MAT 0336 - LISTA DE EXERCÍCIOS
1. FORMAS DIFERENCIAIS NO Rn
(1) Considere as seguintes 1-formas
(a) ω = y 2 dx
(b) η = zdy − ydz
(c) θ = (z 2 − 1)dx − dy + x2 dz
Calcule ω(~v ), η(~v ) e θ(~v ) onde ~v = (1, 2, −3) ∈ Tp R3 com p = (0, −2, 1).
(2) Dadas funções f, g : R3 −→ R e campos de vetores V, W ∈ X(R3 ), mostre que
(a) ω(f V + gW ) = f ω(V ) + gω(W )
(b) (f ω + gη)(V ) = f ω(V ) + gη(V )
para todas 1-formas ω, η ∈ Λ1 (R3 ).
(3) Dadas funções diferenciáveis f, g : R3 −→ R, verifique que
(a) d(f + g) = df + dg
(b) d(f g) = gdf + f dg
dx + ∂f
dy + ∂f
dz.
utilizando a definição df = ∂f
∂x
∂y
∂z
(4) Sejam ω, η, σ formas em R3 dadas pelas seguintes expressões:
ω = xdx − ydy,
η = zdx ∧ dy + xdy ∧ dz,
σ = zdy
Calcule ω ∧ η e σ ∧ ω ∧ η.
(5) Seja f : Rn −→ Rm uma função diferenciável. Sejam ainda ω, η ∈ Λk (Rm ).
Mostre que f ∗ (ω + η) = f ∗ (ω) + f ∗ (η).
(6) Seja f : Rn −→ Rm diferenciável e ω ∈ Λk (Rm ). Mostre que
f ∗ (gω) = f ∗ (g)f ∗ (ω)
onde g : Rm −→ R é uma função diferenciável.
(7) Seja f : Rn −→ Rm diferenciável. Mostre que se ω1 , . . . , ωs ∈ Λ1 (Rm ), então é
válida a seguinte igualdade
f ∗ (ω1 ∧ . . . ∧ ωs ) = f ∗ (ω1 ) ∧ . . . ∧ f ∗ (ωs )
1
2
MAT 0336 - LISTA DE EXERCÍCIOS
(8) Considere a 1-forma ω ∈ Λ1 (R2 − {(0, 0)}) dada pela seguinte expressão
y
x
ω=− 2
dx + 2
dy
2
x +y
x + y2
Seja agora f : U := {(r, θ) ∈ R2 : r > 0 e 0 < θ < 2π} −−−−−−→ R2 dada por
f (r, θ) = (r cos(θ), r sin(θ))
Calcule f ∗ (ω).
Solução: Dado p ∈ U e ~v = (v1 , v2 ) ∈ Tp R2 , temos
f ∗ (ω)p (~v ) = ωf (p) (dfp (~v ))
−r sin(θ)
r cos(θ)
(v
cos(θ)
−
r
sin(θ)v
)
+
(v1 sin(θ) + r cos(θ)v2 )
1
2
r2
r2
v1 sin(θ) cos(θ)
v1 sin(θ) cos(θ)
=−
+ sin2 (θ)v2 +
+ cos2 (θ)v2
r
r
= v2 = dθ(~v )
=
Assim f ∗ (ω) = dθ
(9) Uma função g : R3 −→ R é dita homogênea de grau k se, para todo t > 0 e
para todo (x, y, z) ∈ R3 , temos g(tx, ty, tz) = tk g(x, y, z). Mostre que é válida
a igualdade xgx + ygy + zgz = kg. Suponha agora que a, b, c : R3 −→ R são
homogêneas de grau k e considere a 1-forma ω = adx + bdy + cdz ∈ Λ1 (R3 ).
Suponha que ω é fechada (isto é dω = 0). Mostre que ω = df onde f é dada por
1
(xa(x, y, z) + yb(x, y, z) + zc(x, y, z))
k+1
Considere agora a 2-forma σ = ady ∧ dz + bdz ∧ dx + cdx ∧ dy. Mostre que se σ
é fechada, então σ = dη onde η ∈ Λ(R3 ) é a 1-forma dada por
f (x, y, z) =
η=
1
[(zb − yc)dx + (xc − za)dy + (ya − xb)dz]
k+2
(10) Mostre que se ω, η ∈ Ωk (Rn ), então d(ω + η) = dω + dη. Mostre também que se
ω ∈ Ωk (Rn ) e se η ∈ Ωs (Rn ), então d(ω ∧ η) = dω ∧ η + (−1)k ω ∧ dη.
(11) Mostre que se ω ∈ Ωk (Rn ), então d(dω) = 0. Mostre ainda que se f : Rm −→ Rn
é diferenciável, então d(f ∗ (ω)) = f ∗ (dω).
(12) Calcule dω para cada uma das seguintes formas diferenciais ω definidas no R3 :
(a) w = sin(xyz)
(b) w = xdx + x2 yzdy + yzdz
(c) w = xyzdx ∧ dy + xydx ∧ dz + xdy ∧ dz
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3
2. 1-FORMAS DE CONEX ÃO
(1) Sejam p = (2, 1, 0) ∈ R3 , ~v = (−1, 0, 2) ∈ Tp R3 e X = x2 e1 + yze3 ∈ X(R3 ).
Calcule ∇~v X.
(2) Sejam X, Y ∈ X(R3 ) campos de vetores dados pelas seguintes expressões:
X = (y − x)e1 + (xy)e3
Y = (x2 )e1 + (yz)e3
Calcule ∇X Y .
(3) Seja {E1 , E2 , E3 } o referencial ortonormal cilı́ndrico definido em R3 − {eixo z}


