lineares
0
···
1, se
0, se
1
i =j
i 6= j
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Exercı́cios
Considerações finais
Matriz triangular superior
Quando os elementos abaixo da diagonal principal são todos nulos


a11 a12 · · · a1m
 0 a22 · · · a2m 


Im = aij =  .
..
.. 
..
 ..
.
.
. 
0
0 · · · amm
aij = 0, sei > j
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Determinantes.
Exercı́cios
Considerações finais
Matriz triangular inferior
Todos os elementos abaixo da diagonal principal são nulos.


a11
0
···
0
 a21 a22 · · ·
0 


Im = aij =  .
.
.. 
.
..
..
 ..
. 
am1 am2 · · · amm
aij = 0, sei < j
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Definição
Operação com Matrizes.
Matrizes especiais.
Cálculo da Inversa.
Determinantes.
Exercı́cios
Considerações finais
Matriz Transposta
A matriz transposta de uma matriz A, At , é a matriz obtida a partir de
A, trocando-se suas linhas por suas colunas.
Obs: De fato que se a matriz Amxn , m por n, logo sua transposta
Atnxm será de ordem n por m.
a b c d
A2x4 =
e f g h

At4x2
a
 b
=
 c
d
Matrizes - Determinantes - Sistemas Lineares

e
f 

g 
h
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Definição
Operação com Matrizes.
Matrizes especiais.
Cálculo da Inversa.
Determinantes.
Exercı́cios
Considerações finais
Matriz transposta
Propriedades da transposta
a) (At )t = A
b) (A + B)t = At + B t
c) (A − B)t = At − B t
d) k ∈ R ⇒ (k.A)t = k.At
e) (A.B)t = B t .At
f) (A.B.C)t = C t .B t .At
Matrizes - Determinantes - Sistemas Lineares
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Definição
Operação com Matrizes.
Matrizes especiais.
Cálculo da Inversa.
Determinantes.
Exercı́cios
Considerações finais
Matriz transposta
Propriedades da transposta
a) (At )t = A
b) (A + B)t = At + B t
c) (A − B)t = At − B t
d) k ∈ R ⇒ (k.A)t = k.At
e) (A.B)t = B t .At
f) (A.B.C)t = C t .B t .At
Matrizes - Determinantes - Sistemas Lineares
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Definição
Operação com Matrizes.
Matrizes especiais.
Cálculo da Inversa.
Determinantes.
Exercı́cios
Considerações finais
Matriz transposta
Propriedades da transposta
a) (At )t = A
b) (A + B)t = At + B t
c) (A − B)t = At − B t
d) k ∈ R ⇒ (k.A)t = k.At
e) (A.B)t = B t .At
f) (A.B.C)t = C t .B t .At
Matrizes - Determinantes - Sistemas Lineares
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Definição
Operação com Matrizes.
Matrizes especiais.
Cálculo da Inversa.
Determinantes.
Exercı́cios
Considerações finais
Matriz transposta
Propriedades da transposta
a) (At )t = A
b) (A + B)t = At + B t
c) (A − B)t = At − B t
d) k ∈ R ⇒ (k.A)t = k.At
e) (A.B)t = B t .At
f) (A.B.C)t = C t .B t .At
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Definição
Operação com Matrizes.
Matrizes especiais.
Cálculo da Inversa.
Determinantes.
Exercı́cios
Considerações finais
Matriz transposta
Propriedades da transposta
a) (At )t = A
b) (A + B)t = At + B t
c) (A − B)t = At − B t
d) k ∈ R ⇒ (k.A)t = k.At
e) (A.B)t = B t .At
f) (A.B.C)t = C t .B t .At
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Definição
Operação com Matrizes.
Matrizes especiais.
Cálculo da Inversa.
Determinantes.
Exercı́cios
Considerações finais
Matriz transposta
Propriedades da transposta
a) (At )t = A
b) (A + B)t = At + B t
c) (A − B)t = At − B t
d) k ∈ R ⇒ (k.A)t = k.At
e) (A.B)t = B t .At
f) (A.B.C)t = C t .B t .At
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Definição
Operação com Matrizes.
Matrizes especiais.
Cálculo da Inversa.
Determinantes.
Exercı́cios
Considerações finais
Matriz Simétrica
Uma matriz é dita simétrica, quando aij = aji ∀1 ≤ i, j ≤ n, ou seja,
quando é igual a sua transposta.
A é simétrica ⇐⇒ At = A
Exemplo:


1 4 5
 4 2 6 
5 6 3
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Definição
Operação com Matrizes.
Matrizes especiais.
Cálculo da Inversa.
Determinantes.
Exercı́cios
Considerações finais
Matriz Antissimétrica
Uma matriz é dita simétrica, quando aij = −aji ∀1 ≤ i, j ≤ n, ou seja,
quando é igual a oposta da sua transposta.
A é antissimétrica ⇐⇒ A = −At
Exemplo:


0 −4 −5
 4 0 −6 
5 6
0
Matrizes - Determinantes - Sistemas Lineares
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Definição
Operação com Matrizes.
Matrizes especiais.
Cálculo da Inversa.
Determinantes.
Exercı́cios
Considerações finais
Comutativas
Duas matrizes quadradas de mesma ordem tal que AxB = BxA.
AeBsão comutativas ⇐⇒ AxB = BxA
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Operação com Matrizes.
Matrizes especiais.
Cálculo da Inversa.
Determinantes.
Exercı́cios
Considerações finais
Anticomutativas
Duas matrizes quadradas de mesma ordem tal que AxB = −BxA.
AeB são anticomutativas ⇐⇒ AxB = −BxA
Matrizes - Determinantes - Sistemas Lineares
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Definição
Operação com Matrizes.
Matrizes especiais.
Cálculo da Inversa.
Determinantes.
Exercı́cios
Considerações finais
Involutiva
Uma matriz é involutiva quando:
A é involutiva ⇐⇒ A2 = I
Exemplo:
1 0
0 −1
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Matrizes especiais.
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Determinantes.
Exercı́cios
Considerações finais
Nilpotente
Uma matriz é nilpotente quando:
A é nilpotente ⇐⇒ A2 = 0
A é nilpotente de ordem p se;
Ap = 0
Ak 6= 0; k < p
Exemplo:


5
2
6
 5
2
6 
−2 −1 −3
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Operação com Matrizes.
Matrizes especiais.
Cálculo da Inversa.
Determinantes.
Exercı́cios
Considerações finais
Nilpotente
Uma matriz é nilpotente quando:
A é nilpotente ⇐⇒ A2 = 0
A é nilpotente de ordem p se;
Exemplo:

5
2
 5
2
−2 −1
Ap = 0
Ak 6= 0; k < p

6
6 
−3
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Definição
Operação com Matrizes.
Matrizes especiais.
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Determinantes.
Exercı́cios
Considerações finais
idempotente
Uma matriz é idempotente quando:
A é idempotente ⇐⇒ A2 = A
Exemplo:

2 −2
 −1 3
1 −2

−4
4 
−3
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Definição
Operação com Matrizes.
Matrizes especiais.
Cálculo da Inversa.
Determinantes.
Exercı́cios
Considerações finais
idempotente
Uma matriz é idempotente quando:
A é idempotente ⇐⇒ A2 = A
Exemplo:

2 −2
 −1 3
1 −2

−4
4 
−3
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Definição
Operação com Matrizes.
Matrizes especiais.
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Determinantes.
Exercı́cios
Considerações finais
Singular
Uma matriz quadrada é singular quando:
A é singular det(A) = 0
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Exercı́cios
Considerações finais
Inversı́vel
Uma matriz quadrada A de ordem n é inversı́vel se existe uma matriz
A−1 , chamada matriz inversa, tal que A−1 xA = In .
Uma matriz A é inversı́vel se, e somente se, ela é não singular:
A é inversı́vel det(A) 6= 0
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Operação com Matrizes.
Matrizes especiais.
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Determinantes.
Exercı́cios
Considerações finais
Inversı́vel
Propriedades
(AB)−1 = B −1 .A−1
(ABC)−1 = C −1 B −1 .A−1
(At )−1 = (A−1 )t
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Matrizes especiais.
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Determinantes.
Exercı́cios
Considerações finais
Inversı́vel
Propriedades
(AB)−1 = B −1 .A−1
(ABC)−1 = C −1 B −1 .A−1
(At )−1 = (A−1 )t
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Definição
Operação com Matrizes.
Matrizes especiais.
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Determinantes.
Exercı́cios
Considerações finais
Inversı́vel
Propriedades
(AB)−1 = B −1 .A−1
(ABC)−1 = C −1 B −1 .A−1
(At )−1 = (A−1 )t
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Determinantes.
Exercı́cios
Considerações finais
Matriz cofatora
A matriz cofatora de uma matriz quadrada A, indicada por A0 , é outra
matriz quadrada cujos elementos são os cofatores dos elementos
correspondentes da matriz A
cofator
Seja uma matriz quadrada de ordem n ≥ 2 e aij um elemento
qualquer de A. O cofator do elemento aij é o conjunto
Aij = (−1)i+j .Mij
onde Mij é o menor complementar de aij .
Exemplo:


1 0 2
 2 1 3 
3 1 0
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Operação com Matrizes.
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Determinantes.
Exercı́cios
Considerações finais
Matriz cofatora
A matriz cofatora de uma matriz quadrada A, indicada por A0 , é outra
matriz quadrada cujos elementos são os cofatores dos elementos
correspondentes da matriz A
cofator
Seja uma matriz quadrada de ordem n ≥ 2 e aij um elemento
qualquer de A. O cofator do elemento aij é o conjunto
Aij = (−1)i+j .Mij
onde Mij é o menor complementar de aij .
Exemplo:


1 0 2
 2 1 3 
3 1 0
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Definição
Operação com Matrizes.
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Exercı́cios
Considerações finais
Matriz adjunta
A matriz adjunta de uma matriz A, indicada por A, é a transposta da
matriz dos cofatores.
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Definição
Operação com Matrizes.
Matrizes especiais.
Cálculo da Inversa.
Determinantes.
Exercı́cios
Considerações finais
Matriz semelhante
Duas matrizes A e B são ditas semelhantes se existir uma matriz não
singular P tal que:
B = P −1 .A.P
det(A) = det(B)
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Operação com Matrizes.
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Determinantes.
Exercı́cios
Considerações finais
Matemaniacos.com.br
1
Definição
2
Operação com Matrizes.
3
Matrizes especiais.
4
Cálculo da Inversa.
5
Determinantes.
6
Exercı́cios
7
Considerações finais
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Definição
Operação com Matrizes.
Matrizes especiais.
Cálculo da Inversa.
Determinantes.
Exercı́cios
Considerações finais
Utilizando A.A−1 = I
Definição
AxA−1 = I
Exemplo:
3 7
5 11
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Definição
Operação com Matrizes.
Matrizes especiais.
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Determinantes.
Exercı́cios
Considerações finais
Utilizando Determinante
Definição
M −1 =
1
.M
det(M)
Exemplo:


1 0 2
 2 1 3 
3 1 0
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Considerações finais
Utilizando Eliminação de Gauss
Exemplo:


1 3 3
 1 4 3 
1 3 4
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Definição
2
Operação com Matrizes.
3
Matrizes especiais.
4
Cálculo da Inversa.
5
Determinantes.
6
Exercı́cios
7
Considerações finais
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1
Definição
2
Operação com Matrizes.
3
Matrizes especiais.
4
Cálculo da Inversa.
5
Determinantes.
6
Exercı́cios
7
Considerações finais
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Considerações finais
01 - EsPCEx
a
A
soma dos elementos da 2 coluna da matriz 4x3 com
aij = 3i − 2j se i ≥ j
aij = 2j
se i < j
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01 - EsPCEx
a
A
soma dos elementos da 2 coluna da matriz 4x3 com
aij = 3i − 2j se i ≥ j
aij = 2j
se i < j
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Considerações finais
02 - UNIRIO
Considere
a matriz quadrada de ordem dois definida por:
(
2i−j
se i ≥ j
aij =
3
i − j se i < j
2
a) Determine a matriz A
b) Considere que cada elemento aij da matriz A representa o
produto escalar entro os vetores não nulos v~i e v~j . Determine a
medida do ângulo formado entre os vetores v~i e v~j
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Definição
Operação com Matrizes.
Matrizes especiais.
Cálculo da Inversa.
Determinantes.
Exercı́cios
Considerações finais
03
Determine
xe y de modo que: 2x 3y
x +1
2y
=
3
4
3
y +4
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Determine
xe y de modo que: 2x 3y
x +1
2y
=
3
4
3
y +4
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04 - AFA
Sejam as matrizes A = (aij )3x2 e B = (bij )2x4 , com aij = −2i + j e
bij = 2i − j. O elemento c33 da matriz C = (cij )3x4 = AB é?
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05 - EsPCEx
Os
e de y que
aigualdade:
valores de x satisfazem
logx 3 1
2 0
0 1
.
=
logx 3 0
1 1
5 −1
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06 - EsPCEx
As matrizes A,B e C são do tipo rxs, txu e 2xw, respectivamente. Se
a matriz (A − B).C é do tipo 3x4, então r + s + t + u + w é igual a ?
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07 - AFA
Sejam as matrizes A = (aij )3x2 e B = (bij )2x4 , com aij = −2i + j e
bij = 2i − j. O elemento c33 da matriz C = (cij )3x4 = AB é?
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Este material foi produzido por: João Alvaro de Souza Baptista
Email: [email protected] Site:
htt://www.matemaniacos.com.br
Ultima atualização: 02 de junho de 2013.
Referência bibliográfica:
Fundamentos da Matemática Elementar Vol 6
Apostila Elite Mil - Sistema Elite de Ensino
Matemática Paiva
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