Ensino Superior
Cálculo 2
7. Integrais Duplas
Conceitos e Propriedades
Amintas Paiva Afonso
Integrais Duplas
•
Integral dupla é uma extensão natural do conceito
de integral definida para as funções de duas
variáveis. Serão utilizadas para analisar diversas
situações envolvendo cálculo de áreas e volumes,
determinação de grandezas físicas e outros.
Integrais Duplas
f :IR2IR contínua no
retângulo R = [a,b] x [c,d]
y
d
R
c
a
b
x
Integrais Duplas
z
Q
f  0 em R
Q = {(x,y,z)/(x,y)  R e 0  z  f(x,y)}
Volume de Q = V = ?
y
R
x
Integrais Duplas
y
R
d
yj
y yj-1
y2
y1
Partição de R


















Rij
































(xij , yij)




c
a x1
x2
xi-1 xi
x
b
x
Integrais Duplas
z
f (xij , yij)
V=
Q
n
m
i 1
j1
f ( x ij , yij )A


m,n 
lim
Vij
y
R
(xij , yij )
x
Integrais Duplas
Integral Dupla de f sobre o retângulo R
n
m
i 1
j1
f ( x ij , yij )A


m,n 
lim
f
(
x
,
y
)
dA


R
V   f ( x , y)dA
R
Integrais Duplas
Integrais Iteradas

R


f ( x, y )dA     f ( x, y )dydx
a c

b
d


    f ( x, y )dxdy
c a

d
b
Integrais Duplas
y
Integrais Duplas em Regiões Genéricas
1) Regiões inscritas em
faixas verticais
y = g2(x)
D
0
a
y = g1(x)
b
x
D = { (x,y) | a < x < b, g1(x) < y < g2(x) }
Integrais Duplas
d
y
Integrais Duplas em Regiões Genéricas
D
1) Regiões inscritas em faixas
horizontais
x = h2(y)
c
0
x = h1(y)
x
D = { (x,y) | c < y < d, h1(y) < x < h2(y) }
Integrais Duplas
Propriedades das Integrais Duplas
 [ f ( x, y)  g ( x, y)]dA   f ( x, y) dA  g ( x, y) dA
D
D
D
 c f ( x, y) dA  c  f ( x, y) dA
D
D
 f ( x, y) dA   f ( x, y) dA   f ( x, y) dA
D
D1
D2
Integrais Duplas
Massa e Centro de Massa de uma Lâmina
(x,y) : densidade no ponto (x,y)
D : local ocupado pela lâmina
m : massa da lâmina
m   ( x , y)dA
D
Integrais Duplas
Centro de Massa : (X,Y)
onde X = My/m e Y = Mx/m
para:
M x   y( x, y)dA
D
e
M y   x( x, y)dA
D
Exemplo 1
Exemplo 2
dx
Exemplo 3
Exemplo 4
Exemplo 5

1  r 2 . r dr
1 r2  u
 2r dr  du
1
r dr  - du
2
1
u 3/2
  u du  2
3
1
2 3/ 2
 1 r
3


Exemplo 6
Exemplo 7
Calcule
 y sen( xy) dA, onde R = [1, 2] x [0, ].
R

 y sin( xy)dA  1 0 y sin( xy)dydx
2
R
    yd (cos( xy)) dx 

2
1

0
1
x
1
1
[


cos(

x
)

1 x
x2
2

2

2
1
1
sin(x )
dx
x2

2
1
1
1 [ x
2

y cos( xy) |
0
1 
 x 0 cos( xy)dy]dx
sin(x )
 cos(x )

[

]dx
sin( xy) | ]dx  x
x
 cos(x )
x
2
sin(x )
sin(x ) 
dx


2


x
x
1

2
dx  
2
1

2
1
2
1
0
sin(x )
dx
x2
sin(x )
dx
2
x


2
1
d sin(x )
x
2
sin(x ) 
 x 
1
0
Exemplo 8
1 1
Calcule a integral Iterada

0
D = {(x, y) / 0 ≤ x ≤ 1, x ≤ y ≤ 1}
x
sin  y 2  dy dx
D = {(x, y) / 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ x ≤ y}
Exemplo 8
  sin  y  dy dx   sin  y  dA
1
1
0
x
2
2
D

1
0

y
0
sin  y 2  dx dy
   x sin  y   x 0 dy
0
1
x y
2
  y sin  y 2  dy
1
0
  cos  y   0
 12 (1  cos1)
1
2
2
1
Exercícios
1) Calcule a integral abaixo onde R é o retângulo no plano xy
limitado pelo eixo x, pela reta y = x e pela reta x = 1.
sen x
R x dA
2 2x
2) Resolver a integral dupla
 .  (4 x  2)dydx
.
0 x2
3) Integrar a função f(x,y), considerando o domínio definido
pelas retas x = 0, y = 0 e y = x.
.
Propriedades das Integrais Duplas
Integrais Dupla para
Domínios Não Retangulares


Múltiplo constante:
 k. f ( x, y)dxdy k 
R
R
Soma e diferença:
 [ f ( x, y)  g ( x, y)]dxdy 
R

f ( x, y )dxdy
R
f ( x, y )dxdy   g ( x, y )dxdy
R
Aditividade: (R = R1 + R2)

