EXAME UNIFICADO DAS PÓS-GRADUAÇÕES EM FÍSICA DO RIO DE JANEIRO
Segundo Semestre de 2012 - 13 de julho de 2012
AS 4 QUESTÕES DA PARTE A SÃO OBRIGATÓRIAS.
ESCOLHA 2, E APENAS 2, QUESTÕES DA PARTE B.
A PROVA TEM DURAÇÃO MÁXIMA DE 4 HORAS. BOA PROVA.
PARTE A:
Problema 1: Um condutor esférico de raio R possui em seu centro uma cavidade esférica de raio
a como mostra a Fig. 1. No centro desta cavidade há uma carga pontual qa . A uma distância d do
centro da esfera condutora, há uma segunda carga pontual qb conforme mostra a Fig. 1. Considere que
|qa | ≈ |qb | e d R.
a) Calcule o campo elétrico total nas seguintes regiões:
i) r < a
ii) a < r < R
iii) r > R
b) Calcule a intensidade das forças que agem em cada um dos objetos, condutor, qa e qb , no limite
d R.
Figura 1: Questão 1.
1
Problema 2: Um sistema de uma partı́cula de massa m, cujo movimento é unidimensional, está
→
−
−
sujeito a uma força viscosa da forma F = −ρ→
v (ρ > 0), sendo que sua velocidade no instante inicial
→
−
em que a força começa a atuar é igual a v 0 e sua posição inicial igual a zero. Determine:
a) A velocidade como função do tempo, considerando as condições de contorno dadas.
b) A posição como função do tempo, considerando as condições de contorno dadas.
Problema 3: Uma partı́cula de massa m executa um movimento unidimensional sob a ação de um
potencial cuja dependência com a coordenada x é U (x) = xa2 − xb , onde a e b são constantes positivas.
a) Encontre a força que atua sobre a partı́cula e faça um esboço do seu gráfico.
b) Encontre a posição de equilı́brio para um corpo sob a ação dessa força;
c) Escreva a equação diferencial do movimento para pequenas oscilações em torno da posição de
equilı́brio e calcule o perı́odo natural das oscilações.
Problema 4: A luz do sol, no limite superior da atmosfera terrestre, tem uma intensidade de
1, 4kW/m2 . Supondo que a Terra, cujo raio é aproximadamente 6.000 km, se comporte como um
disco plano perpendicular aos raios solares e que toda a energia incidente seja absorvida, calcule a força
exercida sobre a Terra pela radiação. Quando ocorre absorção total, a pressão de radiação é dada por
I/c, onde I é a intensidade da luz.
PARTE B: Lembre-se de escolher 2, e apenas 2, problemas
desta parte.
Problema 5: Considere os
corpo complexo:

0
1 
1
Lx = √
2 0
seguintes operadores num espaço de Hilbert com dimensão igual a 3 e





1 0
0 −i 0
1 0 0
1
1
0 1 ; Ly = √  i 0 −i ; Ly = √ 0 0 0
2 0 i
2 0 0 1
1 0
0
a) Determine os auto-valores e os auto-estados normalizados de Lx na base de Lz .
b) Se o sistema estiver num estado com Lz = –1 e Lx for medido, quais serão os resultados possı́veis e
suas respectivas probabilidades?


1/2
 na base de Lz . Se L2z for medido neste estado e for encontrado
c) Considere o estado | ψi =  1/2
√
1/ 2
o valor +1, qual é o estado do sistema após a medida? Se, após a medida de L2z , fosse medido Lz ,
quais valores poderiam ter sido encontrados e com quais probabilidades?
2
Problema 6:
mensional
Seja uma partı́cula numa caixa de comprimento L, isto é, sujeita ao potencial unidi
x < −L/2;
∞
V (x) = 0 −L/2 < x < L/2;