 E1 (r, θ, z) = (cos(θ), sin(θ), 0)
E2 (r, θ, z) = (− sin(θ), cos(θ), 0)

 E (r, θ, z) = (0, 0, 1)
3
onde x = r cos(θ), y = r sin(θ) e z = z. Mostre que as 1-formas de conexão são
ω12 = dθ, ω21 = −dθ e ωij = 0 (nos outros casos)
Mostre também que as 1-formas duais são dadas pelas expressões


 ω1 = dr
ω2 = rdθ

 ω = dz
3
Mostre que E1 (r) = 1, E2 (θ) = 1/r, E3 (z) = 1 e que todas as outras alternativas
dão zero. Verifique a validade das equações de estrutura.
(4) Seja {E1 , E2 , E3 } o referencial ortonormal esférico definido em R3 − {eixo z}


 E1 (r, θ, ϕ) = (cos(ϕ) cos(θ), cos(ϕ) sin(θ), sin(ϕ))
E2 (r, θ, ϕ) = (− sin(θ), cos(θ), 0)

 E (r, θ, ϕ) = (− sin(ϕ) cos(θ), − sin(ϕ) sin(θ), cos(ϕ))
3
onde x = r cos(ϕ) cos(θ), y = r cos(ϕ) sin(θ) e z = r sin(ϕ). Mostre que
ω12 = cos(ϕ)dθ, ω13 = dϕ, ω23 = sin(ϕ)dθ
Mostre também que as 1-formas duais são dadas pelas seguintes expressões