R
f ( x, y )dxdy   f ( x, y )dxdy   f ( x, y )dxdy
R1
R2
Cálculo de Integrais Duplas
Se f (x, y) é contínua no retângulo R = [a, b] × [c, d], a integral
dupla é igual a integral iterada.
d b
b d
c a
a c
 f ( x, y)dA   f ( x, y)dxdy   f ( x, y)dydx
y
R
d
y
fixo
c
x
a
x
b
fixo
Cálculo de Integrais Duplas
Se f (x, y) é contínua em A = {(x, y) / x em [a, b] e h(x)  y  g(x)},
a integral dupla é igual a integral iterada.
y
b g ( x)
g(x)
 f ( x, y)dA    f ( x, y )dydx
A
A
h(x)
a
x
x
b
a h( x)
Cálculo de Integrais Duplas
Se f (x, y) é contínua em A = {(x, y) / y em [c, d] e h(y)  x  g(y)},
a integral dupla é igual a integral iterada.
y
d
d g ( y)
 f ( x, y)dA   f ( x, y)dxdy
A
y
h(y)
R
c h( y )
g(y)
c
x
Cálculo de Integrais Duplas
b
b
g 2( x )
a
a
g 1( x )
V   A( x)dx   .[
 f ( x, y)dy ]dx
b
d
h 2( y )
a
c
h1( y )
V   A( y )dy   .[
 f ( x, y)dx ]dy
Integrais Duplas para
Domínios Não Retangulares
b
b
g 2( x )
a
a
g 1( x )
V   A( x)dx   .[
 f ( x, y)dy ]dx
Cálculo de Integrais Duplas
Integrais Dupla para
Domínios Não Retangulares
b
d
h 2( y )
a
c
h1( y )
V   A( y )dy   .[
 f ( x, y)dx ]dy
Cálculo de Integrais Duplas
Integrais Iteradas – Definição
b d

 f (x, y)dA    f (x, y)dy dx
R
a c

b

    f ( x , y)dx  dy

c
a
d
Exercícios
Calcule
 ( x  2 y)dA , onde D é a região limitada pelas parábolas
D
y = 2x2 e y = 1 + x2.

 dx
(
x

2
y
)
dy

1  2 x2

1 x 2
1
  xy  y 2 
1

1
1
y 1 x 2
1
y 2 x
x(1  x
1
2
2
dx

)  (1  x 2 ) 2  2 x3  4 x 4 dx


   3x 4  x3  2 x 2  x  1 dx
1
1
x x
 x x
  32
  3   2   x
5 4
3 2

1 15
5
4
3
Exercícios
Calcule
 xydA, onde D é a região limitada pela reta y = x – 1 e
D
pela parábola y2 = 2x + 6.
Resposta: 36
Exercícios
 xydA , onde D é a região limitada pela reta y = x – 1
Calcule
D
e pela parábola y2 = 2x + 6.
4
 xydA   
2
y 1
1 y 2 3
2
D
x  y 1
 x2
 
2
2

y
dy
 x  12 y 2 3
4

1
2

4
2
xy dx dy
y ( y  1) 2  ( 12 y 2  3) 2  dy
5
y


 12     4 y 3  2 y 2  8 y  dy
2
 4

4
4
y
 y

 12    y 4  2  4 y 2   36
3
 24
 2
6
3
Exercícios
Calcule
 xydA, onde D é a região limitada pela reta y = x – 1
D
e pela parábola y2 = 2x + 6.
1
2 x6
3
 2 x6
 xydA   
D
xy dy dx  
5

2 x6
1 x 1
xy dy dx
Exercícios
Exercícios
2 2x
2
2
4
y
3
3
2x
(
x

4
y
)
dydx

(
x
y

)
dx
0 2
x2
2
x
0

 x 2x  2(2x)

2
3
2
 x3 .x 2  2( x) 2 dx
0
2
8x3 x6
(8x -x )dx 
3
6
0

2
5
64 64
64
32


3 6
6
3
2
0
Exercícios
y
4
 x4

( x  4 y )dxdy    4 xy 
4
y

0

0
4

3
2



0

4

 y
4
4
y

y 
2
 4 y . y   4 . y dy
4
2 

3
 y2

y
2
  4 y 2   2 y dy 
8

 64
0
4

5
4y 2
y3
y 2 2 y3



5
3.64
2.8
3
2
4
0
y
y
2
dy
Exercícios
5
4y 2
y3
y 2 2 y3



5
3.64
2.8
3
2
5
8y 2
y3
y 2 2 y3



192
5
16
3
4
0
4
0
5
8.4 2
43
4 2 2.43



192
5
16
3
5
8.4 2
43
4 2 2.43



192
5
16
3

1 128. 4
128 32

1

3
5
3
3
Exercícios
Exercícios
Exercícios
Exercícios
Valor Médio de f(x,y) sobre o domínio R
1
VM 
R f ( x, y ) dxdy 

àrea.de.R
b
d
a
c

f ( x, y )dydx
b
d
a
c

dydx
Valor Médio de f(x,y) sobre o domínio R
Exemplo:
Calcular o valor médio da função f(x,y) = sen(x + y), no
retângulo 0  x   e 0  x  /2.