Faculdade Sagrada Família
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AULA 13 - ESTIMATIVAS E TAMANHOS DE AMOSTRAS
Quando utilizamos dados amostrais para estimar uma média populacional, a
margem de erro denotada por E, é a diferença máxima provável entre a média
amostral observada e a verdadeira média populacional. A margem de erro E é
chamada também erro máximo da estimativa.
O intervalo de confiança para a média populacional é dado por:
x−E < µ < x+E
onde o E = zα / 2 .
σ
n
.
Grau de confiança
α
Valor crítico
90%
0,10
1,645
95%
0,05
1,96
99%
0,01
2,575
Exemplo:
1. Para uma amostra de tamanho 106 que apresentou média 98,2 e desvio padrão
0,62. Para um grau de confiança de 0,95 determinar:
a) a margem de erro;
b) o intervalo de confiança para a média populacional.
Determinação do tamanho da amostra
A determinação do tamanho de uma amostra é um problema de grande
importância, porque amostras desnecessariamente grandes acarretam desperdício
de tempo e de dinheiro, e amostras demasiadamente pequenas podem levar a
resultados não confiáveis.
2
 zα / 2σ 
n=

 E 
Ao determinar o tamanho da amostra n, se não obtiver um número inteiro,
aumente sempre o valor de n para o inteiro maior mais próximo.
Exemplo:
1. Um economista deseja estimar a renda média para o primeiro ano de trabalho
de um bacharel em Administração por uma faculdade. Quantos valores de
renda devem ser tomados se o economista deseja ter 95% de confiança em
que a média amostral esteja menos de R$ 500,00 da verdadeira média
populacional? Suponha que por um estudo prévio saibamos que o desvio
padrão populacional para tais rendas é de R$ 6.250,00.
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MÉTODOS QUANTITATIVOS
Prof. MSc. Regiane Aparecida Nunes de Siqueira
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2. Deseja-se estimar o preço médio de venda de um livro. Quantos exemplares
devemos selecionar, para termos 95% de confiança que a média amostral
esteja a menos de R$ 2,00 da verdadeira média populacional, admitindo que
os preços dos livros variam de R$ 10,00 a R$ 90,00?
σ≈
amplitude
4
Exercícios:
1. Determinar a margem de erro e o intervalo de confiança para a média
populacional nos seguintes casos:
a) 95% de confiança; n = 50 , x = 63,4 , s = 2,4
b) 99% de confiança; n = 75 , x = 2,76 , s = 0,88
c) 90% de confiança; n = 150 , x = 77,6 , s = 14,2
2. Se queremos estimar o peso médio do plástico descartado por residências em
uma semana, quantas residências devemos selecionar aleatoriamente para termos
99% de confiança de que a média amostral esteja a menos de 0,250 lb da
verdadeira média populacional, admitindo s = 1,065 lb ?
ESTIMATIVA DE UMA PROPORÇÃO POPULACIONAL
Quando utilizamos dados amostrais para estimar uma proporção
populacional, a margem de erro denotada por E, é a diferença máxima provável
entre a proporção amostral observada e a verdadeira proporção populacional. A
margem de erro E é chamada também erro máximo da estimativa.
A estimativa pontual de p é dada por:
x
p̂ =
n
onde n é o tamanho da amostra e x o número de sucessos obtidos nessa amostra.
A proporção de não sucessos é obtida por:
qˆ = 1 − pˆ
O intervalo de confiança para a média populacional é dado por:
pˆ − E < p < pˆ + E
onde o E = z α / 2 .
pˆ qˆ
.
n
Exemplo:
1. Em uma pesquisa junto a 1068 americanos, 673 informaram ter secretária
eletrônica. Com os dados amostrais determine:
a) a estimativa pontual de p:
b) a estimativa intervalar de 95% da proporção populacional de todos os americanos
que têm secretária eletrônica.
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Determinação do tamanho da amostra
Para determinar o tamanho necessário da amostra, quando desejamos achar
o valor aproximado de uma proporção populacional, utiliza-se a relação:
[z ] pˆ qˆ
n = α / 22
E
Ao determinar o tamanho da amostra n, se não obtiver um número inteiro,
aumente sempre o valor de n para o inteiro maior mais próximo.
Exemplo:
1. Desejamos estimar, com uma margem de erro de três pontos percentuais, a
percentagem de motoristas que falam ao celular enquanto estão dirigindo.
Supondo que se pretende um nível de confiança de 95% nos resultados,
quantos motoristas devem ser pesquisados?
a) Suponha que tenhamos uma estimativa com base num estudo anterior,
que mostrou que 18% dos motoristas falam ao celular.
b) Suponha que não tenhamos nenhuma informação que possa sugerir uma
estimativa.
Exercícios:
1. Selecionados aleatoriamente e pesquisados 500 universitários, verificou-se
que 135 deles têm computadores pessoais:
a) Determine a estimativa pontual da verdadeira proporção de todos os
universitários que têm computador pessoal.
b) Determine um intervalo de 95% de confiança para a verdadeira proporção
de todos os universitários que têm computador pessoal.
2. Deseja- se estimar a proporção de golfistas canhotos. Quantos golfistas
devem ser pesquisados, para que a companhia tenha 90% de confiança de
que a proporção amostral apresenta uma margem de 0,025 de erro?
3. Uma pesquisa de mercado revela que uma amostra de 1220 residências
selecionadas aleatoriamente inclui 1054 que possuem um veículo. Com base
nesses resultados, construa um intervalo de 90% de confiança para a
percentagem de todas as residências que possuem um veículo.
4. Um estudo de saúde envolve 1000 mortes selecionadas aleatoriamente,
dentre as quais 331 causadas por doenças cardíacas.
a) Com os dados amostrais, construa um intervalo de confiança de 99% para
a proporção de todas as mortes causadas por doenças cardíacas.
b) Utilizando os dados amostrais como estudo piloto, determine o tamanho da
amostra necessário para estimar a proporção de todas as mortes causadas
por doenças cardíacas. Admita um nível de confiança de 95%, em que o erro
da estimativa não supere 0,01.
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