Ensino Superior
Cálculo 3
9. Integrais Duplas
Volumes
Amintas Paiva Afonso
Integrais Duplas - Volume
•
Na tentativa de resolver o problema de determinar
áreas, chegamos à definição de integral definida.
Vamos aplicar procedimento semelhante para
calcular o volume de um sólido e, no processo,
chegar à definição de integral dupla.
f : IR2  IR contínua no retângulo
R = [a,b] x [c,d]
y
•
Consideremos uma função f de duas variáveis
definida em um retângulo fechado
d
R = [a,b] x [c,d] = { (x,y)  IR2| a < x < b, c < y < d }
R
c
a
b
x
f  0 em IR
Q = {(x,y,z) | (x,y)  IR e 0  z  f(x,y)}
•
z
e vamos, inicialmente, supor f(x,y) > 0. O gráfico de f é a
superfície de equação z = f(x,y).
Q
•
Seja Q o sólido que está contido na
região acima de R e abaixo do
gráfico de Q, ou seja,
Q = {(x,y,z)  IR3| (x,y)  R,

y
0  z  f(x,y)}
Volume de Q = V = ?
R
x
Partição de R
•
O primeiro passo consiste em dividir o retângulo R em subretângulos. Faremos isso dividindo o intervalo [a,b] em m
subintervalos [xi-1 , xi], de mesmo comprimento x = (b – a) / m,
e o intervalo [c,d] em n subintervalos [yj-1 , yj], de mesmo
comprimento y = (b – a) / n. traçando retas paralelas aos eixos
coordenados passando pelos extremos dos subintervalos,
formamos os sub-retângulos.
Rij = [xi-1,xi] x [yj-1,yj ] = {(x,y) | xi-1 < x < xi , yj-1 < y < yj }
cada um dos quais com área A = xy.
Partição de R
y
R
d

y
yj
yj-1
y2
y1


















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







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

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
















Rij
(xij , yij)




c
a x1 x2
xi-1 xi
x
b
x
Integrais Duplas - Volume
•
Se escolhermos um ponto arbitrário (xij,yij) em cada Rij,
podemos aproximar a parte de Q que está acima de cada Rij
por uma caixa retangular fina (ou um prisma) com base Rij e
altura f(xij,yij). O volume desta caixa é dado pela sua altura
vezes a área do retângulo da base:.
Vij = f(xij,yij)A.
Integrais Duplas - Volume
Se seguirmos com esse procedimento para todos os
retângulos e somarmos os volumes das caixas
correspondentes, obteremos uma aproximação do volume
total de Q:
V
n
m
  f (x , y
ij
i 1
ij )A
j 1
Essa dupla soma significa que, para cada sub-retângulo,
calculamos o valor de f no ponto amostra escolhido,
multiplicamos esse valor pela área do sub-retângulo e,
então, adicionamos os resultados.
Integrais Duplas - Volume
z
Q
f (xij , yij)
Vij
y
R
n
V=
lim
m,n 