 ω1 = dr
ω2 = r cos(ϕ)dθ

 ω = rdϕ
3
Verifique ainda a validade das equações de estrutura.
4
MAT 0336 - LISTA DE EXERCÍCIOS
(5) Seja M uma superfı́cie regular no R3 . Seja também {E1 , E2 , E3 } um referencial
ortonormal adaptado sobre M , (ωij ) as 1-formas de conexão e (ωi ) as 1-formas
duais associadas. Mostre que valem as seguintes igualdades
ω13 ∧ ω23 = Kω1 ∧ ω2
dω12 = −Kω1 ∧ ω2
2Hω1 ∧ ω2 = ω13 ∧ ω2 + ω1 ∧ ω23
K = E2 [ω12 (E1 )] − E1 [ω12 (E2 )] − ω12 (E1 )2 − ω12 (E2 )2
onde K e H representam, respectivamente, as curvaturas Gaussiana e Média.
(6) Com as mesmas notações do exercı́cio anterior, suponha ainda que o referencial
{E1 , E2 , E3 } é principal. Mostre que valem as seguintes igualdades
E2 (λ1 ) = (λ1 − λ2 )ω12 (E1 )
E1 (λ2 ) = (λ1 − λ2 )ω12 (E2 )
onde λ1 e λ2 são as curvaturas principais de M .
(7) Seja M ⊂ R3 uma superfı́cie regular umbı́lica. Mostre que M tem curvatura
Gaussiana constante não negativa.
(8) Com as hipóteses do exercı́cio anterior, mostre que se K = 0, então a superfı́cie
M está contida em um plano. Mostre ainda que se K > 0, então M está contida
√
em uma esfera de raio 1/ K.
(9) Mostre que se F : M −→ M̃ é uma isometria entre duas superfı́cies regulares,
dM (p, q) = dM̃ (F (p), F (q))
(10) Seja F : M −→ M̃ uma isometria entre duas superfı́cies regulares. Tome agora
um referencial ortonormal {E1 , E2 } de M e o referencial correspondente de M̃
n
o
Ẽ1 , Ẽ2 ,
Ẽi = dF (Ei ), i = 1, 2
Mostre que se ω̃1 , ω̃2 e ω̃12 indicam os duais e a 1-forma de conexão de M̃ , então
ω1 = F ∗ (ω̃1 ), ω2 = F ∗ (ω̃2 ), ω12 = F ∗ (ω̃12 )
(11) Seja F : M −→ M̃ uma isometria entre duas superfı́cies regulares. Mostre que
K(p) = K̃(F (p))
para todo p ∈ M .
MAT 0336 - LISTA DE EXERCÍCIOS
5
3. GEOMETRIA RIEMANNIANA
(1) (Plano projetivo) Sobre S2 defina a seguinte relação de equivalência
p ∼ q ⇐⇒ p = q ou p = −q
Mostre que existe uma estrutura natural de 2-variedade diferenciável no espaço
quociente P2 := S2 /∼ utilizando a estrutura diferenciável natural de S2 e a
aplicação quociente π : S2 −→ P2 .
(2) Mostre que é possı́vel definir uma métrica Riemanniana sobre P2 de modo que
a aplicação quociente π : S2 −→ P2 seja uma isometria local.
(3) (Semi-plano de Poincaré) Seja H2 = {(x, y) ∈ R2 ; y > 0} com a seguinte métrica
h~u, ~v i(x,y) :=
~u · ~v
y2
Mostre que se trata de uma métrica Riemanniana. Calcule o comprimento da
curva α :]0, π[−→ H2 dada por α(t) = (cos(t), sin(t)). Mostre ainda que K = −1.
(4) Seja g : R2 −→ (0, ∞) diferenciável. Considere o plano R2 munido da métrica
h~u, ~v i(u,v) :=
~u · ~v
g(u, v)2
Mostre que se trata de uma métrica Riemanniana sobre R2 . Denote por {e1 , e2 } o
referencial ortonormal canônico e por {ω1 , ω2 } as formas duais correspondentes.
Mostre que ω1 = du/g e ω2 = dv/g. Mostre ainda que valem as igualdades
gv
dω1 = du ∧ ω2
g
gu
dω2 = dv ∧ ω1