∞
x > L/2;
a) Determine a solução normalizada da equação de Schrödinger para esta partı́cula em todo o espaço,
supondo que esta se encontre no estado fundamental.
b) Repentinamente, a caixa se expande simetricamente para o dobro do tamanho original. A expansão
é muito rápida, de modo que a função de onda da partı́cula não é perturbada. Mostre que a probabilidade de se achar a partı́cula no estado fundamental da nova caixa é ( 83 π)2 .
2
e
,
Problema 7: Seja um átomo de Hidrogênio, no estado fundamental, cuja energia total é E = − 2a
0
me2
onde a0 = ~2 é o raio de Bohr, com m sendo a massa do elétron e e sua carga.
a) Qual a região do espaço proibida classicamente para o elétron deste átomo?
b) Sabendo que a função de onda do estado fundamental do átomo de hidrogênio é dada por
−
ψ1S
r
e a0
= p 2,
πa0
calcule a probabilidade quântica de encontrar o elétron nesta região.
Problema 8: Considere um oscilador harmônico quântico unidimensional, de massa m e frequência
angular ω, em um auto-estado de ordem n qualquer.
a) Usando a representação do operador de posição, X , em termos dos operadores de destruição e de
criação, a e a† , respectivamente, calcule o valor esperado do operador
H1 =
4λm2 ω 3 4
X ,
~
onde λ é uma grandeza adimensional, para um auto-estado qualquer de ordem n
3
EXAME UNIFICADO DAS PÓS-GRADUAÇÕES EM FÍSICA DO RIO DE JANEIRO
Second Semester de 2012 - July 13th de 2012
YOU MUST SOLVE ALL 4 PROBLEMS FROM PART A.
CHOOSE 2, AND ONLY 2, PROBLEMS FROM PART B.
YOU CAN USE UP TO 4 HOURS TO SOLVE THE EXAM. HAVE GOOD EXAM.
PART A:
Problem 1: A spherical conductor with radius R has at its center a hollow cavity with radius a as
show in Fig. 1. At the center of the hollow cavity there is a point charge qa . At a distance d from the
center of the conducting sphere there is a second point charge qb as shown in Fig. 1. Consider that
|qa | ≈ |qb | and d R.
a) Determine the total electrical field the following regions
i) r < a
ii) a < r < R
iii) r > R
b) Determine the intensity of the forces that act in each object, conductor, qa and qb considering d R.
Figure 1: Problem 1.
1
Problem 2: A system with one particle with mass m, wich moves unidimensionaly, is subjected to a
→
−
−
viscous force of the form F = −ρ→
v (ρ > 0). The particle’s initial velocity at the exact instant in which
−
this force starts to act is equal to →
v 0 . The particle’s initial position is equal to zero. Determine:
a) The particle’s velocity as a function of time, considering the given initial boundary conditions.
b) The particle’s position as a function of time, considering the given initial boundary conditions.
c) Write the movement differential equation for small oscilations around the equilirium positions and
determine the oscilations natural period.
Problem 3: A particle with mass m moves unidimensionaly under the action of a potencial that
depends with x as U (x) = xa2 − xb , where a and b are positive constants.
a) Find the force that acts on the particle and sketch a graphic of this force.
b) Find the equilibrium position for a body under the action of this force.
Problem 4: Sun light, at Earth’s atmospheric upper limit, has an intesity of 1.4kW/m2 . Assuming
the Earth, that has a raius of approximadetely 6, 000 km, behaves as a flat disc perpendicular to the
solar rays, and that all incident energy is absorbed, determine Sun’s radiantion force on Earth. When
total absoption ocurrs, the radiation preassure is given by I/c, where I is the llight intensity.
PART B: Remember to choose 2, and only 2 problems from
this part.
Problem 5:
Consider the following complex Hilbert operators with dimension 3:





0 1 0
0 −i 0
1 0
1
1
1
Lx = √ 1 0 1 ; Ly = √  i 0 −i ; Ly = √ 0 0
2 0 1 0
2 0 i
2 0 0
0

0
0
1
a) Determine the Lx normilized eingenvalues and eingenstates in the Lz base.
b) If the system is in a state with Lz = −1 and Lx is measured, what are its expected values and its
probabilities?


1/2
 in the Lz base. If L2z is measured in this state and a value +1 is
c) Consider the state | ψi =  1/2
√
1/ 2
found, hat is the system state after the measurement. If, after the L2z measurement, Lz is measured,
what are the expected values and its probabilities?quais probabilidades?
2
Problem 6: Consider a particle inside a box with lenght L, i.e, confined to a unidimensional potencial:

x < −L/2;
∞
V (x) = 0 −L/2 < x < L/2;

∞
x > L/2;
a) Determine the normilized solution for the particle’s Schrödinger equation in all space, assuming it is
at the ground state initially.
b) Sundenly, the box expands simetrically to the double of its size.The expansion is instantaneous in a
way that the particle’s wave function is not disturbed. Show that the porbabiity to find the particle
at the grounf state in the new box is ( 83 π)2 .
2
e
,
Problem 7: Consider the hydrogen atom in its ground state with total energy given by E = − 2a
0
2
where a0 = me
is the Bohr radius, m the electron mass and e the electron charge.
~2
a) What region of the space is classically forbiden for this atom’s electron?
b) Knowing that the ground state wave fucntion of the hydrogen atom is given by
−
ψ1S
r
e a0
= p 2,
πa0
determne the quantum probability to find the electron in this region.
Problem 8: Consider an unidimensional quantum hamonic oscilator with mass m and angular frequency ω at any n order eigenstate.
a) Using the X position operator written in terms of criation and anihilation operators a e a† repectively,
write down the expected values of the operator:
4λm2 ω 3 4
H1 =
X ,
~
where λ is nondimensional for any n order eigenstate.
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