i 1
m
 f (x ij , yij )A
j1
(xij , yij)
x
Integrais Duplas - Volume
Definição
•
Considere uma função z =
f (x, y) contínua e definida
numa região fechada e
limitada D do plano xy.
•
Traçando retas paralelas aos
eixos x e y, recobrimos a
região D por pequenos
retângulos.
Definição
•
Considere somente os retângulos Rk que estão totalmente contidos
em D, numerando-os de 1 a n.
Em cada retângulo Rk, tome o ponto Pk = (xk , yk) e forme a soma
•
SOMA DE RIEMANN:
onde Ak = xk . yk é a área do retângulo Rk.
•
Traçando-se mais retas paralelas aos eixos x e y, os retângulos
ficam cada vez menores.
Toma-se mais retas tal que a diagonal máxima dos retângulos
Rk tende a zero quando n tende ao infinito.
Definição
•
Então, se
existe, ele é chamado INTEGRAL DUPLA de f (xk ,yk)Ak
sobre a região D.
Denota-se por:
  f ( x, y)dA    f ( x, y)dxdy  lim
n 
D
D
n
 f ( x , y ). A
k
i 1
k
k
Interpretação Geométrica
•
•
Se f (x, y)  0, f (xk , yk)Ak representa o volume de um prisma
reto, cuja base é o retângulo Rk e cuja altura é f (xk , yk).
A soma de Riemann
é a aproximação do
volume limitado abaixo da região z e acima de D.
Interpretação Geométrica
•
Assim, se z = f (x, y)  0, então
é o VOLUME DO SÓLIDO delimitado superiormente pelo
gráfico de z = f (x, y) e inferiormente pela região D.
Interpretação Geométrica
Área da Região D
Se f(x, y) = 1 
Logo:
P(x, y)  D, então, V = 1.áreaD.
Cálculo de Volumes - Aplicações
A Integral dupla dá o volume sob a superfície f(x,y)
Cálculo de Volumes - Aplicações
Para f (x, y)  0, a integral
nos dá o volume do sólido delimitado superiormente pelo
gráfico de z = f (x, y), inferiormente pela região D e
lateralmente pelo cilindro vertical cuja base é o contorno de D.
Exemplos
Calcular o volume do sólido delimitado superiormente pelo
gráfico de z = 4 - x - y inferiormente pela região delimitada
1
1
por x = 0, x = 2, y = 0 e y  x  e lateralmente pelo cilindro
4
2
vertical cuja base é o contorno de R.
Resposta: V = 15/4 u.v.
Representamos na Figura a região R (base deste sólido):
Assim, 0  x  2 e 0  y  1 x  1 ,
4
2
logo a região é do Tipo I e podemos
integrar deste modo:
2
V
1
1
x
4 2


0
0
4  x  y dydx
Teorema de Fubini
b
b d
a
a c
 f ( x, y)dxdy   A( x)dx  [ f ( x, y).dy]dx
Teorema de Fubini
d
d b
c
c a
 f ( x, y)dxdy   A( y)dy  [ f ( x, y).dx]dy
Exercícios
1) Determinar o volume do sólido limitado pelos planos
coordenados pelo plano x + y + z = 3, no 1º octante.
3
3
Exercícios
2) Determinar o volume do sólido limitado por z = 4 − x2 ; x = 0;
y = 6; z = 0; y = 0.
Resposta: 32 u.v
Exercícios
3) Determinar o volume do sólido limitado no 1º octante pelos
cilindros x2 + y2 = a2 e x2 + z2 = a2.
a
a
a
Resposta: 2a3/3 u.v.
Exercícios
4) Determinar o volume do sólido limitado superiormente por
z = 2x + y + 4 e inferiormente por z = − x − y + 2 e
lateralmente pela superfície definida pelo 2contorno da região
x
2
2
D limitada pelas curvas y = x – 4 e y 
2
Exercícios
Resposta: -22/15 u.v.
Exercícios
5) Determine o volume do sólido S que é delimitado pelo
parabolóide elíptico x2 + 2y2 + z = 16, os planos x = 2 e y = 2
e os três planos coordenados.
Primeiro, observamos que S é o sólido que se encontra sob a superfície
z  16  x  2 y e acima de R  [0,2]  [0,2].
2
2
V   (16  x  2 y )dA  0 0 (16  x 2  2 y 2 )dxdy
2

R
  16 x 
2
0


88
y
3
1 3
x
3
 y
4
3
3

2
0
2
2
 2y x
2
 48

x 2
2
dy  
x 0
2
0

88
3

 4 y dy
Resposta: 48
2
Exercícios
6)Determine o volume do sólido que está abaixo do parabolóide
z = x2 + y2 e acima da região do plano xy limitada pela reta
y = 2x e pela parábola y = x2.
y = 2x
y = x2
Resposta: 216/35
Exercícios
8) Determine o volume do tetraedro limitado pelos planos
x + 2y + z = 2, x = 2y, x = 0 e z = 0.
Exercícios
8) Determine o volume do tetraedro limitado pelos planos
x + 2y + z = 2, x = 2y, x = 0 e z = 0.
x
1 1 2
V   2  x  2 y dA  
D
 2  x  2 ydydx   
1
0 x/2
  x   x   x 2
x2 x2 
  21    x1    1    x 

dx
2
4 
0
  2  2  2
1

x2
x2
x2 x2 
dx
   2  x  x 
1  x 
x

2
4
2
4 
0
1


1

x3 
1
2
2
  1  2x  x dx   x  x   
3 0 3

0
1
Resposta: 1/3

x
2 1 2
2 y  xy  y x dx
2
0
Exercícios