g
gu
gv
ω12 = du − dv
g
g
K = g(guu + gvv ) − (gu2 + gv2 )
(5) Utilize a projeção estereográfica para definir, na superfı́cie S que é formada pela
esfera x2 + y 2 + (z − 1)2 = 1 menos o ponto (0, 0, 2), uma métrica Riemanniana
tal que S seja isométrica ao plano R2 .
(6) (O plano hiperbólico) Seja D2 (0) = {(x, y) ∈ R2 ; x2 + y 2 < 4} munido da métrica
h~u, ~v i(x,y) =
~u · ~v
,
g(x, y)2
g(x, y) := 1 −
x2 + y 2
4
Mostre que se trata de uma métrica Riemanniana e que K = −1.
6
MAT 0336 - LISTA DE EXERCÍCIOS
(7) No Plano hiperbólico mostre que a área da região u2 + v 2 ≤ r2 , com r < 2, é
A(r) =
πr2
2
1 − r4
Conclua que a área do plano hiperbólico é lim A(r) = +∞.
r→2
(8) Seja M uma superfı́cie regular do R3 . Sejam X e Y campos de vetores tangentes
¯ a derivada covariante usual do R3 e por ∇ a derivada
a M . Denotando por ∇
covariante de M como 2-variedade Riemanniana, mostre que vale a relação
¯ X Y = ∇X Y + (A(X) · Y )N
∇
onde A é o operador de Weingarten segundo uma normal unitária N de M .
(9) Seja α : [0, 1] ⊂ R −→ M uma curva definida em uma 2-variedade Riemanniana
M . Seja ~v ∈ Tα(0) M . Mostre que existe um único campo de vetores paralelo Y
definido sobre α tal que Y0 = ~v .
(10) Considere o semi-plano de Poincaré H2 . Seja α : [0, 1] −→ H2 a curva dada por
α(t) = (t, 1). Seja (0, 1) ∈ Tα(0) H2 . Determine o campo de vetores paralelo Yt ,
definido ao longo de α, tal que Y0 = (0, 1).
(11) Seja M uma 2-variedade Riemanniana. Mostre que se existe campo unitário
Y ∈ X(M ) tal que ∇X Y = 0 para todo campo X ∈ X(M ), então K = 0.
(12) Seja M uma 2-variedade Riemanniana e ϕ : U ⊂ R2 −→ M uma carta do atlas
de M . Suponha que ϕ é ortogonal, isto é, F = hϕu , ϕv i = 0. Mostre que
(a) Os campos abaixo formam um referencial ortonormal em ϕ(U )
ϕv
ϕu
E1 = √
E2 = √
E
G
(b) As 1-formas duais correspondentes são dadas por
√
√
ω1 = Edu ω2 = Gdv
(c) A 1-forma de conexão correspondente é dada pela expressão
√
√
( E)v
( G)u
ω12 = − √ du + √ dv
G
E
(d) São válidas as seguintes igualdades
1
1
h∇ϕu ϕv , ϕv i = √
h∇ϕv ϕu , ϕv i
EG
EG
1
1
ω12 (ϕu ) = √
h∇ϕv ϕu , ϕu i = √
h∇ϕu ϕv , ϕu i
EG
EG
(e) ∇ϕv ϕu = ∇ϕu ϕv é válida para ϕ e para qualquer carta do atlas de M .
ω12 (ϕv ) = √
MAT 0336 - LISTA DE EXERCÍCIOS
7
(13) Seja M uma 2-variedade Riemanniana. Mostre que se p ∈ M e ~v ∈ Tp M , existe
uma (única) geodésica maximal γ : I ⊂ R −→ M tal que γ(0) = p e γ 0 (0) = ~v .
(14) Denote por γ~v a única geodésica maximal do exercı́cio anterior. Mostre que
γa~v (t) = γ~v (at),
∀t ∈ R
onde a ∈ R é uma constante.
(15) Determine as geodésicas do semi-plano de Poincaré H2 .
Solução: Considere a carta ϕ(u, v) = (u, v) de H2 . Então E = G = 1/v 2 e
F = 0. Seja α(t) = ϕ(u(t), v(t)) = (u(t), v(t)) uma geodésica de H2 . O sistema de
equações diferenciais que define uma geodésica fica na seguinte forma

2 0 0
00

 u − vu v = 0

 v 00 + 1 (u02 − v 02 ) = 0
v
Se u0 = 0 então u = u0 é constante e v satisfaz v 00 = (v 0 )2 /v e então v(t) = aebt
(com a, b ∈ R constantes) e assim as curvas α(t) = (u0 , aebt ), com t ∈ R, são
geodésicas de H2 . Por outro lado, supondo u0 6= 0, podemos escrever
0
0
d( uv 0 )
( uv 0 )0
d2 v
d v0
v 00 u0 − v 0 u00 1
=
(
)
=
=
=
· 0
du2
du u0
du
u0
(u0 )2
u
(1)
Multiplicando a primeira equação do sistema por v 0 e a segunda por u0 , temos
2 0 0 2
u0
· u (v )
e v 00 u0 = − · ((u0 )2 − (v 0 )2 )
v
v
Substituindo (2) em (1) obtemos
u00 v 0 =
(2)
1
v0 2
1
dv
d2 v
= − (1 + ( 0 ) ) = − (1 + ( )2 )
2
du
v
u
v
du
resultando na equação diferencial (na variável u)
d2 v
dv
d dv
v 2 + ( )2 = −1 ou
(v ) = −1
du
du
du du
Integrando a última equação obtemos u2 +v 2 = αu+β (com α, β ∈ R constantes).
8
MAT 0336 - LISTA DE EXERCÍCIOS
4. PROPRIEDADES MINIMIZANTES DAS GEOD ÉSICAS
(1) Verifique que, em cada um dos seguintes casos, a aplicação ϕ é parametrização
polar geodésica de pólo p da 2-variedade Riemanniana M :
(a) M = R2 com a métrica usual, p = (0, 0) e ϕ : (0, ∞) × R −→ R2 dada por
ϕ(u, v) = (u cos(v), u sin(v))
(b) S2 com a métrica induzida pelo R3 , p = (0, 0, 1) e ϕ : (0, π) × R −→ S2 sendo
ϕ(u, v) = (sin(u) cos(v), sin(u) sin(v), cos(u))
(c) D2 (0) com métrica ds2 =
dx2 +dy 2
(1−
(u2 +v 2 ) 2
)
4
, p = (0, 0) e ϕ : (0, ∞) × R −→ D2 (0)
u
u
ϕ(u, v) = (2 tanh( ) cos(v), 2 tanh( ) sin(v))
2
2
(2) Seja M uma 2-variedade Riemanniana, p ∈ M e ϕ : S −→ M a parametrização1
ϕ(u, v) = γcos(v)e1 +sin(v)e2 (u)
Mostre que essa parametrização polar geodésica de pólo p satisfaz:
(a) E = hϕu , ϕu i = 1;
(b) F = hϕu , ϕv i = 0;
(c) G = hϕv , ϕv i > 0;
(d) γ(u) := ϕ(u, v0 ) minimiza o comprimento de arco entre p e q := ϕ(u0 , v0 );
(e) Se α é uma curva em M unindo p e q (item (d)) e ainda L(γ) = L(α), então
α(u) = ϕ(a1 (u), v0 + 2kπ) = γ(a1 (u)),
k∈Z
ou seja, α é uma reparametrização de γ.
(3) Seja M uma 2-variedade Riemanniana e d a distância intrı́nseca de M . Mostre
que (M, d) é um espaço métrico.
(4) Seja M uma 2-variedade Riemanniana. Sejam p, q ∈ M e α : [0, 1] −→ M uma
curva em M tal que α(0) = p e α(1) = q. Mostre que se a curva α minimiza o
comprimento de arco entre p e q, então α é geodésica.
(5) (Teorema de Hopf-Rinow) Sejam p e q dois pontos distintos de uma 2-variedade
Riemanniana completa M . Mostre então que existe uma geodésica minimizante
γ : [0, 1] −→ M tal que γ(0) = p e γ(1) = q.
1
Onde S = (0, ) × R e γ~v denota a (única) geodésica de M com γ~v (0) = p e γ~v0 (0) = ~v ∈ Tp M .
MAT 0336 - LISTA DE EXERCÍCIOS
9
(6) Seja γ um segmento geodésico unindo dois pontos p e q de uma 2-variedade
Riemanniana M . Se não existem pontos conjugados de p = γ(0) sobre γ, mostre
que γ minimiza localmente o comprimento de arco entre p e q.
(7) Seja ϕ uma aplicação polar geodésica. Mostre que
equação diferencial (chamada equação de Jacobi)
√
G = kϕv k satisfaz a seguinte
√
√
( G)uu + K G = 0
que possui condições iniciais
√
√
√
G(0, v) = 0 e ( G)u (0, v) := lim ( G)u (u, v) = 1.
u→0
(8) Seja ϕ(u, v) = ((R+r cos(v)) cos(u), (R+r cos(v)) sin(u), r sin(v)) a parametrização
do toro de revolução com (u, v) ∈ [0, 2π] × [0, 2π]. Considere agora a geodésica
p
γ(u) = ϕ(u, 0) desse toro. Mostre que ϕ(π r(R + r), 0) é ponto conjugado de
p = ϕ(0, 0) sobre γ.
(9) Mostre que não existem pontos conjugados sobre qualquer geodésica de uma 2variedade Riemanniana com K ≤ 0. Conclua que qualquer segmento geodésico
de tal 2-variedade Riemanniana é localmente minimizante.
(10) Seja p um ponto de uma 2-variedade Riemanniana M . Considere um disco
geodésico D contido na vizinhança normal de centro p de M . Denote por C a
fronteira de D e por L(C ) o comprimento de C . Mostre que
3
{2π − L(C )}
→0 π3
K(p) = lim
(11) Seja F : M −→ N uma isometria local entre 2-variedades Riemannianas. Tome
p ∈ M e ~v ∈ Tp M . Mostre que F (γ~v ) = γdFp (~v) .
(12) Considere duas isometrias F, G : M −→ N entre 2-variedades Riemannianas.
Seja p ∈ M e {e1 , e2 } um referencial ortonormal de Tp M . Suponha também que
F (p) = G(p) e dFp (ei ) = dGp (ei ) para todo i = 1, 2. Mostre que F = G.
(13) Seja M uma 2-variedade homogênea, ou seja, dados dois pontos p e q de M , existe
uma isometria F : M −→ M tal que F (p) = q. Mostre que M possui curvatura
Gaussiana constante e é completa.
(14) Seja M uma 2-variedade Riemanniana completa e com curvatura Gaussiana
constante K. Mostre que M é localmente isométrica a H2 , a R2 ou a S2 caso
se tenha K = −1, K = 0 ou K = 1, respectivamente.
10
MAT 0336 - LISTA DE EXERCÍCIOS
5. O TEOREMA DE GAUSS-BONNET
(1) Mostre que se M é uma 2-variedade Riemanniana compacta, conexa, orientável
e com K > 0, então M é homeomorfa à esfera.
(2) Mostre que se M é uma 2-variedade Riemanniana compacta, conexa, orientável
e de gênero 1, então existe p ∈ M tal que Kp = 0.
(3) Mostre que se M é uma 2-variedade Riemanniana compacta, conexa, orientável
e de gênero g ≥ 2, então existe p ∈ M tal que Kp < 0.
(4) Seja M uma 2-variedade Riemanniana compacta, conexa, orientável. Mostre
que são equivalentes:
(a) Existe X ∈ X(M ) unitário;
(b) χ(M ) = 0;
(c) M é difeomorfa ao toro.
Conclua que se uma 2-variedade Riemanniana compacta, conexa e orientável
possui K = 0, então M é homeomorfa ao toro.
(5) Mostre que se P ⊂ H2 é um polı́gono geodésico de n lados cujos vértices estão
na reta limite v = 0, então área de P é dada por π(n − 2). Conclua que H2 possui
área infinita.
A NDR É DE O LIVEIRA G OMES
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